eg - fisica i - gierm - tema 2 - vectores libres - 12-13
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1Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Tema 2:Vectores Libres*
Fsica IGrado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica (GIERM)
Primer Curso
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*Prof.Dr. Antonio Gonzlez Fernndez y Prof.Dra. Ana M Marco Ramrez
Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Las magnitudes fsicas se dividen en escalares, vectores y tensores
Las diferentes magnitudes pueden ser:Escalares
Se caracterizan slo por un nmero (con signo)Vectoriales
Mdulo (cantidad escalar positiva)DireccinSentido
Tensores de orden superiorRepresentables por matrices
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2Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Todas las leyes fsicas poseen homogeneidad en sus expresiones
En todas las ecuaciones debe haber homogeneidad:Los dos miembros son del mismo tipoTodos los sumandos son del mismo tipo
Un escalar nunca puede ser igual a un vectorUn escalar nunca puede sumarse a un vector
Para distinguirlos, es importante incluir las flechas ( ). En los libros, los escalares van en cursiva (A) y los vectores en negrita (A)
A B CA B C= += +
r rr A B CA B C
= += +
r rrr
Correcto Incorrecto
Ar
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Operaciones internas con cantidades escalares: suma y producto
Pueden sumarseEl resultado es un escalarRequiere que los sumandos tengan las mismas unidadesEl resultado tiene las mismas unidades que los sumandosEjemplo: masa de un sistema
Pueden multiplicarseEl resultado es un escalarSus unidades son el producto de las de los factores
La suma y el producto poseen las propiedades asociativa y conmutativa.
1 2 31
n
i Vi
M m m m m M dm=
= + + + = = L
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3Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Vector: ente que posee una direccin y un sentido
Es un ente que adems de su valor escalar (mdulo) posee direccin y sentido. Ej.: Fuerza
Un vector puede darse indicandoMdulo y dos ngulos con los ejes (un ngulo en 2D)Componentes respecto a una base (siempre hay que indicar la base)
( )3 2 NF j k= + +r r rr
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Tipos de vectores
Los vectores pueden ser libres, ligados o deslizantes, dependiendo de la informacin necesaria para describirlos:
Los ligados requieren dar mdulo, direccin, sentido y punto de aplicacin (origen) (ej. campo elctrico)Los deslizantes requieren dar mdulo, direccin, sentido y recta soporte, pero no punto de aplicacin (pueden deslizarse sobre su recta soporte, definida por el punto de aplicacin y la direccin del vector) (ej. fuerzas sobre un slido rgido)Los libres slo requieren dar mdulo, direccin y sentido (pueden trasladarse de un punto a otro) (ej. resultante del conjunto de fuerzas que actan sobre un slido rgido)
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4Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Los vectores pueden sumarse, empleando la regla del paralelogramo
Los vectores pueden sumarse, resultando un vector. Ej. Resultante de dos fuerzas
Puede emplearse la regla del paralelogramo o poner uno a continuacin del otro.Para que se puedan sumar deben ser libres o tener el mismo origenLa suma verifica la propiedad asociativa y la conmutativa
Aur
Bur A
ur
Bur
A B+ur urA B+ur urBur
Aur
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Los vectores pueden multiplicarse por cantidades escalares
Un vector puede multiplicarse por un nmero. Ej. fuerza elctrica sobre una carga puntual
El resultado es otro vectorMisma direccinMismo sentido, si q>0. Opuesto, si q
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5Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Combinaciones lineales: unen suma y productos por escalares
Reuniendo la suma de vectores y la multiplicacin por escalares se obtienen las combinaciones lineales. Ej. Cantidad de movimiento de un sistema
1 1 2 2 3 31
n
i ii M
p m v m v m v m v p vdm=
= + + = = r r r r r r r
Ar
Br
3Br
2Ar
2 3A B+r r
Al expresar las componentes de un vector en funcin de una base se hace una combinacin lineal
2 3A i j k= + + rr r r9
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Normalizacin
Una vez definido el producto de un vector por un escalar, para obtener un vector unitario con la direccin y sentido de uno dado, basta con dividir dicho vector por su mdulo (normalizacin):
, 1au u ua
= = =rr r
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6Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Base ortonormal dextrgira
Si en E3 tomamos tres vectores unitarios y ortogonales entre s, , construimos una base ortonormal: cualquier vector puede escribirse como combinacin lineal de los vectores de la base. Los vectores de la base generan todos los dems.
Dados los vectores ortonormales, , que forman una base ortonormal, decimos que se trata de una base ortonormal dextrgira si se cumple la regla de la mano derecha.
{ }1 2 3, ,u u u
{ }1 2 3, ,u u ur r r
1 1 2 2 3 3A A u A u A u= + +r r r r
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Componentes de un vector
Dada la base , formada por tres vectores unitarios ortogonales en las direcciones de los tres ejes cartesiano, cada vector puede escribirse como combinacin lineal de dicha base:
Al cambiar de base cambian las componentes, pero NOcambia el vector
r x y j zk= + + rrrr
r x y j z k = + + rrrr
rr
rr
jrjr y
y
Y
X
Y
X Por eso no se deben indicar los vectores como (x,y,z): hay que indicar siempre la base.
{ }, ,j k rrr
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7Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Coordenadas cartesianas de un punto
Dado el punto P, su vector posicinrespecto al origen de coordenadas puede expresarse en funcin de los vectores de la base
La posicin relativa del punto Qrespecto al P, , sera:
{ }, ,j k rrrP x y zr OP p p j p k= = + +
uuur rrrr
( ) ( ) ( )Q x y z
x x y y z z
r OQ q q j q k
PQ OQ OP q p q p j q p k
= = + += = + +
uuur rrrruuur uuur uuur rrr
PQuuur
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Producto escalar: operacin entre vectores que produce un nmero
Dos vectores pueden multiplicarse, resultando un escalar (ej. Trabajo realizado por una fuerza constante)
donde es el ngulo que forman y El producto escalar se anula si los vectores son
ortogonales. Si tenemos las componentes en una base ortonormal
cosF r F r = r rr rFr
rr
( ) ( ) ( ) x y z
x y z
F F i F j F kF r F x F y F z
r x i y j z k
= + + = + + = + +
rr r r r rrr rr
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8Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Producto escalar: propiedades
El producto escalar es conmutativoEl producto escalar NO es asociativo
No se puede definir el producto escalar de tres vectoresSe verifica la desigualdad
El producto escalar es lineal (se pueden quitar parntesis)
( ) ( ) A B C A B Cr r r rr r
( )1 2 1 2 F F r F r F r+ = + r r r rr r r
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Producto escalar de los vectores de la base
Para los vectores se cumple:
siendo la delta de Kronecker.Por eso, el producto escalar, componente a componente, de dos vectores, se puede escribir:
siendo (A1,A2,A3) y (B1,B2,B3) las respectivas componentes de los vectores y en la base
{ }1 2 3, ,u u ur r r( )( )
10i k ik
i ku u
i k = = =
r r
1 1 2 2 3 3A B A B A B A B = + +r r
{ }1 2 3, ,u u ur r rAr Br
ik
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9Fsica I. Grado en Ingeniera Electrnica, Robtica y Mecatrnica 2012/13 Tema 2Prof.Dr. Emilio Gmez GonzlezDpto. Fsica Aplicada III, ETS Ingeniera
Producto escalar: aplicaciones
Mdulo de un vector:
Distancia entre dos puntos:
Cosenos directores:
2 2 21 2 3a a a a a a= = + +r r r
( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 3 3,d PQ PQ PQ q p q p q p= = + + uuur uuur
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 21 2 3
2 2 21 2 3
cos 1, 2,3
cos cos cos 1
i ii
a u a ia a a a
= = =+ ++ + =
r rr
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Producto escalar: ecuacin vectorial del plano
Plano que pasa por el punto P0(x0,y0,z0), de vector posicin y es normal al vector
Dado el punto P (x,y,z), perteneciente al plano, con vector posicin , entonces
es la ecuacin vectorial del plano
Desarrollando, se obtiene la ecuacin implcita:
0 0 0 0r x y j z k= + +
rrrr
N A Bj Ck= + + rr rr
r x yj zk= + + rrrr
0 0 0 0N r N r Ax By Cz Ax By Cz D = + + = + + =r rr r
( )0 0 0N P P N r r = =uuurr r r r
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Producto vectorial: operacin entre vectores que produce otro vector
Dos vectores se pueden multiplicar dando como resultado un vector. Ej. momento de una fuerza
Mdulo
Direccin: la perpendicular a y a Sentido: el dado por la regla de la mano derecha
M r F= r rr
senM r F r F = =r r rr r
Fr
rr
(rea del paralelogramo definido por los vectores)
rrFr
Mr
Mr
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Producto vectorial: propiedades
El producto vectorial es anticonmutativo
El producto vectorial NO es asociativo
El doble producto vectorial es una combinacin lineal de y que veremos ms a fondo en su propio apartado.Cumple la propiedad distributiva respecto a la suma
Cumple la propiedad cancelativasiendo t un parmetro real
r F F r = r rr r
( ) ( )A B C A B C r r r rr r ( )A B C r rrBr
Cr
( )a b c a b a c + = + r rr r r r rx a x b a b tx = = +r rr r r r r
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Producto vectorial de los vectores de la base
Para la base
Para la base
{ }1 2 3, ,u u ur r r
{ }, ,j k rrr1 2 3 2 3 1 3 1 2 i k k iu u u u u u u u u u u u u = = = = r r r r r r r r r r r r r
0
0
0
j k k j
j k j j j k
k j k j k k
= = = = = = = = =
r rr rr r r rr rr r r rr r
r r r rr rr r
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Producto vectorial: expresin a partir de las componentes
El producto vectorial se anula si los vectores son paralelosSi se conocen las componentes cartesianas, puede calcularse mediante un determinante
( ) ( ) ( )
x y zx y z
y z x yx z
z y x z y x
i j kr xi y j zk
r F x y zF F i F j F k F F F
y z x yx zi j k
F F F FF F
yF zF i zF xF j xF yF k
= + + = == + +
= + =
= + +
rr rrr rr rrrr r r
rr r
rr r
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Producto vectorial: ecuacin vectorial de la recta
Recta r que pasa por el punto P0(x0,y0,z0) con vector de posicin y que va en la direccin del vector
Dado el punto P (x,y,z), perteneciente a la recta, con vector posicin , entonces
, ecuacin vectorial de la rectaLa ecuacin paramtrica, usando la propiedad cancelativa:
, siendo un t parmetro real Y eliminando el parmetro, ecuaciones continuas:
0 0 0 0r x y j z k= + +rrrr
r x yj zk= + + rrrr0 x y zv v v j v k= + +
rrrr
( )0 0 0 0 0v P P v r r = =uuur rr r r r0 0||v P P
uuurr
0 0 0 0 0v r v r r r tv = = +r r r r r r r
0 0 0
x y z
x x y y z zv v v = =
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Producto mixto: unin de un producto escalar y uno vectoriales
Dados tres vectores puede calcularse su producto mixto
Su valor absoluto es igual al volumen del paraleleppedo que tiene por aristas esos tres vectores
( ) ( ), , A B C A B C= r r r rr r
CBA
los tres vectores son coplanarios( ) 0A B C = r rr
( ) ( )||proy VolumenB CA B C B C A = = rrr r r rr r
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Producto mixto: propiedades
Permutabilidad cclica:
Antipermutabilidad cclica:
Pueden intercambiarse los signos de producto
Puede hallarse como un determinante
( ) ( ) A B C A B C = r r r rr r
( )x y z
x y z
x y z
A A A
A B C B B B
C C C
=r rr
( ) ( ) ( ) A B C B C A C A B = = r r r r r rr r r( ) ( ) A B C B A C = r r r rr r
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Producto mixto: aplicaciones
Producto mixto de los vectores de una base ortonormal dextrgira, :
En particular, Dependencia lineal: Si (los tres vectores son coplanarios), entonces se puede poner uno de los tres vectores como combinacin lineal de los otros dos.Por tanto, tres vectores, , constituirn una base vectorial de E3 si, y slo si,
{ }1 2 3, ,u u ur r r( )1 2 3
1 0 00 1 0 10 0 1
u u u = =r r r
( ) 1j k =rrr ( ) 0a b c =rr r
{ }, ,a b crr r( ) 0a b c rr r26
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Producto mixto: ecuacin del plano
Ecuacin del plano, , que pasa por tres puntos no lineados P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) y P3(x3,y3,z3). Todo punto P (x,y,z) que pertenezca al plano cumple la ecuacin:
( ) 1 1 11 1 1 2 1 2 1 2 12 33 1 3 1 3 1
0x x y y z z
PP PP PP x x y y z zx x y y z z
= =
uuur uuur uuur
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Doble producto vectorial: definicin
Dados tres vectores, es el producto vectorial entre el primero y el vector resultante de multiplicar vectorialmente el segundo y el tercero.El vector que resulta es una combinacin lineal del segundo y el tercero, as:
( ) ( ) ( ) A B C AC B A B C = r r r r r rr r r
( ) ( ) ( ) ( ) A B C C A B AC B C B A = = r r r r r r r rr r r r
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Doble producto vectorial: propiedades
No cumple la propiedad asociativa:
Satisface la identidad de Jacobi:
( ) ( ) ( ) 0A B C B C A C A B + + =r r r r r r rr r r
( ) ( ) ( ) A B C AC B A B C = r r r r r rr r r
( ) ( ) ( ) ( ) A B C C A B AC B CB A = = r r r r r r r rr r r r
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Doble producto vectorial: aplicaciones
Desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales:
Descomposicin de cualquier vector en una componente tangencial y otra ortogonal respecto de otro vector no nulo:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )A B C D C D A B C B D A A D B A C B D A D B C = = = r r r r r r r r r r rr r r r r r r r r r r rAr
Vr
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2A V V V V A V A V V V A V A V V A = = = r r r r r rr r r r r r r r r r( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2,t nA V V A V V A V V A V V
A A AV V V V
= = = r r r rr r r r r r r r
r r r
t nA A A= +r r r
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Observaciones finales
Los vectores y los escalares son entes diferentes que no deben igualarse ni sumarse
Suma de escalares: escalarSuma de vectores: vector
Al hacer un producto debe observarse qu factores y de que tipo de producto se trata
Producto de escalares: escalarEscalar por un vector: vectorProducto escalar de vectores: escalarProducto vectorial de vectores: vector
Los vectores son independientes de la base
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