egarchモデルについて · 2018-07-09 ·...

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１はじめに

ファイナンスの計量分析においては，ボラティリティは日々確率的に

変動するという考え方が有力となってきており，このようなボラティリ

ティの変動を明示的に定式化するボラティリティ変動モデルが注目を集

めてきた。ボラティリティ変動モデルの代表的なものは，GARCHモデ

ルであり，Engle（１９８２）によって提案されたARCH（autoregressive con-

ditional heteroskedasticity）モデルがその最初である。Engle（１９８２）

ではARCHモデルをインフレーションの分析に用いているが，以降は金

融時系列の分析に用いられるようになった。その後，Bollerslev（１９８６）

によってARCHモデルを一般化したGARCH（generalized ARCH）モデ

ルが提案された。GARCHモデルは最尤法によって簡単に推定できるた

め，資産価格に関する分析の多くに利用されてきた。たとえば，Tsay

（２０１０）あるいはFrancq and Zakoian（２０１０）にGARCHモデルの詳し

い解説がある。また，邦文では渡部（２０００）を参照されたい。

一方，株式市場では、株価が上がった日の翌日よりも下がった日の翌

日の方がボラティリティがより上昇する傾向があることが古くから知ら

れており，GARCHモデルではこうしたボラティリティ変動の非対称性

を捉えられない。このような現象を考慮に入れたモデルとして，Nel-

論説

EGARCHモデルについて

西埜晴久大津留峻

千葉大学経済研究第２６巻第３号（２０１１年１２月）

（３０５）１２９

son（１９９１）によって提案されたEGARCH（exponential GARCH）モデ

ルがあり，本稿ではこのEGARCHモデルをとりあげる。

本稿の構成は下記の通りである。まず，次節においてGARCHモデル

とEGARCHモデルについてモデルの説明を行う。３節では実際の

TOPIXのデータを用いてGARCHモデルおよびEGARCHモデルの推定

を行い，AICによりモデル選択を行い，各モデルのあてはまりを検討す

る。そして，４節では３節で実際のデータから推定されたパラメータの

値を元に，正規分布とt分布の誤差項をもつEGARCHモデルのシミュ

レーションを行う。ここではこれまで得られている漸近理論の結果や

モーメントの性質についても調べている。５節には本稿のまとめを行う。

２モデルについて

まず，対数収益率をrtとし，Xt＝rt－μを時点tにおけるイノベーション

とする。Bollerslev（１９８６）によるGARCH（m, s）モデルは，

Xt＝σtZt �

σ２t＝α０＋m

Σi＝１αiX２t－i＋

s

Σj＝１βjσ２t－j �

となる。ここで｛Zt｝はiidな確率変数列であり，平均０，分散１の正規

分布またはt分布に従う。α０＞０，αi＞－０，βi＞－０，Σmax（m,s）i＝１（αi＋βi）＜１

であり，最後の条件はαの非条件付き分散が有限であることを示してい

る。

GARCHモデルはボラティリティ変動モデルとしてすぐれているが，

株式市場において株価が上がった翌日より下がった翌日の方がボラティ

リティがより上昇するという特徴を捉えることはできない。そこで，こ

のような傾向をとらえるため，Nelson（１９９１）によるEGARCHモデル

をとりあげる。EGARCH（１，１）モデルによると，ボラティリティは，

logσ２t＝α＋βlogσ２t－１＋γZt－１＋δ｜Zt－１｜ �


１３０（３０６）

と書ける。ここで，α∈R，｜β｜＜１である。ボラティリティをこのよ

うに書くことで，株式市場におけるボラティリティの非対称性をとらえ

ることができる。第４節では，このEGARCHモデルを用いてシミュ

レーションを行い，EGARCHモデルの最尤法による推定のパフォーマ

ンスを測る。

なお，GARCHタイプのモデルの推定にはQMLE（準最尤推定法）を

用いる。たとえば，｛Zt｝に標準正規分布N（０，１）を仮定したときの

GARCH（１，１）モデルあるいはEGARCH（１，１）モデルの対数尤

度は，

logL＝－T－１２ log２π－１２

n

Σt＝２｛logσ２t＋

X２tσ２t｝ �

に，それぞれ�，�を代入したものを用いる。一方，｛Zt｝に自由度νの

標準化されたt分布を仮定したときのGARCH（１，１）モデルあるいは

EGARCH（１，１）モデルの対数尤度は，

logL＝－T－１２ log｛ Γ（ν＋１２）

�π（ν－２）Γ（ν２）｝－ν＋１２ n

Σt＝２log（１＋ X２t

（ν－２）σ２t）

�

に，それぞれ�，�を代入したものを用いる。

また，EGARCHモデルを発展させたものとしてBollerslev and Mik-

kelsen （１９９６）によるFIEGARCHモデルがある。FIEGARCHモデルは

ボラティリティに長期記憶性を仮定したものであり，次のようなモデル

に拡張される。

（１－βL）（１－L）d｛ln（σ２t）－α｝＝（１－ψL）g（Zt－１） �

g（Zt－１）＝γZt－１＋δ｜Zt－１｜ �

Lはラグオペレータを表し，Lixt＝xt－i（i＝０，１，…）である。実数

差分の（１－L）dは次のように表せる。


（３０７）１３１

（１－L）d＝１＋∞Σ

k＝１d（d－１）…（d－k－１）

k！（－L）k �

実際の推定は，

logσ２t＝α＋（１－L）－d（１－βL）－１（１－ψL）g（Zt－１）

の式を求め，logσ２tの指数関数をとったσ２tを�式に代入することにより

行う。なお式の右辺第２項は，（１－L）－d（１－βL）－１（１－ψL）＝ψ＊

（L）＝Σ∞j＝０ψ＊j Ljの展開式から求められる。FIEGARCHモデルの推定にあ

たってはTaylor（２０００）も参照されたい。さらに，Bollerslev and Mik-

kelsen（１９９６）によれば，d＝０であれば�式はEGARCHモデルとなり，

d＝１であればIntegrated EGARCHモデルになる。なお，実数差分

（fractional difference）はHosking（１９８１）によって導入されたもので

あるが長記憶過程と関連が深い。長記憶過程については邦文では矢島

（２００３）を参照されたい。

３実際のデータによるモデルの推定

まず，GARCH，EGARCH，FIEGARCHの３つのモデルを用いて実

際のデータによるモデルの推定を行う。推定に用いたデータは，

TOPIXの２００６年１月から２００８年６月までの日次データの対数収益率で，

データ数は６１４である。リーマンショックの影響は含まれない範囲を選

択した。各モデルにつき複数の次数について推定し，推定結果のAICを

比較し，推定のパフォーマンスを検討する。

調査対象期間の実際のTOPIXとその対数収益率の推移はFigure１の

ようになっている。

推定結果はTable１のようになった。括弧で囲われた数値は標準誤差

である。各モデルの推定結果のAICを比較すると，EGARCH （１，１）

モデルの推定結果が比較的良いパフォーマンスを示していることがわか

る。GARCHモデルの場合は，特にGARCH（１，１）モデルがEGARCH


１３２（３０８）

（１，０）やEGARCH（０，１）よりも低いAICを示している。誤差

項に正規分布とt分布を仮定した場合では，t分布を仮定した場合の方が

低いAICを示した。最もAICが低かったのはFIEGARCH（０，d，０）

モデルであった。渡部（２０００）によると，１９９０年１月４日から１９９７年４

月１０日までのTOPIX日次リターンのボラティリティ変動を表すモデル

としてEGARCHモデルが適していることが示されているが，今回の

データ範囲でも同様の結果が得られた。最もAICの低かったモデルは

FIEGARCHモデルであるが，FIEGARCHモデルの分析は別の機会に譲

ることとし，次節ではEGARCH（１，１）モデルによるシミュレーショ

ン分析を行い，このモデルについていくつかの考察を加えることとする。

４シミュレーション

前節の結果を受けて，ここからはEGARCH（１，１）のシミュレー

Figure１：TOPIXの２００６年１月から２００８年６月までの日次データとその対数収

益率


（３０９）１３３

Table１：各モデルの推定結果モデル μ α０ α１ α２ β１ β２ ν AIC

GARCH（１，０）－０．００９５６６１１．５０８５０．２２３０６ ― ― ― ― ２，１２４．０２正規分布（０．０５３６６４）（０．１１９４２）（０．０６６４４３） ― ― ― ― ―

GARCH（０，１）－０．０３６７６９２．１５４０ ― ― －０．１１９９４ ― ― ２，１４８．４２正規分布（０．０５６１１４）（２．４９２４） ― ― （１．２９７９） ― ― ―

GARCH（１，１）－０．００３５１１９０．０４４４３１０．０８８４０４ ― ０．８８９６３ ― ― ２，０６１．９１正規分布（０．０４７２３１）（０．０２１５８７）（０．２１９３３） ― （０．０２７６５４） ― ― ―

GARCH（２，１）－０．００３２６７４０．０４３２６００．０９１００９－０．００５７５６４０．８９２４４ ― ― ２，０６３．８７正規分布（０．０４７２８５）（０．０２０２４９）（０．０２２６５７）（０．０１２９２７）（０．０２６９６８） ― ― ―

GARCH（１，２）－０．００３５７３１０．０４３９５９０．０８４４１１ ― ０．９００５２－０．００８４８３９ ― ２，０６３．６８正規分布（０．０４７２３９）（０．０２００７０）（０．０２１８４７） ― （０．０２７６４８）（０．０１２９２８） ― ―

GARCH（２，２）－０．００６５１１００．０４３６４９０．０３８４２７０．０４９６４７０．９４８７２－０．０６００７５ ― ２，０６４．９５正規分布（０．０４６８５９）（０．０１９７５９）（０．０５０３７３）（０．０５３０６２）（０．０５４３３３）（０．０５５７９６） ― ―

GARCH（１，０）０．０１１６４８１．５７７９０．１９０９３ ― ― ― ７．４５８８２，１１１．７２t分布（０．０５１８６４）（０．１５７５１）（０．０７１７９４） ― ― ― （２．４４８６） ―

GARCH（０，１）０．０１００８０２．５６７７ ― ― －０．３０４５３ ― ５．９５６２２，１２５．２７t分布（０．０５２９２１）（２．３４９３） ― ― （１．１８７７） ― （１．５４６８） ―

GARCH（１，１）０．０１９０４４０．０５８５５２０．１０７８８－０．８６６５５ ― １１．１９７２，０６０．４t分布（０．０４７４６９）（０．０２７６０３）（０．２５７２６） ― （０．０３０６２２） ― （４．８９１８） ―

GARCH（２，１）０．０２４３０５０．０８５３６６０．０４７０５００．０８１３８４０．８３２４４ ― １０．８４７２，０６３．５６t分布（０．０４７３０１）（０．０３３５７１）（０．０４６２５１）（０．０５４７８６）（０．０３８８４５） ― （４．５６６８） ―

GARCH（１，２）０．０２６０５９０．１２２６２０．１５９７６ ― ０．３０６７４０．４７４９７１１．７９１２，０６５．７５t分布（０．０４７９３６）（０．０４８８６２）（０．０４５１７９） ― （０．２９５９９）（０．２６１１１）（５．５３９９） ―

GARCH（２，２）０．０２２５５２０．０６８９５３０．０２８４０００．０７１５１６１．１６６４－０．２９７９８１０．７９２２，０６４．７２t分布（０．０４７１２３）（０．０３０４６５）（０．０４０１１５）（０．０４９８５５）（０．２８４５５）（０．２５０９２）（４．４６７９） ―

モデル μ α β γ δ ν ― AIC

EGARCH（１，０）－０．０２３７２１０．３９０９９ ― －０．１６４３１０．２８３９９ ― ― ２，１２１．５正規分布（０．０５３２６９）（０．０８１５４３） ― （０．０５４６１９）（０．０７６４６２） ― ― ―

EGARCH（０，１）－０．０３６６５７０．８４４６７－０．２９１２５ ― ― ― ― ２，１４８．４１正規分布（０．０５５９９４）（０．９５２３３）（１．４５４２） ― ― ― ― ―

EGARCH（１，１）－０．０６３６７５－０．０５００４７０．９５２４１－０．１５８３８０．０９４１９１ ― ― ２，０２９．０１正規分布（０．０４６２６２）（０．０２３８４２）（０．０１４７５３）（０．３００８５）（０．０３１３０７） ― ― ―

EGARCH（１，０）０．００２１１０８０．４４７８８ ― －０．２１１５８０．２３０７０６．９５６３ ― ２，１０９．１３t分布（０．０５１５０１）（０．１０９９６） ― （０．０６９３８９）（０．０９４０３０）（２．１４８６） ― ―

EGARCH（０，１）０．０１１７９８０．７５０４３－０．１０８４８ ― ― ５．９４９３ ― ２，１２６．９５t分布（０．０５３００６）（２．４２４４）（３．５９４６） ― ― （１．５４６３） ― ―

EGARCH（１，１）－０．０３１２４３－０．０５３５８６０．９６７９５－０．１５５８４０．０８４３１７１５．６６６ ― ２，０２６．２t分布（０．０４７０８１）（０．０２３７７２）（０．０１３８７７）（０．０２９６２５）（０．０３２４５７）（８．１９７１） ― ―

モデル μ α β γ δ ψ fractional d AIC

FIEGARCH（０，d，０）－０．０３３２５６０．１６０１０ ― －０．３２６６５０．００６７６８０ ― ０．６２２３２２，０１３．９５正規分布（０．０４０９３７）（０．１６０４９） ― （０．０５１１７４）（０．０１７３６６） ― （０．０４７７３９） ―

FIEGARCH（０，d，１）－０．０３５５６１０．１５６１９ ― －０．３２０５００．００７８６０１－０．０４７８４３０．６１２２５２，０１５．９１正規分布（０．０４２４１５）（０．１６２９８） ― （０．０５９９２３）（０．０１７８９３）（０．２４１６５）（０．０６８３１０） ―

FIEGARCH（１，d，０）－０．０３８２２７０．２４２６７０．０４４９８８－０．３２０５７０．００７０９７２ ― ０．６１３０６２，０１６．４１正規分布（０．０４２７６０）（０．１６０２７）（０．２３２４７）（０．０５９８８３）（０．０１７８３９） ― （０．０７１９７０） ―

FIEGARCH（１，d，１）－０．０３５９６３０．１５５８００．１０２９５－０．３２０１６０．００８０５５１０．０５５２８３０．６１０７８２，０１７．９正規分布（０．０４３０１５）（０．１６３３０）（１．６４２２）（０．０６００００）（０．０１８２１８）（１．７０６４）（０．０７３０７７） ―


１３４（３１０）

ションを行い，データを発生させて最尤法により推定を行う。その後，

分散や尖度の理論値とシミュレーションデータの比較等を行う。Deb

（１９９６）によると，有限な標本サイズに対するEGARCH（１，１）モ

デルの最尤推定では，βとδの推定値に下方のバイアスが存在すること

が示されている。バイアスは標本サイズの増加とともに減少するがβの

バイアスの減少速度はゆっくりであることも示されている。本稿では２

種類のデータサイズに対してシミュレーションを行い，バイアスおよび

RMSEの比較を行う。また，誤差項には正規分布とt分布を仮定して検

証を行う。

４．１ EGARCH（１，１）モデルの推定値のシミュレーション

EGARCH（１，１）モデルのシミュレーションを行う際のパラメー

タの母数については，まずはDeb（１９９６）がシミュレーションを行った

値を参考にし，近い値を選択した。αについては（－０．４，－１．１），βに

ついては（－０．４，０．４），γについては（－０．３，０．３，０．６，－０．６），δ

については（０．５，０．９）の値でデータを発生させ，そのすべての組み合

わせについて検証を行った。次に，実際のデータを推定したときのパラ

メータの推定結果の値についても加えてシミュレーションを行った。推

定結果の値は，正規分布の場合はα＝－０．０５，β＝０．９５，γ＝－０．１６，

δ＝０．０９，t分布の場合はα＝－０．０５，β＝０．９７，γ＝－０．１６，δ＝０．０８，

ν＝１６である。t分布のシミュレーションについてはDeb（１９９６）に準じ

た値の時はν＝９と設定し，実際のデータを推定したときのパラメータ

の推定値を当てはめた時には推定値に合わせてν＝１６とした。データの

標本サイズは１００と３００，繰り返しの回数は８０回，｛Zt｝には標準正規分

布とt分布を仮定している。シミュレーションの結果はTable２～５のよ

うになった。

Table２～５の結果によると，推定値やRMSEについては，全体的に


（３１１）１３５

n＝３００のときの方がバイアスが小さく，RMSEも小さくなっている。β

に着目すると，母数と推定値の絶対値を比較した場合，推定値の方が小

さくなっており，絶対値にして下方のバイアスが存在する。その傾向は

n＝１００のときに顕著である。n＝３００になるとバイアスは改善されるが，

依然として絶対値にして下方へのバイアスが存在している。δについて

も同じような傾向がみられる。αにも多少のバイアスが見られるが，そ

の大きさはβやδほど大きくはない。γの推定値は最も安定しているよう

に見える。そしてこのような傾向は誤差項に正規分布を仮定した場合と

t分布を仮定した場合の両方に同じように観察された。

EGARCH（１，１）モデルのパラメータの推定値について，推定値

の分布をヒストグラムに示すとFigure２，３のようになる。Figure２，３

ともにパラメータの母数は（α，β，γ，δ）＝（－０．４，０．４，－０．３，０．５）

の場合であり，t分布の自由度はν＝９としている。標本サイズはn＝６００

とし，ヒストグラム作成のため繰り返し回数を１，０００回とした。

ヒストグラムをみると，γの推定値はほぼ真の値付近に分布していて

正規分布に近い形を示しているのに対し，βの推定値は幅広くばらつい

て分布に歪みがみられるなど，パラメータごとに違いが見受けられる。

これらの違いが推定値のバイアスを生じさせている原因と考えられる。

４．２標本標準偏差と漸近標準偏差

GARCHモデルに対する漸近理論の研究はしばらくは現れなかったが，

Lee and Hansen（１９９４）がGARCH（１，１）に対する漸近理論を構築

したのを皮切りに，GARCHモデルの漸近理論に対する研究が進展した。

こうした研究をまとめているものにStraumann（２００５）がある。これに

はStraumann and Mikosch（２００６）の結果も含んでいる。Straumann

（２００５）によれば，GARCH型モデルのパラメータの漸近共分散行列は，

h^t（θ^n）を条件付き分散，残差を Z^（n）t ＝Xt／（h^t（θ^n））１／２とした場合，


１３６（３１２）

Table２：SimulationResults正規分布

n＝１００

TrueValue

Estimates

RMSE

αβ

γδ

αβ

γδ

αβ

γδ

－０．４

－０．４

－０．３

０．５

－０．４７４７０

－０．２５４６０

－０．３２１４２

０．５０５１４

０．２５５７６

０．３２１００

０．１５９１１

０．２０５１１

－０．４

－０．４

－０．３

０．９

－０．４２２７６

－０．３２１１４

－０．３２２８６

０．８５４０４

０．２４０６４

０．２２３９３

０．１３９６７

０．１６７０８

－０．４

－０．４

０．３

０．５

－０．４４３０１

－０．２３２００

０．２７７１１

０．５０２０１

０．２６２４７

０．４０５２２

０．１６９７３

０．２２７１３

－０．４

－０．４

０．３

０．９

－０．４０５０７

－０．３１９７９

０．２８６３８

０．８３７０５

０．２８４０１

０．２９１５８

０．１５２７５

０．２０３３９

－０．４

－０．４

－０．６

０．５

－０．４４１９５

－０．３４８０８

－０．６２７６８

０．４８８４２

０．２３５８７

０．１７４７３

０．１４０１０

０．２０１６７

－０．４

－０．４

－０．６

０．９

－０．３９９８４

－０．３４０８１

－０．６２５４０

０．８５１５３

０．２３６９３

０．１７７８５

０．１２９２１

０．１５５９４

－０．４

－０．４

０．６

０．５

－０．４５２２９

－０．３９６５１

０．５７５７５

０．４８８８３

０．２６４５７

０．２２３３３

０．１６９３６

０．２１３７６

－０．４

－０．４

０．６

０．９

－０．３９３７８

－０．３９１５２

０．５８６７４

０．８２８７４

０．３１６０７

０．１９７７３

０．１４６１６

０．２０６２４

－０．４

０．４

－０．３

０．５

－０．４０３９８

０．３３８６６

－０．３２１０８

０．４５６７９

０．２０７６５

０．３０５６３

０．１５７６０

０．２４３０１

－０．４

０．４

－０．３

０．９

－０．３０１４５

０．３０２６６

－０．３１６７７

０．７９４４４

０．２６１０９

０．２８３５１

０．１５７６２

０．２０２８８

－０．４

０．４

０．３

０．５

－０．３９５９９

０．３１８８５

０．２８７３５

０．４５４７５

０．２４０３５

０．３８１９３

０．１７７６４

０．２６５３２

－０．４

０．４

０．３

０．９

－０．２８５５１

０．２９０７３

０．２７９１２

０．７８８５０

０．２８００５

０．２８４４８

０．１７０４４

０．２２７４１

－０．４

０．４

－０．６

０．５

－０．３９０６９

０．３７８７３

－０．６１８７２

０．４５５２５

０．２０５８７

０．１８１２２

０．１５８６８

０．２４０４０

－０．４

０．４

－０．６

０．９

－０．２９６５４

０．３３５０４

－０．６１０９２

０．７９１５１

０．２９１６９

０．２４１４５

０．１６７４５

０．２００００

－０．４

０．４

０．６

０．５

－０．３６９２０

０．３８９９１

０．５９２５８

０．４３２９８

０．２１６８４

０．２２２５９

０．１６３４０

０．２６１４８

－０．４

０．４

０．６

０．９

－０．２９５４１

０．３４８８５

０．５７８６０

０．７７７８０

０．２８２７６

０．２０６９６

０．１６７５４

０．２３１２３

－１．１

－０．４

－０．３

０．５

－１．０６９０

－０．２４０５８

－０．３２３５９

０．５０８７３

０．３０２７８

０．３２３３６

０．１６３１３

０．２１１９６

－１．１

－０．４

－０．３

０．９

－１．０５９２

－０．２９６４８

－０．３３０３１

０．８５０６８

０．２６２６３

０．２５０１４

０．１４０２９

０．１８７４１

－１．１

－０．４

０．３

０．５

－１．０６２９

－０．２２１５２

０．２８０６５

０．５０９９２

０．３７３３５

０．４０９９０

０．１６８６３

０．２４３１３

－１．１

－０．４

０．３

０．９

－１．０２６３

－０．２７９８２

０．２８６８５

０．８２４０５

０．３２４６８

０．３０７３８

０．１５４４３

０．２３３７９

－１．１

－０．４

－０．６

０．５

－１．０９０９

－０．３２５７２

－０．６２６８２

０．４８７４７

０．２７８００

０．１９８５５

０．１４０９２

０．２１１４９

－１．１

－０．４

－０．６

０．９

－１．０４０６

－０．３０８３５

－０．６２９５０

０．８４２４３

０．２７９２７

０．２３０４９

０．１２８８７

０．１７６９３

－１．１

－０．４

０．６

０．５

－１．１２９７

－０．３７６８４

０．５７５０８

０．４８５１２

０．３１１９７

０．２２７６７

０．１７１３２

０．２２１９４

－１．１

－０．４

０．６

０．９

－１．０２７１

－０．３５５２２

０．５９１１４

０．８１６５９

０．３５５４８

０．２３６２０

０．１６００１

０．２３８４１

－１．１

０．４

－０．３

０．５

－１．１７２２

０．３４７７２

－０．３２０１７

０．４６１５７

０．４７２９５

０．３１９１５

０．１５７９９

０．２４９２７

－１．１

０．４

－０．３

０．９

－１．０７７９

０．３７３３６

－０．３２０１３

０．７９９３９

０．２５４５９

０．２２７６０

０．１６４０７

０．２１０５０

－１．１

０．４

０．３

０．５

－１．１０８６

０．３８５４６

０．２８８９２

０．４４８３７

０．４６９６８

０．２９５２８

０．１６３２５

０．２６２７５

－１．１

０．４

０．３

０．９

－１．０８７７

０．３６０３８

０．２８６７４

０．７９７８９

０．２７５２８

０．２６９５９

０．１７１４７

０．２２３８２

－１．１

０．４

－０．６

０．５

－１．１１８９

０．３８５７５

－０．６１８４２

０．４６３３１

０．３２４３９

０．１７６５２

０．１５７３５

０．２４０６０

－１．１

０．４

－０．６

０．９

－１．０５０７

０．３９７５２

－０．６２１９０

０．７９８４６

０．２２１１９

０．１６５４６

０．１６９２０

０．２０６５１

－１．１

０．４

０．６

０．５

－１．０９２９

０．３９７５４

０．５８８００

０．４４９７９

０．３７１４９

０．２１７９３

０．１６６８２

０．２５８９５

－１．１

０．４

０．６

０．９

－１．０２７２

０．４０９３１

０．５８９２２

０．７８４９１

０．２５７４２

０．１８５９２

０．１６７１４

０．２４００１

－０．０５

０．９５

－０．１６

０．０９

０．０４７４６４

０．５５８７５

－０．１９１３４

０．１３１１４

０．２５０４３

０．４０３７８

０．１６３１９

０．１７２２１


（３１３）１３７

Table３：SimulationResults正規分布

n＝３００

TrueValue

Estimates

RMSE

αβ

γδ

αβ

γδ

αβ

γδ

－０．４

－０．４

－０．３

０．５

－０．４０２７８

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－０．３０５７６

０．５０３２４

０．１５０９０

０．１６５２９

０．０８０８６２０．１３３７７

－０．４

－０．４

－０．３

０．９

－０．３８３０４

－０．３９４２５

－０．３０１６８

０．８８３３８

０．１５８４９

０．１２０９４

０．０６６９３８０．１０９９３

－０．４

－０．４

０．３

０．５

－０．４０２７８

－０．４０４８１

０．２９４５３

０．５００７５

０．１５９０８

０．１７１６３

０．０６５７８３０．１２５７７

－０．４

－０．４

０．３

０．９

－０．３８７５５

－０．３９９２４

０．２９８８０

０．８８５４９

０．１５５５９

０．１２８６６

０．０５３１２８０．１０５６９

－０．４

－０．４

－０．６

０．５

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－０．３８８６９

－０．６１３５６

０．４９２１３

０．１５２１８

０．０８４８７７０．０８２４３００．１２７８８

－０．４

－０．４

－０．６

０．９

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－０．３５９４０

－０．６２２４０

０．８７１３７

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０．１４９０９

０．１０３８８

０．１１９７０

－０．４

－０．４

０．６

０．５

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－０．４１３３８

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０．５０２２５

０．１５５１８

０．０８４７６４０．０６４３４００．１１４７６

－０．４

－０．４

０．６

０．９

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－０．４０２９４

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０．８９０６２

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０．０７００２５０．０９３６３５

－０．４

０．４

－０．３

０．５

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０．３７８３０

－０．３１６３８

０．４６９８７

０．１４８２６

０．１７０３３

０．０８５２６８０．１６５５０

－０．４

０．４

－０．３

０．９

－０．３４５３６

０．３７９６６

－０．３１３３２

０．８４７３９

０．１５２２４

０．１２２６７

０．０８１５６００．１３８９１

－０．４

０．４

０．３

０．５

－０．３８９７６

０．３５０２３

０．２９１３２

０．４７６４８

０．１４８３２

０．２２０７８

０．０７６２９１０．１６５０９

－０．４

０．４

０．３

０．９

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０．３６４８１

０．２９３８７

０．８６１２４

０．１４７４２

０．１４９５３

０．０７１７０９０．１２７９９

－０．４

０．４

－０．６

０．５

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０．１３７７３

０．０９４９８６０．０８４９３９０．１５６４１

－０．４

０．４

－０．６

０．９

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－０．６１５１０

０．８４５３０

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－０．４

０．４

０．６

０．５

－０．３８３３７

０．３８５０６

０．５９３９９

０．４７１７６

０．１４９８０

０．１１７９４

０．０７５６５２０．１７０８２

－０．４

０．４

０．６

０．９

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０．３７６９０

０．５９６３１

０．８６４２８

０．１３１５５

０．１０５８２

０．０７１２４７０．１２７１４

－１．１

－０．４

－０．３

０．５

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－０．３７７１８

－０．３０９９１

０．４９７６３

０．１７８６１

０．１８９２０

０．０８１８６６０．１４４１４

－１．１

－０．４

－０．３

０．９

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－０．３０４４８

０．８８５６１

０．１４９１７

０．１３９０６

０．０６７３４３０．１０７２７

－１．１

－０．４

０．３

０．５

－１．０９６６

－０．３９１９７

０．２９４４８

０．５００７２

０．１６９９９

０．１９９９７

０．０６６１６８０．１２６６０

－１．１

－０．４

０．３

０．９

－１．０７３４

－０．３９７４３

０．３０１５０

０．８８６９１

０．１５２２０

０．１２７３５

０．０５３８０９０．１０５７２

－１．１

－０．４

－０．６

０．５

－１．０７２２

－０．３８２１５

－０．６１６４６

０．４８９９５

０．１５７１４

０．０８９４３１０．０８２８９５０．１２８１５

－１．１

－０．４

－０．６

０．９

－１．０２６４

－０．３７０３８

－０．６１６０３

０．８７７６３

０．２０４３７

０．１３３８２

０．０８８１６１０．１０７８４

－１．１

－０．４

０．６

０．５

－１．１０７１

－０．４１２２２

０．５９７７１

０．５０１２６

０．１５０７５

０．０８５７７５０．０６４１０５０．１１４８３

－１．１

－０．４

０．６

０．９

－１．０７８３

－０．３９８４９

０．６０６２０

０．８９０９４

０．１４４３３

０．１０７０５

０．０６３５１５０．０９４０２１

－１．１

０．４

－０．３

０．５

－１．０９５７

０．３８４０３

－０．３１７１０

０．４７２５９

０．２４５８２

０．１６４３７

０．０８５８８１０．１６８４３

－１．１

０．４

－０．３

０．９

－１．０６３４

０．３９９９３

－０．３１４９７

０．８５４３０

０．１５０８６

０．１２６４０

０．０８４３８８０．１３７０１

－１．１

０．４

０．３

０．５

－１．１２３３

０．３７００９

０．２９１５８

０．４７５１８

０．３１８１４

０．２１８０９

０．０７８０３３０．１７３１０

－１．１

０．４

０．３

０．９

－１．０９１８

０．３７９４０

０．２９２３４

０．８６４８０

０．１４１４６

０．１５１８７

０．０７４６５３０．１２８６１

－１．１

０．４

－０．６

０．５

－１．０７７６

０．３９７０７

－０．６１８６９

０．４６９６１

０．１７０２９

０．０９１７９３０．０８６１２４０．１５７１８

－１．１

０．４

－０．６

０．９

－１．０５８４

０．４００２３

－０．６１５９８

０．８５１８５

０．１３４１１

０．０８１８７４０．０７９３４３０．１３１０２

－１．１

０．４

０．６

０．５

－１．１０４４

０．３８５１０

０．５９４２１

０．４７５１８

０．２２６９１

０．１２１７８

０．０７６８４１０．１７１３１

－１．１

０．４

０．６

０．９

－１．０８９６

０．３８０９９

０．５９９１６

０．８６７６６

０．１３２１５

０．１０８８５

０．０７２３８６０．１２６９０

－０．０５

０．９５

－０．１６

０．０９

－０．０３３５００

０．９３１３２

－０．１７７１９

０．０８１２３２

０．０３７４１２０．０４８１７９０．０５６２０６０．０６０２８２


１３８（３１４）

Table４：SimulationResults

t分布（ν＝９，ν＝１６）

n＝１００

TrueValue

Estimates

RMSE

αβ

γδ

αβ

γδ

αβ

γδ

－０．４

－０．４

－０．３

０．５

－０．４０４６３

－０．１３７８８

－０．３１２２２

０．４２８０５

０．２８４３４

０．４０１０６

０．１７４４７

０．２６２３７

－０．４

－０．４

－０．３

０．９

－０．４１０５８

－０．３０７７８

－０．３０６１２

０．７９９３３

０．２７１７５

０．３２４７８

０．１５８６４

０．２２６４０

－０．４

－０．４

０．３

０．５

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－０．２１００７

０．２８６１９

０．４３７９４

０．２９１９６

０．３９２２９

０．１７０７７

０．２５１０８

－０．４

－０．４

０．３

０．９

－０．４０６７１

－０．２５１４９

０．２８７７７

０．８０９８７

０．２７２５４

０．３３０３４

０．１６３９４

０．２２１７７

－０．４

－０．４

－０．６

０．５

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－０．３０８３７

－０．６０８２８

０．４２４６４

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０．２７３７８

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０．２３２３０

－０．４

－０．４

－０．６

０．９

－０．３５８９５

－０．３０８２４

－０．５９８９４

０．７５３０４

０．２８５４２

０．２７２６８

０．１６６５０

０．２５３０３

－０．４

－０．４

０．６

０．５

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－０．３３３３７

０．５８８９８

０．４１９４５

０．３１３５４

０．２７９７６

０．１７３４０

０．２３７９５

－０．４

－０．４

０．６

０．９

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－０．２８５０５

０．５６９３６

０．８００８３

０．２６０９８

０．３００４０

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０．２０７４９

－０．４

０．４

－０．３

０．５

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－０．３１１７３

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０．２６４４５

－０．４

０．４

－０．３

０．９

－０．２９９９５

０．３５３０３

－０．３０７９２

０．７２６９０

０．２１４４０

０．３１１９６

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０．２４６６６

－０．４

０．４

０．３

０．５

－０．３７６９４

０．２４２３３

０．２８９２４

０．４００５０

０．２７５４３

０．３９７１０

０．１６２６４

０．２６０９５

－０．４

０．４

０．３

０．９

－０．２８６０３

０．３４１８３

０．２８４４３

０．７４１６６

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０．２４５７９

０．１５２１９

０．２４０２８

－０．４

０．４

－０．６

０．５

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０．３６７０２

－０．６１７９０

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０．２２７８３

０．２８３２８

０．１８３５１

０．２６００３

－０．４

０．４

－０．６

０．９

－０．２９８４３

０．３８４５８

－０．５９１００

０．７１８３５

０．２１１２７

０．２３７９９

０．１７９０３

０．２５２４８

－０．４

０．４

０．６

０．５

－０．３５１８５

０．３５４３９

０．５９９０７

０．３８６００

０．２３８８１

０．２４２３３

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０．２５０１４

－０．４

０．４

０．６

０．９

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０．５８２８２

０．７４０７９

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０．２００６３

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０．２３２８３

－１．１

－０．４

－０．３

０．５

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０．４５４１２

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０．２８３０９

－１．１

－０．４

－０．３

０．９

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－０．２３０６２

－０．３０５２２

０．７６２２８

０．４２７８４

０．４１４２３

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０．２９１８０

－１．１

－０．４

０．３

０．５

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－０．２０９６７

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０．４１８０２

０．４５７２３

０．４２５７０

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０．２７５４７

－１．１

－０．４

０．３

０．９

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－０．２９８２７

０．２８４５０

０．７９８６５

０．４１７８２

０．３４８１９

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０．２５４１１

－１．１

－０．４

－０．６

０．５

－０．９９５３３

－０．２８８６５

－０．６１１８０

０．４１４９０

０．４１７０６

０．３０８１０

０．１９１２８

０．２４３８１

－１．１

－０．４

－０．６

０．９

－０．９６９３８

－０．３２４６４

－０．６２０９９

０．７７２３８

０．４３７２８

０．２８５７８

０．１８１３８

０．２７１８１

－１．１

－０．４

０．６

０．５

－１．０２６９

－０．３３０１２

０．５９１３６

０．４０７３１

０．４４３５８

０．２７６３９

０．１７５３０

０．２５６３３

－１．１

－０．４

０．６

０．９

－０．９８９０１

－０．３２５０２

０．５９８１６

０．７８３７５

０．４２１６２

０．２６９２５

０．１６８５９

０．２５３８５

－１．１

０．４

－０．３

０．５

－１．０９８４

０．３６８６８

－０．３０７６７

０．３８８２６

０．５２６５１

０．３３９４２

０．１８１９５

０．２８００３

－１．１

０．４

－０．３

０．９

－１．０２７７

０．３５４４８

－０．３１０２０

０．７２６２１

０．３６７３６

０．３６０７５

０．１７５８０

０．２７５８５

－１．１

０．４

０．３

０．５

－１．１８８７

０．３０５１９

０．２７５９３

０．４０６０５

０．５２３７９

０．３６１００

０．１８６５８

０．２５３５２

－１．１

０．４

０．３

０．９

－０．９８４８７

０．４０３１４

０．２９０９０

０．７１２２８

０．３５６５３

０．２７２８６

０．１５４３２

０．３０１３１

－１．１

０．４

－０．６

０．５

－１．０５４９

０．３９３５５

－０．６１７９７

０．３８１０５

０．４０４０８

０．２３６８０

０．１８１９２

０．２７６２４

－１．１

０．４

－０．６

０．９

－０．９８８６６

０．３９５８０

－０．６０４７４

０．７１０８０

０．３２８５４

０．２４２７６

０．１８１４５

０．２８６０７

－１．１

０．４

０．６

０．５

－１．０８３０

０．３７３７８

０．５９９４４

０．３９２７３

０．３４４３８

０．１９４０６

０．１５７２７

０．２５１６９

－１．１

０．４

０．６

０．９

－０．９９２１５

０．３９２９８

０．５９６１０

０．７２３４７

０．２８５９６

０．１８７６６

０．１５５４７

０．２７８２９

－０．０５

０．９７

－０．１６

０．０８

－０．０７８００３

０．６０１４１

－０．２００７３

０．２２９６７

０．１６１３６

０．３６６６０

０．１０９８１

０．２３０７２


（３１５）１３９

Table５：SimulationResults

t分布（ν＝９，ν＝１６）

n＝３００

TrueValue

Estimates

RMSE

αβ

γδ

αβ

γδ

αβ

γδ

－０．４

－０．４

－０．３

０．５

－０．３８９７５

－０．３８１８９

－０．３０４５５

０．４９０６５

０．１６００３

０．１５６７２

０．０９０５７０

０．１２８７７

－０．４

－０．４

－０．３

０．９

－０．３６５１２

－０．４１０５３

－０．２９１４８

０．８７０６９

０．１６１０５

０．０９０９０１０．０７０６１８

０．１０２５４

－０．４

－０．４

０．３

０．５

－０．３８６９１

－０．４０９７０

０．２９２２３

０．４７７１６

０．１７８８９

０．２００７２

０．１１０８６

０．１４６２１

－０．４

－０．４

０．３

０．９

－０．３７０４４

－０．４０４６０

０．２８６５４

０．８５１９３

０．１７８６０

０．１１３５５

０．１１９９８

０．１３６１０

－０．４

－０．４

－０．６

０．５

－０．３８１８０

－０．３９４６４

－０．６０６９６

０．４８７１１

０．１５５７１

０．０９１９２７０．０９６８０３

０．１１８７７

－０．４

－０．４

－０．６

０．９

－０．３６１１１

－０．４０８６０

－０．５９２９４

０．８７３５５

０．１６２５６

０．０６９４６００．０８５７９９

０．０９８４２

－０．４

－０．４

０．６

０．５

－０．３９０６９

－０．４１０２０

０．５８７４２

０．４８３１２

０．１７８１８

０．０９９６７２０．１３２６３

０．１３７３７

－０．４

－０．４

０．６

０．９

－０．３６３３３

－０．３９７５４

０．５５１１６

０．８３４１２

０．１７９２２

０．０９７９１２０．２２４４５

０．１６５２０

－０．４

０．４

－０．３

０．５

－０．３６４６３

０．３４７４２

－０．３０３５２

０．４５５９１

０．１３０４１

０．２３６５８

０．０９７２６６

０．１５２１１

－０．４

０．４

－０．３

０．９

－０．３２２９１

０．３４４２０

－０．２９８９２

０．８４３００

０．１３８９８

０．１６７６３

０．０９４４２８

０．１３１１７

－０．４

０．４

０．３

０．５

－０．３６９５０

０．３４８８０

０．２９０４９

０．４５２６５

０．１４５４６

０．２４６０３

０．１２０１５

０．１５９８３

－０．４

０．４

０．３

０．９

－０．３４４１８

０．２９９１８

０．２５９２０

０．８０８０１

０．１３３０２

０．２５４４８

０．１７９５４

０．１７０３６

－０．４

０．４

－０．６

０．５

－０．３５５１９

０．３８８８６

－０．６０９０６

０．４４８４４

０．１１８４９

０．１２２８０

０．１０３０１

０．１４６６３

－０．４

０．４

－０．６

０．９

－０．３３７３９

０．３５８９０

－０．５８９７５

０．８２８８５

０．１２５３３

０．１６８８０

０．１０６１２

０．１３７７２

－０．４

０．４

０．６

０．５

－０．３７０１２

０．３９００２

０．５９６１４

０．４５３２６

０．１３０２６

０．１５７００

０．１３５８７

０．１４１２７

－０．４

０．４

０．６

０．９

－０．３６３４５

０．３１７４９

０．５２９２９

０．８０５９０

０．１２５１０

０．２４７３１

０．２７２５２

０．１７２５５

－１．１

－０．４

－０．３

０．５

－１．０７２５

－０．３７７１２

－０．３０６１４

０．４９０２０

０．１６７８４

０．１５２７２

０．０９０３８７

０．１２９２３

－１．１

－０．４

－０．３

０．９

－１．０５００

－０．４０５９３

－０．２９４７８

０．８７２１３

０．１６８５６

０．０９２２９５０．０７３３８３

０．１０２５２

－１．１

－０．４

０．３

０．５

－１．０７０１

－０．３９６８５

０．２９２１７

０．４７６１０

０．２０１７８

０．２１８９１

０．１１０３５

０．１４７１７

－１．１

－０．４

０．３

０．９

－１．０４７９

－０．４０８９５

０．２９３７１

０．８５８０８

０．１８１５０

０．１２０４９

０．０９９６２２

０．１２９４３

－１．１

－０．４

－０．６

０．５

－１．０７１２

－０．３９０４８

－０．６０９１７

０．４８５７１

０．１６０１５

０．０９０７５６０．０９６２２５

０．１１９３２

－１．１

－０．４

－０．６

０．９

－１．０２５１

－０．４０１７３

－０．６０９１２

０．８７８４２

０．２１７３４

０．０７２００２０．０９９８２６

０．１００３５

－１．１

－０．４

０．６

０．５

－１．０７９５

－０．４０８１７

０．５８８９３

０．４８１３３

０．１９３１２

０．１０１４６

０．１３２２８

０．１３８３３

－１．１

－０．４

０．６

０．９

－１．０２２６

－０．４０３３０

０．５６９１９

０．８４８１３

０．２０８０３

０．０８８１１７０．１９１３７

０．１３５１１

－１．１

０．４

－０．３

０．５

－１．１１７３

０．３５６８８

－０．３０４６０

０．４６０２２

０．２９５９９

０．２１４５５

０．０９６１５１

０．１５１５９

－１．１

０．４

－０．３

０．９

－１．０９５６

０．３５４６６

－０．２９８４０

０．８４８１３

０．１６４３５

０．１３９１５

０．０９２８３７

０．１２８６０

－１．１

０．４

０．３

０．５

－１．１１６２

０．３４９３２

０．２９４９２

０．４５８７８

０．３３６５３

０．２６４６４

０．１１５１４

０．１４８９５

－１．１

０．４

０．３

０．９

－１．０６９９

０．３６７１７

０．２９３５０

０．８３７２４

０．１８７３３

０．１７５３６

０．１１４０９

０．１４２４７

－１．１

０．４

－０．６

０．５

－１．０７７５

０．３８６０９

－０．６０９７６

０．４５４０６

０．１８７８４

０．１２０９２

０．１０２７４

０．１４５２７

－１．１

０．４

－０．６

０．９

－１．０５８２

０．３８９１５

－０．６０３７６

０．８４１９２

０．１２６１３

０．１０３７２

０．１０３１７

０．１２６２０

－１．１

０．４

０．６

０．５

－１．０６９４

０．４００８３

０．６０９８７

０．４５６９６

０．２１８６５

０．１２８４６

０．０９３５４４

０．１３９５３

－１．１

０．４

０．６

０．９

－１．０６１３

０．３９８０２

０．６０５２２

０．８４７１６

０．１５６４３

０．１１２４９

０．０９２０３５

０．１２４８７

－０．０５

０．９７

－０．１６

０．０８

－０．０３００１４

０．８４８７５

－０．１６０６９

０．０９７５８１

０．０３８３４００．２６４４３

０．０８１７４９

０．１０４６７


１４０（３１６）

Figure２：正規分布 n＝１，０００

Figure３：t分布 ν＝９，n＝１，０００


（３１７）１４１

V^（n）０＝（１４n

n

Σt＝１（（Z^（n）

t ）４－１））（１nn

Σt＝１

（h^′t（θ^n））T h^′t（θ^n）h^t（θ^n）２）

－１

によって求められることが示されている。t分布の場合は h^（θ^n）に�

式の指数をとったものを代入すればよい。この式を使って，実際に標本

標準偏差と漸近標準偏差を比べてみたものがTable６，７である。パラ

メータの母数については（α，β，γ，δ）＝（－０．４，０．４，－０．３，０．５）

と（α，β，γ，δ）＝（－０．０５，０．９７，－０．１６，０．０８）の２種類を採用し

た。また，αについて詳しく調べたものがTable８である。母数はα＝

（－０．４，－０．０５）とし，t分布の自由度は，Table６，７についてはν＝（５，

９，１６），Table８についてはν＝（５，９，１６，１００）の場合について検

証した。なお，繰り返し回数はTable６，７，８全て８０回である。

Table６～８をみると，標本標準偏差は発生させたデータサイズが大き

くなるにつれ小さくなっており，推定の精度が上がっていることがうか

がえる。しかしながら理論値との隔たりが存在し，標本サイズを大きく

すれば偏差は減少するという傾向は同じであるが，（α，β，γ，δ）＝

（－０．４，０．４，－０．３，０．５）のときは漸近標準偏差の方が小さくなり，

（α，β，γ，δ）＝（－０．０５，０．９７，－０．１６，０．０８）のときは漸近標準偏

差の方が大きくなった。この隔たりは標本サイズの増加とともに小さく

なるが，依然として差異は生じる。これらのことより，理論値の計算方

法が完全でないか，もしくは標本サイズまたは繰り返し数を増やす必要

があると考えられる。

４．３ EGARCHモデルの尖度と歪度

次に，実際のデータによって推定されたパラメータの値を使って

EGARCH（１，１）モデルによってシミュレーション・データを発生

させてみる。正規分布の場合は（α，β，γ，δ）＝（－０．０５，０．９５，－０．１６，

０．０９），t分布の場合は（α，β，γ，δ，ν）＝（－０．０５，０．９７，－０．１６，０．０８，


１４２（３１８）

Table６：標本標準偏差と漸近標準偏差の比較

n＝３００，ν＝５ α β γ δ

母数－０．４０．４－０．３０．５推定値－０．４０１９９０．３６９２８－０．３０２３３０．４６６７６標本標準偏差０．０３３３３９０．０５６５５８０．０１２１６２０．０３３８７８漸近標準偏差０．００９５４０５０．０１９６８１０．００４２３８８０．００９０４８６

n＝１，０００，ν＝５ α β γ δ

母数－０．４０．４－０．３０．５推定値－０．３６２０５０．３６０５０－０．３０４３８０．４５５９３標本標準偏差０．００５２１０００．０１５１８８０．００３５３７４０．００６２６９２漸近標準偏差０．００３４９２４０．００６９６７３０．００１５８８６０．００３３９４９

n＝３００，ν＝９ α β γ δ

母数－０．４０．４－０．３０．５推定値－０．３９８０１０．３９３７２－０．２９７４１０．４９５６５標本標準偏差０．０１６２６８０．０４８７７２０．００９３８２９０．０２３４２８漸近標準偏差０．００６９３５６０．０１４８０４０．００２８５９２０．００６７５８５

n＝１，０００，ν＝９ α β γ δ

母数－０．４０．４－０．３０．５推定値－０．３８６７７０．３８８６４－０．３０１１５０．４８０７０標本標準偏差０．００４８６７００．０１１３９１０．００２７０７８０．００７９２６０漸近標準偏差０．００１９６６２０．００３７３１８０．０００８０２１５０．００１９５１９

n＝３００，ν＝１６ α β γ δ

母数－０．４０．４－０．３０．５推定値－０．３６３２３０．３９１４３－０．３０５３７０．４３７４０標本標準偏差０．０１６２１６０．０４７７８９０．００８１４０２０．０１８７１９漸近標準偏差０．００５１９６７０．０１０６２３０．００１９７４００．００５０８２０

n＝１，０００，ν＝１６ α β γ δ

母数－０．４０．４－０．３０．５推定値－０．３９０７００．３９９８７－０．２９６１３０．４８２５７標本標準偏差０．００５９４２６０．０１１７０７０．００１９８８２０．００６７８０４漸近標準偏差０．００１６０４３０．００２９５１８０．０００６１７３７０．００１５９８０


（３１９）１４３

Table７：標本標準偏差と漸近標準偏差の比較

n＝３００，ν＝５ α β γ δ

母数－０．０５０．９７－０．１６０．０８推定値－０．０３０３９７０．９５９５３－０．１７４６２０．０５５８１１標本標準偏差０．００１８９７００．００１２４０４０．００２７４０７０．００３９６３４漸近標準偏差０．０１１９６９０．０１８０３４０．００４５１８２０．００９４９７５

n＝１，０００，ν＝５ α β γ δ

母数－０．０５０．９７－０．１６０．０８推定値－０．０４２５３７０．９６７７６－０．１６４９７０．０７０５０１標本標準偏差０．０００５６７９６９．４９３２e―００５０．０００７４８４９０．００１０６１１漸近標準偏差０．００３９２１３０．００３９０１７０．００１５７６２０．００３３６９０

n＝３００，ν＝９ α β γ δ

母数－０．０５０．９７－０．１６０．０８推定値－０．０３１２９９０．９６３５５－０．１６６４７０．０５８９３９標本標準偏差０．００１４７３３０．０００８２９１９０．００２０５５８０．００２９７７８漸近標準偏差０．００９２８８９０．０１２８７３０．００２９６３３０．００６９５５１

n＝１，０００，ν＝９ α β γ δ

母数－０．０５０．９７－０．１６０．０８推定値－０．０４３１６００．９６９５４－０．１５９０６０．０７１５４２標本標準偏差０．０００６３１０７６．２１０９e―００５０．０００５３７６９０．００１１１１３漸近標準偏差０．００２３６９７０．００２０５５４０．０００８２４８４０．００１９９９４

n＝３００，ν＝１６ α β γ δ

母数－０．０５０．９７－０．１６０．０８推定値－０．０２３４１６０．９６２９１－０．１６７９６０．０４９０６４標本標準偏差０．００１６５９６０．０００５６７８００．００１８９０１０．００３３１８５漸近標準偏差０．００６３９９５０．００７２９０３０．００２０２１８０．００５１６９３

n＝１，０００，ν＝１６ α β γ δ

母数－０．０５０．９７－０．１６０．０８推定値－０．０４０１７００．９６９８９－０．１５７３９０．０６７６０２標本標準偏差０．０００６４３９４６．８９５８e―００５０．０００４２９６６０．００１１５７７漸近標準偏差０．００１９０６８０．００１５２５００．０００６２７４１０．００１６１９３


１４４（３２０）

Table８：標本標準偏差と漸近標準偏差の比較

α＝－０．４

ν n 推定値標本標準偏差漸近標準偏差

３００－０．３８１２００．０１４３２６０．００４７１３０１００１，０００－０．４００８７０．００４９７７４０．００１４０５９

５，０００－０．３９７９９０．０００５９６３４０．０００２８１１２

３００－０．３６３２３０．０１６２１６０．００５１９６７１６１，０００－０．３９０７００．００５９４２６０．００１６０４３

５，０００－０．３９７６２０．０００９７９９９０．０００３２５５５

３００－０．３６２０５０．０１６２６８０．００６９３５６９１，０００－０．３８６７７０．００４８６７００．００１９６６２

５，０００－０．４００１９０．００１１１８５０．０００３９２２９

３００－０．４０１９９０．０３３３３９０．００９５４０５５１，０００－０．３９４９８０．００５２１０００．００３４９２４

５，０００－０．３９８０１０．００１２４４９０．０００７５１３６

α＝－０．０５

ν n 推定値標本標準偏差漸近標準偏差

３００－０．０２１８３９０．００１９２４００．００６２５２５１００１，０００－０．０４０９４６０．０００５６０６２０．００１７２９１

５，０００－０．０４９０５００．００００７４９１７０．０００３２９７８

３００－０．２３４１６０．００１６５９６０．００６３９９５１６１，０００－０．０４０１７００．０００６４３９４０．００１９０６８

５，０００－０．０５０７７３０．０００１０５７３０．０００３７７３６

３００－０．３１２９９０．００１４７３３０．００９２８８９９１，０００－０．４３１６００．０００６３１０７０．００２３６９７

５，０００－０．０５０５７４０．０００１２５５７０．０００４４２０９

３００－０．０３０３９７０．００１８９７００．０１１９６９５１，０００－０．０４２５３７０．０００５６７９６０．００３９２１３

５，０００－０．０４８８０００．００００９２４７１０．０００８１２９０


（３２１）１４５

Figure４：推定値を使ってのデータの発生

１６）の値を用いた。標本のサイズは実際の標本サイズとなるべく近くな

るように６００を選択した。発生させたデータのグラフをFigure４に示し

ている。

実際のTOPIXのデータと発生させたデータのヒストグラムは

Figure５に示されている。実際のTOPIXのデータのヒストグラムは発

生させたデータのヒストグラムと似ているように見える。後のTable９

では尖度および歪度の計算を行うことでこの３者のデータを細かくみる

こととする。一方，モデルそのもの分布を知るためには，Figure５のよ

うな時系列だけでなく，i番目の時点を固定して一時点での分布に着目

することが必要となる。尖度や歪度を分布のモーメントより求めた時の

値はこちらの分布と比較したほうがよい。そこで，i番目の時点の分布

を調べるため，標本サイズn＝６００のデータを発生させて，その５００個目

のデータを抜き出した。これを６００回繰り返して生成したデータのヒス

トグラムをFigure６に示す。


１４６（３２２）

Figure５，６のようにEGARCHで発生させたデータが実際のデータの

特徴をどの程度とらえているかを調べるために，これらのデータの尖度

と歪度を比較してみることとする。尖度には正規分布が０となる定義を

採用した。尖度は，データの平均周りのi乗モーメントをμiとすると，

β２＝μ４μ２２－３ �

によって計算される。一方歪度は，

β１／２１＝μ３μ３／２２

�

によって計算される。

実際のデータとシミュレーションによって発生させたデータの尖度と

歪度を計算して比較すると，Table９のようになる。

Table９をみると，実際のデータの値，シミュレーションの値は共に

Figure５：TOPIXのデータと発生させたデータFigure４のヒストグラム


（３２３）１４７

尖度が０より大きく，正規分布と比べて尖っていて裾が厚い分布となっ

ている点で共通している。また，歪度については，t分布を用いた時に

実際のTOPIXデータと同様に負の値をとることが確認された。

また，He et al. （２００２）によると，誤差項に正規分布を仮定した

EGARCHモデルの尖度が

β２＝３exp｛（δ＋γ）２

１－β２｝

Figure６：５００番目のデータのヒストグラムの比較

Table９：Figure５の尖度，歪度の比較

尖度歪度

TOPIX １．２５５４－０．３９４２７正規分布１．５４９８０．０７７３６t 分布１．５３０４－０．１３８７５


１４８（３２４）

Table１０：Figure６の尖度，歪度の比較

尖度歪度

式の尖度１．２５９７５ ―

正規分布１．１４０９０．０１３６０t 分布１．４０２６０．１４６２４

×Π∞i＝１Φ（２βi－１（δ＋γ））＋exp｛－８β２（i－１）δγ｝Φ（２βi－１（δ－γ））［Φ（βi－１（δ＋γ））＋exp｛－２β２（i－１）δγ｝Φ（βi－１（δ－γ））］２－３，

によって計算できることが示されている。なお，Φ（・）は標準正規分

布の分布関数である。これはモデルから生成された分布自体の尖度なの

で，比較はFigure６のデータに対して行う。結果はTable１０のように

なった。

Figure６の尖度と歪度はTable１０のようになっている。He et al.

（２００２）から得られた式の尖度と正規分布の場合の尖度は近い値になっ

ており，シミュレーションの精度が確認された。

５結び

本稿では，GARCH型モデルによる金融時系列のパラメータ推定と，

特にEGARCHモデルによるシミュレーションを行った。実証分析の結

果，やはりボラティリティの非対称性をとらえることができる

EGARCHモデルの方が，通常のGARCHモデルよりも良い推定のパ

フォーマンスを見せることがわかった。そして誤差項に正規分布を仮定

した場合とt分布を仮定した場合では，t分布を仮定したときの方が当て

はまりがいいこともわかった。一方で，ボラティリティに長期記憶性を

仮定したFIEGARCHモデルも良い結果を得ることが出来た。本稿では

FIEGARCHモデルは参考にとどめたが，研究の余地のある有用なモデ

ルであるといえよう。


（３２５）１４９

シミュレーションについては，標本サイズ３００の場合は正規分布，t分

布の場合ともに真のパラメータに近い値を推定することが出来ていた。

標本サイズが１００の場合には，Deb（１９９６）の場合と同様に，β，δの推

定値については絶対値にして下方のバイアスが発生しており，その傾向

は標本サイズが３００になっても変わらないが値としては小さくなる。

EGARCHモデルを実際にデータに当てはめて推定するには，標本サイ

ズが１００では少し小さいと考えられる。今回のシミュレーションはデー

タの標本サイズが１００と３００であったが，より標本サイズを大きくすれば

推定の精度が増すことが予想される。推定結果をもとに発生させたシ

ミュレーションデータについては，尖度を比較すると実際のデータとシ

ミュレーションデータの値が近い値になり，正規分布よりも裾が厚く

なっている分布となっている点で一致しており，実際のデータの特徴の

一部をとらえることが出来ていたと考えられる。

今回対象としたTOPIXのデータはリーマンショック以後を含まない

ものであった。世界的な金融危機が起こった時のデータを用いれば，ま

た違った結果が生まれると推察される。

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（２０１１年９月２０日受理）


（３２７）１５１

Summary

EGARCH Model and its Application

Haruhisa NISHINO, Shun OHTSURU

This paper considers the EGARCH（exponential GARCH）model,

which is one of the conditional heteroscedastic models. The EGARCH

model allows for asymmetric effects between positive and negative as-

set returns. First, with the daily return data of TOPIX used, the paper

estimates parameters of EGARCH models and comparing them with

other GARCH models by AIC. Next, the paper conducts a simulation

study to compare biases and RMSEs for different sample sizes, and

moreover calculates kurtosis and skewness using the TOPIX data and

the simulated data.

Summary

１９６（３７２）

egarchモデルについて · 2018-07-09 ·...

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