Ｆ： 輻射強度

２００７年１１月１２日

単位名学部 :天体輻射論I

大学院：恒星物理学特論IV

教官名 中田 好一

授業の最後に出す問題に対し、レポートを提出。成績は「レポート＋出欠」でつける。

授業の内容は下のHPに掲載される。

http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html

授業タイトル

A： 原子のエネルギー準位 ２００７年１０月 １日

Ｂ： 化学平衡 ２００７年１０月１５日

Ｃ： 線吸収 ２００７年１０月２２日

Ｄ： 連続吸収 ２００７年１０月２９日

Ｅ： ダストの吸収 ２００７年１１月 ５日

Ｆ： 輻射強度 ２００７年１1月１２日

Ｇ： 黒体輻射 ２００７年１1月１９日

Ｈ： 等級 ２００７年１1月２６日

Ｉ： 色等級図 ２００７年１２月 ３日

Ｊ： 星間減光 ２００７年１２月１０日

Ｋ： 輻射方程式 ２００７年１２月１７日

Ｌ： エディントン近似 ２００８年 １月 ７日

Ｍ： 吸収線の形成 ２００８年 １月２１日

Ｎ： 星のスペクトル ２００８年 １月２８日

Ｆ．１．輻射強度(Intensity)の定義

光子（振動数、位置、方向）の分布の２つの表現法

（１） 光子の分布関数（位置、運動量） （２） 輻射強度(インテンシティー)

ｆ（ｘ, ｐ） I (x, ν , Ω ）

物理 天文

光の強さをどう表現しようか？

（１） ｆ（ｘ, ｐ）

ｄN=ｄN´dx

＝f(x,p)dxdp

＝位置ｄｘ、運動量ｄｐの箱内

の光子の数

（２） I (x, ν, Ω）

ｄE＝I (x, ν, Ω）ｄνdΩｄSdt

＝位置ｘ、法線方向Ωの微小面

ｄSを通り、Ω方向立体角ｄΩ

に時間ｄｔ内に流れる振動数

ｄν の光子エネルギー

ｆ（ｘ, ｐ）＝位相空間密度x

pｘ

pｙ

dx

dpｘ

ｄNdpｙ

ｄN

ｄＳ

ｄΩ

ｄE=I (x, ν, Ω）ｄνdΩｄSdt

I (x, ν, Ω）

＝輻射強度

(Intensity)

ｄE

ｄN=f(x,p)d３xd３p

下に位相空間の６軸中Ｘ、Ｐｘ、Ｐｙ

の３軸だけ描いた図を示す

f と I をどうつなぐか？

(1) 分布関数 ｆ を運動量に関し絶対値・角度表示する。

ｄN´=f(x,p)dp=ｆ(x,|p|,Ω)・p2dpdΩ x

ｄΩｄN

dp

dx

(２) ｄΩ方向に垂直な微小面をｄSとする。

ｄｎ＝ｄｔ 内に ｄΩ 方向へｄSを通る光子数

＝ｄN´・ｃ・ｄS・ｄｔ

（３） ｄE=ｈν・ｄｎ

I (x, ν, Ω）ｄν・dΩ・ｄS・dt＝ｈν・ｄN´・ｃ・ｄS・ｄｔ

＝ｈν・f(x,|p|,Ω)・p2dp・ｃ・dΩ・ｄS・dt

輻射強度(Intensity)は基本的には

光子の位相密度関数 f を立体角表示したものである。

Pｙ

Pｘ

（（４） 光子に対して、ｈν＝ｃ・p だから、dp=(h/c)dν

I (x, ν, Ω）=（ｈ４ν３/ｃ２）・f(x,p)

注１： 光子に対しては、ε＝ｈν＝ｃ・p からdp=(h/c)dνなので

f(x, p）ｄ3p＝f(x,p)・p2dp・dΩ

＝（ｈ３ν２/ｃ３）・f(x,p)・dν・ｄΩ

したがって、 ｇ (x, ν, Ω）＝（ｈ３ν２/ｃ３）・f(x,hν/c) とおくと、

ｄN´=ｇ (x, ν, Ω）・dν・ｄΩ

I (x, ν, Ω）＝ε・c・ｇ (x, ν, Ω）

注２：

したがって、輻射強度の変化は光子に対するボルツマン方程式で記述される。

これが輻射輸達方程式である。光子の吸収、放出はボルツマン方程式の衝突項にあたる。吸収、散乱のない輻射は無衝突ボルツマン方程式に相当する。

その場合に成立する「位相密度ｆ（ｘ、ｐ、ｔ）は軌道に沿って不変である」という

Liouvilleの定理は次に述べる輻射強度不変の法則に対応するわけである。

dΩ

ｄΩ´

dS´

Ⅰ´

dE =Ⅰ´ｄＳ´ｄΩ´＝ⅠｄＳｄΩ

ｄＳ＝Ｒ２ｄΩ´ ｄＳ´＝Ｒ２ｄΩ

Ⅰ´Ｒ２ｄΩｄΩ´＝ⅠＲ２ｄΩ´ｄΩ

よって、Ⅰ＝Ⅰ´

一様に光る円盤dSから放射される光を考えよう。

Ｆ．２． 輻射強度不変の法則

吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しない。

Ｒ

dS

Ⅰ

ｄＳから輻射強度Ⅰ、立体角ｄΩで放射した光が全てＲ離れたｄＳ´を輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩ´で通過する。

この光線の広がりを、光子の位相密度関数の立場で考えてみよう。

Ωo

SoS

Ω

X

左から右に進む光子の運動を考える。位置空間を位置Xとそれに垂直な面 S で表す。運動量空間としては、運動量Pと運動方向の広がり立体角Ωをとる。面Ｓoを立体角Ωoで出たN= ｎo・So・Ωo 個の光子の集団が位置Xに達する。その時の光子の空間的な広がりSはS=Ωo・X2で与えられ、方向の広がりはΩ＝S/X2 で与えられる。、

Ω

S

X１

S1

Ω1

位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変（Liouvilleの定理）

Ω0

S0

X

実空間（Ｓ）で広がる。 ⇔ 運動量空間（Ω）で絞られる。（ＳΩ＝一定）

光子の総数N＝ｎ・S・Ωは変わらず、SΩ一定であるから位相密度 ｎは

不変である。これが光子の運動の最も単純な場合に対するLiouvilleの定理

の一例である。

位相密度ｎは輻射強度Iに比例するから n=一定 は I=一定 を意味する。

つまり、光束が広がると角度が絞られ、光束が縮むと角度が広がる結果、

輻射強度 I は一定に保たれるのである。

Ｆ．３． 表面輝度（輻射強度の別名）

等方的に光る壁A-Bを点Xから見る。

A

XB

I(A,ωA)

I（X,ωA)

I(B,ωB)I(X,ωB)

I（X,ωA) ＝I(A,ωA)

斜めに見ると光線が圧縮されるので濃く見える。

遠くなると光が弱くなるので壁の輝きが弱まる。

××

XからAを見ると、A点はI（X,ωA)＝I(A,ωA)の強さで光って見える。この強さはXによらず、A点固有の量である。そこで、I（A,ωA)を、[ 天文では実際に測定するのはI（X,ωA)だが ] A点でのωA方向

の表面輝度と呼ぶ。説明から分かるように表面輝度は輻射強度と同じである。

ｚｙ

点ｙから見た壁

点ｚから見た壁

黄色い部分は小さく見えるが、そこの色、明るさは変わらない

壁から離れた点 ｙ、 ｚ での輻射強度は？

銀河の表面輝度は距離で変わらない。大きさが変わるだけ。

輻射強度＝表面輝度は距離で変わらない。

S＝S ｋ＝法線ベクトルｋの微小面

Ｆ. ４．フラックス（Flux）

ｄΩ＝ｋｄΩ＝Ω方向の微小立体角（ｋはΩ方向の単位ベクトル）

θｋ

ｋ´

Ｓ

ｋ＝Ｓの法線ベクトル（長さ１）

最初に定義を少し。（見にくいけれど太字はベクトル）

ｋ

S=Sｋ

ｄΩ(ｋ)

（ｋ・ｋ´）＝cosθ

ｋ´＝ｋと角度θをなす単位ベクトル

ｄΩ´＝ｋ´ｄΩ´＝Ω´方向の微小立体角

θｋ

ｋ´

cosθ ＳＳ

ｋ

S=ｋS

単位時間にＳを通る光子のエネルギーEを計算してみよう。

dΩ´＝ｋ´ｄΩ ´

θ

ｋ′

Ｓを通る光（Ω ´方向）は法線ｋ（Ω方向）に対し角度（θ）を持つ。

Ω´方向の光がＳを通過するときは、Ｓを斜めに見るので、その有効面積は

Ｓ・ｃｏｓθ＝ （ｋ・ｋ´） Ｓ＝（Ｓ・ｋ´）

Ｓを通り、ｄΩ´方向に流れるエネルギーｄE´は、

ｄE´＝I´（Ω´）（Ｓ・ｋ´）ｄΩ´

＝ I´（Ω´）（S・ｄΩ´）

したがって、

E＝∫ｄE´＝∫I´（Ω´）（S・ｄΩ´）

＝S・∫I´（Ω´）ｄΩ´

＝S・F

Ｆ＝∫I（Ω）dΩ＝輻射流束ベクトル＝フラックスベクトル

F（ｋ）＝（ｋ・F）

＝ｋ・ ∫I（Ω´）ｄΩ´

＝∫I（Ω´）（ｋ・ｄΩ´）

＝∫I（Ω´）（ｋ・ｋ´）ｄΩ´

＝∫I（Ω´）ｃｏｓθｄΩ´

Sを単位面積にしたときの F＝（ｋ・F） もフラックスというので注意。

Ｉ（ｋ´）

θ

dΩ´＝ｋ´ｄΩ´

ｄS=ｋdS

Ｆ(ｋ)=ｋ方向の面を通るフラックス

=（ｋ・F）

=フラックス（輻射流束）ベクトルＦのｋ方向成分

フラックスとインテンシティ

フラックス F インテンシティ I

周波数表示 W/ｍ２/Hz W/ｍ２/Hz/Str.

波長表示 W/ｍ２/ｍμ W/ｍ２/ｍμ/Str.

全エネルギー表示 W/ｍ２ W/ｍ２/Str.

と、フラックスとインテンシティは単位としては立体角（Str）当たりかどうかが違いであるが、立体角は無次元なので、実際にはフラックスとインテンシティは同じ単位で表される。

天文では、ジャンスキー（Jansky)=Jy＝１０－２６Ｗ/ｍ２/Ｈｚという単位が多用される。

星などの点光源に用いられるときはフラックスの意味である。しかし、空の背景輻射など広がった天体の話で Jansky が現れたら、インテンシティの意味で使われているから注意が必要である。

Ｆ．5． 体積輻射率ε

インテンシティ Iのソースはどこだろうか？

１） 壁 I2＝I１

I２I1

２） 途中からの輻射の集積 I2 ＝∫ｄI

A点でのインテンシティ I への、途中B点での微小区間ｄXからの寄与をもう少し

丁寧に考えてみる。

長さ＝ｄX,断面積＝ｄｓの微小体積ｄV=dsdXを考える。ｄV内で生み出される

光エネルギー率を、４πεｄＶ とする。４πは後での記述の整理のために入れ

た定数。ε＝体積放射係数と呼ぶ。４πεｄＶのエネルギーはB点から四方八

方に放出される。その内でA点でのインテンシティに寄与する割合を考える。

ｄＸ

Ｘ

ｄｓ＝Ｘ２ｄω

ｄωｄΩ

ｄＳ＝X2ｄΩ

A点に微小面積ｄSを立てる。A点からB点のｄｓを見る立体角＝ｄω＝ｄｓ/Ｘ２

逆に、B点からｄＳを見込む立体角ｄΩ＝ｄＳ/Ｘ２

A点

B点

ｄω

ｄＸ Ｘ

ｄｓ＝Ｘ２ｄω

ｄΩｄＳ

したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄωに放出されるエネルギー率は、

（４πεｄＶ）（ｄΩ/４π）＝（４πεＸ２ｄωｄＸ）（ｄＳ/ ４πＸ２）＝εｄＸｄＳｄω

この式を見ると、ｄX部分からの I への寄与ｄIは ｄI＝εｄX である。

したがって、２）の場合は I=∫ｄI＝∫εｄｘ

注意： テキストによっては、ｄV内でのエネルギー放出率をεｄＶとしている。

この場合には ｄI=（ε/ ４π）ｄｘ I=∫ｄI＝∫（ε/ ４π）ｄｘ となる。

ｄV内で発生する輻射（４πεｄＶ）のうち、（ｄΩ/４π）がA点でｄＳを通り、ｄΩの方向に

流れていく。

４πεｄＶ

（a) 壁表面でのフラックス F

（１） F ＝∫I cosθｄΩ

＝∫∫I（θ、φ）cosθsinθｄθｄφ

（２） I（θ、φ）が壁の法線に関して軸対称 （φによらない） と、

F＝２π∫０π/２ I （θ）cosθsinθｄθ

＝２π∫０１ I （μ）μｄμ （μ＝cosθ）

（３） I（θ、φ）が一定 （等方） I=Io な場合、

F=２πIo∫0π/2cosθsinθｄθ

=2πIo∫01μdμ

＝πI0

Fを求める際の立体角Ωは壁前面なので２πに渡る。しかし、Fの計算には

Iにcosθの重みがかかる（F=∫IcosθｄΩ）ので、＜cosθ＞＝０．５のためF=２πIoでなく、F=πIoになるのである。

Ｆ．６． 簡単な例

（ｂ） 望遠鏡のＦ比

星雲を焦点距離 ｆ、口径Dの望遠鏡で撮影する。簡単のため、望遠鏡の収差は無視する。

A

星雲上の点Aの像が焦点位置Bにできたとする。Bに置いた画像検出器（写真乾板、ＣＣＤなど）が受ける輻射量、すなわち像の明るさを考えよう。

ｆ

Ｂ

D2η

A点から輻射強度＝IAで出た光は、Dを通り、輻射強度＝IBでB点に集まる。

A.2.でやったようにIA=IBである。B点でのフラックスFは収束光の立体角をωとすると、

F=∫IBcosθｄΩ≒IBω≒πIBη２≒πIA（D/2f)2

（tanη＝D/2f）

IA

IB

広がった像の単位面積当たりの光量＝フラックス は （ｆ / Ｄ）＝Ｆ比 で決まる。

焦点距離 ＝ ｆ

F比 ＝ F

ｆ

L

画像の長さ L＝ｆ・θ

θ

η

ｆ

D

像が大きい

像が小さい

像が明るい像が暗い

tanη＝D/2f＝1/(２F)

前頁の式に出てくる f/D を望遠鏡のF比（F-ratio）と呼ぶ。

一般に望遠鏡の画像の大きさは焦点距離 f で決まり、

画像の明るさはF比で決まる。

F比 大 F比 小

焦点距離ｆ 大

焦点距離ｆ 小

したがって淡い画像、例えば銀河の周りに広がる薄いエンベロープ、を検出しようとする際には口径の大きさよりもF比を重視しなければいけない。

いくつかの例

すばる望遠鏡 口径＝８ｍ 主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝１５ｍ

F＝15/8＝１．９

岡山天体物理 口径＝1.88ｍ 主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝9.15ｍ

観測所 F=9.15/1.88=4.9

１．８８ｍ望遠鏡

木曽観測所 口径＝1.05ｍ 主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝3.3ｍ

シュミット望遠鏡 F=3.3/1.05=3.1

ニコン 口径＝３６ｍｍ 焦点距離＝５０ｍｍ

カメラ標準レンズ F=50/36=1.4

（ｃ） マゼラン雲内の恒星コラム数密度

光度（エネルギー総放出率）Ｌの星が数密度ｎで分布しているとする。体積ｄV内の星の総数＝ｎｄVだから、

４πεｄV＝ＬｎｄV ε＝Ln/４π

マゼラン雲の面輝度Bを測ったところ、B=１０－５W/m2であった。マゼラン雲内の星の光度を仮に太陽の光度の１００倍

Lo＝3.85・102８W とし、途中の光吸収をゼロと仮定すると、

B=∫（Lo・n/4π）ｄｘ＝（Lo/4π）（n・X）N=（n・X）＝（４π・１０－５/3.85・１０２８）/ｍ２

＝３．２６・１０－３３/ｍ２

＝３．２６・１０－３３・（３．０８・１０１６）２/ｐｃ２

＝３/ｐｃ２

次ページに示すのは マゼラン雲バーの中心7.8分角のJHK３色画像で

ある。 マゼラン雲までの距離を５０ｋｐｃとすると、１１３ｐｃ四方となる。 この画像に写っている星は大部分が赤色巨星で１００Loよりは明るく、星の数は１万程度なので、上の見積もりと大体合う。

大マゼラン雲（LMC）

（ｄ） オルバースのパラドックス

オルバース（１７５８－１８４０）は、星が地球（太陽）の周りにどこまでも存在する宇宙を考えた。

星の半径＝Ro、明るさ＝Lo、星の数密度＝ｎ とする。

ｄN=４πR2ｄR・ｎ＝球殻中の星の数

R

ｄR

半径＝R、厚み＝ｄRの球殻

S=πRo2＝一つの星の断面積ω＝S/R2＝π（Ro/R）２

＝一つの星の立体角ｄΩ＝ω・ｄN

＝π（Ro/R）２・４πR2ｄR・ｎ＝４π２Ro２・ｎ・ｄR

＝球殻内の星が空を覆う立体角Ω(R)=∫０

RｄΩ＝４π２Ro２・ｎ・R＝地球から距離R以内の星全体が空を覆う立体角

オルバースは、「宇宙が一様で無限であるならΩ（R)が４πとなり全天が太陽表面と同じ明るさで輝くはずなのに、なぜ夜空は暗いのか」という問題を提唱した。

この問題を輻射強度Iの言葉で表現してみよう。

例（ｃ）で見たように、恒星数密度ｎの時ε＝Lo・ｎ/４π

だから、地球から距離R以内の恒星による輻射強度は、

I(R)=∫０RεｄR=Lo・ｎ・R/４π

I(R)はRに比例するので、Rが無限大になるとI(R)も発散する。

前頁のΩを数値で当ってみると、簡単のためRo=６．９６・１０８ｍ、ｎ＝１/ｐｃ３ として、

Ω(R)＝４π２Ro２・ｎ・R＝４π２（６．９６・１０８/３．０８・１０１６）２R（ｐｃ）

＝４π２・５．１１・１０－１６R(pc)

Ω(R)＝４πとなるのは、R=６．２３・１０１４ｐｃ＝２．０３・１０１５光年

R=１００億光年＝１０１０光年とすると、

Ω＝４π（１０１０/２．０３１０１５）＝π・１．９７・１０－５＝π・（４．４３・１０－３）２

１′＝π/１８０＝２．９１・１０－４なので、４．４３・１０－３＝１５．２′

太陽の視半径＝１６′なので、太陽近傍の恒星密度で宇宙が１００億光年まで一様

であったら、夜空は昼間と同じくらいにまでは明るかったであろう。

問題Ｆ 出題：平成19年1１月１２日解答レポートの第１頁には、氏名、学科、学年、提出月日を忘れず記入せよ。（なるべく） 翌週の授業に提出すること。

Ｆ－１黒体表面での輻射強度は等方的である。すなわち、黒体表面をどのような

角度から見ても同じ輝き（表面輝度）に見える。

下の写真はグリフィス公園から見たロサンゼルスの夜景である。市街地を無限に広がる平面とみなし、Ｗ＝１００ワットの電球がＮ＝０．１個／ｍ２の密度で灯っているとしよう。公園の高さを市街からｈ＝５０ｍとし、公園における輻射強度を鉛直方向からの角度θ（°）の関数として求めよ。

等方的に光る電球を一様に並べたのに、なぜ市街地の表面輝度は一様でないのか、その理由を述べよ。

Ｆ－２下の花火の写真を見ると、中央よりも縁の方が火の粉が多いこと（リムブライト

ニング）に気付くであろう。写真上での火の粉の面密度を測って、花火の中心からの距離の関数としてグラフにせよ。次にそれを適当なモデルで説明せよ。