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Jeferson Danilo26 de Fevereiro de 2010
UNIVER
ES DI AD FEDERAL DO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA
INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM FISICA
Efeito Casimir dinamico via matriz de
espalhamento tipo Robin e com estados iniciais
arbitrarios
Alessandra Nascimento Braga
Orientador: Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves
Belem-Para
2013
Efeito Casimir dinamico via matriz de
espalhamento tipo Robin e com estados iniciais
arbitrarios
Alessandra Nascimento Braga
Dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa de
Pos-Graduacao em Fısica da Universidade Federal do Para
(PPGF-UFPA) como parte dos requisitos necessarios para
obtencao do tıtulo de Mestre em Ciencias (Fısica).
Orientador: Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves - UFPA
Prof. Dr. Carlos Farina de Souza - UFRJ
Prof. Dr. Felipe Siqueira de Souza da Rosa - UFRJ
Belem-Para
2013
i
Resumo
Efeito Casimir dinamico via matriz de espalhamento tipo
Robin e com estados iniciais arbitrarios
Alessandra Nascimento Braga
Orientador: Danilo Teixeira Alves
No presente trabalho, estudamos o efeito Casimir dinamico para uma fronteira
parcialmente refletora, considerando o campo de Klein-Gordon, sem massa, em 1+1
dimensoes, sujeito a condicao tipo Robin com parametro de Robin dependente do
tempo. Definimos a condicao tipo Robin como aquela imposta ao campo por uma
fronteira nao ideal, cujo limite ideal recupera a condicao de contorno de Robin. Neste
contexto, calculamos a solucao do campo para o caso da fronteira ideal (Robin) e
depois generalizamos para o caso nao ideal (tipo Robin) com parametro de Robin
dependente do tempo, por meio da introducao de uma matriz de espalhamento,
tomando como base a referencia [M. T. Jaekel & S. Reynaud, J. Physique I (1991)].
Obtemos uma formula para a densidade espectral de partıculas criadas, considerando
um estado inicial arbitrario do campo. Em seguida, particularizamos a formula para
os casos de vacuo e banho termico. Levando em conta espelhos nao ideais, estes
resultados generalizam os correspondentes resultados de Silva e Farina [H. O. Silva
& C. Farina, Phys. Rev. D (2011)] e de Farina et al [C. Farina, H. O. Silva, A. L.
C. Rego & D. T. Alves, International Journal of Modern Physics: Conference Series
(2012)].
Belem-Para
2013
ii
Abstract
Dynamical Casimir Effect via scattering matrix Robin-like
and arbitrary initial states
Alessandra Nascimento Braga
Supervisor: Danilo Teixeira Alves
In this work, we study the dynamical Casimir effect with a partially reflecting
boundary, considering the massless Klein-Gordon field, in 1 + 1 dimensions, subject
to a Robin-like boundary condition with time-dependent Robin parameter. We
define the Robin-like boundary condition as that imposed to the field by a non-ideal
boundary, which in the limit where the boundary becomes ideal, recovers the usual
Robin boundary condition. In this context, we first calculate the solution of the
field in the ideal case (with usual Robin condition), and then we generalize it to the
non-ideal case (with Robin-like condition) with time-dependent Robin parameter,
using an approach based on scattering matrix, based on the reference [M. T. Jaekel
& S. Reynaud, J. Physique I (1991)]. We obtain formulas for the spectral density of
created particles considering an arbitrary initial state of the field. Afterwards, we
analyze the particular cases of vacuum and thermal bath as initial states. Taking
into account non-ideal boundaries, these results generalize the corresponding results
of Silva and Farina [H. O. Silva & C. Farina, Phys. Rev. D (2011)] and Farina et al
[Farina, H. O. Silva, A. L. C. Rego & D. T. Alves, International Journal of Modern
Physics: Conference Series (2012)].
Belem-Para
2013
iv
“Quando o ser humano existe enquanto ser pensante, ele e o arquiteto de suas acoes e o
construtor consciente de seu futuro.”
Lelio Braga
v
Agradecimentos
A Deus.
Ao meu pai, Lelio Braga, por toda a sua dedicacao, amor e apoio.
A minha irma Aline Braga e Ma Gilvania Alves (tia Vania), pelo apoio, carinho
e dedicacao irrestrita.
A minha avo Leonildes Favacho e famılia como todo, pelo apoio.
Ao meu orientador Danilo Alves pelo o incentivo, grande paciencia e apoio.
Agradeco por ter o privilegio de trabalhar com o senhor.
Aos meus amigos Jafra Carvalho, Carlos Alexandre Nascimento, Bruno Cayres,
Adriana Munoz e em especial a minha amiga e irma Hayane Marciel, por sua amizade
e companheirismo.
Aos meus amigos do PPGF-UFPA, em particular Jeferson Danilo (amigo-irmao
e companheiro de todas as horas), Shirsley Silva (amiga e conselheira, muito obri-
gada pelo seu apoio), Luiz Fernando Lobato, Kleber Silva, Ezequiel Belo, Natalia
Menezes, Luiz Leite e Ramon Cardias.
Aos companheiros de grupo de Casimir em especial ao Andreson Rego (por sua
amizade, dedicacao e apoio), Joao Paulo, Igor Melo e Danilo Pedrelli. Novamente, ao
meu amigo-irmao Jeferson Danilo por todo seu companheirismo, apoio e paciencia.
Ao Programa de Pos-Graduacao em Fısica da UFPA.
Ao CNPq pelo suporte financeiro.
Sumario
Introducao 9
1 Aspectos gerais da condicao de Robin 13
1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 A condicao de contorno de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Efeito Casimir dinamico com condicao de Robin 19
2.1 Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Parametro de Robin constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Modelo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Modelo nao ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Parametro de Robin dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Modelo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Modelo nao ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Distribuicao espectral de partıculas criadas 33
3.1 Densidade espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Estado inicial de vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Estado inicial de um banho termico . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Estado inicial de vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 Estado de um banho termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Consideracoes Finais 50
A Transformada de Fourier do campo livre 53
SUMARIO vii
B Funcao de Correlacao 55
B.1 Funcao de correlacao no estado de vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B.2 Funcao de correlacao no banho termico . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Referencias Bibliograficas 58
Introducao
Denomina-se efeito Casimir dinamico (ECD) a criacao de partıculas a partir do
vacuo, devido ao movimento de uma fronteira1 ou pela mudanca nas propriedades
materiais dessa fronteira no decorrer do tempo [1]. O trabalho em que o ECD foi
previsto teoricamente foi feito por Moore [2], em 1970, que relacionou a criacao de
partıculas com a interacao entre o campo e uma fronteira em movimento. Ainda na
decada de 70, outros autores publicaram trabalhos versando sobre o ECD, dentre
eles, sao considerados como pioneiros os trabalhos de DeWitt (1975) [3] e de Fulling
e Davies (1976) [4].
Ate a decada de 90, os artigos que estudaram o ECD consideraram, ate onde
sabemos, modelos onde as fronteiras sao ideais, no sentido de que impoem reflexao
total do campo. O ECD com modelos nao ideais foi investigado pela primeira vez
por Jaekel e Reynaud em 1992 [6, 7]. Esses autores fizeram uso de uma matriz
de espalhamento (cujos elementos sao coeficientes de reflexao e transmissao) para
relacionar os campos de entrada e de saıda. O campo de entrada e aquele que incide
sobre a fronteira e ainda nao sofreu nenhuma influencia da condicao de contorno.
Ja o campo de saıda e aquele que e espalhado pela fronteira e, portanto, carrega a
informacao sobre a influencia da condicao de contorno sobre o campo. A matriz de
espalhamento deve satisfazer propriedades de unitariedade, realidade, causalidade
e no limite de altas frequencias essa matriz deve se reduzir a matriz identidade
[5]. Nessa abordagem, esses autores calcularam em 1991 a forca de Casimir2 entre
1Nesta dissertacao, os termos fronteira, espelho ou placa sao referentes aos objetos que estabe-
lecem algum tipo de condicao de contorno ao campo.2A forca de Casimir pode ser compreendida como sendo resultado da pressao de radiacao exer-
cida pelas flutuacoes de vacuo refletidas pelo espelho.
Introducao 10
espelhos parcialmente refletores estaticos [5]. Nesse artigo, os coeficientes de reflexao
(que se anulam no limite de altas frequencias) foram utilizados como regularizadores
para obter um resultado finito para a densidade de energia. Um ano depois, Jaekel
e Reynaud [6] calcularam a forca de reacao de radiacao sobre um espelho movel
e nao ideal no regime nao-relativıstico. Os mesmos autores tambem estudaram
o problema de uma cavidade unidimensional formada por espelhos parcialmente
refletores moveis colocada no vacuo [7], calculando, perturbativamente, uma formula
para a forca exercida sobre um dos espelhos da cavidade.
Varios outros autores tambem investigaram o ECD com fronteiras nao ideais
(por exemplo, [8, 9, 10, 11, 12]). Barton e Calogeracos [8, 9] usaram potenciais de
interacao tipo delta de Dirac, introduzidas a lagrangiana do modelo, para simular
uma fronteira nao ideal e deduziram os coeficientes de reflexao e transmissao que,
neste caso, sao dependentes da frequencia e de um parametro que controla a refle-
tividade da fronteira (este parametro e a constante de acoplamento do campo com
o espelho). Atraves desse modelo, estudaram o problema da radiacao emitida pelo
espelho e a forca da radiacao media que atua sobre o espelho no regime de movimen-
tos nao-relativısticos. Lambrecht, Jaekel e Reynaud [10] calcularam o numero de
partıculas criadas devido a uma fronteira parcialmente refletora movel, considerando
o vacuo como estado inicial. Obadia e Parentani [11] generalizaram o modelo de
Davies-Fulling (que descreve o espalhamento de um campo sobre um espelho ideal
movel) [4], de modo que implementaram espelhos nao ideais. Podemos citar, ainda,
Haro e Elizalde [12], que calcularam a forca em uma cavidade nao ideal, esta forca
contem um termo proporcional a aceleracao dos espelhos. Podemos destacar que
todos estes trabalhos [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], os quais discutem o ECD com fronteiras
nao ideais, no limite ideal recuperam o caso em que a fronteira impoe uma condicao
de Dirichlet sobre o campo. Ate onde sabemos, nao ha na literatura trabalhos sobre
o ECD com fronteiras nao ideais cujo limite para o caso ideal recupere o caso em que
a fronteira impoe ao campo uma condicao de Robin. No presente trabalho, vamos
considerar fronteiras nao ideais que no limite em que estas se tornam ideais, impoem
a condicao de Robin ao campo. Estas condicoes de contorno nao ideais denomina-
mos condicoes tipo Robin, e a essas condicoes associamos matrizes de espalhamento
Introducao 11
que tambem denominamos como tipo Robin.
Estudar condicao de contorno de Robin e interessante pois ela esta estreitamente
relacionada a primeira observacao experimental do ECD, anunciada por Wilson et
al [13] em 2011. Nesse experimento, os autores usaram um circuito supercondu-
tor composto por uma linha de transmissao coplanar com comprimento eletrico
variavel. As mudancas no comprimento eletrico sao feitas atraves de modificacoes
na indutancia de um dispositivo supercondutor de interferencia quantica (SQUID)3
localizado em uma das extremidades da linha de transmissao, por meio da acao de
um fluxo magnetico dependente do tempo. O campo eletromagnetico ao longo da
linha de transmissao e descrito em funcao de um operador de fase, representado um
campo escalar φ(t, x), que descreve o campo eletromagnetico em um guia de onda
complanar com capacitancia C0 e indutancia L0 por unidade de comprimento [14],
e que satisfaz a equacao de Klein-Gordon:
(
v−2∂2t − ∂2x)
φ (t, x) = 0, (1)
sendo v = 1/√C0L0 a velocidade do foton no guia de onda, e φ(t, x) obedece a
condicao de contorno de Robin com parametro de Robin γ dependente do tempo
dado por [14]
φ (t, 0)− γ (t) (∂tφ) (t, 0) ≈ 0, (2)
onde o parametro γ, para este caso, e dado por
γ (t) = −Φ20
[
(2π)2EJ (t)L0
]−1= −Leff (t) , (3)
sendo Φ0 o fluxo quantico magnetico, EJ a energia de Josephson efetiva dependente
do fluxo magnetico, Leff um comprimento efetivo [14, 15], e a energia Josephson
dada por
EJ (t) = E0J [1 + ǫf (t)] . (4)
Com relacao a trabalhos teoricos sobre a condicao de contorno de Robin com
parametro variando no tempo, citamos Silva e Farina [16], que calcularam a dis-
tribuicao espectral de partıculas criadas considerando o vacuo o estado inicial do
3Sigla inglesa que representa “dispositivo supercondutor de interferencia quantica”.
Introducao 12
campo, e Farina et al [17], que determinaram a distribuicao espectral com um banho
termico como o estado inicial do campo.
O presente trabalho generaliza o resultado de Silva e Farina [16] e o de Farina
et al [17], de modo que consideramos uma fronteira nao ideal, com o espalhamento
sobre a fronteira sendo descrito atraves de uma matriz de espalhamento tipo Ro-
bin. Assim sendo, relacionamos os campos de entrada e de saıda para uma fronteira
impondo a condicao tipo Robin com parametro dependente do tempo, usando uma
aproximacao perturbativa, e calculamos a distribuicao espectral das partıculas cria-
das, considerando o estado inicial de vacuo e de um banho termico.
Esta dissertacao obedece a seguinte ordem: no capıtulo 1, discutimos aspectos
gerais da condicao de Robin. No capıtulo 2, calculamos a matriz de espalhamento
de um modelo ideal usando a condicao de contorno de Robin com parametro cons-
tante e comparamos com as condicoes de contorno de Dirichlet e Neumman. Em
seguida, generalizamos essa matriz de espalhamento para um caso nao ideal, discu-
tindo as propriedades que a matriz de espalhamento deve satisfazer para o caso de
uma fronteira parcialmente refletora, tipo Robin e estatica. Depois disso, tratamos
do modelo ideal para o caso de Robin com parametro dependente do tempo e gene-
ralizamos a matriz de espalhamento para o caso de um modelo nao ideal com uma
fronteira parcialmente refletora, tipo Robin e dinamica4. No capıtulo 3, calculamos
uma expressao para a densidade espectral considerando um estado inicial arbitrario.
Por fim, calculamos o numero de partıculas criadas, para um estado inicial de vacuo
e de um banho termico, produzidos por uma fronteira parcialmente refletora tipo
Robin, com parametro de Robin dependente do tempo. Usaremos unidades naturais
c = ~ = kB = 1.
4A fronteira e dinamica no sentido de que impoe uma condicao de Robin com parametro de
Robin dependente do tempo.
Capıtulo 1
Aspectos gerais da condicao de
Robin
1.1 Introducao
No ano de 1948, o fısico Hendrik B. G. Casimir [18], previu teoricamente uma
forca de natureza atrativa entre as placas, neutras e perfeitamente condutora que
ficou conhecida posteriormente como forca de Casimir. Ainda que a pesquisa de
Casimir tenha sido feita com o campo eletromagnetico, todos os campos quanticos
relativısticos admitem modificacoes na sua energia de ponto zero, devido as condicoes
impostas ao campo.
A producao de partıculas dar-se a mudanca no estado inicial do campo; e isto esta
associado a uma placa sujeita a uma lei de movimento ou mudancas nas propriedades
desta placa no decorrer do tempo. Conforme ja mencionado, o pioneiro a estudar o
ECD foi o fısico G. T. Moore [2], que investigou o problema de geracao de partıculas
no vacuo para o campo confinado em uma cavidade unidimensional de comprimento
variavel. Nesse trabalho, Moore utilizou-se da invariancia conforme da equacao da
onda para um campo escalar nao massivo em 1+1 dimensoes, para calcular a solucao
do campo sujeito a condicoes de contorno de Dirichlet em ambas as fronteiras. Em
1976, Fulling e Davies [4], exploraram tanto o problema da cavidade quanto o de
uma fronteira, considerando espelhos ideais.
Nesta dissertacao, queremos explorar um modelo composto por fronteiras nao
1.2 A condicao de contorno de Robin 14
ideias, no sentido de que nao ha reflexao total do campo sobre a fronteira. Jaekel e
Reynaud [5], em 1991, calcularam a forca de Casimir estatica considerando fronteiras
parcialmente refletoras, com a introducao de coeficientes de reflexao e transmissao.
Eles mostraram que a divergencia associada ao infinito da energia do vacuo nao
aparece nessa abordagem e os resultados conhecidos sao recuperados no limite de
um espelho perfeito. E possıvel citar outros trabalhos desses autores em ECD com
modelos envolvendo espelhos nao ideais. Alem disso, Lambrecht, Jaekel e Reynaud
[10] estudaram a radiacao emitida por uma cavidade oscilante no vacuo, dando
uma estimativa quantitativa da producao de fotons no interior da cavidade, bem
como do fluxo de fotons irradiado a partir da mesma. Ao leitor interessado em
outros trabalhos sobre o ECD com fronteiras nao ideais sugerimos as Refs. [21, 22].
Existem outros autores que exploram diferentes problemas para o caso de fronteiras
parcialmente refletoras, tais como os de: Obadia e Parentani [11], Elizalde [23] e
Haro e Elizalde [12, 24, 25, 26].
Na proxima secao, vamos discutir o efeito Casimir com condicao de contorno de
Robin e alguns aspectos dessa condicao. Esta condicao de contorno, apesar de ser
menos frequente na literatura (em comparacao as condicoes de contorno de Dirichlet
e Neumann), e de grande interesse teorico, pois possui propriedades interessantes,
que veremos com mais detalhes.
1.2 A condicao de contorno de Robin
Conhecemos como condicao de contorno de Robin,1 sobre uma funcao f (t, x)
num ponto x = q, aquela que interpola continuamente a condicao de Dirichlet (γ0
tendendo a zero) e Neumann (γ0 tendendo a infinito):
f (t, x) |x=q − γ0∂f (t, x)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=q
= 0, (1.1)
onde γ0 e um parametro constante que possui dimensao de comprimento.
A condicao de Robin aparece em varias situacoes fısicas. Vamos considerar,
por exemplo, o problema de uma corda vibrante [29, 30] que tem presa em um de
1Ao leitor que queira saber sobre a historia da condicao de contorno de Robin e biografia de
Victor G. Robin (1855-1897), pode encontra-las nas referencias [27, 28].
1.2 A condicao de contorno de Robin 15
seus extremos contendo um anel nao massivo, acoplado a uma mola com constante
elastica k. O anel pode deslizar verticalmente por uma haste lisa, conforme ilustra
a figura 1.1.
Figura 1.1: Suporte elastico em x = 0 origina, no limite de pequenas inclinacoes da
corda, a condicao de contorno de Robin. Na figura, T e a tensao da corda.
No limite de pequenas inclinacoes da corda (∣
∣
∂y∂x
∣
∣ ≪ 1), usando a segunda lei de
Newton, pode-se mostrar que a condicao de contorno obedecida pela extremidade
da corda e
y (t, x = 0) =T
k
(
∂y (t, x)
∂x
)∣
∣
∣
∣
x=0
, (1.2)
onde o parametro de Robin e dado por γ0 = T/k.
No contexto do eletromagnetismo classico, por exemplo, a solucao radial do
problema de uma casca esferica perfeitamente condutora [31], satisfaz a condicao
de contorno de Robin para certos valores especıficos de γ0. Outro problema e o
modelo de plasma, onde uma onda com frequencia ω muito menor que a frequencia
de plasma ωp, simula a condicao de contorno de Robin na superfıcie de material,
podendo ser estas condicoes de Robin uteis para descreverem superfıcies penetraveis
[39]. Neste sentido, para determinadas circunstancias a condicao de Robin pode
simular o modelo de plasma em materiais reais, ou seja, em altas frequencias do
campo ω ≪ ωP, o ındice de refracao [31]:
n2 ≃ 1− ω2p
ω2(1.3)
1.2 A condicao de contorno de Robin 16
e real e a onda se propaga livremente. No entanto, para baixas frequencias, ω ≪ ωP,
a onda que incide no plasma e refletida na superfıcie e dentro do plasma o campo
cai exponencialmente com a distancia a partir da superfıcie do material [31].
Como queremos mostrar a equivalencia do modelo de plasma e a condicao de
Robin, usaremos as referencias [33, 32, 16], e reproduziremos a demostracao desta
equivalencia. Para tal, vamos supor que uma onda monocromatica de frequencia ω,
incida sobre a fronteira na posicao x = 0. A permissividade eletrica do plasma e:
ǫ (ω) = 1− ω2p
ω2(1.4)
e o coeficiente de reflexao:
rP =n− 1
n+ 1=
√
ǫ (ω)− 1√
ǫ (ω) + 1. (1.5)
Substituindo a expressao (1.4) em (1.5) e considerado ω ≪ ωP, obtemos:
rp = −e2iω/ωP +O(
ω2/ω2P
)
. (1.6)
Agora vamos supor que o campo satisfaca a condicao de contorno de Robin, e a
solucao seja dada atraves das ondas propagantes:
φ (t, x) = Ae−i(kx+ωt) + Bei(kx−ωt). (1.7)
Definindo o coeficiente de reflexao como sendo rR = B/A, obtemos:
rR = −1 + iγ0ω
1− iγ0ω= eiσ(ω), (1.8)
onde σ (ω) = 2 tan−1 (γ0ω) e a defasagem entre a onda incidente e a onda refletida.
Tomando o limite de ωγ0 ≪ 1, a expansao do coeficiente de reflexao e dado:
rR = −e2iγ0ω +O(
γ20ω2)
. (1.9)
Comparando as expressoes (1.6) e (1.9), concluimos que o parametro de Robin γ0 e
equivalente ao comprimento de plasma λP = 1/ωP. Como essa condicao de contorno
simula modelos mais realısticos para uma fronteira, isto nos motiva a estuda-la.
Logo, γ0 → γ (t) simulara penetracao na fronteira dependente do tempo, ou seja,
simulara fronteira em movimento.
1.2 A condicao de contorno de Robin 17
Ha trabalhos recentes envolvendo a condicao de Robin. Entre esses, citamos:
Romeo e Saharian [34], usaram a condicao de Robin em duas placas paralelas e
mostraram que a forca Casimir e repulsiva para pequenas distancias entre as placas
e atrativa para grandes distancias entre as placas;
Albuquerque e Cavalcanti [35] que discutiram a renormalizacao a um laco da teo-
ria λφ4; Mintz et al [29], que usando a abordagem perturbativa introduzida por Ford
e Vilenkin [36] calcularam a forca total sobre uma fronteira em movimento no vacuo;
novamente Mintz et al [30], que calcularam a distribuicao espectral de partıculas
criadas por uma fronteira em movimento; Elizalde et al [37], que demonstraram a
existencia de um ponto de equilıbrio para distancia inter-placas, que e estabilizada
devido a forca de Casimir, e esta estabilidade e melhorada pela presenca de outras
dimensoes; e Teo [38], que calculou a forca de Casimir a temperatura finita entre
duas placas usando a condicao de contorno de Robin.
Citamos, anteriormente, alguns trabalhos usando a condicao de contorno de Ro-
bin com parametro de Robin constante. No entanto, alem desta condicao, tem a
condicao de contorno de Robin com parametro dependente do tempo:
f (t, x) |x=q − γ (t)∂f (t, x)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=q
= 0, (1.10)
onde γ (t) = γ0 + δγ (t), sendo δγ (t) uma funcao dependente do tempo. Se expan-
dirmos em serie de Taylor a condicao de contorno de Dirichlet imposta por uma
fronteira movel
f (t, x)|x=q(t) = 0, (1.11)
onde q (t) e a funcao movimento da fronteira, ate o termo de primeira ordem de
expansao, temos:
f (t, x)|x=q(t) ≈ f (t, 0) + q (t)∂f (t, x)
∂x
∣
∣
∣
∣
x=0
, (1.12)
mostramos, em primeira aproximacao, que a condicao de Robin com parametro
de Robin dependente do tempo (1.10), imposta ao campo em um espelho fixo e
equivalente a condicao de Dirichlet (1.12), imposta ao campo em um espelho movel.
Esta condicao e interessante, pois pode simular uma fronteira em movimento e este
movimento e determinado pela dependencia no tempo do parametro Robin [32].
1.2 A condicao de contorno de Robin 18
Recentemente, esta condicao de contorno foi estudada por Silva e Farina [16], que
mostraram que partıculas podem ser criadas a partir do vacuo, caracterizando assim
um efeito de Casimir dinamico. Em outro trabalho, Farina et al [17] utilizaram uma
abordagem perturbativa e calcularam a distribuicao espectral das partıculas criadas
e a taxa de criacao total de partıculas, considerando com estado inicial do campo
um estado termico.
No proximo capıtulo, veremos com detalhes a construcao da matriz de espalha-
mento de um modelo nao ideal usando a condicao de contorno tipo Robin.
Capıtulo 2
Efeito Casimir dinamico com
condicao de Robin
Ate onde sabemos, por volta do inıcio da decada de 90, todos os calculos so-
bre o efeito Casimir dinamico foram feitos com condicoes de contorno totalmente
refletoras. Esse modelo, embora seja interessante em muitos aspectos, traz consigo
alguns problemas como, por exemplo, divergencias associadas ao infinito da energia
total de vacuo. Jaekel e Reynaud justificam no seu artigo [5] sobre a vantagem de
estudar modelos nao ideias: “(...) Claramente, uma regularizacao mais natural deve
ser fornecida pelo estudo de espelhos parcialmente refletores. Quaisquer espelhos
reais sao certamente transparentes a frequencias elevadas, de modo que a expressao
da forca deve ser regular (...)”.
Na intencao de investigar fronteiras nao ideais, neste capıtulo, abordaremos o
ECD envolvendo uma fronteira parcialmente refletora em repouso. Suporemos que
a fronteira imponha a condicao de contorno de Robin com parametro de Robin
dependente do tempo sobre um campo escalar real e nao massivo. A partir de
uma notacao matricial escrevemos uma matriz coluna para o campo (representada
por Φ(t, x)), onde os elementos dessa matriz sao as componentes do campo que se
propagam em sentidos opostos.
Caracterizamos o espalhamento por uma fronteira atraves de funcoes transmis-
sividade e refletividade dependentes da frequencia − os coeficientes de reflexao e
transmissao. Assim, relacionamos o campo de entrada (in) e saıda (out) atraves
2.1 Notacao 20
de uma matriz de espalhamento. Essa abordagem matricial foi feita por Jaekel e
Reynaud [5, 6, 7, 19].
Nas proximas secoes, discutiremos a matriz de espalhamento de um modelo
que envolve uma fronteira ideal que impoe ao campo uma condicao de Robin com
parametro de Robin constante e, logo depois, generalizamos esta matriz para o caso
nao ideal. E, por fim, encontramos a matriz de espalhamento para o caso da condicao
de contorno tipo Robin com parametro de Robin dependente do tempo γ = γ(t).
2.1 Notacao
Nesta secao, introduziremos a notacao que usaremos no decorrer desta dis-
sertacao. Assim sendo, consideramos um campo escalar real φ (t, x) nao massivo
em 1 + 1 dimensoes que obedece a equacao de Klein-Gordon:
(
∂2t − ∂2x)
φ (t, x) = 0 (2.1)
e representamos o campo livre como a soma das componentes de propagacao do
campo, φ (t, x) = ϕ (t− x) + ψ (t+ x), sendo ϕ o campo que se propaga para a
direita e ψ o campo que se propaga para a esquerda. Em uma forma matricial,
representamos o campo livre por
Φ (t, x) =
ϕ (t− x)
ψ (t+ x)
. (2.2)
Usaremos a seguinte convencao para a transformada de Fourier:
g (t) =
∫
dω
2πe−iωtg (ω) . (2.3)
Dessa maneira, escrevendo o campo livre na forma matricial [6] no domınio de
Fourier (ver detalhes no Apendice A) obtemos
Φ (ω, x) =
eiωxϕ (ω)
e−iωxψ (ω)
= eiηωxΦ (ω) , (2.4)
onde
η =
1 0
0 −1
, (2.5)
2.1 Notacao 21
Φ (ω) =
ϕ (ω)
ψ (ω)
, (2.6)
e as componentes de propagacao do campo sao escritas [6], respectivamente, por:
ϕ (ω) =
√
1
2 |ω|[
θ (ω) aω + θ (−ω) a†−ω]
(2.7)
e
ψ (ω) =
√
1
2 |ω|[
θ (ω) bω + θ (−ω) b†−ω]
. (2.8)
A partir da relacao de comutacao dos operadores de criacao e aniquilacao,
[aω, aω′ ] =[
a†ω, a†ω′
]
= 0, (2.9)
[
aω, a†ω′
]
= 2πδ (ω − ω′) , (2.10)
[bω, bω′ ] =[
b†ω, b†ω′
]
= 0 (2.11)
e[
bω, b†ω′
]
= 2πδ (ω − ω′) , (2.12)
escrevemos as relacoes de comutacao entre os componentes de propagacao do campo
no espaco da frequencia da seguinte maneira:
[ϕ (ω) , ϕ (ω′)] = [ψ (ω) , ψ (ω′)] = 2πδ (ω + ω′) / (2ω) (2.13)
e
[ϕ (ω) , ψ (ω′)] = 0. (2.14)
Consideramos o campo espalhado pela fronteira (localizada na posicao x = q) e
escrevemos o mesmo, a seguir, atraves da uniao do campo do lado direito e do lado
esquerdo:
φ (t, x) = θ (x− q)φ+ (t, x) + θ (q − x)φ− (t, x) , (2.15)
sendo
φ+ (t, x) = ψin (t+ x) + ϕout (t− x) (2.16)
e
φ− (t, x) = ϕin (t− x) + ψout (t+ x) . (2.17)
2.2 Parametro de Robin constante 22
O ındice “in” indica o campo que chega na fronteira − o campo incidente − e o
ındice “out”, o campo que esta saindo da fronteira − o campo espalhado.
A figura 2.1 ilustra as componentes de propagacao do campo que incidem e que
sao espalhados pela fronteira:
j j
in out
inout
Figura 2.1: A fronteira na posicao x = q espalha o campo incidente.
Nas proximas secoes, discutiremos o processo de espalhamento do campo por um
espelho ideal e em repouso que impoe a condicao de contorno de Robin, tanto com
parametro de Robin constante, γ = γ0, quanto com parametro de Robin dependente
do tempo γ = γ (t). Em seguida, generalizaremos esse resultado para o caso nao
ideal, obtendo a matriz de espalhamento que, no limite em que recupera o caso
ideal, recai no caso de Robin. Essa matriz deve satisfazer algumas propriedades que
veremos mais adiante.
2.2 Parametro de Robin constante
Nesta secao, apresentaremos a expressao do campo espalhado por um espelho em
repouso ideal que impoe ao campo a condicao de Robin com parametro constante.
Tendo em vista que esta condicao interpola a condicao de contorno de Dirichlet
e Neumann, como foi observado na secao 1.2, faremos a comparacao da matriz
de espalhamento para essas condicoes de contorno a partir da condicao de Robin.
Em seguida, apresentaremos a extensao para caso de uma fronteira parcialmente
refletora, atraves da troca da matriz de espalhamento ideal por uma matriz nao
ideal. Discutiremos as propriedades que essa matriz de espalhamento deve satisfazer.
2.2 Parametro de Robin constante 23
2.2.1 Modelo ideal
Consideremos uma fronteira que impoe ao campo a condicao de contorno de Ro-
bin com parametro constante, dada na expressao (1.1). Como ja havıamos mencio-
nado anteriormente na secao 1.2, essa condicao de contorno interpola continuamente
as condicoes de contorno de Dirichlet, quando γ0 → 0, e Neumann, quando γ0 → ∞.
O parametro γ0 representa uma escala de tempo, associado com atraso de tempo
(ou desvio de fase) caracterıstica da reflexao da condicao de Robin [30].
Para encontrar a matriz de espalhamento do caso ideal, aplicaremos a condicao
de Robin, por simplicidade, na posicao x = 0. Aplicaremos a condicao de contorno
na solucao do campo, primeiramente, na regiao x > 0 (lado direito da fronteira),
depois na regiao x < 0 (lado esquerdo da fronteira). Dessa forma, para x > 0:
(1− γ0∂x)φ+ (t, x)|x=0 = (1− γ0∂x) [ψin (t+ x) + ϕout (t− x)]|x=0 = 0. (2.18)
Escrevemos a expressao (2.18) no espaco da frequencia, e obtemos a seguinte relacao
entre as componentes de propagacao do campo de entrada e saıda:
ϕout (ω) = −1 + iγ0ω
1− iγ0ωψin (ω) . (2.19)
Note que o campo de saıda ϕout (ω) se relaciona com o campo de entrada ψin (ω),
atraves de uma funcao que depende da frequencia ω e do parametro γ0. Essa funcao
chamaremos de coeficiente de reflexao de Robin, associada a regiao x > 0, e repre-
sentaremos este coeficiente por r+ (ω). Assim sendo, de maneira similar ao que foi
feito a regiao x > 0, aplicaremos a condicao de contorno em φ− (t, x), que representa
o campo na regiao x < 0, e com isso obtemos
(1− γ0∂x)φ− (t, x)|x=0 = (1− γ0∂x) [ϕin (t− x) + ψout (t+ x)]|x=0 = 0. (2.20)
Da mesma forma que foi feito para o campo na regiao x > 0, escreveremos φ− (t, x)
no espaco da frequencia, e com isso obtemos
ψout (ω) = −1− iγ0ω
1 + iγ0ωϕin (ω) . (2.21)
Tal como foi observado para campo de saıda ϕout (ω) na regiao x > 0, o campo
de saıda ψout (ω) tambem relaciona-se com o campo de entrada ϕin (ω) por meio de
2.2 Parametro de Robin constante 24
uma funcaoo que depende da frequencia do campo ω e do parametro de Robin γ0,
que tambem sera chamada de coeficiente de reflexao, mas associado a regiao x < 0, e
o representaremos por r− (ω). Desta forma, agrupando as expressoes (2.19) e (2.21),
encontradas anteriormente, na forma matricial temos
Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω) , (2.22)
onde S0R (ω) e a matriz de espalhamento ideal que relaciona a matriz campo de
saıda Φout (ω) e a matriz campo de entrada Φin (ω). Como havıamos mencionado na
secao (2.1), a matriz campo Φ e uma matriz coluna composta pelas componentes de
propagacao ϕ e ψ. A seguir temos a representacao da matriz S0R (ω):
S0R (ω) =
0 −1+iγ0ω1−iγ0ω
−1−iγ0ω1+iγ0ω
0
=
0 ei tan−1(2γ0ω)
e−i tan−1(2γ0ω) 0
. (2.23)
Observe que a diagonal secundaria da expressao (2.23) e composta pelos coe-
ficientes de reflexao do lado direito e do lado esquerdo da fronteira. E, ainda, os
elementos da diagonal principal sao nulos, o que indica que a regiao x > 0 e desco-
nectada da regiao x < 0. Podemos observar, tambem, que recuperamos a matriz de
espalhamento do caso Dirichlet [6], quando γ0 → 0, a saber
S0D =
0 −1
−1 0
=
0 eiπ
e−iπ 0
. (2.24)
onde S0D e a representacao da matriz de espalhamento de Dirichlet ideal. Perceba
que esta matriz carrega a informacao que a onda reflete com uma fase π ao ser
espalhada pela fronteira. Agora, quando tendemos γ0 → ∞, obtemos a matriz de
espalhamento para o caso da condicao de Neumann:
S0N =
0 1
1 0
=
0 ei0
e−i0 0
. (2.25)
De modo analogo, a matriz de espalhamento S0N carrega a informacao de que a onda
reflete sem mudar a sua fase. Entao, de maneira a agrupar a matriz de espalhamento
ideal dos casos de Robin, Dirichlet e Neumann, escreveremos a matriz seguinte:
S0i (ω) =
0 eiσ(ω)
e−iσ(ω) 0
=
0 r+ (ω)
r− (ω) 0
, (2.26)
2.2 Parametro de Robin constante 25
onde o ındice “i” indica o tipo de matriz ideal (i=D, N, R). Podemos compreender
melhor a expressao (2.26) atraves da Tabela 2.1 que ilustra um comparativo entre
os coeficientes de reflexao para cada condicao de contorno.
Condicao de contorno ındice “i’ r+ (ω) r− (ω) σ (ω)
Dirichlet D −1 −1 π
Neumann N 1 1 0
Robin R −1+iγ0ω1−iγ0ω
−1−iγ0ω1+iγ0ω
tan−1 (2γ0ω)
Tabela 2.1: Comparativo entre as condicoes de contorno de Dirichlet, Neumann e
Robin e os coeficientes de reflexao r ± (ω). E ainda, a fase σ(ω) da onda.
As informacoes do comportamento do campo refletido sobre a fronteira estao
contidas na matriz de espalhamento S. Isto e expressado nos elementos da diagonal
secundaria dessa matriz pelos coeficientes r+ (ω) e r− (ω).
Na proxima subsecao, generalizamos a matriz para o caso nao ideal, explorando
as propriedades que a mesma deve satisfazer para conservar a consistencia do modelo.
2.2.2 Modelo nao ideal
A generalizacao para o modelo nao ideal e feita atraves da troca da matriz
ideal S0i (ω) por uma matriz nao ideal Si (ω;α). Escrevemos, agora, os elementos
da diagonal principal − coeficientes de transmissao −, e os elementos da diagonal
secundaria − coeficientes de reflexao −, da seguinte forma:
S0i (ω) → Si (ω;α) =
s+ (ω;α) r+ (ω;α)
r− (ω;α) s− (ω;α)
. (2.27)
O ındice “+” indica que a onda esta sendo refletida ou transmitida no sentido
x > 0, enquanto o ındice “−” indica que a onda esta sendo refletida ou transmitida
no sentido x < 0. Esses coeficientes dependem da frequencia ω e de um parametro
α que foi introduzido para regular a refletividade da fronteira, de maneira que no
limite α → ∞ deva-se recuperar a matriz do caso ideal dada pela Eq. (2.26) −podendo ser Robin, Dirichlet ou Neumann.
2.2 Parametro de Robin constante 26
A matriz de espalhamento Si (ω;α) deve satisfazer propriedades de unitariedade
e causalidade, para que sejam preservadas as relacoes de comutacao do campo. E
como estamos considerando que o campo e real, a matriz de espalhamento tem,
necessariamente, que ser real no domınio do tempo. Alem disso, no limite de altas
frequencias ela deve reduzir-se a identidade, condicao esta que se traduz no fato
de que todo espelho existente na natureza deve ser transparente para frequencias
altas o suficiente. A seguir, veremos como essas propriedades impoem restricoes aos
elementos que compoem a matriz na equacao (2.27).
Partiremos da solucao geral do campo livre, que e dada por
φ (t, x) =
∫
dk
√
1
(2π)2ωk
[
ake−iωkteikx + a†ke
iωkte−ikx]
, (2.28)
onde ωk = |k| e k e o numero de onda. Reorganizando os termos da expressao (2.28),
para enfatizar os campos que propagam-se em sentidos opostos, obtemos
φ (t, x) =
∫
dω√2π
[
ϕ(ω)e−iω(t−x) + ψ(ω)e−iω(t+x)]
. (2.29)
Como havıamos mencionado na secao 2.2.1, toda a informacao sobre a condicao
de contorno reside na matriz de espalhamento. Dessa maneira, escrevemos a relacao
entre o campo de entrada e saıda:
Φout(ω) = S(ω;α)Φin(ω). (2.30)
Partimos da expressao (2.30), podemos escrevemos
ϕout(ω) = s+(ω;α)ϕin(ω) + r+(ω;α)ψin(ω) (2.31)
e
ψout(ω) = r−(ω;α)ϕin(ω) + s−(ω;α)ψin(ω). (2.32)
Pelo fato de o campo ser real, φ (t, x) = φ∗ (t, x), concluımos que os elementos
da matriz de espalhamento sao reais no domınio temporal:
s∗+(−ω;α) = s+(ω;α) e r∗+(−ω;α) = r+(ω;α), (2.33)
e isso implica
S(−ω;α) = S∗(ω;α). (2.34)
2.2 Parametro de Robin constante 27
A relacao de comutacao [φ(t, x), φ(t, y)] = 0 implica [φ±(t, x), φ±(t, y)] = 0 e
[φ±(t, x), φ∓(t, y)] = 0, o que implica a validade da condicao de unitariedade, tra-
duzida nas seguintes equacoes:
s±(ω;α)s∗±(ω;α) + r±(ω;α)r
∗±(ω;α) = 1 (2.35)
e
s±(ω;α)r∗∓(ω;α) + r±(ω;α)s
∗∓(ω;α) = 0. (2.36)
A relacao de comutacao [φ(t, x),Π(t, y)] = −iδ(x− y), sendo Π ≡ φ o momento
conjugado associado ao campo φ, implica na condicao de causalidade. Essa relacao
de comutacao leva, simultaneamente, a [φ±(t, x), Π±(t, y)] = iδ(x− y) e a [φ±(t, x),
Π∓(t, y)] = 0, que implicam [24]
∫
dωr±(ω;α)e−iωt =
∫
dωs±(ω;α)e−iωt = 0 ∀ t < 0. (2.37)
A partir das propriedades acima, notamos que a matriz de espalhamento nao
pode ser qualquer matriz. Entao, como consequencia da propriedade de unitarie-
dade, devemos ter
Si (ω;α) =
|s (ω;α)| eiωξ+(ω;α) |r (ω;α)| eiωσ+(ω;α)
|r (ω;α)| eiωσ−(ω;α) |s (ω;α)| eiωξ−(ω;α)
, (2.38)
onde as funcoes nos argumentos das exponenciais devem satisfazer:
ξ+ (ω;α)− σ− (ω;α) = σ+ (ω;α)− ξ− (ω;α) (2.39)
e a soma dos modulos quadratico dos coeficientes deve ser igual a um:
|s (ω;α)|2 + |r (ω;α)|2 = 1. (2.40)
Estamos, portanto, tratando de um modelo com uma fronteira nao ideal que
impoe uma certa condicao de contorno, tal que, no limite ideal, recai na condicao de
Robin. A essa condicao de contorno denominaremos tipo Robin. Na proxima secao,
mostraremos a matriz de espalhamento para uma condicao de contorno tipo Robin
mas, agora, com parametro de Robin dependente do tempo.
2.3 Parametro de Robin dependente do tempo 28
2.3 Parametro de Robin dependente do tempo
Nesta secao, apresentaremos a expressao do campo espalhado em duas situacoes
nas quais consideramos o parametro de Robin dependente do tempo (γ (t)): (i) na
presenca de um espelho ideal que impoe a condicao de Robin; (ii) na presenca de
um espelho nao ideal tipo Robin.
Iniciamos com o problema de uma fronteira em repouso na posicao x = 0, que
impoe ao campo a condicao de contorno
φ (t, 0)− γ (t) ∂xφ (t, x)|x=0 = 0, (2.41)
onde
γ (t) = γ0 + δγ (t) , (2.42)
γ0 e o parametro de Robin estatico (γ = γ0 para δγ = 0), e
δγ (t) = l0ǫf (t) , (2.43)
sendo l0 uma constante com dimensao de comprimento, ǫ ≪ 1 um parametro
constante adimensional e f(t) uma funcao adimensional do tempo, oscilatoria com
frequencia caracterıstica ω0, e tal que |f(t)| ≤ 1.
Note-se que, no caso geral que estamos considerando, as constantes γ0 e l0 sao
desconectadas uma da outra. Um caso particular e aquele no qual γ0 = l0, o que
implica |δγ(t)| ≪ γ0 [16]. Neste caso particular, considerado em [16], γ0 → 0 ⇒φ(t, 0) = 0 (condicao de Dirichlet estatica), enquanto γ0 → ∞ ⇒ ∂xφ (t, x) |x=0 = 0
(condicao de Neumann estatica), sendo que em ambos esses limites nao ocorre efeito
Casimir dinamico.
Seguiremos, agora, investigando o caso geral no qual as constantes γ0 e l0 sao des-
conectadas uma da outra, mas faremos a seguinte restricao para l0: l0 ∼ 1/ω0, o que
implica |δγ(t)| ≪ 1/ω0. Com essa desconexao, γ0 → 0⇒ φ(t, 0)−δγ(t)∂xφ (t, x) |x=0 =
0 (que corresponde, em primeira aproximacao, a condicao de Dirichlet relacionada a
um espelho movel, tal que φ(t,−δγ(t)) = 0), sendo que neste limite, diferentemente
do que ocorre quando conectamos γ0 e l0, ainda temos o efeito Casimir dinamico.
Ja o limite γ0 → ∞ ⇒ ∂xφ (t, x) |x=0 = 0 (condicao de Neumann estatica), tal como
ocorre no caso em que γ0 e l0 sao conectados.
2.3 Parametro de Robin dependente do tempo 29
Ao aplicarmos a condicao (2.41) encontramos a matriz espalhamento para o caso
ideal que relaciona o campo entrada e saıda. Depois generalizaremos para o caso
nao ideal atraves da uma matriz de espalhamento nao ideal.
2.3.1 Modelo ideal
No intuito de simular fronteiras ideais em movimento atraves de um sistema
em repouso com propriedades materiais variando no tempo, vamos considerar um
espelho estatico que impoe condicao de Robin com γ(t). Usaremos o mesmo proce-
dimento feito na subsecao 2.2.1, e escreveremos o campo espalhado pelo espelho na
regiao x > 0. Depois aplicaremos a condicao de contorno nesta regiao, a saber
(1− γ (t) ∂x)φ+ (t, x)|x=0 = (1− γ (t) ∂x) [ψin (t+ x) + ϕout (t− x)]|x=0 = 0.
(2.44)
O mesmo procedimento e feito para regiao x < 0:
(1− γ (t) ∂x)φ− (t, x)|x=0 = (1− γ (t) ∂x) [ϕin (t− x) + ψout (t+ x)]|x=0 = 0.
(2.45)
Agrupando as expressoes (2.44) e (2.45) da seguinte forma:
(I − γ (t) ∂x)
0 1
1 0
ϕin (t− x)
ψin (t+ x)
+
ϕout (t− x)
ψout (t+ x)
= 0, (2.46)
sendo I a matriz identidade. Reescrevemos a expressao (2.46) na notacao matricial
e identificamos a matriz campo, tal que:
(I − γ (t) ∂x) Φout (t, x) = S0 (I − γ (t) ∂x) Φin (t, x) , (2.47)
onde definimos
S0 =
0 −1
−1 0
. (2.48)
Em seguida, escrevemos a expressao (2.47) no domınio da frequencia, usando as
seguintes definicoes de transformadas de Fourier:
Φ (t, x) =
∫
dω
2πΦ (ω, x) e−iωt e γ (t) =
∫
dω
2πΓ (ω) e−iωt. (2.49)
2.3 Parametro de Robin dependente do tempo 30
A expressao (2.47) no espaco das frequencias:
∫
dω
2πe−iωtΦout (ω) = S0
[∫
dω
2πe−iωtΦin (ω)+
−∫
dω′
2πe−iω
′t
∫
dω′′
2πe−iω
′′tΓ (ω′′) iω′ηΦin (ω′)
]
+
∫
dω′
2πe−iω
′t
∫
dω′′
2πe−iω
′′tΓ (ω′′) iω′ηΦout (ω′) . (2.50)
Faremos a mudanca ω = ω′ + ω′′ → ω′′ = ω − ω′ na equacao anterior e sabendo
que a funcao Γ (ω − ω′) = 2πδ (ω − ω′) γ0+ δΓ (ω − ω′) e a transformada de Fourier
de γ (t). Depois, usamos a expressao do Φout como uma relacao de recorrencia para
obter:
Φout (ω) = (I − γ0iωη)−1 S0 (I − γ0iωη) Φin (ω)
− (I − γ0iωη)−1
∫
dω′
2πδΓ (ω − ω′) [S0iω
′η
−iω′η (I − γ0iω′η)
−1S0 (I − γ0iω
′η)]
Φin (ω′) +O(δΓ2). (2.51)
Definimos a matriz M (ω)=I − γ0iωη e identificamos a matriz de espalhamento de
Robin ideal no primeiro termo da expressao anterior, a seguir:
S0R (ω) = M (ω)−1 S0M (ω) =
0 −1+iγ0ω1−γ0iω
−1−iγ0ω1+γ0iω
0
. (2.52)
Fazemos essas alteracoes na expressao (2.51) e considerando apenas os termos de
primeira ordem em δΓ na mesma:
Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω)−M (ω)−1
×∫
dω′
2πiω′δΓ (ω − ω′) [S0η − ηS0R (ω′)] Φin (ω
′) . (2.53)
Sabendo que I = M (ω)M (ω)−1, usamos isto no segundo termo da expressao (2.53)
e obtemos
Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω)−∫
dω′
2πiω′δΓ (ω − ω′)
×[
S0R (ω)M (ω)−1 η −M (ω)−1 ηS0R (ω′)]
Φin (ω′) . (2.54)
Reescrevendo esta expressao, redefinindo o termo a seguir:
N (ω) = M (ω)−1 η, (2.55)
2.3 Parametro de Robin dependente do tempo 31
entao obtemos:
Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω)−∫
dω′
2πiω′δΓ (ω − ω′)
× [S0R (ω)N (ω)−N (ω)S0R (ω′)] Φin (ω′) . (2.56)
Podemos ainda definir
δS0R (ω, ω′) = −iω′δΓ (ω − ω′) [S0R (ω)N (ω)−N (ω)S0R (ω′)] (2.57)
e assim a expressao (2.56) ficara:
Φout (ω) =
∫
dω′
2π[S0R (ω′) δ (ω − ω′)− δS0R (ω, ω′)] Φin (ω
′) . (2.58)
Reescrevemos a expressao (2.58) de forma mais compacta:
Φout (ω) =
∫
dω′
2πS0R [ω, ω′] Φin (ω
′) , (2.59)
onde a matriz de espalhamento no caso ideal e dada por
S0R [ω, ω′] = S0R (ω′) δ (ω − ω′)− δS0R (ω, ω′) . (2.60)
Portanto, a expressao (2.59) mostra a relacao entre os campos de entrada e de
saıda para a condicao de contorno de Robin com parametro dependente do tempo. A
matriz representada pela equacao (2.60) possui diagonal principal nula, isto significa
que o lado esquerdo (x < 0) e direito (x > 0) da fronteira sao independentes,
em outras palavras, nao existe qualquer conexao entre os campos do lado direito
e esquerdo do espelho. Isto ja e esperado, haja visto que o modelo considerado
e, por enquanto, ideal. Alem disso, note que a informacao sobre a condicao de
contorno reside na matriz de espalhamento e a frequencia do campo muda devido ao
processo de espalhamento. Esta informacao esta contida na matriz de espalhamento
S0R [ω, ω′].
2.3.2 Modelo nao ideal
A finalidade desta subsecao e discutir sobre o modelo de uma fronteira parci-
almente refletora em repouso, cujas propriedades variam com o tempo. Para tal,
generalizamos a matriz de espalhamento ideal que relaciona o campo de entrada e
2.3 Parametro de Robin dependente do tempo 32
saıda encontrada na subsecao 2.2.2. Assim como no caso com parametro γ = γ0, esta
matriz deve satisfazer as propriedades de unitariedade, causalidade e a condicao de
transparencia para altas frequencias. No limite de um espelho perfeito recupera-se a
expressao (2.59). Dessa forma, generalizamos o caso ideal atraves da seguinte troca
de matriz:
S0R (ω) → SR (ω;α) =
s+ (ω;α) r+ (ω;α)
r− (ω;α) s− (ω;α)
(2.61)
Agora os elementos da diagonal principal sao diferentes de zero, caracterizando a
ligacao entre o campo dos lados esquerdo e direito da fronteira. Alem disso, estes no-
vos coeficientes dependem do parametro α (refletividade do espelho) e da frequencia
do campo. A troca da matriz ideal pela nao ideal e feita quando substituımos (2.61)
na expressao (2.57) que fica:
δSR (ω, ω′;α) = −iω′δΓ (ω − ω′) [SR (ω;α)N (ω)−N (ω)SR (ω′;α)] (2.62)
E assim, a relacao entre os campos de entrada e de saıda para a condicao tipo Robin
com γ (t) ficara:
Φout (ω) =
∫
dω′
2π[SR (ω′;α) δ (ω − ω′)− δSR (ω, ω′;α)] Φin (ω
′) . (2.63)
Reescrevemos a expressao anterior de forma mais compacta da seguinte maneira:
Φout (ω) =
∫
dω′
2πSR [ω, ω′;α] Φin (ω
′) , (2.64)
sendo
SR [ω, ω′;α] = SR (ω′;α) δ (ω − ω′)− δSR (ω, ω′;α) (2.65)
e δSR (ω, ω′;α) e dada na equacao (2.62). Na expressao (2.64), a matriz que relaciona
os campos de entrada e saıda carrega a informacao do tipo de condicao de contorno
e mostra que a frequencia muda com o processo de espalhamento. Esta mudanca
na frequencia e proveniente da condicao de contorno que a fronteira impos.
No proximo capıtulo, calcularemos a densidade espectral para um estado inicial
arbitrario do campo. Faremos uma aplicacao para o caso de um estado inicial de
vacuo e de um banho termico, usando a condicao de contorno tipo Robin.
Capıtulo 3
Distribuicao espectral de
partıculas criadas
Por causalidade, a informacao da mudanca no sistema (fronteira variando as suas
propriedades no decorrer do tempo) esta contida na expressao para Φout. Entao, por
este argumento, o campo que aparece na expressao da densidade espectral deve ser
o campo de saıda. Nosso objetivo neste capıtulo e, usando a Eq. 2.64, encontrarmos
a expressao para a densidade espectral de partıculas criadas, para um estado inicial
arbitrario do campo, bem como fazer uma aplicacao dessa expressao.
3.1 Densidade espectral
O numero de partıculas criadas para um estado inicial arbitrario do campo e
dado a seguir [40, 41]:
N =
∫ ∞
0
dω
2πn (ω) , (3.1)
no qual n(ω) e dado por:
n(ω) =⟨
a†ωaω⟩
+⟨
b†ωbω⟩
. (3.2)
Para encontrarmos a expressao de n (ω), primeiramente escrevemos a transformada
de Fourier para uma das componentes de propagacao do campo, ϕ (u):
ϕ (u) =
∫
dω
2πϕ (ω) e−iωu, (3.3)
3.1 Densidade espectral 34
sendo u a linha nula u = t − x. Sabendo que a componente de propagacao ϕ
no domınio da frequencia pode ser escrito em funcao dos operadores de criacao e
aniquilacao (2.7) [6], reescrevemos esses operadores em funcao da componente de
propagacao ϕ [ω], obtendo a expressao:
θ (ω) a†ωaω = 2 |ω|[
ϕ (−ω)ϕ (ω)−√
1
2 |ω|θ (−ω) a−ωϕ (ω)
−√
1
2 |ω|θ (−ω)ϕ (−ω) a†−ω]
+ θ (−ω) θ (−ω) a−ωa†−ω. (3.4)
Usando o fato de que ω > 0, obtemos:
a†ωaω = 2ωϕ (−ω)ϕ (ω) . (3.5)
Tomamos, agora, a media⟨
a†ωaω⟩
para um estado inicial arbitrario e obtemos a den-
sidade espectral n (ω)ϕ associada a componente de propagacao ϕ, tal como mostrado
a seguir:
n (ω)ϕ =⟨
a†ωaω⟩
= 2ω 〈ϕ (−ω)ϕ (ω)〉 . (3.6)
Analogamente, o mesmo procedimento e feito para encontrar a densidade espectral
n (ω)ψ, associada a componente de propagacao ψ:
n (ω)ψ =⟨
b†ωbω⟩
= 2ω 〈ψ (−ω)ψ (ω)〉 . (3.7)
Dessa forma, a densidade espectral total n (ω) sera dada atraves da soma das den-
sidades espectrais associadas a cada componente de propagacao do campo:
n (ω) = n (ω)ϕ + n (ω)ψ
= 2ω [〈ϕ (−ω)ϕ (ω)〉+ 〈ψ (−ω)ψ (ω)〉] . (3.8)
Reescrevemos a expressao (3.8) de forma mais compacta, tal que a densidade espec-
tral seja
n (ω) = 2ωTr[⟨
Φ (−ω) Φ (ω)T⟩]
, (3.9)
onde ΦT e a matriz transposta da matriz Φ e⟨
Φ (−ω) Φ (ω)T⟩
e a funcao de cor-
relacao [6], ou seja, a media que relaciona os campos em diferentes configuracoes.
Por causalidade, o campo que carrega a informacao sobre alteracao no sistema e o
3.1 Densidade espectral 35
campo de saıda Φout. Neste sentido, entendemos que o campo Φ da expressao (3.9)
deve ser o campo de saıda Φout. Com esta analise, obtemos a seguinte expressao:
n (ω) = 2ωTr[⟨
Φout (−ω) Φout (ω)T⟩]
. (3.10)
A expressao (3.10) indica que, para calcularmos a densidade espectral de partıculas
criadas para quaisquer estados iniciais arbitrarios do campo, basta conhecermos o
campo de saıda (Φout) e o estado, no qual tomaremos a media do campo.
A densidade espectral gerada por uma fronteira em repouso que impoe a condicao
de contorno tipo Robin com parametro de Robin variando no tempo, na presenca de
um estado inicial arbitrario, e obtida com a substituicao de (2.64) em (3.10). Como
mostramos no Capıtulo 2, a expressao (2.64) relaciona os campos “out” e “in” para
o caso tipo Robin com parametro de Robin dependente do tempo. Assim sendo,
escrevemos as matrizes Φout (−ω) e Φout (ω)T, respectivamente, como:
Φout (−ω) =∫
dω′
2πSR [−ω, ω′;α] Φin (ω
′) (3.11)
e
Φout (ω)T =
∫
dω′′
2πΦin (ω
′′)TSR [ω, ω′′;α]
T, (3.12)
Substituindo as equacoes (3.11) e (3.12) na equacao da densidade espectral de
partıculas criadas (3.10), chegaremos a expressao
n (ω) = 2ω
∫
dω′
2π
∫
dω′′
2πTr [g (ω, ω′;α)] , (3.13)
sendo que g (ω, ω′;α) e dado por
g (ω, ω′;α) = SR [−ω, ω′;α]⟨
Φin (ω′) Φin (ω
′′)T⟩
SR [ω, ω′′;α]T. (3.14)
Nas proximas subsecoes, aplicaremos a formula (3.13) para os estados iniciais de
vacuo e banho termico.
3.1.1 Estado inicial de vacuo
Para o estado inicial de vacuo, usamos a funcao de correlacao para este estado
dada por (ver detalhes no Apendice B)
⟨
Φ (ω) Φ (ω′)T⟩
=π
ωθ (ω) δ (ω + ω′) I. (3.15)
3.1 Densidade espectral 36
Substituindo a expressao (3.15) em (3.13), obtemos:
n (ω) =
∫
dω′
2πθ (ω′)
ω
ω′Tr
[
SR [−ω, ω′;α]SR [ω,−ω′;α]T]
. (3.16)
Como vimos no capıtulo 2, a matriz de espalhamento tem que ser real no domınio
temporal, ou seja, S[−ω, ω′] = S[ω,−ω′]∗, para preservar que o carater real do
campo, ou seja, φ(t, x) = φ∗(t, x). Assim sendo, usamos essa propriedade na ex-
pressao (3.16) e a propriedade da funcao de Heaviside, concluımos que as frequencias
relevantes sao ω′ > 0, ou seja,
n (ω) =
∫ ∞
0
dω′
2π
ω
ω′Tr
[
SR[ω,−ω′;α]∗SR [ω,−ω′;α]T]
. (3.17)
Sabendo que
Tr[
SR[ω,−ω′;α]∗SR [ω,−ω′;α]T]
= Tr[
SR[ω,−ω′;α]SR [ω,−ω′;α]†]
, (3.18)
substituımos (3.18) na expressao (3.17), obtemos
n (ω) =
∫ ∞
0
dω′
2πn [ω, ω′] , (3.19)
sendo
n [ω, ω′] =ω
ω′Tr
[
SR[ω,−ω′;α]SR [ω,−ω′;α]†]
. (3.20)
A expressao (3.19) descreve o numero de partıculas no estado de saıda. Percebemos
que a criacao de partıculas associadas a frequencia ω depende da contribuicao de
todos os modos - de entrada - do espectro, o que esta relacionado ao processo de
espalhamento sobre a fronteira dinamica.
Podemos reescrever a expressao (3.19) em funcao dos coeficientes de transmissao
s± (ω, α) e reflexao r± (ω, α). Isto e feito usando a expressao (2.65), quando calcula-
mos o produto de SR[ω,−ω′;α] e SR[ω,−ω′;α]†, que por simplicidade chamaremos
de SR e S†R, respectivamente. Entao, o produto SRS
†R e:
SRSR† = δ (ω + ω′) δ (ω + ω′)SR (−ω′;α)SR (−ω′;α)
†
−δ (ω + ω′)SR (−ω′;α) δSR (ω,−ω′;α)†
−δ (ω + ω′) δSR (ω,−ω′;α)SR (−ω′;α)†
+δSR (ω,−ω′;α) δSR (ω,−ω′;α)†. (3.21)
3.1 Densidade espectral 37
Em seguida, substituımos a expressao (3.21) na (3.20), sendo que os tres primei-
ros dessa expressao nao irao contribuir para a expressao da densidade espectral
de partıculas criadas. Isto se da devido ao processo de filtragem feita pela delta
δ(ω + ω′). Dessa forma, somente o ultimo termo ira contribuir para a expressao
da densidade espectral de partıculas criadas. Entao, basta tomarmos o traco deste
termo para obtermos
Tr[
SR[ω,−ω′;α]SR [ω,−ω′;α]†]
= ω′ω′ |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) , (3.22)
onde
λ (ω, ω′) = Re
[
1
1 + (γ0ω)2 [2− (s+ (ω;α) s+ (ω′;α)
+s− (ω;α) s− (ω′;α))] +1
(1 + γ0iω)2 r+ (ω;α) r+ (ω′;α)
+1
(1− γ0iω)2 r− (ω;α) r− (ω′;α)
]
. (3.23)
Substituindo (3.22) na expressao (3.20), temos a expressao da densidade espectral
em funcao dos coeficientes de reflexao e transmissao:
n (ω) =ω
π
∫ ∞
0
dω′
πω′ |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) . (3.24)
Perceba que, ao tomarmos o limite do caso ideal, ou seja
limα→∞
s± (ω, α) → 0 (3.25)
e
limα→∞
r± (ω, α) → −1± iγ0ω
1∓ iγ0ω, (3.26)
a expressao da densidade espectral fica
n (ω)ideal =2
π
(
ω
1 + (γ0ω)2
)∫ ∞
0
dω′
π|δΓ (ω + ω′)|2
(
ω′
1 + (γ0ω′)2
)
. (3.27)
Este resultado e igual a duas vezes o resultado existente na literatura [16], pois
estamos considerando as solucoes de ambos os lados da fronteira. Observamos,
ainda, que, conforme mencionado na secao 2.3, com a desconexao entre γ0 e l0, fazer
γ0 → 0 corresponde, em primeira aproximacao, a condicao de Dirichlet relacionada
a um espelho movel. Assim sendo, e esperado que, por consistencia, ao tomarmos
3.1 Densidade espectral 38
γ0 = 0 na equacao (3.27) devamos recuperar o espectro de partıculas criadas no
caso de uma fronteira de Dirichlet em movimento. De fato, e o que ocorre. Fazendo
γ0 = 0 na formula (3.27), ressaltando que δΓ nao depende de γ0, mas somente de l0,
reobtemos o resultado para a fronteira de Dirichlet movel, encontrado na referencia
[10]. Da equacao (3.27) podemos concluir, ainda, que em relacao ao espectro obtido
com γ0 = 0, o aumento no valor de γ0 provoca uma reducao no espectro.
3.1.2 Estado inicial de um banho termico
Para o estado inicial de banho termico, usamos a funcao de correlacao para este
estado dado por (ver detalhes no Apendice B)
⟨
Φ (ω) Φ (ω′)T⟩
=1
2ω[θ (ω) + n (ω)] δ (ω + ω′) I, (3.28)
onde
n (ω) = 1/(
eω/T − 1)
(3.29)
e sendo T a temperatura. A expressao da densidade espectral para o estado inicial
de um banho termico e, portanto:
n (ω) =1
2π
∫
dω′
2π
ω
ω′[θ (ω′) + n (ω′)] Tr
[
SR [−ω, ω′;α]SR [ω,−ω′;α]T]
. (3.30)
Usando o argumento que a matriz de espalhamento deve ser real no domınio tem-
poral, reescrevemos a expressao anterior e obtemos:
n (ω) =1
(2π)2
∫
dω′ ω
ω′[θ (ω′) + n (ω′)] Tr
[
SR[ω,−ω′;α]SR [ω,−ω′;α]†]
. (3.31)
Note que o traco do produto SR e S†R, na expressao anterior (3.31) ja foi calculado
na subsecao anterior. Entao, substituindo (3.22) na expressao (3.31), temos:
n (ω) =ω
2π
∫
dω′
2πω′ [θ (ω′) + n (ω′)] |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) , (3.32)
no qual λ (ω, ω′) e dado na equacao (3.23). Note que a distribuicao espectral para
esse caso e
n (ω) = n (ω)vacuo + n (ω)T , (3.33)
onde
n (ω)vacuo =ω
2π
∫
dω′
2πω′θ (ω′) |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) (3.34)
3.2 Aplicacoes 39
e
n (ω)T =ω
2π
∫
dω′
2πω′n (ω′) |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) . (3.35)
Observe que o primeiro termo da expressao (3.33), corresponde a densidade espectral
de partıculas criadas no estado de vacuo e o segundo termo corresponde as partıculas
criadas em funcao da presenca do banho termico.
Para recuperar o caso ideal, tomamos os limites dos coeficientes dado pelas ex-
pressoes (3.25) e (3.26), e obtemos o seguinte resultado:
n (ω)ideal =2
π
(
ω
1 + (γ0ω)2
)
×∫
dω′
π[θ (ω′) + n (ω′)] |δΓ (ω + ω′)|2
(
ω′
1 + (γ0ω′)2
)
. (3.36)
Este resultado e igual a duas vezes o resultado existente na literatura [17], pois
estamos considerando as solucoes de ambos os lados da fronteira. De modo similar
ao observado para a formula (3.27), considerando a desconexao entre γ0 e l0, e
fazendo γ0 = 0 na formula (3.36), obtemos o resultado para a fronteira de Dirichlet
movel na presenca de um banho termico. Da equacao (3.36) podemos concluir,
ainda, que em relacao ao espectro obtido com γ0 = 0, o aumento no valor de γ0
provoca reducao no espectro, tanto para o vacuo, quanto para o banho termico
como estados iniciais do campo.
A seguir, vamos aplicar a formula (3.32) a um caso particular de escolha dos
coeficientes de reflexao e transmissao, bem como a um caso particular de δγ(t).
3.2 Aplicacoes
A partir de agora, vamos aplicar nossas formulas para uma funcao δγ(t) es-
pecıfica, tipicamente considerada no efeito Casimir dinamico [14, 15, 16]:
δγ (t) = ǫ0 cos (ω0t) e−|t|/τ , (3.37)
onde ǫ0 = l0ǫ e iremos considerar o limite em que ω0τ ≫ 1 (limite monocromatico).
Para este limite, a transformada de Fourier da Eq. (3.37) apresenta dois picos muito
estreitos em torno de ω = ±ω0, de tal forma que
|δΓ (ω)|2 ≈ π
2ǫ20τ [δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0)] . (3.38)
3.2 Aplicacoes 40
Substituindo (3.38) em (3.24) obtemos
n (ω) =ǫ20τ
2πω(ω0 − ω)λ(ω, ω0 − ω)Θ(ω0 − ω), (3.39)
para o caso de um estado de vacuo.
Substituindo (3.38) em (3.32) obtemos
n(ω) =ǫ20τ
2πω(ω0 − ω)λ(ω, ω0 − ω) [Θ(ω0 − ω) + n(ω0 − ω)] (3.40)
para o caso de um banho termico.
Particularizando o calculo, iremos supor que o espelho apresenta os seguintes
coeficientes de reflexao e transmissao:
r+ (ω;α) = −1 + iγ0ω
1− iγ0ωr (ω, α) e r− (ω;α) = −1− iγ0ω
1 + iγ0ωr (ω, α) , (3.41)
s+ (ω;α) = s− (ω;α) = s (ω, α) , (3.42)
sendo os coeficientes de r (ω, α) e s (ω, α) os usados por Barton e Calogeracos na
Ref. [8, 9]:
r (ω, α) = − iα
ω + iαe s (ω, α) =
ω
ω + iα, (3.43)
onde α e o parametro que controla a refletividade do espelho. Neste sentido, consi-
deramos que, no limite de um espelho totalmente refletor, temos:
limα→∞
r+ (ω;α) → −1 + iγ0ω
1− iγ0ωe lim
α→∞r− (ω;α) → −1− iγ0ω
1 + iγ0ω, (3.44)
limα→∞
s+ (ω, α) → 0 e limα→∞
s− (ω, α) → 0. (3.45)
3.2.1 Estado inicial de vacuo
Substituindo as expressoes (3.41) e (3.42) na expressao (3.23), obtemos a densi-
dade espectral no estado do vacuo (3.39) em funcao dos coeficientes de transmissao
e reflexao:
λ (ω, ω′) =1
1 + (γ0ω)2
[
1− 1
2
(
ωω′ +α2 − α2γ20ω
′2
1 + γ20ω′2
)
×Re
(
1
(ω + iα) (ω′ + iα)+
1
(ω − iα) (ω′ − iα)
)]
. (3.46)
3.2 Aplicacoes 41
Figura 3.1: A distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao de ω/ω0 para γ0 = 0 e
diferentes valores de α.
A seguir, nas figuras 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 mostraremos o comportamento da densidade
espectral de partıculas criadas para o caso tipo Robin dado por (3.39), com λ dado
por (3.46), para varios valores de γ0 e α.
A 3.1 mostra que, ao considerarmos γ0 = 0, recuperamos a distribuicao espectral
para o caso de uma fronteira em movimento com a condicao de Dirichlet (em primeira
ordem de aproximacao), o que ja foi discutido na secao 2.3. Observe, ainda, que,
para esse caso, quanto maior o valor de α, maior o numero de partıculas criadas.
Na figura 3.2, para γ0 = 1, temos uma perda na simetria dos graficos para
α = 0.9× ω0, α = 0.4× ω0 e α = 0.1× ω0, ou seja, ao combinarmos valores de γ0 e
α diferentes de zero ha uma perda na simetria do formato do espectro. Neste caso,
os valores do espectro sao maiores, a medida que tornamos o espelho cada vez mais
ideal, ou seja, quando aumentamos o valor de α.
Na figura 3.3, algo surpreendente foi detectado: para γ0 = 5, os valores do
espectro podem ser − em geral − maiores no caso de um espelho parcialmente
refletor do que no caso de um espelho ideal. Isto implica dizer que o numero de
partıculas criadas pode ser menor para o caso de um espelho ideal em relacao a
espelho nao ideal. Note, ainda, que a distribuicao espectral e maior para α = 0.4×ω0
3.2 Aplicacoes 42
Figura 3.2: A distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao de ω/ω0 para γ0 = 1 e
diferentes valores de α.
Figura 3.3: A distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao de ω/ω0 para γ0 = 5 e
diferentes valores de α.
em comparacao a α = 0.9×ω0, o que significa, neste caso, que o numero de partıculas
criadas e maior para o caso de um espelho mais transparente em relacao a um menos
3.2 Aplicacoes 43
transparente.
Figura 3.4: A distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao de ω/ω0 para γ0 = 10
e diferentes valores de α.
Agora na figura 3.4 escolhemos γ0 = 10, o mesmo comportamento e observado
em comparacao com a figura 3.3. Isto pode estar relacionado a combinacao entre
os parametros γ0 e α, o que tambem pode explicar o efeito de maior numero de
partıculas criadas para o caso de um espelho nao ideal em comparacao ao espelho
ideal.
A figura 3.5 ilustra a densidade espectral quando tomamos o limite para α muito
grande, que equivale ao caso de uma fronteira ideal, que esta de acordo com a Ref.
[16].
Vamos analisar com mais detalhes o comportamento desses graficos. Para tal,
vamos considerar como referencia o caso Dirichlet (α → ∞ e γ0 = 0) e vamos
“ligando” tanto a transparencia quanto o parametro de Robin. Para tal, vamos
considerar o parametro ξ = 1/α, de modo que um espelho ideal corresponde a
ξ = 0, e a transparencia e ligada para pequenos valores de ξ. Assim, escrevemos a
3.2 Aplicacoes 44
Figura 3.5: A distribuicao espectral n(ω) em funcao de ω/ω0 para α muito grande
e diferentes valores de γ0.
expressao (3.39), com λ dado por (3.46), em funcao do parametro ξ, obtendo:
2π
ǫ20τn (ω) = −ωθ (ω0 − ω) Re
[(
i (−ω + ω0)2 ω0γ
20 + iω + i (ω0 − ω)− 2 ξ−1
)
×ξ−1
(
ω +i
ξ
)−1 (
ω0 − ω +i
ξ
)−1
(−1 + iγ0ω)−1 (1 + iγ0ω)
−1
× (1 + iγ0 (−ω + γ0))−1 (−1 + iγ0 (ω0 − ω))−1] (ω − ω0) . (3.47)
Expandindo a expressao anterior em serie de Taylor com relacao aos parametros ξ
e γ0, temos:
2π
ωǫ20τn (ω) = n (ω)(0) + n (ω)
(1)ξ ξ + n (ω)(1)γ0 γ0 + n (ω)
(2)ξ ξ2 + n (ω)
(2)ξγ0ξγ0
+n (ω)(2)γ0 γ20 + n (ω)
(3)ξ ξ3 + n (ω)
(3)ξγ0ξ2γ0 + n (ω)
(3)ξγ0ξγ20
+n (ω)(3)γ0 γ30 + .... (3.48)
E direto verificar que os termos a seguir nao contribuem para a densidade espectral:
n (ω)(1)ξ = n (ω)(1)γ0 = n (ω)
(2)ξγ0
= 0, (3.49)
n (ω)(3)ξ = n (ω)
(3)ξγ0γ0 = n (ω)
(3)ξγ0
= n (ω)(3)γ0 = 0. (3.50)
Os termos que contribuem sao os seguintes:
n (ω)(0) =2ω
τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω) , (3.51)
3.2 Aplicacoes 45
n (ω)(2)ξ ξ2 = −ω
τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω)
(
2ω2 − 2ωω0 + ω20
)
ξ2, (3.52)
n (ω)(2)γ0 γ20 = −2ω
τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω)
(
2ω2 − 2ωω0 + ω20
)
γ20 , (3.53)
n (ω)(4)ξγ0ξ2γ20 =
ω
τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω)
(
4ω4 − 8ω3ω0 + 9ω2ω20
−6ω30ω + 2ω4
0
)
γ20ξ2. (3.54)
O termo de ordem n (ω)(0), corresponde ao espectro do caso Dirichlet e os demais
termos da expansao (3.48) correspondem as correcoes do espectro devido a γ0 e ξ.
Isto fica evidente nas figuras 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10 Nas figuras 3.6 e 3.7, as pri-
Figura 3.6: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e suas primeiras
correcoes n (ω)(2)γ0 γ20 e n (ω)(4)γ0 γ
40 .
meiras correcoes ao espectro, nao levando em conta os termos cruzados (envolvendo
simultaneamente γ0 e ξ), sao negativas, com maiores valores do modulo em torno
do ponto central ω = ω0/2, o que justifica o surgimento de “corcovas” no formato
do espectro para o caso Robin (figura 3.5) e tipo Dirichlet (figura 3.1). A figura
3.8 mostra que a soma dos termos de correcao ao espectro, considerando ξ = 0,
correspondem, ao comportamento espectro do caso Robin. A figura 3.9 mostra que
a soma dos termos de correcao ao espectro, considerando γ0 = 0, correspondem ao
caso tipo Dirichlet. Em todos esses termos, encontramos simetria em relacao ao
3.2 Aplicacoes 46
Figura 3.7: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e suas primeiras
correcoes n (ω)(2)ξ ξ2 e n (ω)
(4)ξ ξ4.
Figura 3.8: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e para a soma dos
termos de ordem n (ω)(0) + n (ω)(2)γ0 γ20 + n (ω)(4)γ0 γ
40 .
ponto ω0/2. No entanto, ao ligarmos simultaneamente ξ e γ0, temos a presenca o
termo cruzado mostrado figura 3.10, que e um dos responsaveis pela perda de sime-
tria no espectro do caso tipo Robin (observe nas figuras 3.2, 3.3 e 3.4). Portanto,
3.2 Aplicacoes 47
Figura 3.9: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e para a soma dos
termos de ordem n (ω)(0) + n (ω)(2)ξ ξ2 + n (ω)
(4)ξ ξ4.
um traco marcante do espectro de partıculas criadas no caso da fronteira dinamica
tipo Robin e a perda da simetria em relacao ao ponto ω0/2.
Figura 3.10: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(4)ξγ0ξ2γ20 .
3.2 Aplicacoes 48
3.2.2 Estado de um banho termico
Substituindo (3.41) e (3.42) na expressao (3.40), obtemos uma formula para
densidade espectral na presenca de uma banho termico, sendo
n (ω)vacuo =
(
ǫ20τ
2π
)
ω (ω0 − ω) θ (ω0 − ω)λ (ω, ω0 − ω) (3.55)
e
n (ω)T =
(
ǫ20τ
2π
)
ω (ω0 − ω) n (ω0 − ω)λ (ω, ω0 − ω) , (3.56)
onde λ (ω, ω0 − ω) e dada na expressao (3.46). A expressao (3.55) corresponde a
densidade de partıculas criadas no estado de vacuo, e a expressao (3.56) representa as
partıculas adicionais criadas, devido a presenca do banho termico. As figuras 3.11 e
3.12 ilustram essa distribuicao espectral para diferentes parametros de refletividade.
Figura 3.11: A Distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao ω/ω0 para γ0 = 1. No
grafico da esquerda consideramos α muito grande; no grafico da direita consideramos
α = 0.4× ω0. Em ambos os casos, levamos em conta diferentes valores para T .
Observe nas figuras 3.11 e 3.12 os efeitos termicos. Na figura 3.11, em ambos
os casos, ideal e nao ideal, as partıculas podem ser criadas com frequencias maiores
que ω0, diferentemente do que ocorre no caso de vacuo. Na figura 3.12, fica evidente
que a a transparencia do espelho pode praticamente eliminar os efeitos do banho
termico sobre o espectro de partıculas criadas. Ao tomarmos o limite para α → ∞,
o que corresponde ao limite de uma fronteira ideal, os graficos obtidos aqui recaem
naqueles mostrados na Ref. [17].
3.2 Aplicacoes 49
Figura 3.12: A Distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao ω/ω0 para γ0 = 5. No
grafico da esquerda consideramos α muito grande; no grafico da direita consideramos
α = 0.4× ω0. Em ambos os casos levamos em conta diferentes valores para T .
Consideracoes Finais
Neste trabalho, consideramos o campo de Klein-Gordon real, nao massivo, em 1+
1 dimensoes, sujeito a condicao tipo Robin, com parametro de Robin dependente do
tempo. Nesse contexto, encontramos a relacao entre os campos de entrada e de saıda,
dada pela expressao (2.64), relacionada com uma fronteira em repouso que impoe
a condicao de contorno tipo Robin com parametro de Robin variando no tempo.
Essa formula e o primeiro resultado original deste trabalho. Em seguida, usando
a Eq. (2.64), encontramos a formula da densidade espectral de partıculas criadas,
dada pela Eq. (3.13), para um estado inicial arbitrario do campo. Essa formula e
outro resultado original do presente trabalho e, quando aplicada ao estado inicial de
vacuo, o resultado para o espectro (Eq. (3.24)) generaliza o correspondente resultado
obtido por Silva e Farina na Ref. [16]. Quando aplicada ao estado inicial de um
banho termico, o resultado para o espectro (Eq. (3.32)) generaliza o correspondente
resultado obtido por Farina et al na Ref. [17].
A partir das formulas e aplicacoes mencionadas, concluımos, em relacao ao es-
pectro obtido com γ0 = 0 para o caso ideal (em outras palavras, em relacao ao caso
Dirichlet), que o aumento no valor de γ0 provoca reducao no espectro, tanto para o
caso de vacuo, quanto para o caso de banho termico.
Ao aplicarmos a formula (3.32) a um caso particular de escolha dos coeficientes
de reflexao e transmissao − considerando os coeficientes usados por Barton e Calo-
geracos nas Refs. [8, 9] −, bem como a um caso particular de δγ(t) (funcao usada
nas Refs. [14, 15, 16]), observamos que, surpreendentemente, os valores do espectro
para o caso de vacuo podem ser maiores no caso de um espelho parcialmente refle-
tor do que no caso de um espelho que impoe a condicao de Robin (com γ0 6= 0).
CONSIDERACOES FINAIS 51
Isto implica dizer que o numero de partıculas criadas pode ser menor para o caso
de um espelho que impoe a condicao de Robin em relacao a um espelho nao ideal
(tipo Robin). Em outras palavras, a ja discutida reducao na producao de partıculas
causada pela presenca de γ0 6= 0 pode ser inibida pela introducao de transparencia
no espelho. A observacao desse comportamento e outro resultado original de nosso
trabalho. Uma das perspectivas de continuacao do presente trabalho e construir um
modelo que permita visualizar mais intuitivamente esse comportamento.
De maneira a analisar com mais detalhes o comportamento da densidade espec-
tral no vacuo, consideramos como referencia o caso Dirichlet (ξ = 0 e γ0 = 0) e
“ligamos”, perturbativamente, tanto a transparencia (ξ) quanto o parametro de Ro-
bin (γ0). Com isso, percebemos que as primeiras correcoes ao espectro, nao levando
em conta os termos cruzados (envolvendo simultaneamente γ0 e ξ), sao negativas e
com maior modulo no ponto ω = ω0/2, o que justifica o surgimento de “corcovas”
a partir do espectro para o caso Dirichlet, em duas situacoes: quando ligamos a
transparencia (vide figura 3.1) e quando ligamos γ0 (vide figura 3.5). Quando con-
sideramos apenas correcoes que nao envolvem a presenca simultanea de γ0 e ξ, o
espectro se mantem simetrico em relacao ao ponto ω0/2. No entanto, ao ligarmos
simultaneamente ξ e γ0, temos a presenca de um termo cruzado que e um dos res-
ponsaveis (junto, provavelmente, com termos cruzados de outras ordens) pela perda
de simetria no espectro do caso tipo Robin (vide figuras 3.2, 3.3 e 3.4). Portanto,
um traco marcante do espectro de partıculas criadas no caso da fronteira dinamica
tipo Robin e a perda da simetria em relacao ao ponto ω0/2. Essa conclusao e outro
resultado original do presente trabalho.
Para o caso termico, observamos que, tanto para o caso ideal quanto para o
caso nao ideal, as partıculas podem ser criadas com frequencias maiores que ω0,
diferentemente do que ocorre no caso de vacuo. Alem disso, observamos que, para o
caso de espelho tipo Robin, a transparencia do espelho pode praticamente eliminar
os efeitos do banho termico sobre o espectro de partıculas criadas (vide figura 3.12),
sendo esta observacao nosso ultimo resultado original.
Como perspectivas pretendemos investigar o modelo correspondente em 3 + 1
dimensoes, generalizando nossos resultados para essa dimensionalidade e, conse-
CONSIDERACOES FINAIS 52
quentemente, generalizando os resultados da referencia [16], tanto pela introducao
de espelhos nao ideais, quanto pelo aumento na dimensionalidade do espaco-tempo.
Pretendemos, tambem, investigar outros estados iniciais do campo.
Apendice A
Transformada de Fourier do
campo livre
Neste apendice pretendemos escrever a representacao (2.4) da referancia [6]. Para
tal, escrevemos o campo livre como a soma das componentes de propagacao do
campo no domınio de Fourier usando a definicao (2.3):∫
dωφ (ω, x) e−iωt =
∫
dωeiωxϕ (ω) e−iωt +
∫
dωe−iωxψ (ω) e−iωt. (A.1)
Concluımos que
φ (ω, x) = eiωxϕ (ω) + e−iωxψ (ω) . (A.2)
Na forma matricial
Φ (ω, x) =
(
eiωxϕ (ω)
e−iωxψ (ω)
)
. (A.3)
Outra forma de representar a expressao (2.4) e escrever exponencial da expressao
(A.2) em serie de Taylor:
φ (ω, x) =(
1 + iωx+ (iωx)2 +O3)
ϕ (ω) + (A.4)
+(
1− iωx+ (iωx)2 +O3)
ψ (ω) .
Na forma matricial:
Φ (t, x) =
(iωx)0 +
1 0
0 −1
iωx+
1 0
0 −1
×
1 0
0 −1
(iωx)2 +O3
(
ϕ (ω)
ψ (ω)
)
, (A.5)
CONSIDERACOES FINAIS 54
sendo η dado pela expressao (2.5). A expressao anterior:
Φ (ω, x) = eηiωxΦ (ω) .
Assim, obtemos a expressao (2.4).
Apendice B
Funcao de Correlacao
Neste apendice, iremos mostrar a funcao de correlacao para o estado inicial de
vacuo e de um banho termico. Escrevemos o produto da matriz Φ e sua transposta,
tomamos a media para o estado de vacuo e usamos as medias que os operadores
satisfazem. O mesmo procedimento e feito para o estado inicial de um banho termico.
B.1 Funcao de correlacao no estado de vacuo
Nesta secao, queremos encontrar a funcao de correlacao para o estado de vacuo.
Para tal, multiplicamos a matriz coluna campo Φ e sua transposta ΦT, depois to-
mamos a media em um estado de vacuo:
⟨
Φ (ω) Φ (ω′)T⟩
=
〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉 〈ϕ (ω)ψ (ω′)〉〈ψ (ω)ϕ (ω′)〉 〈ψ (ω)ψ (ω′)〉
. (B.1)
Usando as relacoes aω |0〉 = 0 e 〈0| aωa†ω′ |0〉 = 2πδ (ω − ω′) [40, 41] e de acordo com
a expressao (2.7) e (2.8). Calculamos cada elemento da matriz (B.1) e obtemos os
seguintes elementos:
〈ψ (ω)ϕ (ω′)〉 =1
2ω
(
θ (ω) θ (ω′) 〈bωaω′〉+ θ (ω) θ (−ω′)⟨
bωa†−ω′
⟩
+θ (−ω) θ (ω′)⟨
b†−ωaω′
⟩
+ θ (−ω) θ (−ω′)⟨
b†−ωa†−ω′
⟩)
= 0 (B.2)
e
〈ϕ (ω)ψ (ω′)〉 = 0. (B.3)
CONSIDERACOES FINAIS 56
O mesmo procedimento e feito media para 〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉 e 〈ψ (ω)ψ (ω′)〉, e ob-
tendo
〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉 = π
ωθ (ω) δ (ω + ω′) (B.4)
e
〈ψ (ω)ψ (ω′)〉 = π
ωθ (ω) πδ (ω + ω′) . (B.5)
Substituindo as expressoes (B.2), (B.3), (B.4), (B.5) em (B.1), temos:
⟨
Φ (ω) Φ (ω′)T⟩
=
πωθ (ω) δ (ω + ω′) 0
0 πωθ (ω) δ (ω + ω′)
=π
ωθ (ω) δ (ω + ω′)
1 0
0 1
. (B.6)
Dessa forma, obtemos a expressao (3.15) que representa a funcao de correlacao no
estado de vacuo:⟨
Φ (ω) Φ (ω′)T⟩
=π
ωθ (ω) δ (ω + ω′) I,
onde I e a matriz identidade.
B.2 Funcao de correlacao no banho termico
Nesta secao, queremos mostrar a funcao de correlacao de um banho termico.
Para isto, consideramos as seguintes medias [42]:
⟨
a†ωaω′
⟩
= n (ω) δ (ω′ − ω) (B.7)
e⟨
aωa†ω′
⟩
= (1 + n (ω)) δ (ω − ω′) , (B.8)
onde n (ω) = 1/(
eω/T − 1)
e T e a temperatura. Com isso, calculamos cada o
elemento da matriz (B.1) que, neste caso, o estado inicial de um banho termico.
Dessa maneira, a media do produto ϕ (ω)ϕ (ω′) na presenca de um banho termico
e dado por:
〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉 = 1
2ωδ (ω + ω′) [θ (ω) + n (ω)] . (B.9)
CONSIDERACOES FINAIS 57
De forma analoga o mesmo procedimento e feito para a media do produto ψ (ω)ψ (ω′)
na presenca de um banho termico, representada a seguir:
〈ψ (ω)ψ (ω′)〉 = 1
2ωδ (ω + ω′) [θ (ω) + n (ω)] . (B.10)
Assim como para media do produto ψ (ω)ϕ (ω′) e ϕ (ω)ψ (ω′), e concluımos que
〈ψ (ω)ϕ (ω′)〉 = 0 (B.11)
e
〈ϕ (ω)ψ (ω′)〉 = 0.
Portanto, a matriz⟨
Φ (ω) Φ (ω′)T⟩
e escrita:
⟨
Φ (ω) Φ (ω′)T⟩
=1
2ω[θ (ω) + n (ω)] δ (ω + ω′) I. (B.12)
Dessa forma, obtemos a expressao (3.28) que representa a funcao de correlacao no
banho termico a uma temperatura T .
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