82.

HILBERT RAUHE

Motivation : Math.Rahman fir due Quantentheorie

Def . : ° Ein Skalwprodnkt anf einem IK- Vehtorraum H ( unit Ket Ric} ) ist eine

Abbildwng e-,. > : 71×71 → K fer die gilt : tf

,,tEH :

( :) < f. f > s. 0 und < f. l > .

- 0⇐t f=olii ) the 1k : < µ

, tf, + f, > = net.f,

> + < t.li >

1iii ) < f. µ > : < f. f >

° (H,e.

,. s ) heft Proihilbutraum .

Ben . : . Far gedes YEH ist ft < 4.4 > ein linens Funkkonal ant H,

d.h.

eine linear Abb.

wit Wvteu in K.

• Aus ( ii ) R ( in ) folgt e Xt,f > : I et, fs .

( Achtung : Mathematikv defiuiveu das Shalwprodnkt must so,

classes linear

in ushu & konjugivt linear in zwiten Argument ist ?)

Satti ( Cauchy - Schwarz ) 1st H ein Proihilbwtraum,dann gilt K f. t.CH :

khtspe < f. 9 > etits

Beweis : → libungsblatt

Sate : ( As - Ungl . ) 1st 71 ein Prihilbvtraum,dam gilt hit Htll : :< 4.4 >

"

for able MEH :

114+911 e 11411+11911

Bewn's : 114+4112 = a ttl. ttf > .

. 114112+11911't < tip > + elites e ( 11411+1141112

÷11111411 wach CS

D

83

Ben .: Dawit ist 11.11 tatsaohlich are Norm und H unit 71×71 → IR : ( 4. 4) ↳ 114411 ein

metrischer Raum.

Satz : ( Parallelogrammgl . ) :

1st 71 ein Praihilbertraum,

dann gilt Kf, t.CH :

114+4112+114- tli : 2114112+211411'+r =

.

7( Summer do Diagonal! = Summer dv Sited )

Bewu's : → kbungsblatt

Ben.

: Eine Norm vfinllt diese GL. g.

d. w.sie von linen Skalwprodnkt kommt .

Far

112=6 gilt danu die,,

Polarisations formal"

: 4 < f. ts : Hfttli . 11 f- Mitillftitll'

. illfitlp

Sate : 1st H ein Praihilbertraum und FEH,dann Sind folgende Abbildungen auf H

gleichwapigstetig :

Lil th ef,4 >

( ii ) µ ns e µ. y >

( iii ) µ h, 11411 :Bewcisi L i ) ollii ) : let, .f > - it. ,f > 1 = let, - K , 4 > 1 E 11 K . tz 1111411

hit 8 := Ee ,, bedmtet dies :

He >OFS : Hk - till < S ⇒ lek,l > - ttzif > 1<{

Da Sunabh.von tnk ist

,ist we Stetrgkeit glcichmipig .

( iii ) 111411 - 114211 E 1114 - 4211

s .Tiny .: lltntt, - t.li 1114 - till + HKI

Dawit gilt arch 1111411 - 11h11 It HK- till

D. L . He > 0 FS : Htn . till e S ⇒ / 11h11 . 1114111 " E: D

④

DEI Ein Hilbert raum 74 ist ein Prirhilbertraum,der ( arts nnetnischw Raum )

rolls tan dig ist ( d.h .

alle Cauchy folger lronvergiereu in 74 ) .

Wenn IK -- E ( IK -- IR ),

heipt 74" komplee

" ( bzw. "reel

" ).

Bspi von Hilbert rainmen :

o L'

( r ) wit e t.es :-. fetus feel pride )• Ecw ) : : ft e e " I E.

w

Itil'e a } mit et. Is :-. Earth

. Hi Ed unit - t.es : -- ÷d

,

t.fi

° Prihilbeetraum du Kein Hilbertraum ist : ( ( to .rs ) wit e t, f s :-. ! fix ) ok

^

Hier eeistrvt eine Foye fu E C ( 5973 ) ,so class

eI

11h- ft -so far feiltondlclto.nl) / §Det Sei 71 ein Pri hilbert raum

,MEN

.

- felt heipt orthogonal zu YEH,wenn et, t > = O ( ft t )

• Mt : -- f f c- 71 / t teh : rt if > : O } heft Orthogonal leoinplement von M.

Cor.: ( Pythagoras ) Sind f, t Elemente eines Prinhilbertraumes

,damn gilt :

-

ftt⇒Hfttli=HllitHtBeweis : Htt t 112 = eftt

, ft tis = 11111 't Il tell'

t elitist - til > .D

- -=O

Sa

tutanpiemii.PT?i9iitraajii.nwiienwnen.dannistdasorthogonUutervektorraum von 21.

85

Bewcis : Weger ( tent ⇒ item ) n ( tile Mt -- t Tt f E Mt ) ist M'

ein Unterraum.

Far te M gilt wit f ( f ) : -- et, f >

,class Tt : - f f E 74 I f If ) : o} = f

-"

( 403 ) .

Da f stetig und to} abgeschlossen ist ,ist auch das Urbild t

'

abgeschlassen .

Dami't ist ouch Mt = A t'

abgeschlosseh .

TEM D

Bem ..

. Ein Bsp . fir einen nicht abgeschlosseheu Uutwraum wire V : = span ( f e , };eµ

) E L,Car) .

Hier gilt 4 EV (da Vnur endliche Linear Kombinationen en th-

alt ) aber T -

- Lz .

Satz : 1st M eine nicht leere,kouveee

, abgeschlossene Teilmeuge eines Hilbertramus 74,

dawn gibt es ein eindentiges Element to EM,so class Htt Mi It toll E It TH .

Bennis : S inf It tell .

Wahle the M, so

dass II tu H → S.

te M to

Parallelogrammg .⇒ It"-Ink! 311 till

'

till tuk'

- It "ItmII ④"

/ / ..-.

.

.

.

.

• O

I,

I ( 11h11't Html) - s'

"4the M weyenkouvcxitatDawit ist ( tu ) Cauchy- Foliage und tu → to e 71

wog . Vous tandigkeit . to c. Mwog . Abgeschlussenhit.

Stelrgheit du Norm gwan NutAtoll

: hiya 11h11 = 8 .

Augenour men Ole M erfillt Hall .- 8,dann gilt unit der Ung .

she He wie eben :

11to -24 IT =

. - .

± I ( It toll'

t 11411'

) - 5=0,also 11 to - 4 H ' O und damit Of - to .

D

Bein. : Far jede nicht here ,

kouveee, abgeschlosseue Teilmeuge M ist damit eine Abbildung

Pn : 71 → M,Tts to deficient . Pm vfillt PI -- Pm ,

d. h . Pm ist eine Projektion .

86

korollw : 1st

he71 ein abgesohlossenw Unterranm lines Hilbertraums

,dann Kann

jedes FEH eindenkg in f= f. + fz unit if,

Eh,he ht zvlegt warden .

Zudeu gilt ht"

= h.

( In dem Fall scweibt man 7th Oht wind spricht von der"inueren ortho -

gonalen Summe .)

Beweis : Sei M : : f - h und winkle f. eh so,class f- f, Element minimum Norm

8=11 f- f. 11 in M ist.

wir woken zeigen , class fzi= f- f, in htist.

Es gilt : K teh KEER: 111,112 : 11 f- f. 112 I 11 f- (f.+ et ) 112

.

. 11h . et 112=11 f. 11't e2114112 - Ze Reeh ,t >

Dies istwurmoglich ,weun Reefz ,

t ' = 0 tteh und da wit teh anih itch,

impliziert dies : < f, it >:O tteh,also f. Eht .

Zur Eindenkgkeit : 1st f= I + [ unit f. eh,f. tht

,dann ist

0 . 11 f. + f. - E- Ill'

;11h . [ little, - Ili ,also

f. = f, ^ f, if, .

Pythagoras

Nochz .z. : h= htt

. Sci fe hit unit f= f. + f.,f. th , fzeht .

Da

he htt,gilt f, e

htnhtt,

also f , :O und damit htt=h.

A

Ben .: 1st R: H→h die Projeklion anf h und 11 :7l→H die ldentitntsabbildung ( It : t )

,

dann ist die Aussage des korollws,class Pn , = 1- Pn .

Denn µ : 14 = Putt ( H - R ) 4 = Putt Put .