1

L U R K Ó - L O G I K A

rovatvezető: Sinkáné Papp Mária

Adventi vásár

Feladatok csak 3. osztályos tanulóknak

A. 1239. A város főterén a Városháza 24 ablaka adventi naptárként műkö-dik. Annyi ablaka világít, ahányadika van aznap. Panni már nagyon várja a ka-rácsonyt, egyik este arra sétálva felnézett az ablakokra és megállapította, hogy 3 nap múlva háromszor annyi világos ablak lesz, mint sötét. Hányat kell még aludnia Pannának karácsonyig? (Hány nap van még december 25-ig?)

A. 1240. A város főterén a karácsonyfát arany, ezüst, piros, kék és zöld üveggömbök díszítik. A gömbök negyedrésze ezüst, ötödrésze piros, hatodrésze kék, tizedrésze zöld. Hány aranygömb van a karácsonyfán, ha piros gömbből 24 található rajta?

Feladatok 3. és 4. osztályos tanulóknak

A. 1241. A 4.b osztály tanulói a vásári forgatagba látogattak. Minden gyerek megkóstolta a karácsonyi puncsot. Néhányan 2 dl tojásos puncsot, a többiek 3 dl gyümölcsös puncsot ittak. Összesen 7 liter 2 dl puncsot fogyasztottak, a gyü-mölcsösből kétszer annyit, mint a tojásosból. Hány 4.b-s gyerek látogatott a for-gatagba?

A. 1242. Andi és Szandi a Mikulás háza előtt várakoznak. Ha sorra kerülnek, három dalocskát szeretnének elénekelni a Mikulásnak. Úgy tervezték, egy dalt együtt, kettőt szólóban énekelnek majd. Hányféleképpen adhatják elő a három dalt, ha a dalok sorrendjében már megegyeztek?

A. 1243. A főtér egyik oldalán négy kézmű-ves bódé áll egymás mellett: egy ékszerkészítő, egy mézeskalácsos, egy fafaragó mester és egy fazekas. Melyik kézműves melyik bódéban árul, ha az alábbiakat látjuk szemben állva a bódékkal:

– Az ékszerkészítő bódéja szélen van. – A mézeskalácsos a fafaragótól jobbra található. – A fazekas két szomszédja közül egyik sem a fafaragó.

Feladatok csak 4. osztályos tanulóknak

A. 1244. Bogi a barátnőinek apró ajándékokat vásárolt a forgatagban, 4 hó-gömböt és 6 angyalkát, összesen 4300 Ft értékben. A hógömbökre 220 Ft-tal

1. 2. 3. 4.

2

többet költött, mint az angyalkákra. Mennyibe került egy hógömb, mennyibe egy angyalka?

A. 1245. Az adventi vásárban egy kg sült gesztenye 3000 Ft-ba kerül. Róza a szüleivel egy kisadag és két nagyadag gesztenyét vásárolt 1200 Ft-ért. Egy nagyadag sült gesztenye tömege kétszer annyi, mint egy kisadagé. Hány deka-gramm egy nagyadag sült gesztenye?

Beküldési határidő: 2018. január 12.

A feladatok beküldési címe: Sinkáné Papp Mária 4401 Nyíregyháza 1, Pf. 332

Az októberben kitűzött feladatok megoldásainak helyesbítése

A. 1227. A foltvarró szakkörön a lányok 3 elemből álló mintát pró-bálgatnak összeállítani úgy, hogy két szomszédos elem teljes oldalával illeszkedjen egymáshoz. Hány különböző mintát állíthatnak össze a három elem felhasználásával? Két minta különböző, ha elforgatással nem hozhatók fedésbe.

Megoldás: 13 különböző mintát állíthatnak össze a lányok.

A. 1228. A pingpong szakkör tagjai versenyre készülnek. Három lány és négy fiú

közül két vegyespárost neveznek. Hányféleképpen történhet a két páros kialakítása?

Megoldás: Jelöljük a lányokat számokkal: 1, 2, 3, a fiúkat betűkkel: A, B, C, D. Rendezzük táblázatba a kialakítható párokat. 36-féleképpen történhet a két vegyespáros kialakítása.

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

1 A

1 A

1 A

1 A

1 A

1 A

1 B

1 B

1 B

1 B

1 B

1 B

1 C

1 C

1 C

1 C

1 C

1 C

1 D

1 D

1 D

1 D

1 D

1 D

2 B

2 C

2 D

3 B

3 C

3 D

2 A

2 C

2 D

3 A

3 C

3 D

2 A

2 B

2 D

3 A

3 B

3 D

2 A

2 B

2 C

3 A

3 B

3 C

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

2 A

2 A

2 A

2 B

2 B

2 C

3 A

3 A

3 A

3 B

3 B

3 C

3 B

3 C

3 D

3 C

3 D

3 D

4 B

4 C

4 D

4 C

4 D

4 D

3

A. 1230. A média szakkörös gyerekek az iskolaújságot szerkesztik. A következő számhoz összegyűjtöttek 27 cikket és 12 fotót. A lapot három oldaltípussal tervezik: egy-egy oldalon 2 cikket, vagy 1 cikket 2 fotóval, vagy 3 fotót helyeznek el. Legkeve-sebb hány oldalasra készítik az újságot, ha valamennyi előkészített cikket és fotót meg-jelentetik és mindhárom oldaltípust használják?

Megoldás: A 3 fotót tartalmazó oldalakhoz páros számú fotót kell felhasznál-niuk, hiszen a cikk mellé is páros számú fotó kerül. Mind a 12 fotó nem jelenhet meg csak fotós oldalon, mert akkor nem marad a cikkek mellé. Így 2 oldalon lesznek csak fotók: 2 3 = 6 fotó, a maradék 6 fotót kettesével egy-egy cikkel szerkeszthetnek egy oldalra, ez még 3 oldalnyi anyag. A maradék 27 – 3 = 24 cikket kettesével rendezhetik el 24 : 2 = 12 oldalon. Az iskolaújság legújabb száma legkevesebb 2 + 3 + 12 = 17 oldal, a címoldallal együtt 18 oldalas lesz. (Mivel egy lapnak két oldala van, az oldalszám csak páros lehet.)

A novemberben kitűzött feladatok megoldásai

A. 1232. Zsuzsiék a nyáron Szlovákiában vár-látogató túrán voltak. Zólyomban foglaltak szál-lást, innen első nap a füleki várhoz, második nap a szepesi várhoz, a harmadik nap a trencséni vár-hoz, a negyedik napon a dévényi várhoz kirándul-tak. Mennyivel többet autóztak így, mintha Zó-lyom-Fülek-Szepes-Trencsén-Dévény-Zólyom út-vonalon autózták volna körbe a vidéket?

Megoldás: Ha minden nap Zólyomból látogatnak egy-egy várhoz: (90 + 174 + + 126 + 206) 2 = 1192 km-t autóznak. Ha Zólyomból indulva körbe mennek: 90 + 172 + 259 + 151 + 206 = 878 km-t autóznak, így 1192 – 878 = 314 km-rel tet-tek meg többet.

A. 1233. Marci a családjával Ukrajnában egy nagyon hangulatos zenés-táncos folk-lór műsoron vett részt. A zenekar kétféle pengetős hangszeren játszó zenészekből: ban-durásokból és balalajkásokból állt. Az 44 fellépő között 4-gyel több táncos volt, mint zenész, a zenészek között négyszer annyi balalajkás, mint bandurás. Hány balalajkás volt a zenekarban?

Megoldás: A műsorban zenészek és táncosok szere-peltek, jelöljük szakasszal az összefüggést (lásd ábra). (44 – 4) : 2 = 20 zenész volt a fellépők között. 20 : 5 = 4 bandurás, és 4 4 = 16 balalajkás volt a zene-karban.

4 44 fő

zenészek

táncosok

bandurás

balalajkás

20 fő

4

A. 1234. Romániában, egy erdélyi vásárban Ábel édesanyja a szép korondi kerámiák között válogatott. 4 kis csupor és egy cserépfazék együtt annyiba került, mint 3 cserép-tál. 1 kis csupor és 2 cseréptál ára épp annyi volt, mint 1 cserépfazék ára. Hány kis csuprot lehetett vásárolni 1 cserépfazék áráért?

Megoldás: Jelöljük az egyes kerámiákat így: csupor: Cs, cserépfazék: F, cse-réptál: T. Jegyezzük le, amit tudunk: 1.) Cs + Cs + Cs + Cs + F = T + T + T, és 2.) Cs + T + T = F. Az 1.) egyenlőségbe az F helyére beírhatjuk a 2.) egyenlőség F értékét: Cs + Cs + Cs + Cs + (Cs + T + T) = T + T + T, (5Cs + 2T = 3T), ebből lát-ható, hogy: 5Cs = 1T, vagyis 1 tál ára 5 csupor árával egyenlő. Ezt felhasználjuk a 2.) egyenlőségnél: beírjuk a T helyére, hány csuprot ér: 1Cs + 5Cs + 5Cs = 1F. A cserépfazék áráért 11 csuprot lehetett vásárolni.

A. 1235. Rozi és családja egy négynapos kerékpártúrán vett részt Szerbiában. Min-den nap 3 kilométerrel kevesebbet tekertek, mint az előző nap. A négy nap alatt összesen 142 km-t tettek meg. Hány kilométert kerékpároztak az egyes napokon?

Megoldás: Az első napon megtett távnál a második napon 3 km-rel, a harmadik napon 6 km-rel, a negyedik napon 9 km-rel tettek meg kevesebbet. Ha minden nap ugyanannyit tekertek volna, mint az első nap, akkor 3 + 6 + 9 = 18 km-rel többet, 142 + 18 = 160 km-t tekertek volna. Ez napi 160 : 4 = 40 km lett volna. Az első napon tehát 40 km-t, a második napon 37 km-t, a harmadik napon 34 km-t és a negyedik napon 31 km-t kerékpároztak Roziék.

A. 1236. Kincső a családjával 10 napot a horvát tengerparton töltött, ahol saját zseb-pénzével is gazdálkodhatott. Az ország fizetőeszköze a kuna. Kincsőnek a nyaralás vé-gére már csak egy kevés aprópénze maradt, ugyanannyi 2 kunás és 5 kunás pénzérme, 98 kuna értékben. Az 5 kunás pénzérméket mind bedobálta egy csokiautomatába, hogy édességet hozzon haza a barátainak. Hány forint értékben vásárolt édességet az automa-tából Kincső, ha egy kuna 40 forintot ér?

Megoldás: Kincsőnek ugyanannyi 2-es és 5-ös pénzérméje maradt, mindkét fajtából 98 : (2 + 5) = 14 darab. A 14 db 5 kunás 14 5 = 70 kuna, ami 70 40 = = 2800 forintot ér.

A. 1237. Szlovéniában a gyönyörű Bledi-sziget templomához 99 lépcsőfokon lehet feljutni. Peti is elindult fel a lépcsőn, de a lépcsősor harmadát megtéve eszébe jutott, hogy a hátizsákját lent, a lépcső aljánál, a fűben hagyta. Visszament érte, majd – hogy utolérje a többieket – kettesével szedve a lépcsőket indult föl. A lépcsősor harmada volt már csak hátra, amikor észrevette, hogy valahol menet közben elhagyta a hátizsákról a kabaláját, ezért ismét visszafordult. A kabalát a 45. lépcsőn találta meg. Ekkor már csak-ugyan sietni akart, ezért a 72. lépcsőig hármasával lépkedett, amitől nagyon elfáradt, s innen egyesével lépkedve ért fel a lépcsősor tetejére, a templomhoz. Hányat lépett Peti, amíg felért a lépcsősor tetejére?

Megoldás: Kövessük nyomon Peti útját, lépéseit:

5

Peti útja: lépcsők száma: lépések száma:

föl a 99 lépcsősor harmadáig 33 33 vissza a lépcsők aljáig 33 33 föl a 2 harmadáig kettesével 99 – 99 : 3 = 66 33 le a 45. lépcsőre 66 – 45 21 föl a 72. lépcsőig hármasával 72 – 45 = 27 9 föl a 99. lépcsőig 99 – 72 = 27 27 Összesen: 156

156-ot lépett Peti, mire felért a lépcsősor tetejére.

A. 1238. Sáriék Ausztriában jártak, ahol meglátogatták a világ legrégebbi állatkert-jét, a bécsi (schönbrunni) állatkertet, ahol kedvenc állatát, az óriáspandát is megcsodál-hatták. A kifutóban három panda él: az anyamedve, Yang Yang, egyéves ikerbocsaival: Fu Fenggel és Fu Bannal. Sári a gondozóktól megtudta, hogy egy hét alatt a három panda együtt 315 kg friss bambuszt fogyaszt el. Egy bocs harmadannyit eszik, mint az anya-medve. Hány kg friss bambuszt fogyaszt naponta az anyamedve, és mennyit egy panda-bocs?

Megoldás: Egy hét alatt a három panda 315 kg bambuszt eszik, egy nap alatt: 315 kg : 7 = 45 kg-ot. Egy bocs 45 kg : 5 = 9 kg bambuszt, a panda-mama 9 3 = 27 kg friss bambuszt fogyaszt na-ponta.

F I G Y E L E M !

Szeretnénk felhívni mindenkinek a figyelmét arra, hogy csak az azonos be-küldési című rovatok megoldását lehet egy borítékban beküldeni.

A másik fontos tudnivaló, hogy csak a Lurkó-logika és a Matematikai pont-verseny esetében van lehetőség arra, hogy felbélyegzett válaszboríték esetén a kijavított megoldásokat visszaküldjük. Kérjük ezért, hogy más rovatok megol-dásához ne mellékeljenek válaszborítékot, mert ezeket nem tudjuk visszakül-deni.

Kérjük a versenyzőket, hogy a decemberi feladatok megoldását ennek meg-felelően küldjék el.

bocs bocs

anyamedve

45 kg

6

M A T E M A T I K A I P O N T V E R S E N Y

rovatvezetők: Csík Zoltán, Kósa Tamás és Magyar Zsolt

Feladatok csak 5. osztályos tanulóknak

B. 1258. Gombóc Artúr 2017. december 31-én újévi fogadalmat tesz. 2018. január elsejétől kezdve egy speciális 100 napos fogyókúrába kezd, amelyben minden nap csokievés előtt először ki kell számolnia, hány tábla csokit ehet meg azon a napon (a kiszámított mennyiséget meg is eszi). Egy 2018-as nap sor-száma azt jelenti, hogy az a nap hányadik nap az évben. Ha a nap sorszáma páros, akkor Artúr éppen annyi csokit ehet meg, mint a feleakkora sorszámú napon. (Például a 26. napon ugyanannyi csokit ehet meg, mint a 13. napon.) Ha a nap sorszáma 1-nél nagyobb páratlan szám, akkor pedig 1-gyel kevesebb cso-kit ehet meg, mint majd a következő napon. Artúr úgy kezdi január 1-jén a cso-kievést, hogy január 9-én pontosan 3 tábla csokit ehessen meg. Hány tábla csokit eszik Gombóc Artúr 2018. március 5-én?

B. 1259. Egy zsákban 10 piros golyó, 6 zöld golyó és 4 fehér golyó van. A golyók tapintásra egyformák. A zsákból becsukott szemmel kiveszünk golyókat.

a) Legalább hány golyót kell kivenni ahhoz, hogy biztosan közöttük legyen az összes piros?

b) Legalább hány golyót kell kivenni ahhoz, hogy biztosan közöttük legyen valamelyik színűből mindegyik?

c) Legfeljebb hány golyót lehet kivenni ahhoz, hogy biztosan ne legyen kö-zöttük mindegyik színű golyóból?

d) Legfeljebb hány golyót lehet kivenni ahhoz, hogy biztosan ne legyen kö-zöttük négy piros?

Feladatok 5. és 6. osztályos tanulóknak

B. 1260. Öt fiú egy focimeccs kapcsán tippeket mond a meccsel kapcsolatos különböző eseményekre. A két ellenfél a Kisparti Rókák és a Nagyfalvi Farka-sok csapata. Az alábbiakban láthatjuk, hogy mire tippeltek. Ambustán: A Rókák több gólt lőnek, mint a Farkasok. Az első félidőben a Far-kasok fognak vezetni. Belizár: A meccs döntetlennel ér véget. A Rókák 3 gólt fognak lőni. Ciporján: A meccsen a győztes egy góllal fog nyerni. A félidőben a későbbi vesztes áll majd nyerésre. Dezmér: A Farkasok 3 gólt fognak lőni. A Rókák nyerik a mérkőzést.

7

Ekese: A második félidőben mindkét csapat 1-1 gólt fog rúgni. A Farkasok nye-rik a mérkőzést. Mindenkinek egy igaz állítása lett, és egy hamis. Mi volt a félidőben az ered-mény? Mi lett a mérkőzés végeredménye?

B. 1261. Albert útkarbantartó munkás. Télen a hidegben egy 100 méter hosszú útszakaszt kell felsóznia. Az útszakasz mindkét végén van egy-egy út-szórósó-tároló konténer. Albert egyszerre 10 méterre való útszóró sót tud magá-val vinni. Elindul az egyik konténertől, megszór sóval 10 métert az útból, majd elmegy sóért, mindig a közelebbi konténerhez (amikor éppen középen van, ak-kor mindegy, melyikhez), sót vesz magához, és folytatja a sószórást. Amikor végez, az útszóró só szállításához használt kis vödröt visszaviszi a hozzá köze-lebb eső konténerhez. Hány métert gyalogol összesen, ha a lehető legkevesebb utat fogja megtenni?

B. 1262. Hét pontot rajzoltunk az ábrán látható módon. Ezek-hez a pontokhoz összesen öt olyan egyenes található, melyek mindegyikén pontosan három van a megadott pontok közül. (Az egyeneseket az ábrán feltüntettük. A pontok csak a jobb láthatóság kedvéért vannak kis pöttyökkel megjelenítve, egyébként nincs kiterjedésük.) Rajzoljunk a megadott hét ponthoz újabb(ak)at úgy, hogy az ilyen egyenesek száma pontosan 10 legyen! Oldjuk meg a feladatot minél kevesebb új pont hoz-závételével!

Feladatok csak 6. osztályos tanulóknak

B. 1263. Gombóc Artúr 2017. december 31-én újévi fogadalmat tesz. 2018. január elsejétől kezdve egy speciális 200 napos fogyókúrába kezd, amelyben minden nap csokievés előtt először ki kell számolnia, hány tábla csokit ehet meg azon a napon (a kiszámított mennyiséget meg is eszi). Egy 2018-as nap sor-száma azt jelenti, hogy az a nap hányadik nap az évben. Ha a nap sorszáma páros, akkor Artúr éppen annyi csokit ehet meg, mint a feleakkora sorszámú napon. (Például a 26. napon ugyanannyi csokit ehet meg, mint a 13. napon.) Ha a nap sorszáma 1-nél nagyobb páratlan szám, akkor pedig 1-gyel kevesebb cso-kit ehet meg, mint majd a következő napon. Artúr úgy kezdi január 1-jén a cso-kievést, hogy január 9-én pontosan 3 tábla csokit ehessen meg. Hány tábla csokit eszik Gombóc Artúr 2018. május 7-én?

B. 1264. Pisti téglatest alakú akváriumának magassága 20 cm, alapja 50 cm 30 cm. Tisztítás közben megdöntötte az akváriu-mot, úgy, hogy az egyik 30 cm-es élére támaszkodott. Ekkor az

8

ábrán látható módon nézett ki oldalról az akvárium a benne levő vízzel együtt. A víz pontosan az 50 cm-es él közepéig ért. Hány cm magasságig állt benne a víz, amikor visszadöntötte az akváriumot az asztalra?

Feladatok csak 7. osztályos tanulóknak

C. 1366. Albert útkarbantartó munkás. Télen a hidegben egy 200 méter hosszú útszakaszt kell felsóznia. Az útszakasz mindkét végén van egy-egy út-szórósó-tároló konténer. Albert egyszerre 10 méterre való útszóró sót tud magá-val vinni. Elindul az egyik konténertől, megszór sóval 10 métert az útból, majd elmegy sóért, mindig a közelebbi konténerhez (amikor éppen középen van, ak-kor mindegy, melyikhez), sót vesz magához, és folytatja a sószórást. Amikor végez, az útszóró só szállításához használt kis vödröt visszaviszi a hozzá köze-lebb eső konténerhez. Hány métert gyalogol összesen, ha a lehető legkevesebb utat fogja megtenni?

C. 1367. Pisti téglatest alakú akváriumának magassága 20 cm, alapja 50 cm 30 cm. Az akváriumban 18 cm magassá-gig állt a víz, amikor az alja lent volt a szekrényen. Pisti tisztítás közben megdöntötte az akváriumot, úgy, hogy az egyik 30 cm-es élére támaszkodott, és a víz egy része kifolyt az akvárium felső peremén át. Ekkor az ábrán láthatóhoz hasonlóan nézett ki oldalról az akvárium a benne levő vízzel együtt. A víz a megdöntött helyzetben az 50 cm-es élen az alsó pontjától

számított 54 részéig ért fel. Hány liter víz folyt ki az akváriumból?

Feladatok 7. és 8. osztályos tanulóknak

C. 1368. Adjunk meg négy olyan 50-nél kisebb különböző prímszámot, me-lyek közül bármely három összege prímszám!

C. 1369. Egy billiárdasztalon a P ponttal jel-zett sarokból a megjelölt irányban elindítunk egy golyót. A golyót elég nagy sebességgel löktük meg ahhoz, hogy eljusson az S pontba. Hányszor fog falon pattanni, amíg S-be ér?

C. 1370. Öt fiú egy focimeccs kapcsán tippeket mond a meccsel kapcsolatos különböző eseményekre. A két ellenfél a Kisparti Rókák és a Nagyfalvi Farka-sok csapata. Az alábbiakban láthatjuk, hogy mire tippeltek. Ambustán: A Rókák több gólt lőnek, mint a Farkasok. A Farkasok legalább 2 gólt lőnek.

96 cm45

240 cmP Q

RS

9

Belizár: A meccs nem döntetlennel ér véget. A Rókák 1 gólt fognak lőni. Ciporján: A meccsen a győztes két góllal fog nyerni. A félidőben a Farkasok állnak majd nyerésre. Dezmér: A Farkasok nem lőnek gólt. A Rókák nyerik a mérkőzést. Ekese: A második félidőben a Rókák kétszer annyi gólt rúgnak, mint a farkasok. A mérkőzés döntetlennel zárul. Mindenkinek egy igaz állítása lett, és egy hamis, továbbá senki sem rúgott ön-gólt. Mi volt a félidőben az eredmény? Mi lett a mérkőzés végeredménye?

C. 1371. Gombóc Artúr 2017. december 31-én újévi fogadalmat tesz. 2018. január elsejétől kezdve egy speciális fogyókúrába kezd, amelyben minden nap csokievés előtt először ki kell számolnia, hány tábla csokit ehet meg azon a na-pon (a kiszámított mennyiséget meg is eszi). A fogyókúra 2018. december 30-ig tart. Egy 2018-as nap sorszáma azt jelenti, hogy az a nap hányadik nap az évben. Ha a nap sorszáma páros, akkor Artúr éppen annyi csokit ehet meg, mint a feleakkora sorszámú napon. (Például a 26. napon ugyanannyi csokit ehet meg, mint a 13. napon.) Ha a nap sorszáma 1-nél nagyobb páratlan szám, akkor pedig 1-gyel kevesebb csokit ehet meg, mint majd a következő napon. Artúr úgy kezdi január 1-jén a csokievést, hogy január 9-én pontosan 3 tábla csokit ehessen meg. Hány tábla csokit eszik Gombóc Artúr 2018. december 24-én?

Feladatok csak 8. osztályos tanulóknak

C. 1372. Az ABCD négyszög oldalai AB = 8 cm, BC = = 7 cm, CD = 6 cm és DA = 5 cm hosszúak. Az ABD és BCD háromszögek beírható köre a BD átlót rendre az F és E pon-tokban érinti. Milyen hosszú az EF szakasz?

C. 1373. Melyek azok az 1000-nél kisebb pozitív egész n számok, melyek négyzetének végződése éppen n ?

Beküldési határidő: 2018. január 12.

A megoldásokat az alábbi címre küldjétek:

MATEMATIKA pontverseny 1437 Budapest, Pf. 774

A novemberben kitűzött feladatok megoldásai

B. 1251. Hány olyan legfeljebb háromjegyű szám van, amelyben az 1 és 2 számje-gyek pontosan egyszer szerepelnek?

A G B

C

D

F

H

I

JE

10

Megoldás: Készítsünk először 2-jegyű számokat, ezekből összesen kettő darab van, a 12 és a 21. Ha háromjegyű számot akarunk készíteni, akkor a megfelelő kétjegyű számokat pontosan egy darab 2-nél nagyobb számjeggyel vagy egy 0-val kell kiegészíteni. 0-t összesen 2 helyre illeszthetünk be: 102, 120, 201, 210, ebből tehát összesen 4 db van. A többi számjegyet már előre is berakhatjuk, tehát 3 helyre, így ezekből beillesztett számjegyenként 6 darab van. Pl. a 3-assal 312, 132, 123, 321, 231, 213. Mivel a beilleszthető számjegyek darabszáma 7, ezért ebben az esetben összesen 7 6 = 42 megfelelő ilyen háromjegyű számot találunk. A keresett legfeljebb háromjegyű számok száma tehát 2 + 4 + 7 6 = 48.

B. 1252. Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben az első két számjegy összege meg-egyezik a harmadik számjeggyel, az első három számjegy összege megegyezik a negye-dik számjeggyel, és az első négy számjegy összege megegyezik az ötödik számjeggyel?

Megoldás: Ha az első két számjegy összege megegyezik a harmadik számjegy-gyel, akkor az első három számjegy összege megegyezik az első két számjegy összegének kétszeresével. A negyedik számjegy tehát egyenlő az első két szám-jegy összegének kétszeresével. Hasonlóan látható, hogy az első négy számjegy összege az első két számjegy összegének négyszerese, ez éppen az ötödik szám-jeggyel egyenlő. Az ötödik számjegy tehát egy egész szám négyszerese, vagyis 4 vagy 8 (0 nem lehet, mert akkor a szám nem lenne ötjegyű). Ha 4, akkor az első két számjegy összege 1, tehát az első két számjegy 1 és 0, ilyen szám csak egy van, a 10124. Ha az utolsó számjegy 8, akkor az első két számjegy összege 2, vagyis 11 vagy 20 lehet a szám kezdete. A megfelelő számok a 11248, illetve a 20248. Tehát összesen három megfelelő számot találhatunk.

B. 1253. Írjuk be az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 és 9 számokat a kis háromszö-gekbe úgy, hogy a nagy háromszög egy-egy oldalához tartozó öt kis há-romszögben a számok összege ugyanannyi legyen!

Megoldás: például:

1

9 5 8

3 4 7 6 2

B. 1254. Rakjunk ki minél többféleképpen egy 4×4-es négyzetet az alábbi négy tetrami-nolapból! (A tetraminolapokat el lehet forgatni. Két kirakást azonosnak tekintünk, ha forgatással vagy tükrözéssel egymásba vihetőek.)

Megoldás: A 2 2-es négyzet há-romféle helyen lehet (sarokban, oldalközépen, középen). Az ábrán látható négyféle kirakás létezik.

11

B. 1255. a) Egy múzeum egyik szintjén 16 terem van 4 4-es elrende-zésben. Két szomszédos terem között mindenhol van ajtó. Melyik teremből elindulva járhatjuk be mind a 16 termet úgy, hogy minden teremben egy-szer járunk?

b) A múzeum másik szintjén 25 terem van 5 5-ös elrendezésben. Két szomszédos terem között mindenhol van ajtó. Melyik teremből elindulva járhatjuk be mind a 25 termet úgy, hogy minden teremben egyszer járunk?

Megoldás: a) A szimmetria miatt elegendő három terem-ből megnézni, hogy be lehet-e járni a múzeumot a feltételek-nek megfelelően (ponttal je-löljük az ábrákon a kiindulási termet). Látható, hogy bármelyik teremből kiin-dulva a múzeum termei bejárhatók a feltételnek megfelelően. b) Ha sakktáblaszerűen kiszínezzük a termeket, akkor a sarokme-zővel megegyező színű termekből 13, a másik színűből 12 van, így csak a sarokmezővel megegyező színű mezőről lehet indulni, hi-szen a bejárás során a két szín felváltva követi egymást. Ha másik színű mezőről indulunk, akkor nem tudjuk bejárni a termeket a fel-tételek szerint. Szimmetria miatt elegendő négy teremből megnézni, hogy be lehet-e járni a mú-zeumot a feltételeknek megfelelően. Az ábrákon látható, hogy a bejárás a meg-jelölt termek mindegyikéből teljesíthető.

B. 1256. Hány olyan legfeljebb négyjegyű szám van, amelyben az 1, 2 és 3 számje-

gyek pontosan egyszer szerepelnek, tetszőleges sorrendben?

Megoldás: Készítsünk először 3-jegyű számokat, ezekből összesen 6 darab van, a 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ha négyjegyű számot akarunk készíteni, akkor a megfelelő háromjegyű számokat pontosan egy darab 3-nél nagyobb számjeggyel vagy egy 0-val kell kiegészíteni. 0-t összesen 3 helyre illeszthetünk be bármelyik háromjegyű számba, ebből tehát összesen 3 6 = 18 db van. A többi számjegyet már előre is berakhatjuk, tehát 4 helyre, így ezekből beillesz-tett számjegyenként 4 6 = 24 darab van. Mivel a beilleszthető számjegyek da-rabszáma 6, ezért ebben az esetben összesen 6 24 = 144 megfelelő ilyen négy-jegyű számot találunk. A keresett legfeljebb négyjegyű számok száma tehát 6 + 18 + 144 = 168.

12

B. 1257. Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben az első két számjegy összege megegyezik a harmadik számjeggyel, és az első három számjegy összege megegyezik a negyedik számjeggyel?

Megoldás: Ha az első két számjegy összege megegyezik a harmadik számjegy-gyel, akkor az első három számjegy összege, azaz a negyedik számjegy meg-egyezik az első két számjegy összegének kétszeresével. A negyedik számjegy tehát páros, azaz 2, 4, 6 vagy 8 (a 0 nyilván nem megfelelő). Ha a negyedik számjegy 2, akkor az első két számjegy összege 1, tehát csak az 1012 a megfe-lelő szám. Ha az utolsó számjegy 4, akkor az első két számjegy összege 2, vagyis 11 vagy 20 lehet a szám kezdete. A megfelelő számok az 1124, illetve a 2024. Ha az utolsó számjegy 6, akkor az első két számjegy összege 3, vagyis 30, 21 vagy 12 lehet a szám kezdete. A megfelelő számok a 3036, a 2236 és az 1236. Ha az utolsó számjegy 8, akkor az első két számjegy összege 4, vagyis 40, 31, 22 vagy 13 lehet a szám kezdete. A megfelelő számok a 4048, a 3148, a 2248 és az 1348. Tehát összesen tíz megfelelő számot találhatunk.

C. 1358. Egy szakács egy vörösboros szószt főz. A szószba a belevaló szilárd (víz-mentes) összetevőkön kívül csak vörösbort önt folyadékként, így a teljes szószmennyiség 12%-a alkohol és 80%-a víz. A szószt addig forralja, amíg az összes alkohol el nem páro-log belőle, a víz egy részével együtt. A szósz mennyisége a felére csökkent a forralás során. A kapott sűrű szósznak hány százaléka víz?

Megoldás: Legyen a szósz mennyisége kezdetben x. A teljes szószmennyiség 92%-a az alkohol és a víz, ezért 8%-a a szilárd rész, tehát ennek mennyisége 0,08x. A forralás után megmaradó 0,5x mennyiségű szószban 0,42x a víz, azaz a teljes mennyiség 84%-a.

C. 1359. Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben az első két számjegy összege megegyezik a harmadik számjeggyel?

Megoldás: A harmadik számjegy értékétől függően találhatunk eseteket. Ha a harmadik számjegy 9, akkor az első számjegy 9-től 1-ig bármi lehet, a második számjegy értéke már adódik. Ez 9 lehetőség. Hasonlóan láthatjuk, hogy ha a harmadik számjegy 8, akkor 8 megfelelő számot találunk, és így tovább egészen a harmadik számjegy 1-es értékéig. Ez összesen 9 + 8 + 7 + + 1 = 45 lehetőséget jelent.

C. 1360. Két különböző prímszám összegének és különbségének mennyi lehet a leg-nagyobb közös osztója?

Megoldás: Legyen p és q a két prím (q < p). p + q és p – q legnagyobb közös osz-tója a különbségüknek is osztója, azaz 2q-nak is. Tehát 1, 2, q vagy 2q lehet csak. Mivel p + q nem osztható q-val (hiszen p nem osztható q-val), így a legnagyobb közös osztó 1 vagy 2 lehet csak. Ha q = 2, akkor a legnagyobb közös osztó 1, ha q > 2, akkor mindkét prím páratlan, ekkor a keresett legnagyobb közös osztó 2.

13

C. 1361. Egy pozitív egész szám számjegyeinek összege 21. Az utolsó számjegy nélkül a számjegyek összege páros, az utolsó két számjegy nélkül a számjegyek összege osztható 3-mal, az utolsó három számjegy nélkül a számjegyek összege osztható 4-gyel és így tovább (ha már csak az első számjegy marad, akkor a számjegyek összegének az első számjegyet tekintjük). Hány jegyű lehet ez a szám?

Megoldás: Ha a szám n jegyű, akkor az első számjegye szükségképpen n, tehát a szám legfeljebb 9 jegyű lehet. Mivel a számjegyek összege nagyobb 9 + 9 = 18-nál, így a szám legalább háromjegyű. Három-, négy-, öt-, hat- és hétjegyű szám lehet, lásd a lenti példákat. 399; 4287; 53427; 642621; 7531221 Nyolcjegyű szám nem lehetséges, mert ekkor az első számjegye 8, a második 6 (így lesz 7-tel osztható az első két számjegy összege), a harmadik 4 (így lesz 6-tal osztható az első három számjegy összege), a negyedik 2 (így lesz 5-tel osztható az első négy számjegy összege), az ötödik 0 (így lesz 4-gyel osztható az első 5 számjegy összege), a hatodik 1 (így lesz 3-mal osztható az első hat számjegy összege). Ekkor a számjegyek összege már 8 + 6 + 4 + 2 + 0 + 1 = 21 és a fennmaradó két számjegy 0 nem lehet, mert 21 nem osztható 2-vel. Kilencjegyű szám sem lehetséges, mert ekkor az első számjegye 9, a második 7 (így lesz 8-cal osztható az első két számjegy összege), a harmadik 5 (így lesz 7-tel osztható az első három számjegy összege), de ez már 21, és a többi szám-jegynek 0-nak kéne lennie, azonban ha a negyedik számjegy 0, akkor nem lesz 5-tel osztható az első négy számjegy összege.

C. 1362. a) Egy múzeum egyik szintjén 16 terem van 4 4-es elrende-zésben. Két szomszédos terem között mindenhol van ajtó. Melyik terem-ből elindulva járhatjuk be mind a 16 termet úgy, hogy minden teremben egyszer járunk?

b) A múzeum másik szintjén 25 terem van 5 5-ös elrendezésben. Két szomszédos terem között mindenhol van ajtó. Melyik teremből elindulva járhatjuk be mind a 25 termet úgy, hogy minden teremben egyszer járunk?

Megoldás: a) A szimmetria miatt elegendő három terem-ből megnézni, hogy be lehet-e járni a múzeumot a feltételek-nek megfelelően (ponttal je-löljük az ábrákon a kiindulási termet). Látható, hogy bármelyik teremből kiindulva a múzeum termei bejárhatók a feltételnek megfelelően. b) Ha sakktáblaszerűen kiszínezzük a termeket, akkor a sarokme-zővel megegyező színű termekből 13, a másik színűből 12 van, így csak a sarokmezővel megegyező színű mezőről lehet indulni,

14

hiszen a bejárás során a két szín felváltva követi egymást. Ha másik színű me-zőről indulunk, akkor nem tudjuk bejárni a termeket a feltételek szerint. Szimmetria miatt elegendő négy teremből megnézni, hogy be lehet-e járni a mú-zeumot a feltételeknek megfelelően. Az ábrákon látható, hogy a bejárás a meg-jelölt termek mindegyikéből teljesíthető.

C. 1363. Hány olyan legfeljebb hatjegyű szám van, amelyben az 1, 2, 3, 4, 5 szám-

jegyek pontosan egyszer szerepelnek, tetszőleges sorrendben?

Megoldás: Készítsünk először 5-jegyű számokat, ezekből összesen 5 4 3 2 1 = = 120 db van. Ha hatjegyű számot akarunk készíteni, akkor a megfelelő ötjegyű számokat pontosan egy, 5-nél nagyobb számjeggyel vagy 0-val kell kiegészí-teni. 0-t összesen 5 helyre illeszthetünk be, így az ilyen módon kapható hatjegyű számokból összesen 600 db van. A többi számjegyet már előre is, tehát 6 helyre illeszthetjük be, ezekből tehát típusonként 720 darab van. Mivel a beilleszthető számjegyek darabszáma 4, ezért összesen 4 720 megfelelő számot találunk. A keresett legfeljebb hatjegyű számok száma tehát 120 + 5 120 + 4 6 120 = 3600.

C. 1364. Egy vizsgán 30 fő vett részt. Azok, akik megbuktak, 60 pontos átlagot tel-jesítettek, míg azok, akik átmentek, 84 pontos átlagot értek el. A vizsga átlagpontszáma 80 lett. Hányan mentek át a vizsgán?

Megoldás: x fő ment át, és 30 – x fő bukott meg a vizsgán. Tudjuk, hogy a vizs-gán elért pontszámok összege 30 80 = 2400. A bukottak, illetve a sikeres vizsgát tett vizsgázók összpontszáma 84x és 60 (30 – x). Ezek összege 2400, tehát 60 (30 – x) + 84x = 2400. Rendezve az x = 25 értéket kapjuk. Tehát a vizsgán 25-en mentek át.

C. 1365. Egy regény három kötetben jelent meg. Mindhárom kötet azonos oldal-számú, és az oldalakat a három kötetben az első oldaltól az utolsóig folyamatosan szá-mozták meg (1-essel kezdve a számozást). A három kötet első oldalszámainak összege 1353. Hány oldalas a regény?

Megoldás: Ha x oldalas egy-egy könyv, akkor az első oldalszámok 1, x + 1 és 2x + 1. Így 3x + 3 = 1353, innen rendezéssel az x = 450-et kapjuk. Tehát egy-egy könyv 450 oldalas, így a regény 1350 oldalas.

A Matematikai pontverseny feladatait és megoldásait Nagy Tibor lektorálta.

15

T E S Z T E S V E R S E N Y

Válogatás a Zrínyi Ilona Matematikaverseny feladataiból

A 2018. évi Zrínyi Ilona Matematikaverseny első fordulója február 16-án (pén-teken) 14 órakor lesz. A versenyre való felkészülés elősegítésére a régi versenyek feladataiból tesztes feladatsorokat állítottunk össze 3-8. osztályos tanulóknak. A helyes megoldást beküldők között könyveket sorsolunk ki. Beküldeni csak a he-lyes válaszok betűjelét kell, a feladatok megoldását nem. A megoldások mellett kérjük feltüntetni a beküldő nevét, címét, iskoláját és osztályát!

Feladatok 3-4. osztályos tanulóknak

1. Erika a 0; 1; 2; 3 és 4 számok közül az egyiket beírta az ábra üres mezőjébe. Ezután megállapította, hogy a körben lévő számok összege egyjegyű szám. Melyik számot írta Erika az üres mezőbe? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

2. Éhes Farkas törzsfőnök és három fia (Puha Toll, Szálló Por és Mérges Pók) varázsbogyót gyűjtöttek. Éhes Farkas 5, Puha Toll 7, Szálló Por 11, Mérges Pók 13 varázsbogyót talált. A gyűjtés után a bogyókat közösen elfogyasztották. Hány bogyót evett Éhes Farkas, ha ő annyit evett, mint a fiai összesen? (A) 5 (B) 9 (C) 12 (D) 18 (E) 31

3. A Tál-Ész főzőversenyre néhány matematikatanár is nevezett. Bármely 7 nevező között legalább 1 és legfeljebb 3 matematikatanár volt. Hányan neveztek a versenyre, ha a nevezők száma a lehető legtöbb volt? (A) 3 (B) 6 (C) 7 (D) 9 (E) Ezekből az adatokból nem lehet meghatározni.

4. Furfang, a Trükkös Cirkusz bohóca a következő szavakkal mutatja be Pi-tonkát, a cirkusz kígyóját: „Hölgyeim és Uraim! Színpadon Pitonka, a félelme-tes kígyó, aki, ha 450 cm-t nőne, pontosan 5 m hosszú lenne.” Hány deciméter hosszú Pitonka? (A) 5 (B) 50 (C) 450 (D) 500 (E) 545

5. Anna egy téglalap alakú csokoládét kapott ajándékba, amely egyforma tég-lalap alakú darabokból állt. A csokit úgy ette, hogy mindig a meglévő csokinak vagy egy egész sorát, vagy egy egész oszlopát törte le. Az első letört csokirész 18 dekagrammos volt, a második 9 dekagrammos, a harmadik pedig 15 deka-grammos. Hány dekagramm csokija maradt, miután ezeket elfogyasztotta? (A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 42 (E) 72

20 1

6

16

6. Az állatok szépségversenyének döntőjébe a bagoly, a róka, a pávián és az oroszlán jutott be, és egyikük nyerte a versenyt. Az eredményhirdetés után a bagoly és az oroszlán azt mondta, hogy a róka nyert. A róka azt állította, hogy a bagoly nyert, a pávián saját magát hirdette ki győztesnek. Melyik állat lett a győztes, ha egyikük sem mondott igazat?

(A) a bagoly (B) a róka (C) a pávián (D) az oroszlán (E) Ezekből az adatokból nem lehet meghatározni.

7. A negyedikesek Kala Pál tanár úrral technikaórán ujjbá-bot készítettek (lásd 1. ábra). Pöttyöske a 2. ábrán látható ka-lappal és nyakkendővel díszítette munkáját. Melyik ujjbábot készítette Pöttyöske?

(A) (B) (C) (D) (E)

8. Sanyi és Imi összehasonlították, hogy a húsvéti tojásvadászaton mennyi to-jást gyűjtöttek. Megállapították, hogy Imi háromszor annyi tojást gyűjtött, mint Sanyi. Azt is kiszámolták, hogy ha Imi hat tojást adna Sanyinak, akkor Iminek kétszer annyi tojása maradna. Hány tojást adjon Imi Sanyinak, hogy mindkettő-jüknek ugyanannyi tojása legyen?

(A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 30 (E) 36

9. A bolhacirkuszban a bolhák két porondon várják az előadás kezdetét. A kék színű porondon hússzal több bolha van, mint a piros színű porondon. A bolha-idomár csettintésére mindkét porondról az ott lévő bolhák fele egyszerre átugrik a másik porondra. Melyik porondon és mennyivel lesz több bolha az ugrás után?

(A) A piros színűn lesz több hússzal. (B) A piros színűn lesz több tízzel. (C) Mindkét porondon ugyanannyi bolha lesz. (D) A kék színűn lesz több tízzel. (E) Ezekből az adatokból nem lehet meghatározni.

10. Seholsincs-szigeten kétféle ember él: igazmondó, aki mindig igazat mond, és hazudós, aki mindig hazudik. Egy napon a szigetre téved egy kíváncsi vándor, aki szeretné kideríteni három szigetlakóról, Samuról, Tóniról és Manóról, hogy melyik csoportba tartoznak. Megkérdezi Samut: „Te igazmondó vagy?” Samu válaszol ugyan, de a vándor nem érti, hogy mit mond. Ezért megkérdezi Tónit:

1. ábra 2. ábra

17

„Mit mondott Samu?” Tóni így válaszol: „Azt mondta, hogy nem.” Ekkor köz-beszól Manó: „Ne higgy Tóninak, hazudik!” Melyik szigetlakóról tudhatja biz-tosan a vándor, hogy melyik csoportba tartozik?

(A) Tóniról és Samuról (B) Tóniról és Manóról (C) csak Manóról (D) Manóról és Samuról (E) Tóniról, Samuról és Manóról

Feladatok 5-6. osztályos tanulóknak

1. Niki a farsangi bálra 20 álarcot készített, melyek közül 15 álarcra csillám-port tett, 15 álarcra pedig szalagot. Mindegyik álarcra tett csillámport vagy sza-lagot. Hány álarcra került csillámpor és szalag?

(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 15 (E) 20

2. A vadvirágos rét egyik oldalán őzikék, a másik oldalán nyulak legelésznek, összesen huszonnégyen. Ha 2 nyúl átmenne az őzikékhez, akkor ott kétszer any-nyi állat lenne, mint a másik oldalon. Mennyi a legelésző őzikék számában a számjegyek összege?

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 9

3. Egy süteményes tálon 16 sütemény volt 4 sorban és 4 osz-lopban elrendezve. Minden sütemény tetején egy marcipánból készült szám állt úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a süteményeken álló számok összege ugyanannyi volt. Csaba me-gevett néhány marcipánszámot a süteményekről. A táblázat a megmaradt számokat mutatja. Hány éves Csaba, ha a megevett marcipánszámok összege éppen annyi, ahány éves?

(A) 32 (B) 35 (C) 47 (D) 49 (E) Ezekből az adatokból nem lehet meghatározni.

4. Hét kulcs van felfűzve egy karikára. A kulcsok ránézésre megkülönböztet-hetetlenek, és két oldaluk egyforma. A kulcsokat szeretnénk megkülönböztetni, ezért mindegyikre egy-egy színes sapkát húzunk. Hány színre van szükségünk, ha a lehető legkevesebb színt használjuk fel?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (E) 7

5. Kata éppen a „Könnyű álmot hozzon az éj” szövegű slágert hallotta a rá-dióban, és eldöntötte, hogy kiszámolja az ÁLOM szó értékét. Minden betűhöz hozzárendelt egy számértéket, a szavakhoz pedig a benne lévő betűk értékeinek

5 6 7

7

8 2 6

4

18

összegét. Az ÁLARC és ARCOM szavak értékeinek összege 20-szal több lett az ARC szó értékénél. Mennyi az ÁLOM szó értéke, ha az ARC szó értéke 5?

(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20 (E) Ezekből az adatokból nem lehet meghatározni.

6. Micimackó a mézet mindig egyforma mézes csuprokban tartja. Hányszor annyi mézes csuporra lesz szüksége jövőre, mint az idei évben, ha jövőre kétszer annyi mézet fele akkora csuprokban szeretne tárolni, mint az idén?

(A) negyedannyi (B) feleannyi (C) ugyanannyi (D) kétszerannyi (E) négyszer annyi

7. Peti az ábrán látható alakzatot kiegészítette egy négyzettel. Me-lyiket nem kaphatta?

(A) (B) (C) (D) (E)

8. Kezdetben Fekete Endre ezerhetvenegy fekete tehene meg Tehenes Elek negyven nem fekete tehene Szeged mellett egy meleg helyen legeltek. Ezek mel-lett Fecske Emese kecskeserege evett. Fekete tehenek hetede, meg nem fekete tehenek fele, meg hetven kecske elment hegyekbe, mert meleget nem szerette. Ezzel Szeged mellett tehenek meg kecskesereg kevesebben, ezeregyen lettek. Mely lehet jelenleg Szeged mellett kecskesereg hetede?

(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 12 (E) 19

9. Katinak három olyan hatszöge van, amelyek mindegyike három darab 1 cm oldalú négyzetre bontható (lásd ábra). A három hatszöget átfedés nélkül egymáshoz illesztve egy sokszöget készít úgy, hogy a sokszög minden oldalának hossza centiméterben mérve egész szám legyen. Hány különböző szám lehet a készítendő sokszög kerülete centiméterben mérve?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

10. Jani, Pista és Feri egy kör alakú pályán korcsolyáztak. Jani végig gyorsabb volt Pistánál, de végig lassabb volt Ferinél. Egyszerre, egyirányba, egy helyről indultak, és akkor álltak meg, amikor mind a hárman egyszerre újra az indulási helyre értek. Eközben Feri négyszer előzte meg Pistát. Hány előzés volt össze-sen? (Előzés az, amikor az egyik korcsolyázó utoléri, majd elhagyja a másikat.)

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) Ezekből az adatokból nem kehet meghatározni.

19

Feladatok 7-8. osztályos tanulóknak

1. Melyik dominót kell megfordítani ahhoz, hogy a dominók felső részein lévő pöttyök számá-nak összege egyenlő legyen a dominók alsó ré-szein lévő pöttyök számának összegével?

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E

2. A 4 cm2 területű ABCD négyzet átlóinak metszéspontjára úgy illesztettük az EFGH négyzet egyik csúcsát, hogy az ABCD négyzet két szomszédos csúcsa illeszkedik az EFGH négyzet két szomszédos oldalának felezőpontjára. Ezután beszíneztük pirosra a két négyzetet, a közös részük kivételével. Hány négyzet-centiméter a piros színű részek területének összege?

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11

3. Az ABCD paralelogramma AB oldala hosszabb, mint a 2 cm hosszú BC oldala. Az AC átló felező merőlegese az AB oldalt az E pontban metszi. A CE szakasz felezi az ACB és a BEO szögeket, ahol O a paralelogramma átlóinak metszéspontja. Hány centiméter a paralelogramma átlói hosszának összege? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

4. Egy elektronikus lakatot úgy lehet kinyitni, ha a rajta lévő nyi-lak mindegyikét egymás után egyszer a nyitási kód szerinti sorrend-ben megérintjük (lásd ábra). Három sikertelen próbálkozás után a la-kat 4 percen át zárva marad, és csak ezután lehet újból a nyitással próbálkozni. Minden próbálkozás ideje 5 másodperc. Mennyi az az idő, ami alatt a lakatot biztosan ki tudjuk nyitni, ha a nyitási kódot nem ismerjük, és egyik kódot sem próbáljuk egynél többször?

(A) 15 perc (B) 16 perc 20 másodperc (C) 28 perc

(D) 28 perc 40 másodperc (E) 30 perc

5. Egy kerek asztalnál hazugok és igazmondók ülnek, összesen 22-en. Tud-juk, hogy minden hazugnak a két szomszédja közül pontosan az egyik hazug. A 22 ember közül 8-an azt mondják, hogy nekik pontosan egy hazug szomszédjuk van, a többiek pedig azt, hogy mindkét szomszédjuk hazug. Hány hazug ül az asztalnál? (Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazugok mindig hazud-nak.)

(A) 7 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14

A B C D E

20

6. Az ábrán öt város (A, B, C, D és E) közötti úthálózat lát-ható. A szomszédos városokat összekötő utak hossza 10 km. Hány különböző, 30 km hosszúságú út van az A és E városok között?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

7. Egy asztalon 10 nagy doboz van. Minden nagy doboz üres vagy 8 közepes doboz található benne. Minden közepes doboz üres vagy 8 kis doboz van benne. Összesen 80 doboz üres. Hány kis, közepes és nagy doboz van az asztalon ösz-szesen?

(A) 85 (B) 90 (C) 95 (D) 100 (E) 105

8. Kati eldöntötte, hogy január 1-től a havi zsebpénzéből kedvenc csokoládé-jának vásárlására havonta 8%-kal többet költ, mint eddig. Januártól azonban a kedvenc csokoládéja 20%-kal drágább lett. Hány százalékkal tud kevesebbet vá-sárolni kedvenc csokoládéjából a havi zsebpénzéből az idei év április hónapjá-ban, mint amennyit a tavalyi év április hónapjában az akkori havi zsebpénzéből tudott?

(A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 (E) 16

9. Egyforma méretű piros és kék színű korongjaink vannak. Ezekből a koron-gokból sorokat rakunk ki úgy, hogy minden sor elejére piros korongot teszünk, és a sorokban kék korongtól jobbra már csak kék korongot tehetünk. Hány kü-lönböző sort készíthetünk, ha egy sorba legfeljebb 63 korongot teszünk?

(A) 63 (B) 64 (C) 768 (D) 1024 (E) 2016

10. Az ABCD négyzet belsejében lévő P pontra AP = 2 cm, BP = 4 cm és CP = 6 cm. Hány fokos az APB szög?

(A) 130 (B) 135 (C) 140 (D) 145 (E) 150

Beküldési határidő: 2018. január 12.

Beküldési cím:

MATEGYE Alapítvány

6001 Kecskemét, Pf. 585

A

CB

ED

..

. ..

21

S Z Á M R E J T V É N Y

rovatvezetők: Mikulás Zsófia és Sebe Anna

A novemberben kitűzött számpiramis megfej-tése az 1. ábrán látható.

Most egy Jigsaw-kirakóst tűzünk ki megfej-tésre. Ezt a rejtvényt ugyanúgy játsszák, mint a Sudokut, azt kivéve, hogy a rácsban szabálytalan tömbök vannak, más néven ketrecek. Tehát a sza-bályok:

Az egyes oszlopok és az egyes sorok a szá-mokat csak egyszer tartalmazzák.

Minden ketrec az egyes számjegyeket csak egyszer tartalmazza.

A feladványt letölthetitek a www.mate-gye.hu honlapról is. A letöltés a nevezéshez használt sorszám és jelszó beírása után lehetsé-ges.

A beküldött megoldáson feltétlenül legyen rajta a neved, az évfolyamod és a nevezéskor használt sorszámod, hogy értékelni tudjuk! A megoldást ugyanerre a címre küldendő más ro-vat megoldásával is beküldheted.

Jó szórakozást a megoldáshoz!

A feladvány beküldési címe:

MATEGYE Alapítvány 6001 Kecskemét, Pf. 585

Beküldési határidő: 2018. január 12.

F I G Y E L E M !

Fontos tudnivaló, hogy csak a Lurkó-logika és a Matematikai pontverseny esetében van lehetőség arra, hogy felbélyegzett válaszboríték esetén a kijavított megoldásokat visszaküldjük, így a Sudoku és Számrejtvények rovat megoldá-sához ne mellékeljenek válaszborítékot, mert ezeket nem tudjuk visszaküldeni.

1 9 3 5 6

5 1 9

9 2 4 1

2 6 7 9

6 9 5 3

4 6 8 7

6 5 3 9

2 1 8

3 1 2 9 4

2. ábra

500 40 56

216640

1996

1200 796

820 380 416

180 200

140 160

1. ábra

22

B e s z á m o l ó a X X I V . A m f i t e á t r u m K u p á r ó l

Besnyőné Titter Beáta (Budapest)

Az Óbudai Árpád Gimnázium 24. alkalommal rendezte meg az Amfiteátrum Kupa Matematikaversenyt 2017. november 24-én. A verseny különlegességét az is adja, hogy a szerve-zők a 11. évfolyamos speciális matematika tagozatos diákok, természetesen tanári irányítással. A diákok munkájának szer-vezésében, a verseny lebonyolításában Meszlényiné Róka Ágnes tanárnő és a szervezők osztályfőnöke, Koncz Levente tanár úr nagyon sokat segített.

A versenyen ötödikes és hatodikos általános iskolai tanulók vehettek részt, két ötödikes és két hatodikos alkotott egy csapatot, de egyénileg is indulhattak a diákok. A feladatokat 75 perc alatt a szervező diákok felügyelete mellett egye-dül oldották meg a versenyzők. Amíg a gimnázium egykori és mai diákjainak egy lelkes csoportja a feladatok javításával foglalkozott, a versenyzőket érdekes fizika, kémiai kísérletek, biológia bemutató, lego robotok, elektronikai bemuta-tók, társasjátékok, kézműves foglalkozások várták az eredményhirdetésig. A verseny alatt a kísérő tanárok és érdeklődők a gimnázium diákjainak színes elő-adásait hallgathatták meg a gimnázium matematika táborának témáiról. A ver-senyzőket egyénileg és csapatban is értékeltük. Az idei kupán 265 diák vett részt 52 iskolából, 18 csapat versenyzett a fődíjért, az Amfi Kupáért, amelyet ebben a tanévben – már nem először – a Virányos Általános Iskola nyert.

A verseny fő támogatói voltak többek között: Mategye Alapítvány, ICO, Bringóhintó, Typotex Kiadó, Metzger ’97 Kft, Tácsik Pékség, Tantrix, Rama-soft, MVM, Vodafone, Árpád Gimnáziumért Közhasznú Egyesület, Árpád Gim-názium Szülői Közössége.

Eredmények

5. osztály

1. Hajós-Szabó Máté Dr. Béres József Általános Iskola tanára: Vályogosné Kertes Erzsébet 2. Sinoros-Szabó Zsombor Mindszenty József Római Katolikus Ált. Isk. tanára: Tunkelné Pócza Mária 3. Siklósi Péter Mindszenty József Római Katolikus Ált. Isk. tanára: Tunkelné Pócza Mária 4. Dobák Bálint Lauder Javne Általános Iskola és Gimnázium tanárai: Kanizsai Rita, Kósa Tamás

23

5. Mizik Lóránt Óbudai Nagy László Általános Iskola tanára: Borsos Irén 6. Müller Márton Virányos Általános Iskola tanára: Kovácsi Petra 7. Mészáros-Komáromy Botond Krúdy Gyula Általános Iskola tanára: Erdei Éva 8. Konkoly Sándor Mindszenty József Római Katolikus Ált. Isk. tanára: Tunkelné Pócza Mária 9. Dózsa Liána Medgyessy Ferenc Általános Iskola tanára: Jakab Géza 10. Mozsgai Lara Szentendrei II. Rákóczi Ferenc Ált. Isk. és Gimn. tanára: Nagy Zsuzsanna

6. osztály

1. Molnár Kristóf Virányos Általános Iskola tanára: Vajdáné Szili Mária 2. Dámosy Anna Fillér Utcai Általános Iskola tanára: Hajszár Hajnalka 3. Paulik Bálint Csillaghegyi Általános Iskola tanára: Paulikné Blaha Judit 4. Bunford Luca Virányos Általános Iskola tanárai: Verebes Ida, Vajdáné Szili Mária 5. Pribus Miksa Péter Karinthy Frigyes Magyar-Angol Két Tan. Nyelvű ÁI. tanára: Rónai Máté 6. Máth Boldizsár Angol Nyelvet Emelt Szinten Oktató Ált. Isk. tanára: Dr. Kaszáné Kristály Klára 7. Kristofics Kornél Kodály Zoltán Magyar Kórusiskola tanára: Gondos Tibor 8. Baranyai Dorka Angol Nyelvet Emelt Szinten Oktató Ált. Isk. tanára: Dr. Kaszáné Kristály Klára 9. Kádi Balázs Domokos Pál Péter Általános Iskola tanára: Hegedűs Katalin 10. Illanitz Samu Fillér Utcai Általános Iskola tanára: Hajszár Hajnalka

A csapatversenyt a Virányos Általános Iskola (Budapest) nyerte, így egy évig ők őrizhetik a Kupát. Második helyezett az Angol Nyelvet Emelt Szinten Oktató Általános Iskola (Budapest), a harmadik pedig a Mindszenty József Ró-mai Katolikus Általános Iskola (Budaörs) lett.

További információk a verseny honlapján olvashatók: www.amfikupa.hu

24

A verseny feladatai

5. osztály

1. Számítsd ki az alábbi műveletsor eredményét! 20 · 17 · 11 – 20 · 17 – 201 · 7 + 2 · 0 · 17 + 1 · 1 · 24

2. Melyik az a legkisebb ötjegyű pozitív egész szám, amelynek minden számje-gye páratlan (1, 3, 5, 7 vagy 9) és a) a számjegyeinek összege 13? b) a számjegyeinek összege 18? c) a számjegyeinek összege 23?

3. 125 fehér kiskockából építettünk egy nagy kockát, majd minden lapját egyformára kifestettük az ábra szerint. a) Hány olyan kiskocka keletkezett, amelynek pontosan egy lapja sötét? b) Hány olyan kiskocka keletkezett, amelynek pontosan két lapja sötét? c) Hány olyan kiskocka van, amelynek minden lapja fehér maradt?

4. Gabi hét egyforma golyót helyezett egy dobozba, melyek közül egyre 1-et, kettőre 2-t, négyre pedig 4-et írt. A dobozból kivett három golyót, összeadta a rajtuk lévő számokat, s utána visszatette a golyókat. Mi lehetett az összeadás eredménye?

5. Egy bolha ugrál a számegyenesen felváltva jobbra és balra. Minden ugrása eggyel hosszabb, mint az előző. A 0 pontból indul, s először az 1-re ugrik. a) Hol lesz a tízedik ugrás után? b) Hányadik ugrásra lesz a 24-es pontban? c) Hol lesz a 2017. ugrás után?

6. Brigi gondolt egy kétjegyű számot, a szám jegyeit összeszorozta, majd a ka-pott szám jegyeit ismét összeszorozta. Ezt addig ismételte, míg egyjegyű számot nem kapott. Milyen számra (számokra) gondolhatott Brigi, ha 0-t kapott ered-ményül?

6. osztály

1. Melyik az a legkisebb hatjegyű pozitív egész szám, amelynek minden szám-jegye páros (0, 2, 4, 6 vagy 8) és a) a számjegyeinek összege 10? b) a számjegyeinek összege 15? c) a számjegyeinek összege 24?

25

2. Az Amfiteátrum Kupa verseny szervezésére 234 diák jelentkezett, akiket név-sor szerint sorba raktak. Vivi a jelentkezők közül minden hetediket, Andris min-den ötödiket, Laci pedig minden harmadikat választotta ki. a) Melyikük választotta ki a legtöbbet? b) Hány diákot választott ki Andris? c) Hány olyan diák volt, akit mindhárman kiválasztottak?

3. Az Árpád Gimnázium egyik emeletén nyolc szomszédos terem van, 1-től 8-ig sorszámozva. Tudjuk, hogy két szomszédos teremben az asztalok számának eltérése mindig 1 (tehát például a 4-es teremben vagy eggyel több vagy eggyel kevesebb asztal van, mint a 3-as teremben). Az 1-es teremben 15 asztal, a 8-as teremben 14 asztal van. a) Hány asztal lehet a 3. teremben? b) Hány asztal lehet az 5. teremben?

4. 216 fehér kiskockából építettünk egy nagy kockát, majd minden lapját egyformára kifestettük az ábra szerint. a) Hány olyan kiskocka keletkezett, amelynek pontosan há-rom lapja sötét? b) Hány olyan kiskocka keletkezett, amelynek pontosan két lapja sötét? c) Hány olyan kiskocka van, amelynek minden lapja fehér maradt?

5. A mai matematikaversenynek is nevet adó Amfiteátrum az ábrán látható alakú. Felújítási munkákat kezdenek el, melynek során szalagokat húznak ki a kerítés két-két pontja között. Négy ilyen szalag kihúzásával hány részre tudják fel-osztani az Amfiteátrum területét? Keress minél több lehető-ségeket!

6. Egy hosszú papírcsíkra felírtuk a 24-et néhányszor egymás után. Ezután a pa-pírcsíkot felvágjuk úgy, hogy minden darabon más szám legyen. (Ha például csak 3-szor írjuk le a 24-et így: 242424, akkor egy lehetséges felvá-gás a következő: 2 | 42 | 424, tehát ekkor a kapott számok 2, 42, 424. De négy részre is tudjuk vágni pl. így: 2, 42, 4, 24.) Legfeljebb hány részre tudjuk szétvágni a papírszalagot, ha a) tízszer írtuk le egymás után a 24-et? b) huszonötször írtuk le egymás után a 24-et? Melyik esetben hogyan csináljuk a felvágást?

26

S U D O K U

rovatvezető: Csordás Péter

A mellékelt ábra tartalmazza az előző havi sudoku helyes megoldását (lásd 1. ábra).

Az új feladvány a 2. ábrán látható. Ezt kell a szabályoknak megfelelően kitöl-teni és beküldeni.

A feladvány letölthető az internetről is, a www.mategye.hu honlapról. A letöl-tés a nevezéshez használt sorszám és jel-szó beírása után lehetséges. Az így letöl-tött, majd kinyomtatott feladványt kell kitöltés után elküldeni.

A beküldött megoldáson tüntesd fel a neved, az osztályod és a nevezéskor hasz-nált sorszámot! Csak az ezekkel az ada-tokkal ellátott megfejtések vesznek részt a versenyben. A megoldást ugyanarra a címre érkező másik rovat megoldásával is beküldheted.

Jó szórakozást a feladványhoz!

Beküldési cím:

MATEGYE Alapítvány 6001 Kecskemét, Pf. 585

Beküldési határidő: 2018. január 12.

F I G Y E L E M !

Fontos tudnivaló, hogy csak a Lurkó-logika és a Matematikai pontverseny esetében van lehetőség arra, hogy felbélyegzett válaszboríték esetén a kijavított megoldásokat visszaküldjük, így a Sudoku és Számrejtvények rovat megoldá-sához ne mellékeljenek válaszborítékot, mert ezeket nem tudjuk visszaküldeni.

6 4 8 1

5 7 2

1 9

3 4 8 7

4 1

5 6 2 4

1 5

4 3 9

2 3 8 1

2. ábra

7 3 9 1 8 5 4 6 2

1 2 8 3 6 4 5 9 7

5 4 6 2 7 9 8 3 1

6 5 2 8 3 7 1 4 9

3 9 7 4 5 1 6 2 8

8 1 4 9 2 6 7 5 3

2 7 3 5 4 8 9 1 6

4 6 1 7 9 3 2 8 5

9 8 5 6 1 2 3 7 4

1. ábra

27

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI

Gyakorló feladatsor III. javítókulcsa

Számadó László (Budapest)

1. a) A = 22 1 pont

b) B = 102 1 pont

c) C = 45 1 pont

d) D = 4036 1 pont

2. a) 90 1 pont

b) 800 1 pont

c) 2000 1 pont

d) 36 1 pont

e) 11 1 pont

3. 1 0 3 3 2 5 5 4 7 7 6 9 2 4 6 8 4 pont

A különböző jó válaszok 1-1 pontot érnek. Hibás kitöltés esetén összesen 1 pontot kell levonni.

4. a) Helyes ábrázolás! 1 pont

15 13

11

2

4

-4-6

-4-2

02

46

810

12

1416

Ferencváros Videoton Debrecen Honvéd Diósgyőr Vasas

28

b) Diósgyőr 1 pont

c) Összes szerzett gól: 150 db 1 pont Válasz: 19% 1 pont

A második pont csak akkor jár, ha egészekre kerekített a válasz.

d) Videoton, Ferencváros, Diósgyőr 2 pont

Ha ez a három csapat szerepel, de nem ebben a sorrendben, akkor 1 pont jár.

e) Debrecen 1 pont

5. a) 20 1 pont

b) 120 1 pont

c) 100 1 pont

d) 80 A feladat szövege helyesen: Mekkora a BDE háromszög D csúcs-nál lévő külső szöge? 1 pont

e) BC 1 pont

6. a) B 1 pont

b) D 1 pont

c) D 1 pont

d) B 1 pont

7. a) E (5; 5) 1 pont

b) f (x) = 31 x 1 pont

c) 45 2 pont

d) Két eset van: I. eset: D (1; –3) 1 pont II. eset: D (–6; –2) 1 pont

8. a) Három eset lehetséges: 1 · 1 + 7 · 1,2 = 9,4 fabatka 1 pont 2 · 1 + 6 · 1,2 = 9,2 fabatka 1 pont 3 · 1 + 5 · 1,2 = 9,0 fabatka 1 pont

29

b) A nagyobb tojásból maximum 5 darabot vásárolhatott, mivel 6 · 65 > 370. 1 pont Mivel 370 – 5 · 65, 370 – 3 · 65, 370 – 2 · 65, 370 – 1 · 65 és 370 – 0 · 65 nem osztható 55-tel, ezért nem vehetett 5, 3, 2, 1, 0 darabot a nagyobb tojásból. 1 pont Mivel 370 – 4 · 65 = 110, ami 2 · 55, ezért 4 nagyot és 2 kicsit vásárolt. Azaz összesen 6 darabot. 1 pont

c) Az L-es lehetett első, második, …, hatodik,

vagyis hatféle sorrend lehetséges. 1 pont

9. a) 125 – 5 · 5 = 100 cm3 1 pont

b) A hat lap felszíne: 2 · (25 + 24 + 21) = 140 cm2 1 pont Az öt lyuk belsejének felszíne: 5 · 20 = 100 cm2 1 pont Vagyis összesen 240 cm2. 1 pont

10. a) Az elsőt, 1 pont mivel itt a hét gombóc ára: 5 + 7 · 1,5 = 15,5 fitying, a másikban viszont: 15 + 7 · 0,5 = 18,5 fitying. 1 pont

b) Mindegy, mert 1 pont 5 + 10 · 1,5 = 15 + 10 · 0,5 = 20 fitying. 1 pont

Régen gyertyával is tudtak időt mérni

Angliában egy liverpooli napilap az „ADVERTISER” 1756. augusztus 20-án a következő hirdetést tette közzé: „R. Williamson üzletében délben egy gyertya-órakor néhány használati tárgy kerül eladásra…”

A gyertyát ebben az időben nemcsak világításra, hanem időmérésre is hasz-nálták. Oldalára skálabeosztást készítettek, s miközben a gyertya égett, a viasz fogyott, s a beosztásokról következtetni lehetett az eltelt időre. Cronwall ónbányáiban ez idő tájt alakult ki az a szokás, hogy a bányászok hosz-szú gyertyákat vittek magukkal a tárnába, mely gyertyák hosszát úgy határozták meg, hogy pontosan egy műszak alatt égtek le, így jelezték a munkaidő elteltét. Mai szokásaink között is fellelhető e régi időmérő használatának öröksége. A születésnapi gyertyákra írt számsorról az ünnepelt életkora olvasható le. Az ilyen gyertyát azonban évente csak egy alkalommal gyújtjuk meg, de ennek pe-riodicitása is időmérés. Bonifert Domonkosné, Schwartz Katalin: Lyukasóra fizikából

30

HATOSZTÁLYOS FELVÉTELI

Gyakorló feladatsor I. javítókulcsa

Magyar Zsolt (Budapest)

1. a) 1261

124021

310

47

32

47 5 2 pont

b) 29

227

4207

47 3:3:23:25

2 pont

c) 87

81

413

47 1126:126:5

2 pont

d) 8,3162,33202,31002,3 1 pont

2. a) 321 dm2 = 32 000 cm2

+ 10 000 mm2 1 pont

b) 12 km = 12 120 m – 1200 dm 1 pont

c) 3 hét = 500 óra + 240 perc 1 pont

d) 12 liter = 132 dl – 1200 ml 1 pont

3. a) Kanada 1 pont b) 4 (57 + 29 + 28 = 144 még nem elég) 1 pont

c) 2140 (31-et kell még nyerni, 124 év múlva érik utol őket.) 1 pont

4. a) 325 1 pont b) 749 (250 és 499 a két szám) 2 pont c) 10000 (1-49-ig 0, 50-149-ig 100 a kerekített érték – ez 100 db szám) 2 pont d) 330 (1-4-ig 0, 5-14-ig 10 a kerekített érték– 10 db szám, 15-24-ig 20 a kerekített érték – 10 db szám, 25-re 30) 2 pont

5. a) 1929 (A fehér rész 19, a szürke rész 29 térkőből áll.) 1 pont

b) 900 (A hangya útja az első és az utolsó térkő felületén pontosan a térkő egy oldalhosszának felével egyezik meg, a többi térkövön pedig a térkő oldalának hosszával egyezik meg. A teljes útja egy térkő oldal-hosszának 28-szorosa, így a térkő oldalának hossza 30 cm.) 2 pont

c) 1800 (27 térkőnek két oldala, 2 térkőnek 3 oldala számít a kerületbe, ez összesen 60 oldalhossz.) 2 pont

d) 1200 (A fehér rész 19 négyzetből áll, ebből csak 1 19-es téglalap rak-ható össze.) 1 pont

31

6. a) 45 (4 + 10 + 10 + 21 rossz válasza volt) 1 pont b) 120 (3 + 6 + 9 + 12 válasza volt, 30 válasz összesen, tehát 60 másodper-

cet használt el) 2 pont c) 11. kérdés vagy kisebb sorszámú (32 kérdést tud megválaszolni a 64

másodperc alatt, 21 válasz kell a győzelemhez, tehát 11 plusz válaszra van még lehetősége.) 1 pont

7. a) 25 1 pont b) 54 – 3 + 3 – 1 + 5 = 58 2 pont

c) 22 (Eredetileg volt 8, ebből lejött 1 a sarokkockánál, de helyette lett 7 másik, továbbá a lap közepén eltávolított kocka miatt lett 8 új.) 2 pont

8. A felsorolt számok: 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 31, 51, 71, 91, 113, 115, 117, ... a) 13 1 pont b) 117 1 pont c) 12 2 pont d) 308 (40 + 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 30 + 50 + 70 + 90) 1 pont

9. A pék tárcájában 5400 Ft maradt. Tehát a hentesnek 2700 Ft-ot adott, így eredetileg mindenkinél 8100 Ft volt. A hentes megkapta a 2700 Ft-ot, így lett neki 10 800 Ft-ja, ebből 5400 Ft-ért vásárolt süteményt a cukrásznál. A cukrász megkapta az 5400 Ft-ot, ennyit költött el a péknél, így 8100 Ft-ja maradt a végére. A válaszok:

a) 5400 1 pont b) 2700 2 pont

c) 8100 2 pont

10. A fiúk állításai alapján a végeredményre az alábbiakat tippelték (ha minden állításuk igaz lenne): Ambustán: Farkasok-Rókák 3:2 Ciporján: Rókák-Farkasok 1:0 Belizár: Farkasok-Rókák 2:0 Dezmér: Rókák-Farkasok 3:2

Ekese: Rókák-Farkasok 3:2 Tehát Dezmér és Ekese találták el az eredményt, mert csak ők tippeltek azonosan. A válaszok:

a) Rókák-Farkasok 3:2 2 pont b) Belizár 1 pont c) 2 1 pont

32

L O G I - S A R O K

rovatvezető: Tuzson Zoltán

A kitűzött feladványok

L. 481. Melyik a kakukktojás? Indokold is meg a válaszo-dat!

L. 482. Mit írjunk a kérdőjel helyére? Indokold is meg a válaszodat!

8 6 4 21

73 5

?330 49 32

L. 483. Osztd fel az ábrát olyan részekre, melyek mérete egy-mástól különböző. Az egyes részekben nem szerepelhetnek azo-nos betűk!

Jó szórakozást és hasznos időtöltést kívánunk!

A kitűzött feladványokkal kapcsolatos észrevételeket, és kitűzésre javasolt feladatokat a következő címre várjuk:

Tuzson Zoltán 535600 Székelyudvarhely

Hársfa sétány No. 3. IV/27. Hargita megye, Románia

e-mail: tuzo60@gmail.com , tzoli@refkol.ro

Figyelem: A Logi-sarok feladatai nem szerepelnek a pontversenyben, ezért megoldásaik nem kerülnek értékelésre!

A korábban kitűzött feladványok megfejtése

L. 478. Figyeld meg jól a mellékelt ábrán látható „pöttyös karikákat”. Az A, B, C, D ábrák közül melyik talál a kérdőjel helyére? Indokold is meg a válaszodat!

?

A B C D

E F C D

B A D A

B A A D

B B C C

A B C D

E F G H

I J K L

M N O P

33

Megfejtés: A fekete pöttyök 2-öt érnek, a fehérek 1-et, így a pöttyök „értéke” rendre: 8, 9, 10, 11, ezért 12 következik, és ehhez éppen a B ábra talál.

L. 479. Mit írjunk a kérdőjel helyére? Indokold is meg a válaszodat!

4 5 ?

7 9 82 5 4

1 1 18 9 4

Megfejtés: Vegyük észre, hogy 72 : 4 = 18, 95 : 5 = 19, ezért ? = 84 : 14 = 6.

L. 480. Színezz be az ábra mezői közül néhányat úgy, hogy a fe-héren maradó mezők olyan szigeteket alkossanak, amelyek legfeljebb sarkosan érintkezhetnek, oldalasan sohasem. Ezen fehér szigetek mind-egyikének tartalmaznia kell pontosan egy számot, amely a szigetek mé-retét hivatott meghatározni.

Megfejtés: Egy megoldás az alábbi ábrán látható.

Hópelyhek

A hópelyhet úgy is szokták nevezni, hogy hókristály. Mi jut eszedbe a kris-tályról? Minden részlete pontosan kidolgozott, gyönyörűen egységes az egész. De hát mi köze lehet a kristálynak a hókristályhoz? A hókristálynak jellegzetes formája van, melyet először Kepler vett észre 1611-ben. Ő látta meg elsőnek, mi is a titka a pici fehér hópehelynek.

A hókristály szerkezetében találhatók 3-4-5 oldalú gúlák, oszlopok, egyszerű vagy kombinált hasábok, lemezek, csillagos és több forma összekapcsolódásá-ból keletkező különféle alakok. S bár nincs két egyforma hókristály, valami mégis van, ami egyezik bennük. Mindegyiknek az átlói pontosan 60 fokos szö-get zárnak be. A főküllőkből ágazó mellékküllők ugyancsak 60 fokos szögben ágaznak el. A fő- és a mellékküllőkben légüres cső látható, melyeknek a végén szintén egy légüres gömböcske figyelhető meg, ez adja azt a csodálatos gyé-mántos csillogást. Ha van otthon mikroszkópod vagy akár nagyítód, te is meg-vizsgálhatod a hópelyheket, s ha nem is sikerül tökéletesen minden részletét lát-nod, a fő részletei biztosan kivehetőek lesznek.

5 2 3 5

5 2 3 5

34

M A T E M A T I K A I P R O B L É M Á K

rovatvezető: Csete Lajos

A kitűzött problémák MP. 327. Egész számok egy részhalmazát „duplamentes”-nek nevezzük, ha

nincs olyan k egész szám, amelyre k és 2k is eleme ezen részhalmaznak. Keres-sük meg a legnagyobb elemszámú „duplamentes” részhalmazt az első 32 pozitív egész számból álló halmazban!

MP. 328. Tetszőleges két valós számra értelmezzük a * műveletet a követ-kező két tulajdonsággal:

(1) x * x = 0 (2) x * (y * z) = (x * y) + z

Határozzuk meg a 2018 * 2017 számot!

Jó munkát kívánok!

A megoldások beküldési határideje: 2018. január 12.

Beküldési cím: Csete Lajos 9164 Markotabödöge, Fő u. 127.

Korábban kitűzött feladatok megoldásai

MP. 323. Egy különös számológépen csak két műveletet lehet végrehajtani. Ha n egy adott egész szám, akkor a számológéppel kiszámolhatjuk a 2n + 1 számot vagy az

31n számot. A második típusú művelet csak akkor végezhető el, ha n – 1 osztható

3-mal. Ha az 1 számból indulunk ki, akkor ilyen műveletek segítségével megkaphatjuk-e a 8-at?

1. Megoldás: Legyen az a művelet, hogy n-ből kiszámoljuk a 2n + 1 számot,

míg a b művelet pedig az, hogy n-ből kiszámoljuk az 3

1n számot, ha lehet.

Végezzük el a következő műveletsorozatot:

1 a 3 a 7 a 15 a 31 a 63 a 127 b 42 a 85 b 28 b 9 a 19 b 6 a 13 a 27 a 55 b 18 a 37 b 12 a 25 b 8.

35

Tehát a megengedett műveletek segítségével megkaphatjuk az 1-ből a 8-at. Erre 13 darab a és 7 darab b, összesen 20 műveletet használtunk fel.

Papp Marcell Miklós 8. osztályos tanuló (Miskolc, Herman Ottó Gimn.) megoldása

Hasonlóan oldotta meg: Egyházi Hanna 8. oszt. tanuló (Hatvan, Kossuth Lajos Ált. Isk.), Kocsis Péter 4. oszt. tanuló (Bábolna, Ált. Isk.).

2. Megoldás: 1 a 3 a 7 a 15 a 31 b 10 a 21 a 43 a 87 a 175 b 58 b 19 b 6 a 13 a 27 a 55 b 18 a 37 b 12 a 25 b 8.

Vagyis a megengedett műveletek segítségével megkaphatjuk az 1-ből a 8-at. Boros Vince Félix 5. oszt. tanuló (Budapest, Karinthy Frigyes Magyar-Angol ÁI.) megoldása.

Hasonlóan oldotta meg: Csorba Mihály 7. oszt. tanuló (Miskolc, Herman Ottó Gimn.), Kocsis Péter 4. oszt. tanuló (Bábolna, Ált. Isk.) (Ez a 2. megoldása.), Varga Péter 8. oszt. tanuló (Haj-dúböszörmény, Bocskai István Ált. Isk.).

Megjegyzés: A problémát a következő helyről vettük: Quantum Magazine, Vol. 7., No.6., 1997/July/August, a 10. oldalon a B.210. feladat és a megoldása pedig az 54. ol-dalon. Itt a következő megoldást közlik (a mi jelöléseinkkel leírva): 1 a 3 a 7 a 15 a 31 a 63 a 127 b 42 a 85 a 171 a 343 b 114 a 229 b 76 b 25 b 8. Itt 15 művelettel oldják meg a feladatot.

MP. 324. Tekintsük az n = abc számot és az m = cba számot, ahol a c. Igazoljuk, hogy mn nem lehet teljes négyzet, vagyis nem lehet egy természetes szám négyzete!

Megoldás: n = abc = 100a + 10b + c és m = cba = 100c + 10b + c, így

n – m = abc – cba = 100a + 10b + c – (100c + 10b + c) = 99(a – c) = )(119 ca

Tegyük fel, hogy n – m négyzetszám, ekkor a prímtényezős felbontásában minden prímnek páros kitevőjűnek kell lennie. A 32

= 9, így a 11 (a – c) számnak is négyzetszámnak kell lennie. Ez csak akkor teljesül, ha az (a – c) osztható 11-gyel.

Mivel 91 a és a egész szám, másrészt 81 c , ahol c egész szám. Ezért a – c legnagyobb értéke 8 lehet, vagyis nem lehet 11. Így a 11-es prímszám nem páros hatványon szerepel. Ellentmondásra jutottunk, vagyis n – m nem lehet tel-jes négyzet.

Bertalanits Enikő 7. osztályos tanuló (Komárom, Feszty Árpád Ált. Isk.) megoldása.

Megoldotta még: Balla Álmos 6. oszt. tanuló (Budapest, Farkasréti Ált. Isk.), Boros Vince Félix 5. oszt. tanuló (Budapest, Karinthy Frigyes Magyar-Angol Ált. Isk.), Botos Márk 7. oszt. tanuló (Budapest, , Szent István Gimn.), Csorba Mihály 7. oszt. tanuló (Miskolc, Herman Ottó Gimn.), Dezső Kende 7. oszt. tanuló (Budapest, Szent István Gimn.), Egyházi Hanna 8. oszt. tanuló (Hat-van, Kossuth Lajos Ált. Isk.), Kocsis Péter 4. oszt. tanuló (Bábolna, Ált. Isk.), Kohut Márk Balázs

36

7. oszt. tanuló (Kecskemét, Bányai Júlia Gimn.), Papp Marcell Miklós 8. oszt. tanuló (Miskolc, Herman Ottó Gimn.), Varga Péter 8. oszt. tanuló (Hajdúböszörmény, Bocskai István Ált. Isk.).

1. Megjegyzés: A problémát a következő helyről vettük: A Matematika Tanítása, 1963. február, 26. oldal, 357. feladat és a megoldása. Itt Kovács Mária tanárnő (Sing de Pad, Románia) megoldását közlik.

2. Megjegyzés: Dezső Kende 7. oszt. tanuló (Budapest, Szent István Gimn.), Fejes Bo-tond Zoltán 7. oszt. tanuló (Budapest, Szent István Gimn.) és Nagy Korina 5. oszt. tanuló (Kecskemét, Bányai Júlia Gimn.) is megoldotta az MP. 321. problémát.

Batizi Emese 7. oszt. tanuló (Budapest, Szent István Gimn.), Coulibaly-Rácz Médea Zília 5. oszt. tanuló (Kecskemét, Bányai Júlia Gimn.) és Dezső Kende 7. oszt. tanuló (Budapest, Szent István Gimn.), Fejes Botond Zoltán 7. oszt. tanuló (Budapest, Szent István Gimn.) és Nagy Korina 5. oszt. tanuló (Kecskemét, Bányai Júlia Gimn.) is meg-oldotta az MP. 322. problémát.

Megoldásaik téves címre és így későn érkeztek.

Fakopáncs

A Fakopáncs bolt idén is támogatja az ABACUS pontversenyeit, és ezúton kíván boldog karácsonyt és boldog új évet minden kedves olvasónak!

Karácsonyig az ABACUS minden olvasójának és előfizetőjének a boltban kapható logikai fajátékok és összerakható fa-modellek árából 15% engedményt adnak. Az árengedményhez elég az ABACUS újságot a boltban bemutatni (nem kell otthagyni!). Postai megrendelés esetén kérjük, telefonon tájékozódjanak a személyre szabott kedvezményekről. Megrendelést telefonon is elfogadnak, utánvéttel küldik a megrendelt játékokat, vidékre is.

A Fakopáncs boltok címe: 1088 Budapest, Baross u. 46. Tel.: 1/337-0992; Tel./fax: 1/337-8448, 1088 Budapest, József krt. 50. Tel.: 1/333-1866

37

L O G I G R A F I K A

rovatvezető: Pusztai Ágota

Először nézzük meg az előző havi feladvány megoldását! A jól színezett képen egy fényképező-gép látható (1. ábra).

A 2. ábrán az új rejtvényt látjá-tok, amely a megszokottól kicsit eltérően 20 25-ös méretű! Meg-oldását a korábbiakban megadott módon várjuk a szerkesztőség cí-mére.

Testvérek vagy azonos iskola tanulói közös borítékban is be-küldhetik megfejtéseiket.

A logigrafika ábrája letölthető a www.mategye.hu honlapról. Ez a nevezéshez használt sorszám-mal és jelszóval lehetséges. A megoldásra írd rá neved, osztá-lyod és a nevezéskor használt négyjegyű sorszámodat. A tisz-tázásnál ügyelj a pontos átmáso-lásra, kár pontokat veszíteni az esetleges figyelmetlenségek mi-att! Az elkészített megoldást zárt borítékban küldd el az alábbi címre:

ABACUS Logigrafika 1437 Budapest, Pf. 774

Beküldési határidő: 2018. január 12.

Jó szórakozást a feladványhoz!

Mindenkinek nagyon boldog karácsonyt és jó pihenést kívánok!

1 1 1 3 1 1 5 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 6 1 3 1 1 2 2 4 4 6 6 6 4 3 4 7 1 2 5 1 1 9 8 8 12 2 1 1 1 1 1 1 1 2 9 8 11 9 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 6 4 4 2 2 15 13 3 1 2 2 2 4 5 4 4 4 2 4 4 5 1 4 4 7 4 4 7 4 4 5 4 5 5 15

1. ábra

3 7 6 4 2 6 1 7 7 7 6 6 3 3 3 4 3 2 9 3 2 1 2 2 3 2 1 1 8 3 7 3 3 2 1 1 2 1 1 1 4 3 7 1 2 2 3 5 3 3 3 3 4 5 3 3 4 3 3 3 4 3 3 4 6 2 1 5 6 14 7 20 4 10 2 10 1 12 2 14 1 11 2 1 3 5 4 1 1 2 3 2 1 7 2 11 1 11 11 9 7

2. ábra

38

M A T H S

rovatvezető: Dr. Borbás Réka

Based on the data given, problem 9 cannot be solved unambiguously. Hence, problem 9 has been assigned again with no information missing.

Problem 9 Four bags of fruit tea has the same mass as five bags of black tea. I have to pay the same price for two bags of fruit tea and three bags of black tea. If one pound of black tea is worth £50, how much do I have to pay for three pounds of fruit tea?

Problem 10 a) Which is the largest five-digit-number for which it is true that it contains exactly two such digits which are the products of its neighbours and all of its digits are different figures? b) And which is the largest five-digit-number which has two such digits which are the sum of its neighbours, and all of its digits are different? c) How does the largest five-digit-number look like which has one digit which is the sum, and another which is the product of its neighbours?

Problem 11 One balloon can lift a basket containing objects weighing maxi-mum 80 kg. Two such balloons can lift the same basket containing objects with maximum 180 kg. What is the mass of the basket?

Problem 12 There are red and white balls in a box, all of them are either small or large. The number of small red, small white, large red, large white, and the total number of large balls are all different prime numbers, and only one of them is less than 10. The total number of balls is a prime number less than 60. The total number of red balls and the number of small balls are each a multiple of five, and the number of white balls is a multiple of seven. The number of small balls can be divided by a cubic number. How many balls are in the box of each colour and size?

Deadline: 12 January, 2018

Solutions have to be sent to:

1437 Budapest, Pf. 774 Please write "MATHS" on the envelope.

39

Problem 7 If 7 is subtracted form a positive integer number and the difference is multi-plied by 7, the same result is gained as if 11 is subtracted form the number, and the difference is multiplied by 11. Which number is this?

Solution to Problem 7 Seven times the first difference (i.e. the difference of the number and 7) equals to eleven times the second difference (i.e. the difference of the number and 11). As 7 and 11 are both primes, the first and the second differences are 11 and 7, respectively. This can be seen from the following equa-tion: 7(n – 7) = 11(n – 11). The difference of the differences is 4, that’s why they cannot be a multiple of 11 and 7. As the two differences are 11 and 7, then the number in question is 18, because that’s the sum of the two numbers.

Problem 8 K, L, M, N are the midpoints of the sides of the rec-tangle ABCD. Similarly, O, P, R, S are the midpoints of the sides of the quadrilateral KLMN. What part of the rectangle ABCD is coloured grey?

Solution to Problem 8 If segments AC, KM, and NL are drawn, they all intercept in a common point, let’s call it X. This is due to the fact that K, L, M, N and O, P, R, S are midpoints and that the rectangle has two axes of symmetry (KM and NL). Consequently, OPRS is also a rectangle, hav-ing an area which is one quarter of the rectangle ABCD, as both its sides are half of the large rectangle. Due to the symmetry, if the white triangles are folded by the sides of OP, PR, RS, SO onto rectangle OPRS, they will cover it completely, having their vertices K, L, M, N all arriving to point X. So the white area is also one quarter of the area of the rectangle ABCD. Hence, the area coloured grey is three quarters of the rectangle ABCD.

A Berlitz nyelviskola (Budapest) két ingyenes angol nyelvtanfolyami részvételt ajánlott fel a Maths rovat legjobb megoldói számára.

Albert Einstein mondásai

Ne bánkódj, ha gondjaid vannak a matematikával, biztosíthatlak, az enyémek sokkal nagyobbak.

Ne beszéljünk addig nagy felfedezésekről vagy haladásról, míg a világon egyetlen boldogtalan kisgyerek is létezik.

D

K

A L BR

SO

P

N C

M

D

K

A

X

L BR

SO

P

N C

M

40

M A T H E M A T I K

rovatvezető: Nagy Barbara

Aufgabe 10: Anna bäckt Weihnachtskekse. Das Rezept schreibt (unter ande-rem) 400 g Mehl, und dazu 5 Esslöffel Honig. Wie viel Honig braucht sie, wenn sie aus genau 1 kg Mehl bäckt?

Aufgabe 11: Einige Kekse sind kreisförmig, ihr Durchmesser ist 6 cm. Sie wer-den mit Schokoglasur übergezogen. Wie groß ist die bedeckte Fläche an einem Keks?

Aufgabe 12: Sie weiß, dass eine Tafel Schokolade für 800 cm2 genug ist. Wie viele Tafel Schokolade braucht sie, wenn sie 90 Kekse bäckt?

Viel Spaß zu den Aufgaben! Eure Lösungen warte ich auf die folgende Adresse:

MATEGYE Alapítvány 6001 Kecskemét, Pf. 585

Schreibt bitte das Kennwort M A T H E M A T I K auf den Umschlag!

Einsendeschluss: 12. Januar 2018

Aufgabe 7: Die Klasse von Thomas besteht aus 26 Kindern. Er lädt zu seinem Geburts-tag 20% seiner MitschülerInnen ein. Wie viele Gäste hat er?

Lösung der Aufgabe 7: Er hat 25 MitschülerInnen, 20% von 25 Personen sind 25 0,20 = 5 Personen.

Aufgabe 8: In einem Geschäft kauft er 620 g Pikantwurst (1,19 Euro / 100 g) und 15 Kaisersemmel (35 Cent / St.). Wie viel bezahlt er?

Lösung der Aufgabe 8: Er bezahlt 620 : 100 1,19 + 15 35 : 100 = 12,628 Euro, also 12 Euro 63 Cent.

Aufgabe 9: Er bekommt eine große Tafel leckere Schokolade von seinem besten Freund. Sie wiegt 230 g, und kostet 3,22 Euro. Wie viel kostet ein Kilogramm von die-ser Süßigkeit?

Lösung der Aufgabe 9: 230 g = 0,23 kg. Ein Kilogramm Schokolade kostet 3,22 : 0,23 = 14 Euro.

41

S A K K - S A R O K

rovatvezető: Blázsik Zoltán

Ötös a férfi sakkválogatottnak http://www.euroteams2017.com/en/

Sajnos a magyar nők az utóbbi időkben már nem tudnak lépést tartani az európai élmezőnnyel. A svájci rendszerben fel tudunk jönni a 6-12. helyezésig és akkor kapunk egy rendkívül erős nemzeti válogatottat, amelyben 2-3 táblán is több az ellenfél Élő pontszáma vagy 150-nel. Így tehát abszolút nem meglepő, ha ezeket a meccseket elveszítjük. A sakkban a gyakran játszó versenyző má-sokhoz viszonyított játékerejét elég pontosan megmutatja az értékszámuk kü-lönbsége. Nem várhatnak a szurkolók jó válogatott szereplést akkor, ha nem lát-ják a győzelmeket az egyéni versenyeken, a csapatbajnokságokon, a rendszere-sen megrendezett és teljes mezőnyű egyéni bajnokságokon. Egészséges versen-gés kell az olimpiai részvételért! Aki képes bekerülni a sakktábla mellett verse-nyezve a válogatottba, az biztosan érzi, hogy sokat dolgozott, felkészült, vala-mint azt is, hogy a csapatból kimaradtak helyett is küzd majd!

Kalaiyalahan Akshaya 2026 (angol) – Gara Tícia 2317

1. d4 Hf6 2. c4 g6 3. g3 Fg7 4. Fg2 0-0 5. Hc3 d6 6. Hf3 Hbd7 7. 0-0 e5 8. e4 c6 9. h3 Vb6 10. c5 dxc5 11. dxe5 He8 12. e6 fxe6 13. Hg5 He5 14. f4 Hf7 15. Hxf7 Fd4+ 16. Kh2 Bxf7 17. e5 Hc7 18. He4 Hd5 19. h4 Bg7 20. Ve2 Fd7 21. Hd6 Vc7 22. Fe4 Fe8 23. Kg2 Bd8 24. Bb1 b5 25. Fd2 c4 26. Ff3 c5 27. Fg4 Ve7 28. Kh2 Fc6 29. He4 h6 30. Fh3 Kh7 31. Fg2 Fe8 32. Hd6 Bxd6 33. exd6 Vxd6 34. Fe4 Hf6 35. Ff3 h5 36. Fc3 Fc6 37. Fxd4 Fxf3 38. Vxf3 cxd4 39. Kh1 Hg4 40. Bfe1 He3 41. Be2 Bd7 42. Bbe1 b4 43. Bc1 c3 44. bxc3 bxc3 – és most világos egyszerűsíteni szeretett volna egy kiegyensúlyozott állásra, ezért minőséget áldozott - 45. Bxe3 dxe3 46. Vxe3 Vc6+ 47. Kh2 Bd2+ - és az azonnali matt helyett következett - 48. Vxd2 cxd2 49. Bxc6 d1V 50. Bc7+ Kh6 51. Bxa7 Ve2+ 0-1 Szépen indult az Eb.-legyőztük az angolokat!

A férfiak remekül kezdtek! Ennek következtében rendre jöttek a jó formában lévő erős sakknemzetek! Szenzációt arattak, legyőzték még az oroszokat is! Szinte kivétel nélkül megmérkőztünk a legerősebbekkel. Az azeriek negyedik játékosa volt az Eb legjobbja, sajnos ellenünk is győzelemre vezette lelkes csa-patát! De nem adtuk fel. Maradt még akarat a záró fordulóra is, a jobb helyezé-sért küzdve 3,5-0,5 arányban megvertük a kiváló sakknemzetet, Angliát! A ma-gyar játékosok közül mindenki gyarapította Élő értékszámát! Ez is mutatja a jó hangulatot, küzdőszellemet. A kapitány együtt élt a játékosok minden rezdülé-sével, megérezte minden napra a legjobb összeállítást! Bravó!

42

Deac Bogdan-Daniel 2560 (román)– Almási Zoltán 2707

1. e4 e5 2. Hf3 Hc6 3. Fc4 Fc5 4. d3 Hf6 5. c3 a6 6. a4 d6 7. 0-0 0-0 8. h3 Fa7 9. Be1 He7 10. Hbd2 Hg6 11. d4 c6 12. dxe5 dxe5 13. a5 Ve7 14. Hf1 Fe6 15. Fxe6 Vxe6 16. Hg3 Bfd8 17. Vc2 Bd7 18. Hg5 Ve8 19. Hf3 h6 20. Ba4 Ve6 21. Hf5 Bad8 22. g3 He7 23. Kg2 He8 24. Fe3 Fxe3 25. Bxe3 f6 26. Hxe7+ Vxe7 27. Vb3+ Vf7 28. Vxf7+ Kxf7 29. Kf1 Hc7 30. Be1 He6 31. Bc4 g5 32. Ke2 h5 33. Bc1 g4 34. hxg4 hxg4 35. Hh2 Bd2+ 36. Kf1 Bh8 37. Kg2 Bxh2! + - remek döntés, sötét átlátta, hogy a paripa nagyobb úr lesz, mint a bástya. A világos gyalogokat védeni kell, ameddig lehet. - 38. Kxh2 Bxf2+ 39. Kg1 Bxb2 40. Bb4 Bxb4 41. cxb4 Hg5 42. Kg2 Hxe4 43. Bh1 Ke6 44. Bh4 f5 45. Bh6+ Kd5 46. Bh7 f4 47. Bxb7 f3+! - és vége - 48. Kh2 Hd6 49. Bd7 e4 50. Kg1 e3 51. Kf1 Ke6 0-1

Erdős Viktor 2624 – Nepomniachtchi 2733 (orosz)

1. Hf3 c5 2. c4 Hf6 3. Hc3 d5 4. cxd5 Hxd5 5. e3 Hxc3 6. dxc3 Vxd1+ 7. Kxd1 b6 8. Fb5+ Fd7 9. a4 a6 10. Fxd7+ Hxd7 11. e4 e6 12. Ff4 f6 13. Hd2 Fe7 14. Hc4 Kf7 15. Kc2 e5 16. Bhd1 Ke6 17. Fe3 Bhb8 18. f4 exf4 19. Fxf4 Bb7 20. Bd5 Baa7 21. Hd6 Fxd6 22. Bxd6+ Ke7 23. Bc6 Ba8 24. a5 Kf7 25. axb6 Bxb6 26. Bc7 Ke8 27. Bd1 Bd8 28. Bd6 g5 29. Fg3 Bxd6 30. Fxd6 h5 31. Fxc5 Hxc5 32. Bxc5 Kf7 33. Bd5 Be8 34. Kd3 h4 35. b4 h3 36. g3 Bb8 37. Kd4 Ke6 38. Ba5 Bb6 39. Bc5 Bd6+ 40. Bd5 Bb6 41. g4 Kf7 42. e5 Ke7 43. Ke4 Bc6 44. Kf5 fxe5 45. Bxe5+ Kf7 46. Be3 a5 47. Bxh3 Kg7 48. bxa5 Bc5+ 49. Ke6 Bxa5 50. c4 Ba6+ 51. Kd5 Kf7 52. Be3 Ba4 53. h3 1-0 És le-győztük az orosz válogatottat! A szenzációk nagy elemzést érdemelnek majd a hősöktől! Erdős Viktor belépett a klasszisok közé! Gondolatait minden fiatal sakkozó követheti!

Lékó Péter 2679 – Ivan Saric 2662 (horvát)

1. e4 c5 2. Hf3 d6 3. d4 cxd4 4. Hxd4 Hf6 5. Hc3 a6 6. f3 e5 7. Hb3 Fe6 8. Fe3 h5 9. Hd5 Fxd5 10. exd5 Hbd7 11. Vd2 g6 12. 0-0-0 Vc7 13. Kb1 Fg7 14. Fe2 0-0 15. g4 Bfc8 16. Bc1 a5 17. g5 He8 18. a4 Vd8 19. Fb5 Hc7 20. c4 Hxb5 21. cxb5 Hb6 22. Bxc8 Bxc8 23. Vxa5 Hxd5 24. Vxd8+ Bxd8 25. Fa7 Ba8 26. b6 – és most hogyan védi meg sötét a b7 gyalogját? Nehéznek látszik a folytatás, így sötét ló áldozattal próbálkozik. Figyeljük meg, hogyan vezeti plusz lovát a nyertes a csatába! - -Hxb6 27. Fxb6 Bxa4 28. Fe3 Bb4 29. Hd2 d5 30. Kc2 f5 31. gxf6 Fxf6 32. Bg1 Kf7 33. b3 Bh4 34. Hf1 Bh3 35. Bg3 Bxg3 36. Hxg3 Ke6 37. Kd3 Fe7 38. Ke2 Fd8 39. Hf1 Fe7 40. Fd2 Fd8 41. He3 Fc7 42. h3 Fd8 43. Hd1 Fe7 44. Hc3 Fb4 45. Hb5 Fc5 46. Fe3 Fe7 47. f4 e4 48. Fa7 Kd7 49. Hd4 Kc7 50. Hb5+ Kc6 51. Hd4+ Kc7 52. f5 gxf5 53. Hxf5 Ff8 54. Fd4 Kc6 55. Hg3 Kb5 56. Kd2 Fh6+ 57. Kc2 e3 58. Hf5 e2 59. Ff2 1-0

43

Rapport Richárd 2698 – David Howell 2686 (angol)

1. e4 e5 2. Hf3 Hc6 3. Fc4 Fc5 4. c3 Hf6 5. d3 0-0 6. b4 Fe7 7. Hbd2 d5 8. Fb3 dxe4 9. dxe4 Fd6 10. Vc2 a5 11. b5 Hb8 12. 0-0 Hbd7 13. a4 Hc5 14. Fa3 Hxb3 15. Vxb3 Fe6 16. c4 Hd7 17. Ve3 Ve7 18. Hxe5 Fxa3 19. Hxd7 Bfd8 20. Bxa3 Bxd7 21. c5 Bad8 22. Hf3 Fc4 23. Be1 h6 24. h4 Bd3 25. Bxd3 Bxd3 26. Vf4 Fb3 27. c6 b6 28. He5 Bd4 29. Hd7 Vd6 – túl egyszerű lenne az azonnali vezércsere remi végkifejlettel – 30. e5?! - csodálatos lépés. A felek kevés idővel rendelkeztek és a magyar zseni természetesen az érdekesebb útra lépett, mindkét királynő ütésbe került. -Vb4 31. Ve3 Bd3? – és már a szurkoló érezte, hogy ebből lesz még valami - 32. Vxd3 Vxe1+ 33. Kh2 Fxa4? – és ekkor Ricsi az utolsó másodpercben - 34. Hf6+!! – következett és minden magyar tudta, hogy „itt már a mi kezünk épít”! - gxf6 35. Vg3+ Kf8 36. exf6 Vb4 37. Vxc7 Vxh4+ 38. Kg1 Vxf6 39. Vc8+ Kg7 40. Vg4+ Kf8 41. Vc8+ Kg7 42. Vg4+ Kf8 43. Vxa4 Vd6 44. Vc2 Vc7 45. Vc1 Ke7 46. Vxh6 Ve5 47. Vc1 Vc5 48. Ve1+ Kf8 49. Vd1 Kg7 50. g3 Vc3 51. Vg4+ Kf8 52. Vf4 Vc2 53.Vd6+ Kg7 54. Ve5+ Kg6 55. c7 a4 56. g4 Vd1+ 57. Kh2 Vxg4 58. Vg3 1-0 Azt hiszem, minden tanuló azért sakkozik, mert hallott már, látott már olyan sakkozót, aki ilyen varázslatra képes! Bravó! Egyszer már legyőzte a világbaj-nokot is, ha ezt többször is megteszi, akkor…

G. Jones 2662 (angol) – Almási Zoltán 2707

1. e4 e5 2. Hf3 Hc6 3. Fb5 a6 4. Fa4 Hf6 5. 0-0 Fe7 6. Be1 b5 7. Fb3 d6 8. c3 0-0 9. d4 Fg4 10. Fe3 exd4 11. cxd4 Ha5 12. Hbd2 c5 13. h3 cxd4 14. Fxd4 Hxb3 15. axb3 Fe6 16. Fc3 Vb6 17. Hd4 Fd7 18. Hf5 Fxf5 19. exf5 Bfe8 20. He4 d5 21. Fd4 Vc6 22. Bc1 Vd7 23. Hxf6+ Fxf6 24. Bxe8+ Bxe8 25. Fxf6 gxf6 26. Vg4+ Kh8 27. Bc3 Bg8 28. Vf3 Vd6 29. g3 Be8 30. Kh2 b4 31. Bc2 a5 32. Vh5 Vd7 33. Bd2 d4 34. Vh4 Vxf5 35. Vxd4 Kg7 36. Kg2 h5 37. Vc4 Be4 38. Bd5 Be5 39. Bd4 Ve6 40. Vxe6 fxe6 41. Kf3 Be1 42. Be4 Bb1 43. Be2 Kf7 44. Ke4 Bd1 45. Bc2 f5+ 46. Ke3 h4 47. gxh4 Bh1 48. Kd4 Kf6 49. Kc5 Bxh3 50. Kb5 – egy érdekes végjáték! Mi nyertünk! - Bxh4 51. Kxa5 Bf4 52. Kb5 e5 53. Bd2 Kg5 54. Kc5 Kg4 55. Kd5 e4 56. Kd4 Kf3 57. Ke5 Bh4 58. Kxf5 Bh5+ 59. Ke6 Bh2 60. Bd4 Bxf2 61. Ke5 e3 62. Bf4+ Kg3 63. Bxb4 Bf8 64. Kd5 Be8 65. Bc4 e2 66. Bc1 Bb8 67. Be1 Kf2 68. Bxe2+ Kxe2 69. Kc4 Ke3 70. b4 Ke4 71. Kc5 Ke5 72. b5 Bc8+ 73. Kb6 Kd6 74. Ka7 Bc7+ 75. Kb8 Bc5 76. b6 Kc6 77. b4 Bb5 0-1

x x xKx x ¡nxP¡ ¡pŠ x ¡¡px x x px Ìpü ¿xBx x x x x ¿px x x „ «

44

Berkes Ferenc 2661 – L. McShane 2647 (angol)

1. d4 d5 2. Hf3 Hf6 3. Ff4 c5 4. e3 Hc6 5. Hbd2 Fg4 6. c3 cxd4 7. exd4 e6 8. Vb3 Vc8 9. Fd3 Fe7 10. 0-0 0-0 11. Vc2 Fh5 12. He5 a6 13. Bae1 Fg6 14. Hxg6 hxg6 15. Hf3 b5 16. a3 Ba7 17. Ve2 Be8 18. h4 Fd8 19. g3 He7 20. Kg2 Hf5 21. Bh1 Fc7 22. He5 Fb8 23. g4 Hd6 24. h5 Hfe4 25. hxg6 f6 26. Vf3 Kf8 27. Bh7 Bb7 28. Fc1 Bd8 29. g5 Hf5 30. Hf7 Bxf7 31. gxf7 fxg5 32. Fxe4 dxe4 33. Bxe4 Ff4 34. Fxf4 gxf4 35. Vh5 f3+ 36. Kxf3 1-0 Rendkívüli támadó-játszma, az ellenfél nem tudott ellenállni! A magyarok nagyon legyőzték Ang-liát is! Ötös az 5 férfi nagymesternek, ötödikek lettek! A kapitányuk Balogh Csaba jó döntéseket hozott!

Beküldendő az alábbi két matt feladvány kulcslépése: A) Világos: Kf3, Bb6, Fh4, b3, e3, g4 Sötét: Ke5 Világos indul, matt 3 lépésben!

B) Világos: Kc1, Va7, Ba8, Bb5, Fb2, Hb7, b4, c6, e2 Sötét: Kb3, Ha5, c7, e3, e4 Világos indul, matt 2 lépésben!

Kérlek Titeket, hogy ne küldjetek válaszborítékot, mert a helyes válaszokat mindig közöljük a következő számban.

A novemberi feladatok megoldása:

Sajnos a novemberi első matt feladványban az f6 mezőn nem futó áll, hanem világos bástya. Emiatt az állásban nem is következhetett a világos. Elnézést ké-rünk az elírás miatt! Pótlólag beküldhető a helyes megfejtés az új feladványok-kal együtt! Íme a helyes állás:

Világos: Kc3, Ba1, Bf6, Fc8, Fd2, Hc5, Hf5, e4

Sötét: Ke5, Ha5, He8, f7, g6

Világos indul, matt 2 lépésben! B) 1. Fb2!! Ke4 2. Fc1! Kf4 3. Kd3+ matt.

A megoldások beküldési határideje: 2018. január 12.

A megoldásokat az alábbi címre küldjétek:

MATEGYE Alapítvány 6001 Kecskemét, Pf. 585

Kérjük, a borítékra írjátok rá „Sakk-sarok“!

45

F I Z I K A – R O V A T

rovatvezető: Schramek Anikó

A kitűzött feladatok

641. (Mérési feladat) Mérd meg egy fenyőfa ágainak hosszát! Hogyan vál-tozik az átlagos ághossz az ág fa tetejétől mért távolságának függvényében? Részletesen írd le hogyan, milyen eszközökkel végezted a mérést! Adataidat foglald táblázatba, és írj a mérés hibaforrásairól! Schramek Anikó

642. Egy ember nagyító és erős lámpa segítségével szeretne tüzet gyújtani. A nagyítóval a nagyító mögött 2 cm távol levő szöveget olvasva, azt a nagyító mögött 4 cm-re véli látni. A nagyító mögé, attól milyen távolságra helyezze a meggyújtani kívánt gyúlékony anyagot? Schramek Anikó

643. Mekkora sebességre gyorsul fel szánkójával az a (szánkóval együtt) 30 kg tömegű fiú, aki egy 30-os hajlásszögű, 10 m magas lejtővel modellezhető dombról csúszik le? A fiú álló helyzetből indul, és a lejtőn méterenként 75 J energiát veszít a súrlódás következtében. Schramek Anikó

644. Gyerekek a 3,5 m magasan levő ablakpárkányon talált hóból hógolyót

gyúrnak, és azt a párkány magasságából vízszintes 20sm sebességgel elhajítják.

Mikor, és az épülettől milyen távol esik le a hógolyó? Schramek Anikó

645. Hógolyó 2:1 tömegarányban tartalmaz vizet és jeget, hőmérséklete 0C. Mekkora sebességgel kellene a hógolyót 0C hőmérsékletű falhoz dobni, hogy

jégtartalma megolvadjon? A jég olvadáshője L = 333 000kgJ . Példatár nyomán

Beküldési határidő: 2018. január 12.

A megoldásokat az alábbi címre küldjétek:

Fizika pontverseny 1437 Budapest, Pf. 774

Korábban kitűzött feladatok megoldásai

631. (Mérési feladat) Vizsgáld lejtőn lecsúszó test mozgását! Milyen távolságon áll meg a lejtőt követő vízszintes szakaszon a lejtőről lecsúszó test? Hogyan változik ez a távolság a lejtőn megtett távolság változtatásával, ugyanazon lejtő esetén? Adataidat foglald táblázatba, és készíts diagramot! Schramek Anikó

46

Megoldás: Most is sok ötle-tes megoldást küldtek be a versenyzők. A lejtő többnyire egy polc volt, amit sokan könyvekkel támasztottak alá. Az alábbi jegyzőkönyvet be-küldő Szegedi Ágoston 7. osz-tályos tanuló, iskolai pad lap-ját használta, amit létrával tá-masztott alá. Ez a mérési el-rendezésről készült fotókon látható. A képeken szintén lát-ható a mobilalkalmazás, amit szög-, illetve távolság méré-sére használt, a hagyományos eszközök mellett. A jegyző-könyvben a mérés idejének és helyszínének feltüntetése után az alábbiak olvashatók:

Először a lejtőt állítottam be, amelyhez két iskolai pad lapját használtam. Miután el-rendeztem az eszközöket, ki-választottam a lecsúszó testet. Több lehetőség megvizsgá-lása után egy gyufaszálakkal teli gyufásdobozt használtam. A mérésnél a dobozt úgy en-gedtem el, hogy a hosszabb oldala legyen párhuzamos a lejtővel, és a dobozban a gyu-faszálak a fejükkel lefelé le-gyenek. A lejtő szögét egy mobilalkalmazás segítségével határoztam meg. (36,1) A lej-tőn a távolságot 10 cm-enként mértem fel, minden távolság-ról három mérést vettem figyelembe. A doboznak a lejtő aljától megtett távol-ságát úgy mértem, hogy a legtávolabbi pontját néztem. A mérést fél cm pontos-

Lejtő hossza (cm) Csúszás távolsága (cm) Átlag (cm)

10 6,5

7 6 7

20 9

9 8,5 8,5

30 9,5

10 10 10,5

40 15,5

15 13,5 15

50

19,5

20 14 20

21,5 20

60

20

23 19 25 25 23

70

15

26 28,5 25 26 26

80

19

29 26

34,5 34 28

90

29

30 25,5 28,5 31,5 35,5

100

30,5

33 40,5 31 35 32

47

sággal végeztem. A három mérés átlagát kiszámoltam, ezt egész cm-re kerekí-tettem, és ábrázoltam a leengedés távolságának függvényében.

Magasabbról lecsúszó doboz nagyobbat zökkent a lejtő alján. Ez megfigyelé-seim szerint jelentősen befolyásolta a mérést, ezért ezeknél a távolságoknál 5 mérést végeztem, de a legnagyobb és legkisebb mért adatot nem vettem figye-lembe az átlagban.

Diagram:

637. Egy testet 20sm , egy másik testet 30

sm kezdősebességgel felfelé hajítunk egy

időben, azonos kiindulási helyről. Milyen távol lesznek egymástól 1 s, 2 s, 3 s, 5 s, 10 s múlva? Mekkora a második test sebessége az első testhez képest ugyanezen időpillana-tokban?

Schramek Anikó

Megoldás: Mivel mindkét test gyorsulása „g”, sebességük egyformán, másod-

percenként 10sm -ot változik. Így sebességeik különbsége mindvégig 10

sm ma-

rad. Ez azt jelenti, hogy egymáshoz képest ekkora sebességgel mozognak, vagyis minden másodpercben 10 m-t távolodnak egymástól. Ennek megfelelően 1 s múlva 10 m, 2 s múlva 20 m, 3 s múlva 30 m, 5 s múlva 50 m, és 10 s múlva 100 m távol lesznek egymástól.

638. Kör alakú pályán egy futó 40 s alatt tesz meg fél kört. Hány kört tesz meg per-cenként? Mennyi idő alatt tesz meg tíz kört? Mekkora a pálya sugara, ha a futó sebessége

3sm ? Schramek Anikó

Megoldás: Ha az állandó sebességgel futó ember 40 s alatt fél kört tesz meg, másfélszer ennyi idő alatt (60 s = 1 min) másfélszer ennyit, vagyis háromnegyed kört tesz meg. Hasonlóképpen, ha 40 s alatt fél kört tesz meg, hússzor ekkora

05

101520253035

0 20 40 60 80 100 120

csús

zás

távo

lság

a (c

m)

lejtő hossza (cm)

48

úthoz (tíz kör) hússzor ennyi időre, vagyis 800 s-ra van szükség. Ha sebessége

3sm , akkor 40 s alatt 3

sm

40 s = 120 m utat tesz meg. Ez a kör kerületének fele,

vagyis r . Ebből a kör sugara: 120 m : = 38,2 m.

639. Egy 1 kg tömegű, 6sm kezdősebességgel mozgó test a súrlódás hatására áll

meg. Mozgási energiájának 40%-a hővé alakul, melyből a test hőmérséklete növekszik. Tegyük fel, hogy ez a hőmennyiség a test 20 dkg tömegű részét melegíti, a test fajhője

400Ckg

J

. Mekkora lesz a test ezen részének hőmérséklete? Schramek Anikó

Megoldás: A test mozgási energiája kezdetben 21 mv2

= 21

1 kg 362

2

sm

=

= 18 J. Ennek 40%-a (Q) 7,2 J. Ebből a hőmérsékletváltozás: T=cmQ =

=kg0,2

CkgJ400

J7,2

=0,09C.

640. Egy ember a 8 cm magas hüvelykujjának képét egy 10 cm fókusztávolságú ho-morú tükörben, a tükör mögött, attól 12 cm távolságban látja. Mekkora a nagyítás, mi-lyen távol van a hüvelykujja a tükörtől, és mekkora a kép nagysága? Schramek Anikó

Megoldás: Az f1

= k1

+ t1 leképezési törvényből a fókusztávolság és a képtá-

volság ismeretében a hüvelykujj távolsága tükörből (tárgytávolság) számolható. Erre az egyenletből 60 cm adódik. A nagyítás a kép nagyságának és a tárgy nagyságának aránya, ami megegyezik a képtávolság és tárgytávolság hányado-

sával, vagyis cm60cm12

= 0,2. Ennek segítségével a kép nagysága számolható:

K = NT = 0,2 8 cm = 1,6 cm.

Albert Einstein mondásai

Amennyiben a matematika törvényei a valóságra vonatkoznak, nem bizo-nyosak; amennyiben viszont bizonyosak, nem a valóságra vonatkoznak.

Tartsd a kezed egy percig a forró kályhán, meglátod, egy órának fogod érez-ni! Beszélgess egy csinos nővel egy órát, mintha csak egy perc lenne! Na, ez a relativitás.