effet tunnel dans les systèmes quasi-intégrables olivier brodier (1) peter schlagheck denis ullmo...
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Effet tunnel dans les systèmes quasi-
intégrablesOlivier Brodier(1)
Peter SchlagheckDenis Ullmo
(1) M.P.I.P.K.S. Dresden ALLEMAGNE
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• Système intégrable: théorie WKB1 D: double puits
• N D: généralisation – effet tunnel dynamique [Davies Heller]
• Système non intégrable: théorie semiclassique?
Problématique de l’effet tunnel
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Système intégrable
EqpH ),(
N-D: N constantes du mouvement1-D: Énergie conservée:
Coordonnées action-angle
[2,0[
)(
EfI
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Effet tunnel intégrable: entre deux quasi-modes
E
E
0
0
E
E
2E
G D
G
DDégénérescence
G
D
G DWKBWKB
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Prolongement analytique pour le région évanescente
)cos()cos(),(0 qpqpH
expE
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Système quasi-intégrable)cos()cos(),(0 qpqpH
)cos()()cos(),,( qntptqpHn
0
τ : perturbationet periode
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WKB?
…impossible
Quasi modes: bien definis par KAM
Prolongement analytique…
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Approximation Intégrable
)cos()()cos(),,( qntptqpHn
...)cos()sin()cos()sin(12
)sin()sin(2
)cos()cos(),(~
222
pqqp
qpqpqpH
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Pseudo constante du mouvement
),(),(~
),(~
ttn
ttnttn qpGqpHqpH
)cos()cos(),(~0 qpqpH
),(),( ttH
tt qpqp Map: mouvement réel
Exemples:
222
2 )cos()sin()cos()sin(12
)sin()sin(2
)cos()cos(),(~
pqqpqpqpqpH
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Comparaison des effets tunnel
),,( tqpH ),(~
qpH
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Rôle des résonances
)(~
),(~
IHqpH
)10cos()(~
),,( 1 VIHtqpH
Approximation intégrable →coordonnées action angle
Théorie des perturbations séculaire au voisinage de la resonance 10:1
Ces coordonnees ne prennent pas en compte les resonances du systeme reel:
Hamiltonien intégrable effectif
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Théorie des perturbations quantique
...)2cos()ˆcos()ˆ(~
),ˆ,ˆ( 21 rVrVIHtqpH
rmkm
mkkk A ,
rmkk
mmk EE
VA
,
Pour la résonance r:s
règle de sélection k-k’ = rm
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Valeur des coefficients
rmkk
mmk EE
VA
,
Relié à la configuration spatiale de la résonance classique → coefficient de Fourier
Énergies dans le repère tournant au voisinage de la résonance
→ informations classiques
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Reconstruire les modes propres
4432411414 AA
Ici on utilise la résonance 10:1Règle de sélection k-k’ = 10m
2
N
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Formule semiclassique
rmkrmkk EAE ~2
9E
29
~E
2A
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Schéma global
nn
nn
nn mrmrksr
mrmrksrmrkk EAAE ...
2:...
2:
1111
11
11
~...
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Accord quantitatif du modèle avec le calcul exact
δE
(Échelle log)
Calcul exact par diagonalisation
Formule semiclassique
2
N
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Plus loin dans le chaos
Cf. Schlagheck et al.
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Mécanisme
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Conclusion
• Mécanisme semiclassique quantitativement prédictif pour les systèmes quasi-intégrables. Pas de paramètre ajustable.
• Extension aux systèmes mixtes: jonction avec la théorie Chaos-Assisted Tunneling → comportement qualitatif
• Améliorer les résultats grâce à des approximations plus fines
• Étendre à des systèmes plus complexes