egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és...
TRANSCRIPT
![Page 1: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/1.jpg)
Egy kvantummechanikai méréstökéletessége és tökéletlensége...
Tasnádi Tamás
BME, Analízis Tanszék
2011. szeptember 17.
Matematikai Fizika Ünnepi Ülés Matolcsi Tamás 70.születésnapjára, Budapest, KFKI RMKI.
![Page 2: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/2.jpg)
Célkituzés: „tökéletes” mérés konstruálása
Filozófia:• Tiszta állapot: a rendszer objektív állapota.• A kevert állapot: tudásunk hányából fakad.
Tökéletes mérés:• Lehetséges értékei: a rendszer tiszta állapotai.• Megadja, hogy a rendszer mely tiszta állapotban van.• Klasszikusan létezik.• Kvantumosan — ???
![Page 3: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/3.jpg)
Célkituzés: „tökéletes” mérés konstruálása
Filozófia:• Tiszta állapot: a rendszer objektív állapota.• A kevert állapot: tudásunk hányából fakad.
Tökéletes mérés:• Lehetséges értékei: a rendszer tiszta állapotai.• Megadja, hogy a rendszer mely tiszta állapotban van.• Klasszikusan létezik.• Kvantumosan — ???
![Page 4: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/4.jpg)
Projektív (PVM) mérés és POVM mérés
PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.
Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en
A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr
(P(A)ρ
)p(A) = Tr
(Q(A)ρ
)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)
A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.
![Page 5: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/5.jpg)
Projektív (PVM) mérés és POVM mérés
PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.
Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en
A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr
(P(A)ρ
)p(A) = Tr
(Q(A)ρ
)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)
A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.
![Page 6: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/6.jpg)
Projektív (PVM) mérés és POVM mérés
PVM: Projecor Valued MeasurePOVM: Positive Operator Valued MeasureS: a mérés lehetséges kimeneteleinek halmaza.
Projektív mérés POVM mérésP: PVM az S-en Q: POVM az S-en
A esemény valószínusége ρ állapotban:p(A) = Tr
(P(A)ρ
)p(A) = Tr
(Q(A)ρ
)|S| ≤ dimH |S| lehet∞ (dimH 6=∞ esetén is!)
A POVM mérés egy kibovített rendszeren való projektívmérésnek is tekintheto.
![Page 7: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/7.jpg)
Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer
• Hilbert-tér: C2
• Állapotok (suruségmátrixok):
ρ(r) =12
[1 + z x − iyx + iy 1− z
]r = [x , y , z], |r| ≤ 1
• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:
S = {r : |r| = 1}
![Page 8: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/8.jpg)
Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer
• Hilbert-tér: C2
• Állapotok (suruségmátrixok):
ρ(r) =12
[1 + z x − iyx + iy 1− z
]r = [x , y , z], |r| ≤ 1
• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:
S = {r : |r| = 1}
![Page 9: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/9.jpg)
Qubit: kétállapotú kvantummechanikai rendszer
• Hilbert-tér: C2
• Állapotok (suruségmátrixok):
ρ(r) =12
[1 + z x − iyx + iy 1− z
]r = [x , y , z], |r| ≤ 1
• Bloch-gömb.• Tiszta állapotok:
S = {r : |r| = 1}
Px−
Py−
Pz−
Py+
Pz+
x+
P
I /2
![Page 10: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/10.jpg)
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
![Page 11: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/11.jpg)
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
![Page 12: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/12.jpg)
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
![Page 13: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/13.jpg)
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
![Page 14: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/14.jpg)
Pozitív operátor értéku mérték (POVM)• Alaphalmaz: S (tiszta állapotok)• Normált terület mérték: dω(ϑ, ϕ) = 1
4π sinϑdϑdϕ• POVM:
Q = 2ρω Q(S) = IdQ(s) = 2ρ(s)dω(s) |s| = 1
Q(E) = 2∫
s∈Eρ(s)dω(s) E ⊂ S
• ρ0 = ρ(r0) állapotban a mérési eredmények valószínuségsurusége S-en:
f (s) = limdE→{s}
Tr(ρ0Q(dE)
)ω(dE)
= 1 + r0s
• Q Nem éles mérés!
![Page 15: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/15.jpg)
Ekvivariancia
Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.
A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:
B(S)γ−1
g−−−−→ B(S)
Q
y Q
yB(H) U·U∗
−−−−→ B(H)
UgQ(E)U∗g = Q(γ−1
g (E))
Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.
![Page 16: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/16.jpg)
Ekvivariancia
Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.
A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:
B(S)γ−1
g−−−−→ B(S)
Q
y Q
yB(H) U·U∗
−−−−→ B(H)
UgQ(E)U∗g = Q(γ−1
g (E))
Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.
![Page 17: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/17.jpg)
Ekvivariancia
Az U(2) unitér csoport hat• a tiszta állapotok S terén,• és a Q POVM értékkészletén.
A két csoporthatás felcserélheto a Q leképezéssel:
B(S)γ−1
g−−−−→ B(S)
Q
y Q
yB(H) U·U∗
−−−−→ B(H)
UgQ(E)U∗g = Q(γ−1
g (E))
Ez a G.W. Mackey-féle imprimitivitási rendszer fogalmánakáltalánosítása PVM-rol POVM-re.
![Page 18: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/18.jpg)
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
![Page 19: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/19.jpg)
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
![Page 20: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/20.jpg)
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
![Page 21: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/21.jpg)
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]
![Page 22: Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlenségeszofi.elte.hu/mt70/eloadasok/TasnadiT_mt70.pdf · Egy kvantummechanikai mérés tökéletessége és tökéletlensége](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040500/5e1ad9ab7934c94403431182/html5/thumbnails/22.jpg)
Érdekes észrevételek
¨ A POVM mérések eredményei véges dimenziósHilbert-térben is alkothatnak végtelen halmazt.
¨ A POVM mérések nemkommutáló mennyiségekrol isnyújthatnak egyszerre információt.
_ De az így nyert eredmények nem élesek.¨ A POVM mérések könnyebben illeszthetok a rendszer
folytonos szimmetriáihoz.
arXiv:0803.1946v1 [quant-ph]