effets thermiques dans les cavités passives patrice hello lal-orsay

Journées cavités passives

2-3 avril 2009 1

Effets thermiques dans les cavités passives

Patrice HelloLAL-Orsay

Gradients de température dans les miroirs

Lentilles thermiques

Déformation thermoélastique des surfaces réfléchissantes

Dynamique (non linéaire) dans les cavités


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• Cavités haute finesse et/ou éclairées par un laser haute puissance

• Miroirs de bonne qualité (faibles taux d’absorption)

• Cavités sous vide

• Diamètres miroirs >> diamètres des faisceaux

Pertes essentiellement radiatives(typiquement le cas de cavités suspendues comme dans Virgo)

+ faisceaux sous incidence normale et bien centrés (symétrie axiale)

Hypothèses

Cavités passives pour des besoins de métrologie ou assimilés


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Effets thermiques dans un miroir sous vide

Faisceau laser (puissance P et taille )

2 sources d’absorption :

• absorption dans le(s) coating(s)coefficient d’absorption global

• absorption dans le substratcoefficient d’absorption linéique

substrat coating

Enceinte à température T0

Miroir rayon a et longueur h

z


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Champ de température

Equation de la chaleur : ITKt

TC

: masse volumique du miroir (Silice)C : capacité calorifiqueK : conductivité thermiqueI(t,r,z) : intensité traversant le miroir

Absorption faible => I très faiblement atténuée dans le miroir => I(t,r) .

Conditions aux limites :

Pertes par radiation : flux

40

4 TTF

TTT 0 TT 0avec TTF 304Linéarisation

Dans la suite TT


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Champ de température


TC

Conditions aux limites :

),,(4),,( 30 zatTTzat

r

TK

)2/,,(4)2/,,( 30 hatTThrt

z

TK

)2/,,(4)2/,,()2/,,( 30 hatTThrtIhrt

z

TK

Méthode : superposition solution stationnaire et solution transitoire

T trT

sources

et superposition solutions pour absorption dans le substrat et absorption dans le coating


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Champ de température stationnaire

Equation de la chaleur : ITK

Solution de l’équation homogène sous la forme :0 T

)( ),( 0 rkJeBeAzrT mm

zkm

zkm

mm

Les conditions aux limites sur les faces en z = +/-h déterminent Am et Bm

La condition aux limites sur le bord en r =a détermine les km , m =akm est le mième zéro de:

)( )( 0r1 xJxxJ

avec KaT /4 30r constante radiative réduite

Absorption dans le substrat : ajouter une solution particulière à ITK


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Champ de température stationnaire

I(r) peut aussi se développer sur les J0 (série de Dini)

)( )( 0 rkJprI mm

m

a

mmrm

mm rdrrkJrI

Jap

0

020

222

2

)()()(

12

avec

Par exemple pour un faisceau TEM00 incident de puissance P et de col :

)/2exp(2

)( 222

rP

rI

8/exp)(

22

20

222

2

m

mrm

mm k

Ja

Pp


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Champ de température stationnaireAbsorption dans le coating

Solution

)( )()(

)()(),( 0

2/222

2/)(

rkJee

ee

K

apzrT m

hk

mhk

rmrm

zkrm

zhkrmm m

m

mm

Proportionnel à la puissance absorbée

Carte de températurepour 1 W absorbé dans le coatingd’un miroir Virgo.(SiO2, a=h=10 cm, P=1W, =2 cm)

1max K.W.13~ T


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Champ de température stationnaireAbsorption dans le substrat

Solution

)( )()(

1),( 0

)2/()2/(

2 rkJe

ee

Kk

pzrT m

mhk

rmrm

zhkzhk

r

m

m

m

mm

Carte de températurepour 1 W absorbé dans le substratd’un miroir Virgo(SiO2, a=h=10 cm, Ph=1W , =2 cm)



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Solution transitoire


TC

),,(),(),,( zrtTzrTzrtT tr

solution de l’équation de la chaleur avec conditions aux limiteshomogènes => série de Fourier-Dini

)( )/sin()/cos(),,( 0,

rkJazvBeazuAezrtT mmp

ppmt

ppmt

trpmpm

a

uhu r 2

cot

a

vhv r 2

tan

22

2

22

2et mppmmppm v

Ca

Ku

Ca

K

Constante de temps caractéristique : s. cm10

102

24

2

a

K

Catc

Avec up et vp p-ième zéros de

Et aussi :

(Silice)


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Solution transitoire

)()/cos( 1)2/cos()2/sin(4

),,(

0,

222 rkJazueu

ahu

u

ahu

kc

p

Kh

a

zrtT

mpmp

t

mp

pr

p

p

mp

m pm

ahu

ahuc

p

pp /

)/sin(1avec

Exemple de la solution complète pour échauffement dans le substrat :


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Aberrations résultantes

2 effets :

• lentille thermique due au gradient d’indice n(t,r,z) dans le miroir

• déformation surfaces (changement de courbure)


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La marche obéit à l’équation eikonale

Lentille thermique

),,(),,( 0 zrtTdT

dnnzrtn

Gradient d’indice au premier ordre :

n0 étant l’indice à la température T0.

22 nS

),,(),,( 0 zrtDznzrtS

),,( zrtTdT

dn

z

D

2/

2/

),,(),(h

h

dzzrtTdT

dnrtD

D’où

OPD :



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Lentille thermique

1 W absorbé dans le coating 1W absorbé dans le substrat(exemple d’un miroir Virgo)

Profil non parabolique !


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Déformée thermoélastique

Tenseur des contraintes suit les équations d’équilibre :

Il est relié au tenseur des déformations E

Qui lui-même est relié au vecteur déplacement u :

2

2

t

u

rzrrrrrzrr

2

2

t

u

rzrzrzzzrz

Déformation de la surface :

rrrr EET 2

EET 2

zzzz EET 2

rzrz E 2 zzrr EEEE avec

r

u

z

uE

z

uE

r

uE

r

uE zr

rzz

zzrr

rr 2

1et , ,

)2/,,( hzrtuz z

et coef. de Lamé module de contrainte thermique = (3+2) où = coef.de dilatation therm.

=0(on néglige la propagationDes ondes acoustiques !)

=0

+ conditions aux limites 0)2/,()2/,(),(),( hrhrzaza rzzzrzrr

)1)(21/( E

)1(2/ E

Relation avec module d’Young et le coef. de Poisson :


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Recherche solution sous la forme de séries de Dini :

mmmr

mmmz

rkJztVzrtu

rkJztUzrtu

)(),(),,(

)(),(),,(

1

0

Les coef. de Fourier-Dini Um et Vm s’obtiennent à partir de ceux du champde température

Résultat final : Um(t, -h/2) !

NB : en général on n’arrive pas à annuler les 6 contraintes sur les bords.En particulierTraitement spécial (correction de Saint-Venant) qui consiste à fitter et à soustraire la partie affine.

0),( zarz),( zarz


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Exemple de déformation stationnaire obtenue pour 1 W absorbé dans le coating d’un miroir Virgo

Flèche ~0.1 m/W


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Et dans une cavité ?

Couplage dynamique et non linéaire entre puissance circulant dans la cavitéet les aberrations thermiques

Absorption dans les substrats

Absorption dans les coatings


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Simulation optique+thermique

Aberrations thermiques quasi-statiques / temps caractéristiques optiques

Code de propagation pour l’optique•Faisceaux quasi gaussiens•Approximation paraxiale•Propagation par FFT (ou transformée de Hankel)•Aberrations thermiques dans les opérateurs de transmission/réflexion des miroirs

)),()1(exp( yxfniktT

)),(2exp( yxiknfirRg )),(2exp( yxikfirRd

n

1 2

)2/,,(2

),(22

hrtuR

yxyxf z

Exemple du miroir plan-sphérique avec aberration thermique

Exemple du miroir plan-sphérique parfait R

yxyxf

2),(

22


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Propagation / résolution de l’équation d’Helmholtz 0)( 2 Ak

)0,,(.)(2

exp)exp(),,( 221 yxAFqpk

LiikLFLyxA

dxdyyxAeqpFA qypxi ),(),]([ )(Où F est la transformée de Fourier 2D : et F-1 la transformée inverse.

A1 A2

A4 A3Aref

Ain

Atr

T1,R1g,R1d T2,R2

22

141

34

223

12

4111

)(

)(

ATA

ARATA

ALPA

ARA

ALPA

ARATA

tr

ingref

din

et on itère …


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Prise en compte des effets thermiques

Evolution quasi-statique des aberrations thermiques.Evaluation tous les t , pas de temps >> temps optiques => cavité est toujours à résonance (bande passante asservissements 1/ t !).

Pas « n », t=tn =nt : )( )/sin()/cos( ),( 0,

)()( rkJazvAazuSzrT mmp

pn

pmpn

pmn

C’est la condition initiale pour l’équation de la chaleur à résoudre entre tn et tn+1 avec despuissances lumineuses circulant supposées constantes sur ce pas de temps

Récurrence : )()1(

)()1(

1

1n

pmt

pmtn

pm

npm

tpm

tnpm

AeaeA

SeseSpmpm

pmpm

Où les spm et apm sont les coefficients de Fourier-Dini de la solution stationnaire déjà étudiée.


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Exemple cavité Virgo, L =3 km, puissance incidente ~1 kW et Finesse ~ 50

Absorption dans le coatingdu miroir d’entrée

Absorption dans le substratdu miroir d’entrée


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Compensation thermique

Si les effets thermiques deviennent gênants, il y a toujours moyen de les atténuer au moins en partie

Minimiser les gradients thermiques => chauffer les parties froides des optiques

Faisceau(x) auxiliaire(s)

Poptimal

P = Poptimal

P < Poptimal

P > Poptimal

2

00)(

00 2)()(1losses rdrrAerA rik

Puissance absorbée sur le pourtour du miroir


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Conclusion

La modélisation poussée des effets thermiques dans une cavité passive est possible !

Champ de température Lentille thermique Déformations thermo-élastiques

… mais à condition de vérifier quelques hypothèses plus ou moins générales.

Dans le cas contraire (géométrie plus compliquée …), il ne reste que les méthodes par éléments finis…

Si les effets thermiques sont gênants, on peut les atténuer en diminuant lesgradients de température, i.e. en chauffant les parties a priori froides des miroirs.


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Quelques références

Aberrations thermiquesA. Cutolo et al., Opt. Acta 27, 1105 (1980)PH & J.-Y. Vinet, J.Phys. 51, 1267 (1990)PH & J.-Y. Vinet, J.Phys. 51, 2243 (1990)

Code de propagation dans les cavités passivesE.A Sziklas & A.E. Siegman, Appl. Opt. 14, 1874 (1975)A.E. Siegman Opt. Lett. 1, 13 (1977)JYV et al., J. Phys. I 2, 1287 (1992)JYV & PH, J. Mod. Opt. 40, 1981 (1993)

Effets thermiques dans les cavités VirgoPH & JYV, J. Phys I 3, 717 (1993)PH & JYV Phys. Lett. A 178, 351 (1993)

Compensation des effets thermiquesPH, Eur. Phys. J. D 15, 373 (2001)

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