Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

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VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

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VI.2 Die Bewegungsgleichung

• Die Newtonschen Axiome• Die wirksamen Kräfte

– Druckgradient– Schwerkraft– Reibungskraft– Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

• Die Navier-Stokes-Gleichung• Skalenanalyse

– geostrophische Approximation– hydrostatische Approximation– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

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IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem

constv K a

0

Axiom1.

Kdt

vdm a

Axiom2.

2112 KK

Axiom3.

i

iKK

) Axiom"("4. Korrolar

Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit.

Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit einer Beschleunigung (auch Definition der Masse).

Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt eine gleiche Kraft mit umgekehrtem Vorzeichen (actio = reactio).

Unterschiedliche Kräfte addieren sich vektoriell zur Gesamtkraft.

Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.

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Wirksame Kräfte

In einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar

, mit massenspezifische Kraft

oder Beschleunigung

In der Atmosphäre sind vor allem drei Kräfte/Beschleunigungen

a adv dv Km K f f

dt dt m

3

11

2

3

wirksam:

mit Druckgradientbeschleunigung

Schwerebeschleunigung

Reibungsbeschleunigung

ii

f f f

f

f

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Druckgradientbeschleunigung

BA

x0, y0, z0

Δx

Δz

Δy

x

z

y

An allen Wänden des Volumens V = Δx Δy Δz wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte: p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche)

Fläche A: p(x0+ Δx/2)≈p(x0)+(∂p/∂x)(Δx/2)

Fläche B: p(x0 - Δx/2)≈p(x0) -(∂p/∂x)(Δx/2)

Nettoimpulsflussdichte (Druck) in x-Richtung p(x0+ Δx/2)-p(x0 - Δx/2)≈- (∂p/∂x)Δx

Nettokraft (Druck x Fläche) Kx= (∂p/∂x)Δx (ΔyΔz)= (∂p/∂x)V

massenspezifische Kraft (Beschleunigung) fx=Kx/m= (∂p/∂x)V/m= (1/ρ)(∂p/∂x)

pz

pf

y

pf

x

pf zpypxp

1111

p,,, f oder , ,

7

Schwerebeschleunigung

,

,

0

g N N y

N z

f g g

g

Ng zg

gsein cheErdoberflä der auf senkrecht muss

igunglbeschleunZentrifuga

on)(Gravitati AnziehungNewtonsche

mit

:bereits kennen Wir

g

g

g

ggg

Z

N

ZN

Im Inertialsystem dürfen wir die Zentrifugalbeschleunigung durch die Erdrotation nicht einbeziehen. Durch die Abplattung der Erde ist die Newtonsche Anziehung nur an den Polen und am Äquator senkrecht zur Erdoberfläche.

Also gilt

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Reibungskraft (1)

x, y, oder z

Austausch von Molekülen zwischen

den Schichten unterschiedlicher

Geschwindigkeit durch thermische Bewegung

=molekulare Reibung

Austausch von Luftpaketen zwischen

den Schichten unterschiedlicher

Geschwindigkeit durch Turbulenz

=turbulente Reibung

«

Prinzip der Reibung: Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch zu sehen, allerdings nun parallel zu den Grenzflächen.

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Reibungskraft (2)Ansatz über Schubspannung =Impulsaustausch senkrecht zur Bewegungsrichtung

• Intuitiv proportional zu „Zähigkeit“ β und Windscherung ∂u/∂z

• Betrachte zunächst Reibung durch x-Impulsaustausch entlang z-Richtung

Zähigkeit , mitms

kgz

u

Druck der wiesdichteImpulsflus m

/ /2s

smkg

m

sm

ms

kg

)/( 20 zzxz

)/( 20 zzxz

Δx

Δy

Δzx0, y0,

z0

• τxz ist der Schub in Richtung x durch Impulsaustausch in Richtung ±z.

• τxz wirkt oben und unten am Volumen

• Die Differenz bewirkt einen Nettoschub für das Volumen.

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Reibungskraft (3)

τxz(z0+Δz/2) = 0τxz(z0-Δz/2) > 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)<0 Abbremsung

τxz(z0+Δz/2) > 0τxz(z0-Δz/2) < 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)»0 starke Beschleunigung

τxz(z0+Δz/2) >0τxz(z0-Δz/2) > 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)~0 weder Abbremsung noch

Beschleunigung

Entscheidend für Abbremsung oder Beschleunigung ist also nicht der Impulstransport selbst, sondern dessen räumliche

Änderung (Konvergenz, Divergenz): Konvergenz von Impuls beschleunigt, Divergenz bremst.

z

u

z

x

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Reibungskraft (4)Berechnung der Nettokraft (=Nettoimpulsflussdichte x Fläche) in x-Richtung:

, 0 0

0 0

,,

( / 2) ( / 2)

über ( / 2) ( ) / 2

1 Reibungsbeschleunigung nach x

R x xz xz

xz xzxz xz

V

R x xz xzR x

K z z x y z z x y

x y z z z z zzz

K Vf

m z m z

Laminare und turbulente Strömungen (Einsetzen von τ)

,

2

2

1 1

laminar ( ) turbulent ( ( ))

1 1 1 ( )

xzR x

uf

z z z

K z

u u uK z

z z z z z z

u

z

5 2

2

( )

mit , dynamische, bzw. molekulare Viskosität ( 1,5 · 10 m / s)

turbulenter Diffusionskoeffizient ( 1 m / s)

uK z

z z

K

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Reibungskraft (5)

01

0 und

0

1

yx zx

xy zy R

xz yz

xy xz

yx yz

zx zy

f

y z

x z

x y

Weiter: Neben τxz existieren noch τxy und τxx,und analog für die anderen Richtungen τyx, τyy und τyz, und τzx, τzy und τzz.

Die τii sind schon durch die Druckgradientkraft (Impulstransport senkrecht zu den Würfeloberflächen) erledigt!

Zusammengefasst: Schubspannungstensor

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Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem

11N

a gpdt

vd

In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigung nicht auf!Ein brauchbares Inertialsystem ist ein in der Sonne verankertes Koordinatensystem, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.

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Übungen zu VI.2.1

1. Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung in Bodennähe, wenn bei p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von Westen nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt und die Atmosphäre hydrostatisch geschichtet ist.

2. Wie groß ist die Zentrifugalbeschleunigung durch die Erddrehung am Äquator, und wie groß ist dort die Gravitationsbeschleunigung?

3. Wie müsste sich das Windprofil über eine Distanz von 1 Meter ändern, damit die molekulare Reibung und die turbulente Reibung in die Größenordnung der Schwerebeschleunigung kommt?