efy
TRANSCRIPT
Ejemplos de péndulo simple y
de masa de resorte
Presentado por:
Stefany molina
Estefany diaz
introducción
El péndulo simple es un sistema de sencilla funcionalidad y que consta de una masa colgada a un extremo de un hilo muy fino, el cual esta sujeto a una superficie inmóvil. La fundamentación de este aparato radica principalmente en la capacidad de relacionar sus componentes físicos con los factores de interacción externa, como lo es la gravedad.
Este tipo de mecanismo es de mucha aplicabilidad en la vida del ser humano, entre ellos es importante destacar: un reloj de péndulo, una grúa de demolición, un pendiente, etc. Aunque su estructura y condiciones de ejecución no son exactamente iguales a las de un péndulo simple, son tal vez los ejemplos más ilustrados de este fundamento físico.
Objetivo
General
Analizar que es un péndulo simple y como es su funcionamiento
Específicos
Comprobar como actúa un péndulo según las características del movimiento que represente
Determinar los factores que condicionan el accionar de un péndulo simple y de un sistema masa resorte
Estudiar las diferencias entre estos dos sistemas pendulares (péndulo simple y el sistema masa resorte)
Ej:Cierto péndulo simple tiene en la tierra un período de 2s ¿Cuál sería su período en la superficie de la luna, donde g = 1.7 m.s-2.
T tierra = 2 s
T luna = ?
g luna = 1,7 m/s ²
T Tierra = 2.π.√L/g
L = g.(T/2.π) ²
L = g.(T/2.π) ² = 9,8.(2/2.π) ² = 0,992 m
T Luna = 2.π.√L/g
Ej:Determina la
longitud de un
pendulo simple cuyo
periodo es
exactamente 1s en
un punto donde
g=9,8m/s°
Datos:
T=1
G=9,8m/s°
L=?
T = 2.π.√L/g
L = g.(T/2.π) ²
L = 9,8.(1/2.π) ²
= 0,248 m
Ej:Un péndulo simple de 4m de longitud oscila con amplitud de 0.2m.
a) Calcúlese la velocidad del péndulo en el punto más bajo de la trayectoria.
b) Calcúlese la aceleración en los extremos de su trayectoria.
a)
A = 0,2 m.
L = 4 m.
vm = √k/m.A; el en péndulo simple se considera que:
vm = √m.g/(L/m).A
vm = √g/L.A
vm = √9,8/4.0,2
vm = 0,313 m/s
b)
a máximo = k.A/m; aplicando para el péndulo se obtiene:
a máximo = g.A/L
a máximo = 9,8.0,2/4 = 0,49 m/s ²
Ej:El péndulo de un reloj consiste en una barra delgada de acero, de coeficiente de dilatación lineal 1'27.10-5 ºC-1 , con una masa en su extremo inferior. El reloj va en hora a 20ºC. ¿ Atrasará o adelantará a 40ºC ?
Si el reloj va en hora a 20ºC quiere decir que el período del péndulo es 1 segundo, por lo que su longitud será:.
T = 2.p . ( L / g )1/2
L = g . T2 /(4.p2) = 9'81 .1 /(4.p2) = 0'2485 m
Si la temperatura aumenta, la barra se dilata, aumenta de longitud por lo que el período aumenta, tarda más en cada oscilación; el reloj se atrasa.
La longitud a 40ºC será:
L' = L.(1 + a . Dt) = 0'2485.(1 + 1'27.10-5 .(40 - 20) = 0,2485631 m
y el nuevo período será:
T' = 2.p . ( L' / g )1/2 = 2.p .
( 0,2485631 / 9'81)1/2 = 1,0001467 seg
Ej:¿Cuál es la variación Δt del período de un péndulo simple cuando la aceleración de la gravedad g varía en Δg?.
Indicación: El nuevo período t + Δt se obtiene sustituyendo g por g + Δg:
t + Δt = 2.π.√L/(g + Δg)
Para obtener una expresión aproximada, desarróllese el factor (g + Δg)-1/2 utilizando el teorema del binomio y considerando sólo los dos primeros términos:
(g + Δg)-1/2 = g- 1/2 - ½ g -3/2 Δg+ ...
Los otros términos contienen potencias más altas de Δg y son muy pequeños cuando Δges pequeño.
Δt = ?
t + Δt = 2.π.√L/(g + Δg)
(g + Δg)-1/2 = g1/2 - ½ g -3/2. Δg+ ...
Ej:Una masa de 100 kg. Suspendida de una alambre cuya longitud natural to es de 4m, lo alarga 0,004m. La sección transversal del alambre, que se puede suponer constante, es 0,1 cm ².
a) Si se desplaza la carga hacia abajo una pequeña distancia y se abandona a sí misma, determínese a que frecuencia vibrará.
b) Calcúlense el módulo de Young del alambre.
m = 100 kg
l0 = 4 m
Δl = 0,004 m
A = 0,1 cm ²
a)
k = m.g/l
k = 100 kg.(9,8 m/s ²)/0,004 m
k = 245000 kg.s-2
f = (1/2.π).√k/m
f = (1/2.π).√245000/100
f = 7,87 Hz
b)
Y = F.l0 /A.Δl
F = k.x
F = 245000.0,004
F = 980 kg.m.s-2
Y = 980*4/0,004.10-5
Y = 98.1010
Ej: Una fuerza de 30N estira 15 cm un resorte vertical.
a) ¿Qué masa ha de suspenderse del resorte para que el sistema oscile con un período de (π /4) s.
b) Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, ¿dónde está el cuerpo y en que dirección se mueve (π /12) s después de haber sobrepasado la posición de equilibrio, dirigiéndose hacia abajo?.
c) ¿Qué fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando está 3 cm por debajo de la posición de equilibrio y moviéndose hacia arriba?.
F = 30 N
A = 15 cm = 0,15 m
a)
T = π.s/4
m = ?
F = k.x
k = F/x
k = 30/0,15 = 200 N.m-1
T = 2.π.√m/k
m = k.(T/2.π) ²
m = 200.[(π /4)/(2.π)] ² = 3,12 kg
b)
A = 5 cm = 0,05 m
x = ?
t = π s/12
x = 5.cos.8t
se tiene que:
x = 5.cos (8.π /12) = 4,33 cm
v = -40.sin.8t
v = -20 cm/s; esto nos da a conocer que el cuerpo se está moviendo hacia el centro, desde abajo hacia arriba.
c)
Tenemos que cuando está 3 cm debajo de la posición de equilibrio la fuerza es:
F = -k.x
F = -6N; pero como se necesita la fuerza total que es:
FT = F eq + F; entonces:
FT = m.g + F
FT = 3,125.9,8 + 6
FT = 36,6 N
Ej:Un cuerpo de 100g de masa
cuelga de un largo resorte
helicoidal. Cuando se tira de él
10 cm por debajo de su posición
de equilibrio y se abandona a sí
mismo, oscila con un período de
2 s.
a) ¿Cuál es su velocidad al
pasar por la posición de
equilibrio?.
b) ¿Cuál es su aceleración
cuando se encuentra 5 cm por
encima de la posición de
equilibrio?.
c) Si se está moviendo hacia
arriba. ¿Cuánto tiempo tarda en
desplazarse desde un punto
situado 5 cm por debajo de su
posición de equilibrio a otro
situado 5 cm por encima de
ella?.
d) ¿Cuánto se acortará el
a)
m = 100 g
x = 10 cm
T = 2 s
V máximo = ω .A
ω = 2.π /T
ω = π
V máximo = π.10
V máximo = 31,4 cm/s
b)
a = ω ².x
a = π ².5
a = 49,34 cm/s ²
Ej:Un cuerpo de 5 kg de masa
cuelga de un resorte y oscila
con un período de 0,5s.
¿Cuánto se acortará el resorte
al quitar el cuerpo?.
m = 5 kg
T = 0,5 s
k = ω ².m
k = (2.π /T) ².m
k = (2.π /0,5) ².5
k = 789,56
x = m.g/k
x = 5.9,8/789,56
x = 0,062 m
c)
X = A.cos ω .t
cos ω.t = x/A
ω.t = arc cos (x/A)
t = arc cos (x/A)/ ω
t = arc cos (5/10)/ π
t = 0,333 s
d)
m.g = k.x
x = m.g/k
k = ω ².m
k = π ².100
x = 100.980/(100.π ²)
x = 99,3 cm
Se acortaría los 9,33 cm, que
para casos de cálculo se toma
como si estuviéramos partiendo
desde x = 0 que es la posición de
equilibrio.
Ej:Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz.Determine:a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte.b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso si la energía mecánica del sistema es la misma en ambos casos.
Aplicando la ley de Newton y la ley de Hooke:
m . a = - k .x a = - (k/m). x
que es la ecuación de un M.A.S. de frecuencia angular:
w = (k/m)1/2
Cuando la masa m está oscilando sola:
w1 = (k/m)1/2 = 2. p.F1
(k/m)1/2 = 2. p .1
Cuando se añaden 0'3 kg : w2 = (k/m2)
1/2 = 2. p .F2
[k/(m + 0'3)]1/2 = 2. p . 0'5
Dividiendo ambas ecuaciones:
[ (m + 0'3) / m ]1/2 = 2
m = 0'3 / 3 = 0'1 Kg = 100 gramos
y k = m . (2. p .1)2 = 0'1. 4. p2 = 3'95 N/m
La Energía mecánica total de un oscilador armónico es proporcional al cuadrado de la amplitud y de la constante del resorte. Si en ambos casos el muelle es el mismo y la energía es la misma, entonces la amplitud debe ser la misma.
E = k . A2 / 2 A1 = A2 = 5 cm
conclusión Después de haber realizado las mediciones y
cálculos respectivos con respecto al péndulo simple y su relación con la longitud, ángulo y masa se ha llegado a las siguientes conclusiones:
El período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales).
Debido a que el período es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales.
A mayor longitud de cuerda mayor período.