einfuhrung in l¨tex2ε mathematischer satz mit la e-mail ... · 2 so bringe ich mathematik in mein...
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Einfuhrung in LATEX2ε:
Mathematischer Satz mit LATEX
Gunter Partosch∗
E-Mail: [email protected]
30. Oktober 2002
Zusammenfassung
Zielgruppe fur diese Kursunterlagen sind LATEX-Anfanger, die auf ihrem Rechner Doku-mente erstellen wollen, die mathematische Formeln enthalten. Im Kurs werden die meis-ten Moglichkeiten zur Formelgestaltung und die wichtigsten Formelelemente in Standard-LATEX vorgestellt. Wunschenswert sind mindestens Anfangskenntnisse in LATEX2ε.
Inhaltsverzeichnis
1 Bemerkungen zum Setzen mathematischer Formeln 3
2 So bringe ich Mathematik in mein Dokument 3
2.1 Inline-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Abgesetzte Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Einige Beispiele fur mathematische Formeln 5
3.1 Griechische Buchstaben und spezielle Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Relationen und binare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Mathematische Akzente und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.5 Pfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.6 Andere Schriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.7 Bruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.8 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.9 Exponenten und Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.10 Binominalkoeffizienten und ahnliche Konstrukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.11 Symbole stapeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.12 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11∗Hochschulrechenzentrum (HRZ) der Justus-Liebig-Universitat Gießen
1
INHALTSVERZEICHNIS 2
3.13 Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.14 (Unendliche) Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.15 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.16 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.17 Mathematische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.18 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.19 Matrizen und andere rechteckige Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.20 Eigene Kommandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.21 Theorem-artige Konstrukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Und noch . . . 22
5 Und noch etwas . . . 22
A Anhang 23
A.1 Darum ging es jeweils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.2 Und diese mathematischen LATEX-Befehle wurden benutzt . . . . . . . . . . . . 27
Vorbemerkung 1 (Nur Standard-Moglichkeiten):Wie oben schon erwahnt, werden in dieser Anleitung lediglich die Standard-Moglich-keiten fur den Mathematik-Satz in LATEX2ε behandelt. Die weitergehenden Moglich-keiten zum Formelsatz in AMS-TEX und einigen speziellen Paketen (wie beispielsweiseamsmath, amssymb, mathrsfs und wasysym) bleiben unberucksichtigt.
Vorbemerkung 2 (Konventionen):In der vorliegenden Anleitung wird versucht, an Hand zahlreicher Beispiele zu zeigen,wie mathematische Formeln in LATEX2ε gesetzt werden konnen.
• Dabei wird fur jedes Beispiel jeweils in der rechten Spalte die Eingabe und in derlinken Spalte das zugehorige Ergebnis aufgefuhrt.
• Um den Platz in der linken Spalte besser nutzen zu konnen, werden die Formeln dortlinksbundig gesetzt (durch die Option fleqn in der documentclass-Anweisung).
• Die Texte in den Beispielen wurden in ISO 8859-1 Latin-1 codiert (einschließlichder Umlaute und des Eszets); auf die Umschreibung wie beispielsweise in "a fura wurde verzichtet. Wenn die Anweisung \usepackage[latin1]fontenc in derPraambel des Dokuments verwendet wird, werden die Texte ohne Probleme korrektdargestellt.
1 BEMERKUNGEN ZUM SETZEN MATHEMATISCHER FORMELN 3
1 Einige allgemeine Bemerkungen zum Setzen mathemati-scher Formeln
Das Setzen mathematischer Formeln unterscheidet sich in TEX und LATEX deutlich von derAufbereitung ”normaler“ Texte. Dabei gelten die folgenden Regeln (singemaß aus der LATEX-Kurzanleitung):
• Leerzeilen in der Eingabe fur eine Formel sind generell nicht zulassig.
• Leerzeichen und Zeilenwechsel haben bei der Eingabe keine Bedeutung; alle Abstandein der Formel werden automatisch nach der Logik mathematischer Ausdrucke bestimmtbzw. mussen durch spezielle Befehle wie \, oder \qquad festgelegt werden.
• Jeder einzelne Buchstabe in der Eingabe wird als Name einer Variablen betrach-tet und entsprechend gesetzt: kursiv mit zusatzlichem Abstand; so beispielsweise
”mathematischerText“ statt ”mathematischer Text“. Will man innerhalb eines ma-thematischen Kontextes normalen Text (d. h. aufrecht mit korrekten Abstanden) setzen,muss man diesen in \textrm... auffuhren.
2 So bringe ich Mathematik in mein Dokument
2.1 Inline-Formeln
Seien a und b die Katheten und c die Hypo-tenuse, dann gilt c =
√a2 + b2 (Lehrsatz des
Pythagoras).
%--inline1.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt$c=\sqrta^2+b^2$ (Lehrsatz desPythagoras).
Seien a und b die Katheten und c die Hypo-tenuse, dann gilt c =
√a2 + b2 (Lehrsatz des
Pythagoras).
%--inline2.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\beginmathc=\sqrta^2+b^2\endmath(Lehrsatz des Pythagoras).
Seien a und b die Katheten und c die Hypo-tenuse, dann gilt c =
√a2 + b2 (Lehrsatz des
Pythagoras).
%--inline3.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt\( c=\sqrta^2+b^2 \)(Lehrsatz des Pythagoras).
2 SO BRINGE ICH MATHEMATIK IN MEIN DOKUMENT 4
2.2 Abgesetzte Formeln
Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt
c2 = a2 + b2
(Lehrsatz des Pythagoras).
%--display1.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt$$c^2=a^2+b^2$$ (Lehrsatz desPythagoras).
Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt
c2 = a2 + b2
(Lehrsatz des Pythagoras).
%--display2.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\begindisplaymathc^2=a^2+b^2\enddisplaymath(Lehrsatz des Pythagoras).
Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt
c2 = a2 + b2
(Lehrsatz des Pythagoras).
%--display3.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\[ c^2=a^2+b^2 \](Lehrsatz des Pythagoras).
Seien a und b die Katheten und c die Hypote-nuse, dann gilt
c2 = a2 + b2 (1)
(Lehrsatz des Pythagoras).Aus (1) folgt . . .
%--display4.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt\beginequation\labelPythagorasc^2=a^2+b^2\endequation(Lehrsatz des Pythagoras).\parAus (\refPythagoras) folgt \dots
f(x) = cosx (2)f ′(x) = − sinx (3)∫ x
0f(y)dy = sinx (4)
%--display5.tex---\begineqnarrayf(x) & = & \cos x \\f’(x) & = & - \sin x \\\int_0^xf(y)\mathrmdy&=&\sin x\endeqnarray
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 5
3 Einige Beispiele fur mathematische Formeln
3.1 Griechische Buchstaben und spezielle Zeichen
ABΓ∆EZHΘIKΛMNΞOΠPΣTΦXYΨΩ
%--symbol1.tex---\[ \mathrmA\mathrmB\Gamma\Delta\mathrmE\mathrmZ\mathrmH\Theta\mathrmI\mathrmK\Lambda\mathrmM\mathrmN\Xi\mathrmO\Pi\mathrmP\Sigma\mathrmT\Phi\mathrmX\mathrmY\Psi\Omega \]
αβγδεζηθικλµνξoπρστφχυψω
%--symbol2.tex---\[ \alpha\beta\gamma\delta\epsilon\zeta\eta\theta\iota\kappa\lambda\mu\nu\xi\mathrmo\pi\rho\sigma\tau\phi\chi\upsilon\psi\omega \]
ε ϑ ς ϕ
%--symbol3.tex---\[ \varepsilon \quad \vartheta \quad\varpi \quad \varrho \quad \varsigma\quad \varphi \]
ℵ ∂ ∞ ∀ ∃ ¬ ∈ ♥
%--symbol4.tex---\[\aleph\quad\Re\quad\Im\quad\partial\quad\infty\quad\forall\quad\exists\quad\neg\quad\in\quad\heartsuit \]
∀ε > 0 : |f(x1)− f(x2)| < ε ∃η : |x1 − x2| < η
%--symbol5.tex---\[ \forall \varepsilon>0:|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\quad\exists\eta: |x_1-x_2|<\eta \]
3.2 Klammern
( [ [ 〈
%--klammer1.tex---\[ (\qquad\lbrack\qquad\lbrace\qquad[\qquad\lfloor\qquad\langle\qquad\\qquad\lceil \]
) ] ] 〉
%--klammer2.tex---\[ )\qquad\rbrack\qquad\rbrace\qquad]\qquad\rfloor\qquad\rangle\qquad\\qquad\rceil \]
((x+ 1)(x− 1)
)2%--klammer3.tex---\[ \Bigl( (x+1) (x-1)\Bigr) ^2 \]
((x2 + 1)(x2 − 1)
)2%--klammer4.tex---\[ \left((x^2+1) (x^2-1)\right)^2 \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 6
1 +(
11− x2
)3%--klammer5.tex---\[ 1 + \left(\frac11-x^2\right)^3 \]
26︷ ︸︸ ︷a+ b+ · · ·+ z+
26︷ ︸︸ ︷A+B + · · ·+ Z︸ ︷︷ ︸
52
%--klammer6.tex---\[ \underbrace\overbracea + b + \cdots +z^26 +\overbraceA + B + \cdots+Z^26_52 \]
m+ n m+ n
%--klammer7.tex---\[ \overlinem+n\qquad\underlinem+n \]
3.3 Relationen und binare Operatoren
x = y > z x := y x ≤ y = z%--rel1.tex---\[ x = y > z \qquad x := y \qquadx \le y \ne z \]
x ∼ y z x ≡ y ≡ z x ⊂ y ⊆ z
%--rel2.tex---\[ x \sim y \simeq z \qquadx \equiv y \not\equiv z \qquadx \subset y \subseteq z \]
x+ y − z x ∗ y/z x× y · z%--rel3.tex---\[ x + y - z \qquad x * y / z \qquadx \times y \cdot z \]
x y • z x ∪ y ∩ z x y z
%--rel4.tex---\[ x \circ y \bullet z\qquadx \cup y \cap z \qquadx \sqcup y \sqcap z \qquad \]
x ∨ y ∧ z x± y ∓ z%--rel5.tex---\[ x \vee y \wedge z\qquadx \pm y \mp z \]
3.4 Mathematische Akzente und Vektoren
a b c d e
f g h k l
%--akzent1.tex---\[ \hat a\qquad\check b\qquad\tildec \qquad \acute d \qquad \grave e \]\[ \dot f\qquad\ddot g\qquad\breveh \qquad \bar k \qquad \vec l \]
ı %--akzent2.tex---\[ \hat\imath \qquad \check\jmath \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 7
x xy xyz
x xy xyz
%--akzent3.tex---\[ \widehat x \qquad \widehatxy\qquad \widehatxyz \]\[ \widetilde x \qquad \widetildexy\qquad \widetildexyz \]
α · (x+ y) = α · x+ α · y
%--akzent4.tex---\[ \alpha \cdot(\vec x + \vec y) =\alpha \cdot \vec x +\alpha \cdot \vec y \]
x · (y · z) = (x · y) · z
x× (y × z) = (x× y)× z
%--akzent5.tex---\[ \vec x \cdot (\vec y \cdot \vec z)\not=(\vec x\cdot\vec y)\cdot \vec z \]\[ \vec x\times (\vec y\times \vec z)\not= (\vec x \times \vec y) \times\vec z \]
3.5 Pfeile
← ⇐ ↔ ⇔ ↑ ↓
←− '→
%--pfeil1.tex---\[ \leftarrow \qquad \Leftarrow \qquad\leftrightarrow \qquad \Leftrightarrow\qquad\uparrow\qquad\downarrow\qquad\nearrow \]\[ \longleftarrow\qquad\leftharpoonup\qquad \mapsto \qquad \leadsto \]
(A ⇒ B)⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A)
%--pfeil2.tex---\[ (\mathcalA \Rightarrow\mathcalB) \Longleftrightarrow(\lnot \mathcalB \Rightarrow\lnot \mathcalA) \]
3.6 Andere Schriften
∀x ∈ R : x2 ≥ 0%--zeichen1.tex---\[ \forall x\in\mathbfR: x^2\ge0\]
A · x = y
mit A = (aij)i = 1, · · · ,m; j = 1, · · · , n
x = (x1, · · · , xn) undy = (y1, · · · , ym)
%--zeichen2.tex---\begineqnarray*\mathbfA \cdot \mathbfx & = &\mathbfy \\\textrmmit \mathbfA&=&(a_ij)\\&&i=1,\cdots, m; j=1,\cdots, n\\\mathbfx & = & (x_1,\cdots, x_n)\textrm und\\\mathbfy & = & (y_1, \cdots, y_m)\\\endeqnarray*
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 8
(A ⇐⇒ B)⇐⇒ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)
%--zeichen3.tex---\[ (\mathcalA \Longleftrightarrow\mathcalB)\Longleftrightarrow(\mathcalA\Rightarrow \mathcalB)\wedge(\mathcalB\Rightarrow\mathcalA)\]
3.7 Bruche
12
n+ 13
%--bruch1.tex---\[ \frac12 \qquad \fracn+13 \]
x+ y2
k + 1x+ y2
k+ 1 x+
y2
k+ 1
x+y2
k + 1x+ y
2k+1
%--bruch2.tex---\[ \fracx+y^2k+1 \qquad\fracx+y^2k + 1 \qquadx + \fracy^2k+1 \]\[ x + \fracy^2k+1 \qquadx + y^\frac2k+1 \]
ab
2ab2
%--bruch3.tex---\[ \frac\fracab2 \qquad\fraca\fracb2 \]
a/b
2a
b/2
%--bruch4.tex---\[ \fraca/b2\qquad\fracab/2 \]
a0 +1
a1 + 1a2+ 1
a3+ 1a4
%--bruch5.tex---\[ a_0 + \frac1a_1 +\frac1a_2 +\frac1a_3 +\frac1a_4 \]
a0 +1
a1 +1
a2 +1
a3 +1a4
%--bruch6.tex---\[ a_0+\frac1\displaystyle a_1 +\frac\strut 1\displaystyle a_2 +\frac\strut 1\displaystyle a_3 +\frac\strut 1a_4 \]
a
bc
d
%--bruch7.tex---\[ \displaystyle \fracab\above 1pt\displaystyle\fraccd \]
a
bc
d
%--bruch8.tex---\newcommand\dfrac[3]\displaystyle
#1\above#3 \displaystyle #2% ...\[ \dfrac\fracab%\fraccd1pt \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 9
3.8 Wurzeln
√2
%--wurzel1.tex---\[ \sqrt 2 \]
√x+ 2
%--wurzel2.tex---\[ \sqrtx+2 \]
3√
2%--wurzel3.tex---\[ \sqrt[3]2 \]
√x3 +
√α
%--wurzel4.tex---\[ \sqrtx^3 + \sqrt\alpha \]
n√xn + yn
%--wurzel5.tex---\[\sqrt[n]x^n + y^n\]
n+1√a
%--wurzel6.tex---\[ \sqrt[n+1]a \]
√a+√b+√y
√a+
√b+
√y
%--wurzel7.tex---\[ \sqrta+\sqrtb+\sqrty \qquad\sqrt\mathstrut a +\sqrt\mathstrut b +\sqrt\mathstrut y \]
3
√h′′n(αx)
%--wurzel8.tex---\[ \sqrt[3]h’’_n(\alpha x) \]
√√√√√1 +
√√√√1 +
√1 +
√1 +
√1 +√
1 + x
%--wurzel9.tex---\[ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1 + \sqrt1+x \]
3.9 Exponenten und Indizes
x2 x2 x2y2%--exp1.tex---\[ x^2 \qquad x_2 \qquad x^2 y^2 \]
2F3
%--exp2.tex---\[ _2F_3 \]
x2y x2y
yx2 yx2
%--exp3.tex---\[x^2_y \qquad x^2^y \qquady_x_2 \qquad y_x^2\]
((x2)3)4 (x2)3)4
%--exp4.tex---\[ ((x^2)^3)^4 \qquad(x^2)^3)^4 \]
xy2 xy2
%--exp5.tex---\[ x^y^2 \qquad x^y^2 \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 10
x23 x23 x3141592 xzdc
yab
P 32 P 3
2
%--exp6.tex---\[ x^2_3 \qquad x_3^2 \qquadx^31415_92\qquadx_y^a_b^z_c^d \]\[ P_2^3 \qquad P_2^3 \]
3.10 Binominalkoeffizienten und ahnliche Konstrukte(n+ 1
3
) %--binom1.tex---\[ n+1 \choose 3 \]
x
y + 2
(n
k
) %--binom2.tex---\[ x \atop y + 2 \qquadn \choose k \]
(nk2
) (n
k/2
) (n12k
) %--binom3.tex---\[ n \choose \frack2 \qquadn \choose k/2 \qquadn \choose \frac12 k\]
(nk
)2
12
(n
k
) (n
k
)2
%--binom4.tex---\[ \fracn \choose k2 \qquad\frac12n \choose k \qquad\frac\displaystylen\choose k2 \]
(p
2
)x2yp−2 − 1
1− x1
1− x2%--binom5.tex---\[ p \choose 2 x^2 y^p-2 -\frac11 - x \frac11 - x^2 \]
(n+ 1
3
) %--binom6.tex---\newcommand\binom[2]%
#1 \choose #2% ...\[ \binomn+13 \]
x
y + 2
%--binom7.tex---\newcommand\ueber[2]#1 \atop #2% ...\[ \ueberxy+2 \]
3.11 Symbole stapeln
xdef= (x1, x2, . . . , xn)
%--ueber1.tex---\[ \vec x\stackrel\textrmdef=(x_1, x_2, \dots, x_n)\]
a(1)= ±
√c2 − b2
%--ueber2.tex---\[ a\stackrel(\refPythagoras)=\pm \sqrtc^2 - b^2 \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 11
∑1≤i≤p1≤j≤q
aijbji
%--ueber3.tex---\[ \sum_\scriptstyle 1 \le i \le p\atop\scriptstyle 1 \le j \le qa_ij b_ji \]
3.12 Ableitungen
f ′(x) = lim∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)∆x
%--ableitung1.tex---\[ f\prime(x) = \lim_\Delta x \to 0\fracf(x+\Delta x)-f(x)\Delta x \]
f(x) = cos xf ′(x) = − sinxf ′′(x) = − cosx
%--ableitung2.tex---\begineqnarray*f(x) & = & \cos x \\f’(x) & = & -\sin x \\f’’(x) & = & -\cos x \\\endeqnarray*
f(x) = lnx
f (n) = (−1)n−1(n− 1)!1xn
%--ableitung3.tex---\begineqnarray*f(x) & = & \ln x\\f^(n) & = &
(-1)^n-1(n-1)!\frac1x^n\endeqnarray*
h(x) = f(x) · g(x)h(x)dx
= f(x) · g(x)dx
+f(x)dx· g(x)
%--ableitung4.tex---\begineqnarray*h(x) & = &
f(x) \cdot g(x)\\\frach(x)\mathrmdx & = &
f(x)\cdot\fracg(x)\mathrmdx+\fracf(x)\mathrmdx \cdot g(x)\endeqnarray*
d(u+ v − w)dx
=dudx
+dvdx− dw
dx
%--ableitung5.tex---\[ \frac\mathrmd(u+v-w)
\mathrmdx =\frac\mathrmdu\mathrmdx +\frac\mathrmdv\mathrmdx -\frac\mathrmdw\mathrmdx \]
d(u · v)dx
= u · dudx
+ v · dvdx
%--ableitung6.tex---\[ \frac\mathrmd(u\cdot v)
\mathrmdx = u \cdot\frac\mathrmdu\mathrmdx +v \cdot\frac\mathrmdv\mathrmdx \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 12
x =12k · t2 + v0 · t+ x0
x = k · t+ v0
x = k
%--ableitung7.tex---\begineqnarray*\mathbfx & = &
\frac12 \mathbfk \cdot t^2+ \mathbfv_0 \cdot t+ \mathbfx_0\\
\dot \mathbfx & = &\mathbfk \cdot t + \mathbfv_0\\
\ddot \mathbfx & = & \mathbfk\endeqnarray*
z(x, y) = xy
∂z
∂x= y und
∂z
∂y= x
%--ableitung8.tex---\begineqnarray*z (x, y) & = & xy\\\frac\partial z\partial x & = &
y \quad \textrmund\\\frac\partial z\partial y & = & x\endeqnarray*
z(x, y) =xy
x2 + y2(∀x, y : x2 + y2 = 0)
∂z
∂x=y(y2 − x2)(x2 + y2)2
und
∂z
∂y=x(x2 − y2)(x2 + y2)2
%--ableitung9.tex---\begineqnarray*z (x, y) & = & \fracxyx^2+y^2
\quad(\forall x,y:x^2+y^2\not=0)\\\frac\partial z\partial x & = &
\fracy(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2\qquad \textrmund\\
\frac\partial z\partial y & = &\fracx(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2
\endeqnarray*
3.13 Summen
3∑i=1
z2i
%--sum1.tex---\[ \sum_i=1^3 z_i^2 \]
∑3
i=1z2i
%--sum2.tex---\[ \sum\nolimits_i=1^3 z_i^2 \]
3∑i=1
z2i
%--sum3.tex---\[\sum\limits_i=1^3 z_i^2\]
p∑i=1
q∑j=1
r∑k=1
aijbjkcki
%--sum4.tex---\[ \sum_i=1^p \sum_j=1^q\sum_k=1^r a_ijb_jkc_ki \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 13
∑1≤i≤p1≤j≤q1≤k≤r
aijbjkcki
%--sum5.tex---\[ \sum_\scriptstyle 1 \le i \le p\atop\scriptstyle 1 \le j \le q\atop\scriptstyle 1 \le k \le ra_ij b_jk c_ki \]
3.14 (Unendliche) Reihen
∞∑i=0
(−1)i1
2i+ 1= 1− 1
3+
15− · · ·
=π
4
%--reihen1.tex---\begineqnarray*\sum_i=0^\infty(-1)^i
\frac12i+1& = &1-\frac13+\frac15-\cdots\\
& = & \frac\pi4\endeqnarray*
∞∑i=1
(−1)i+1 1i2
= 1− 122
+132− · · ·
=π2
12
%--reihen2.tex---\begineqnarray*\sum_i=1^\infty(-1)^i+1\frac1i^2 & = & 1-\frac12^2 +\frac13^2 - \cdots\\& = & \frac\pi^212\endeqnarray*
∀x ∈ R : e−x = 1− x+x2
2!− x
3
3!+ · · ·
=∞∑i=0
(−1)ixi
i!
%--reihen3.tex---\begineqnarray*\forall x \in \mathbfR:e^-x & = &1 - x + \fracx^22! -\fracx^33! + \cdots\\& = & \sum_i=0^\infty(-1)^i\fracx^ii!\endeqnarray*
∀x ∈ R : ex = 1 + x+x2
2!+x3
3!+ · · ·
=∞∑i=0
xi
i!
%--reihen4.tex---\begineqnarray*\forall x \in \mathbfR:e^x & = &1 + x + \fracx^22! +\fracx^33! + \cdots\\&=&\sum_i=0^\infty\fracx^ii!\endeqnarray*
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 14
3.15 Integrale
∫ ∞
−∞1
1 + x2dx
%--int1.tex---\[ \int_-\infty^\infty\frac11 + x^2 \mathrmdx \]
∞∫−∞
11 + x2
dx
%--int2.tex---\[ \int_-\infty^\infty\limits\frac11 + x^2 \mathrmdx \]∫ ∫
D
f(x, y)dxdy
∫∫D
f(x, y) dxdy
%--int3.tex---\[ \int\int_D\limits f(x, y)
\mathrmdx \mathrmdy \]\[ \int\!\!\!\int_D\limits f(x, y)\,\mathrmdx\,\mathrmdy \]
∫x+ 1
x2(x− 1)(x2 + 4)dx
%--int4.tex---\[ \int\fracx + 1x^2(x-1)(x^2 + 4)\,\mathrmdx\]
∫ √1 + 4x2 dx
%--int5.tex---\[ \int\sqrt1+4x^2\,\mathrmdx \]
12
2π∫0
[a cos t · b cos t− (−a sin t) · b sin t] dt
%--int6.tex---\[ \frac12 \int_0^2\pi\limits[a\cos t \cdot b \cos t - (-a\sin t)\cdot b \sin t]\,dt \]
3.16 Produkte
n∏i=1
i = n!n∏
i=1
i = n!∏n
i=1i = n!
%--prod1.tex---\[ \prod_i=1^n i = n! \qquad\prod\limits_i=1^n i = n! \qquad\prod\nolimits_i=1^n i = n! \]
(n
k
)=
n∏i=1
i
k∏i=1
i ·n−k∏i=1
i
%--prod2.tex---\[ n \choose k =\frac\displaystyle\prod_i=1^n i\displaystyle\prod_i=1^k i\cdot\prod_i=1^n-k i \]
3.17 Mathematische Funktionen
limx→0
sinxx
= 1%--funk1.tex---\[\lim_x \to 0 \frac\sin xx=1\]
∫ dxsin ax cos ax
=1a
ln tan ax
%--funk2.tex---\[\int \frac\mathrmdx\sin a x \cos a x= \frac1a \ln \tan a x\]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 15
arcsinx =[arccos
√1− x2
] %--funk3.tex---\[ \arcsin x = \left[ \arccos\sqrt1 - x^2\right] \]
3.18 Komplexe Zahlen
Gegeben seien die komplexen Zahlen
c1 = (α1, β1)c2 = (α2, β2)
Dann gilt fur die Addition
c1 + c2 = ((c1) + (c2),(c1) + (c2))= (α1 + α2, β1 + β2)
%--complex1.tex---Gegeben seien die komplexen Zahlen\begineqnarray*c_1 & = & (\alpha_1, \beta_1) \\c_2 & = & (\alpha_2, \beta_2)\endeqnarray*Dann gilt fur die Addition\begineqnarray*c_1 + c_2 & = &
(\Re(c_1) + \Re(c_2), \Im(c_1)+ \Im(c_2))\\
& = & (\alpha_1 + \alpha_2,\beta_1 + \beta_2)
\endeqnarray*
Gegeben sei die komplexe Zahl c in den beidenDarstellungen
c = α+ βi= (cosϕ+ i sinϕ)
(0 ≤ <∞, ϕ beliebig)
Dann gelten die folgenden Beziehungen:
α = cosϕβ = sinϕ
=√α2 + β2
ϕ = arctanβ
α
%--complex2.tex---Gegeben sei die komplexe Zahl $c$in den bei"-den Darstellungen\begineqnarray*c & = & \alpha + \beta i\\& = & \varrho (\cos \varphi +i \sin \varphi)\\& & (0\le\varrho<\infty,\varphi \textrm beliebig)
\endeqnarray*Dann gelten die folgendenBeziehungen:\begineqnarray*\alpha & = & \varrho\cos\varphi\\\beta & = & \varrho\sin\varphi\\\varrho & = &\sqrt\alpha^2+\beta^2\\
\varphi & = &\arctan \frac\beta\alpha
\endeqnarray*
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 16
c1 = (α1, β1)= α1 + β1i
c2 = (α2, β2)= α2 + β2i
c1 · c2 = (α1 + β1i) · (α2 + β2i)= (α1α2 − β1β2) + (α1β2 + β1α2)i= (α1α2 − β1β2, α1β2 + β1α2)
%--complex3.tex---\begineqnarray*c_1 & = & (\alpha_1, \beta_1)\\
& = & \alpha_1 + \beta_1 i\\c_2 & = & (\alpha_2, \beta_2)\\
& = & \alpha_2 + \beta_2 i\\c_1 \cdot c_2 & = & (\alpha_1 +
\beta_1 i) \cdot(\alpha_2 + \beta_2 i)\\
& = & (\alpha_1 \alpha_2 -\beta_1\beta_2)+(\alpha_1\beta_2+\beta_1 \alpha_2) i \\
& = & (\alpha_1 \alpha_2 -\beta_1 \beta_2,\alpha_1\beta_2 + \beta_1\alpha_2)
\endeqnarray*
c = 1 +√
3i= 2(cos
π
3+ i sin
π
3)
= 2eπ3i
%--complex4.tex---\begineqnarray*c & = & 1 + \sqrt3 i \\
& = & 2(\cos\frac\pi3 +i \sin\frac\pi3)\\& = & 2 e^\frac\pi3i
\endeqnarray*
3.19 Matrizen und andere rechteckige Anordnungen
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a21...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
%--matrix1.tex---\[ \beginarray|cccc|a_11 & a_12 & \cdots & a_1n \\a_21 & a_22 & \cdots & a_21 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_m1 & a_m2 & \cdots & a_mn\endarray \]
Γ11 Γ12 · · · Γ1n
Γ21 Γ22 · · · Γ2n...
.... . .
...Γm1 Γm2 · · · Γmn
%--matrix2.tex---\begindisplaymath\left\\beginarraycccc\Gamma_11 & \Gamma_12 & \cdots &
\Gamma_1n\\\Gamma_21 & \Gamma_22 & \cdots &
\Gamma_2n\\\vdots & \vdots & \ddots &
\vdots\\\Gamma_m1 & \Gamma_m2 & \cdots &
\Gamma_mn\endarray\right\\enddisplaymath
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 17
|x| =x fur x ≥ 0−x fur x < 0
%--matrix3.tex---\[ |x|= \left\ \beginarrayllx & \textrmfur x \ge 0\\
-x & \textrmfur x < 0\\\endarray\right. \]
a11 a12a21 a22
0 0
0b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33
0
0 0c11 c12c21 c22
%--matrix4.tex---\[\left(\beginarrayc@c@c\beginarray|cc|\hlinea_11 & a_12 \\a_21 & a_22 \\\hline\endarray & 0 & 0 \\0 & \beginarray|ccc|
\hlineb_11 & b_12 & b_13\\b_21 & b_22 & b_23\\b_31 & b_32 & b_33\\\hline\endarray & 0 \\
0 & 0 & \beginarray|cc|\hlinec_11 & c_12 \\c_21 & c_22 \\\hline\endarray \\
\endarray\right)\]
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
x11 x12 · · · x1j
x21 x22 · · · x2j...
.... . .
...xi1 xi2 · · · xij
∫11
∫12 · · · ∫
1n∫21
∫22 · · · ∫
2n...
.... . .
...∫m1
∫m2 · · · ∫mn
%--matrix5.tex---\newcommand\A[5]\left#1\beginarraycccc#2_11 & #2_12 & \cdots &
#2_1#4\\#2_21 & #2_22 & \cdots &
#2_2#4\\\vdots & \vdots & \ddots &
\vdots \\#2_#31 & #2_#32 & \cdots &
#2_#3#4\endarray\right#5% ...\[ \A(amn) \]\[ \A[xij] \]\[ \A\\intmn\ \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 18
3.20 Eigene Kommandos
x
y + 2
(n+ 1
3
)%--command1.tex---\newcommand\binom[2]%
#1 \choose #2\newcommand\ueber[2]%
#1 \atop #2% ...\[ \ueberxy+2\qquad\binomn+13 \]
A \ (B ∪C) = (A \B) ∩ (A \ C)
A ∪B = A ∩B
%--command2.tex---\newcommand\Komplement[1]%
\overline#1\newcommand\Durchschnitt\cap\newcommand\vereinigt\cup% ...\[ A \setminus (B \vereinigt C) =
(A \setminus B) \Durchschnitt(A \setminus C) \]
\[ \Komplement A \vereinigt B=\KomplementA \Durchschnitt\KomplementB \]
a
bc
d
%--command3.tex---\newcommand\dfrac[3]%
\displaystyle#1\above#3 \displaystyle #2
% ...\[ \dfrac\fracab%\fraccd1pt \]
(A =⇒ B)⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A)
(A ∧ B) ∨ C ⇐⇒ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
%--command4.tex---\newcommand\und\wedge\newcommand\oder\vee\newcommand\entwederoder\oplus\newcommand\aequivalent%
\Longleftrightarrow\newcommand\darausfolgt%
\Longrightarrow% ...\[ (\mathcalA \darausfolgt
\mathcalB) \aequivalent(\lnot \mathcalB \darausfolgt\lnot \mathcalA) \]
\[ (\mathcalA \und \mathcalB)\oder \mathcalC \aequivalent(\mathcalA \oder \mathcalC) \und(\mathcalB \oder \mathcalC) \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 19
h : R1 → R1 mit h(r) = 2r, r ∈ R1
%--command5.tex---\newcommand\Abbildung\rightarrow\newcommand\R[1]\mathbfR^#1% ...\[ h: \R1 \Abbildung \R1\textrm mit h(r)=2r, r \in \R1 \]
3 EINIGE BEISPIELE FUR MATHEMATISCHE FORMELN 21
3.21 Theorem-artige Konstrukte
Definition 1 (Geordneter Korper) EinKorper heißt geordnet, wenn eine Bezie-hung > 0 (großer Null) definiert ist mit denfolgenden Eigenschaften:
1. Fur x ∈ K gilt genau eine der Beziehun-gen x = 0, x > 0 oder −x > 0.
2. Aus x > 0, y > 0 folgt x+ y > 0.
3. Aus x > 0, y > 0 folgt x · y > 0
Im Falle x > 0 heißt x positiv, im Falle x < 0heißt x negativ.
Definition 2 (Absoluter Betrag) Es sei Kein geordneter Korper. Unter dem absolutenBetrag eines Elementes x ∈ K versteht man
|x| =x fur x ≥ 0−x fur x < 0
%--satz1.tex---\newtheoremDefDefinition\beginDef%[Geordneter Korper]
Ein Korper heißt \emphgeordnet,wenn eine Beziehung $>0$ (großerNull) definiert ist mit denfolgenden Eigenschaften:\beginenumerate\item Fur $x\in K$ gilt genau eine
der Beziehungen $x=0$, $x>0$oder $-x > 0$.
\item Aus $x>0,y>0$ folgt $x+y>0$.\item Aus $x > 0,y > 0$ folgt
$x \cdot y > 0$\endenumerateIm Falle $x > 0$ heißt $x$\emphpositiv,im Falle $x < 0$ heißt $x$\emphnegativ.\endDef\beginDef[Absoluter Betrag]Es sei $K$ ein geordneter Korper.Unter dem \emphabsoluten Betrageines Elementes $x\in K$ verstehtman\[ |x|= \left\ \beginarrayllx & \textrmfur x \ge 0\\
-x & \textrmfur x < 0\\\endarray\right. \]\endDef
Fur unsere weiteren Betrachtungen sind diebeiden folgenden Satze von Interesse:
Satz 1 (Regeln fur Absolutbetrag) Furbeliebige x, y ∈ K gelten folgende Gesetze:
1. |x| = | − x| ≥ 0
2. x ≤ |x|; −x ≤ |x|3. |x| = 0⇐⇒ x = 0
4. |x · y| = |x| · |y|
Satz 2 (Dreiecksungleichung)∀x, y ∈ K : |x+ y| ≤ |x|+ |y|
%--satz2.tex---\newtheoremsatzSatzFur unsere weiteren Betrachtungensind die beiden folgenden Satzevon Interesse:\beginsatz%[Regeln fur Absolutbetrag]
Fur beliebige $x,y \in K$ geltenfolgende Gesetze:\beginenumerate\item $|x| = |-x| \ge 0$\item $x \le |x|;\quad -x \le |x|$\item $|x|=0\Longleftrightarrow x=0$\item $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$\endenumerate\endsatz\beginsatz[Dreiecksungleichung]\[\forall x,y\in K:|x+y|\le|x|+|y|\]\endsatz
4 UND NOCH . . . 22
4 Und noch . . .
Im WWW ist die jeweils aktuelle Fassung dieser Kursunterlagen unter dem URL
http://www.uni-giessen.de/~g029/TeX/kurse/Mathe-Beispiele/m-beisp.x(x=tex, dvi, pdf)
zu finden. Beispiele fur mathematische Ubungsblatter finden Sie im WWW unter
http://www.uni-giessen.de/~g029/TeX/kurse/Uebungen/math1 x.y(x = 1, . . . , 13; y = tex, dvi, pdf).
5 Und noch etwas . . .
Diese Kursunterlagen wurden von mir zwar mit großer Sorgfalt erstellt, konnen aber trotzdemFehler enthalten. Wenn Sie also Anregungen, Verbesserungsvorschlage oder Fehlerkorrekturenhaben, so melden Sie sich bitte per E-Mail bei
oder per ”gelber Post“ bei
Gunter PartoschHochschulrechenzentrumJustus-Liebig-Universitat GießenHeinrich-Buff-Ring 4435392 Gießen
Schon ’mal vielen Dank.
A ANHANG 23
A Anhang
A.1 Darum ging es jeweils
ableitung1.texBeispiel (Ableitung einer Funktion alsGrenzwert eines Differenzenquotienten);\prime als Ableitungszeichen
ableitung2.texBeispiel (erste und zweite Ableitung voncosx); Darstellung durch Apostroph(e)
ableitung3.texBeispiel (n-te Ableitung von lnx); Darstel-lung durch geklammerten Exponenten
ableitung4.texBeispiel (Differenzierungsregel fur das Pro-dukt zweier Funktionen); Darstellung durchDifferentialquotienten
ableitung5.texBeispiel (Differenzierungsregel fur die Sum-me dreier Funktionen); Darstellung durchDifferentialquotienten
ableitung6.texBeispiel (Differenzierungsregel fur das Pro-dukt zweier Funktionen, Alternative zumBeispiel ableitung4.tex); Darstellungdurch Differentialquotienten
ableitung7.texBeispiel (Bewegungsgleichung in Mechanik,erste und zweite Ableitung nach der Zeit);Anwendung von \dot und \ddot
ableitung8.texpartielle Ableitungen einer Funktion zweierVariablen
ableitung9.texpartielle Ableitungen einer Funktion zweierVariablen
akzent1.texmathematische Akzente
akzent2.texmathematische Akzente und punktlose Ma-thematik-Varianten von ”i“ und ”j“
akzent3.texanpassbare mathematische Akzente mit\widehat oder \widetilde
akzent4.texBeispiel (Multiplikation einer Vektorsummemit einem Skalar)
akzent5.texBeispiele (Assoziativgesetze bei der Skalar-und Vektormultiplikation dreier Vektorengelten nicht!)
binom1.texeinfacher Binominalkoeffizient
binom2.texUbereinanderstapeln von Ausdrucken; ein-facher Binominalkoeffizient
binom3.texDarstellungsmoglichkeiten von Binominal-koeffizienten
binom4.texunterschiedliche Klammerungen bei Bino-minalkoeffizienten
binom5.texBeispiel mit Bruchen und Binominalkoeffi-zient
binom6.texeigenes Kommando \binom zum Darstellenvon Binominalkoeffizienten
binom7.texeigenes Kommando \ueber zum Ubereinan-derstapeln von Ausdrucken
bruch1.texeinfache Bruche
bruch2.texVarianten von Bruchen durch unterschiedli-che Klammerung
bruch3.texMehrfachbruche
bruch4.texMehrfachbruche; alternative Darstellungen
bruch5.texKettenbruch
bruch6.texKettenbruch; wie bruch5.tex, aber
”schonere“ Darstellung
bruch7.texDoppelbruch mit dickerem Hauptbruch-strich
bruch8.texeigenes Kommando fur die Darstellung vonDoppelbruchen mit einem dickeren Haupt-bruchstrich
A ANHANG 24
command1.texeigene Kommandos \binom und \ueber
command2.texeigene LATEX-Kommandos \Komplement,\Durchschnitt und \vereinigt
command3.texeigenes Kommando \dfrac
command4.texeigene LATEX-Kommandos \entwederoder,\darausfolgt, \oder, \aequivalent und\und
command5.texeigene Kommandos \Abbildung und \R
complex1.texBeispiel (Addition zweier komplexen Zah-len); Darstellung als Wertepaarte; Imaginar-teil und Realteil
complex2.texBeispiel (”normale“ und trigonometrischeDarstellung einer komplexen Zahl); Bezie-hungen zwischen den beiden Moglichkeiten
complex3.texBeispiel (Multiplikation zweier komplexenZahlen); Normal-Darstellung und in Formvon Wertepaaren
complex4.texNormal-, trigonometrische und Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl
display1.texabgesetzte Formel; Methode mit $$ . . . $$;Formel wird zentriert, da sie nicht von derLATEX-Option fleqn beeinflusst
display2.texabgesetzte Formel; Methode mit derdisplaymath-Umgebung
display3.texabgesetzte Formel; Methode mit \[ . . .\]
display4.texnummerierte Formel mit der equation-Um-gebung; Vereinbarung eines Verweisziels;Verweis auf diese Formel mittels \ref
display5.texausgerichtete nummerierte Formeln mit Hil-fe der eqnarray-Umgebung; 1. Ableitung
exp1.texeinfache Exponenten und Indizes
exp2.texvorangestellter Index
exp3.texExponenten/Indizes mit Index/Exponent
exp4.texExponenten und Klammerung
exp5.texExponenten und Klammerung
exp6.texAusdrucke mit Exponenten und Indizes;vertikale Ausrichtung von Exponent und In-dex durch Einfugen von
funk1.texBeispiel (Grenzwert einer Funktion); Limesund Sinus
funk2.texBeispiel (Integral einer Funktion); Sinus,Cosinus, naturlicher Logarithmus, Tangens
funk3.texBeispiel (Beziehung zwischen arcsinx undarccosx)
inline1.texInline-Formel; Methode mit $ . . . $
inline2.texInline-Formel; Methode mit der math-Um-gebung
inline3.texInline-Formel; Methode mit \( . . . \)
int1.texeinfaches Integral mit Integrationsgrenzen
int2.texeinfaches Integral; Grenzen explizit nichtneben dem Symbol
int3.texDoppelintegral; ohne und mit visueller Kor-rektur (\, und \!)
int4.texIntegral einer gebrochen rationalen Funkti-on
int5.texIntegral eines Wurzelausdrucks
int6.texIntegral eines Ausdrucks mit trigonometri-schen Funktionen; explizite Multiplikations-punkte
klammer1.texverschiedene linke Klammersymbole
klammer2.texverschiedene rechte Klammersymbole
klammer3.texKlammern mit explizit verschiedenen Gro-ßen
A ANHANG 25
klammer4.texautomatische Großenanpassung bei ge-schachtelten Klammern
klammer5.texautomatische Großenanpassung bei ge-schachtelten Klammern
klammer6.texwaagerechte geschweifte Klammern
klammer7.texUberstreichung bzw. Unterstreichung
matrix1.texeinfache rechteckige Anordnung mit indi-zierten Elementen
matrix2.texeinfache rechteckige Anordnung mit anderenindizierten Elementen und anderen Begren-zungen
matrix3.texBeispiel (Definition der Betragsfunktion);einseitig geklammerte rechteckige Anord-nung
matrix4.texMatrix mit Untermatrizen
matrix5.texeigenes Kommando fur die vereinfache Dar-stellung rechteckiger Anordnungen
pfeil1.texverschiedene mathematische Pfeile
pfeil2.texBeispiel (Umkehrung einer logischen Aussa-ge); kalligrafische Mathematik-Schrift
prod1.texeinfaches Produkt mit Produktgrenzen;Grenzen explizit nicht neben (\limits)dem Symbol bzw. Grenzen explizit neben(\nolimits) dem Symbol
prod2.texBeispiel (Binominalkoeffizient in Produkt-darstellung)
reihen1.texBeispiel (unendliche Reihe zur Darstellungvon π
4 )
reihen2.texBeispiel (unendliche Reihe zur Darstellungvon π2
12 )
reihen3.texBeispiel (Entwicklung der Funktion e−x ineine unendliche Reihe)
reihen4.texBeispiel (Entwicklung der Funktion ex in ei-ne unendliche Reihe)
rel1.texRelationen
rel2.texRelationen
rel3.texbinare Operatoren
rel4.texbinare Operatoren
rel5.texbinare Operatoren
satz1.texBeispiele (Definition eines geordneten Kor-pers; Definition fur Absolutbetrag); eigeneTheorem-artige Umgebung Def mit dem Ti-tel Definition
satz2.texBeispiele (Regeln fur Absolutbetrag; Drei-ecksungleichung); eigene Theorem-artigeUmgebung satz mit dem Titel Satz
sum1.texeinfache Summe mit Summationsgrenzen
sum2.texeinfache Summe; Grenzen explizit nebendem Symbol
sum3.texeinfache Summe; Grenzen explizit nicht ne-ben dem Symbol
sum4.texDreifachsumme
sum5.texDreifachsumme; alternative Darstellung mitdreifach ubereinander gestapelten Summati-onsgrenzen
symbol1.texgriechische Großbuchstaben; einige habendas gleiche Aussehen wie die entsprechen-den lateinischen Buchstaben
symbol2.texgriechische Kleinbuchstaben
symbol3.texVarianten zu einigen griechischen Klein-buchstaben
symbol4.texeinige spezielle Zeichen
symbol5.texBeispiel (Stetigkeit-Definition); mathemati-sche Sonderzeichen
A ANHANG 26
ueber1.texAnwendung von \stackrel; Text uber ei-nem Gleichheitszeichen
ueber2.texAnwendung von \stackrel; Angabe einesVerweises uber einem Gleichheitszeichen
ueber3.texAnwendung von \atop; Angabe der Sum-mationsgrenzen einer Doppelsumme
wurzel1.texeinfache Wurzel
wurzel2.texeinfache Wurzel
wurzel3.texWurzel zu einer anderen Potenz
wurzel4.texSchachtelung von Wurzeln
wurzel5.texWurzel zu einer anderen Potenz; Ausdruckenthalt einen Exponenten
wurzel6.texWurzel zu einer anderen Potenz
wurzel7.texAusrichtung der Große von Wurzeln
wurzel8.texeinfache Wurzel; Ausdruck enthalt einen In-dex
wurzel9.texMehrfachschachtelung von Wurzeln
zeichen1.texBeispiel (Quadrat einer reellen Zahl ist po-sitiv); mathematische Fett-Schrift
zeichen2.texBeispiel (lineares Gleichungssystem); ma-thematische Fett-Schrift; Normaltext imMathematik-Modus; eqnarray*-Umgebung(ohne Nummerierung der Formeln!)
zeichen3.texBeispiel (logische Aquivalenz); kalligrafischeMathematik-Schrift
A ANHANG 27
A.2 Und diese mathematischen LATEX-Befehle wurden benutzt
$$...$$Umgebung fur den Display-Mathematik-Modus in TEX/LATEX
$...$Umgebung fur den Inline-Mathematik-Mo-dus in TEX/LATEX
&trennt in der array-, eqnarray- undeqnarray*-Umgebung die einzelnen Be-standteile einer Zeile
^exponentstellt im Mathematik-Modus exponent hoch;auch noch bei \int, \sum, \prod und\overbrace
indexstellt im Mathematik-Modus index tief;auch noch bei \int, \sum, \prod,\underbrace und \lim
~
”geschutztes“ Leerzeichen
(linkes Klammersymbol: (; analog gibt es )
[linkes Klammersymbol: [; analog gibt es ]
\!negativer schmaler Zwischenraum
\(...\)Umgebung fur den Inline-Mathematik-Mo-dus in LATEX
\,schmaler Zwischenraum: | |
\[...\]Umgebung fur den Display-Mathematik-Modus in LATEX
\\[abstand]Zeilenwechsel in der array-, eqnarray- undeqnarray*-Umgebung
\linkes Klammersymbol: ; analog gibt es \
\Abbildungeigenes Kommando: $f\Abbildung g$:f → g
\aboveBruch mit definierbarer Bruchstrichdicke:$\frac12%\above 1pt \frac34$:
12
34
\acutemathematischer Akzent: $\acute a$: a
\aequivalenteigenes Kommando: $\mathcalA%\aequivalent\mathcalB$:A ⇐⇒ B (Aussagenlogik)
\alephmathematisches Symbol: ℵ
\alphagriechischer Kleinbuchstabe: α
\arccosmathematische Funktion:$\arccos x$: arccosx
\arcsinmathematische Funktion:$\arcsin x$: arcsinx
\atopubereinander: $n\atop m$: n
m
\barmathematischer Akzent: $\bar a$: a
\beginarraymuster ...\endarrayUmgebung zum Erzeugen rechteckiger An-ordnungen (Matrizen, Determinanten) imMathematik-Modus in LATEX
\begindisplaymath ...\enddisplaymathUmgebung fur den Display-Mathematik-Modus in LATEX
\beginenumerate ...\endenumerateUmgebung fur Aufzahlungslisten
\begineqnarray* ...\endeqnarray*wie die Umgebung eqnarray, jedoch ohneNummerierung der Formeln
\begineqnarray ...\endeqnarrayUmgebung fur die Darstellung mehrzeiligernummerierter Herleitungsketten
\beginequation ...\endequationUmgebung zum Generieren einer numme-rierten Display-Formel
\beginmath ...\endmathUmgebung fur den Inline-Mathematik-Mo-dus in LATEX
\betagriechischer Kleinbuchstabe: β
A ANHANG 28
\Bigleine explizite Großenangabe (hier leicht ver-großert) fur eine linke Klammer:$$\Bigl( (a + b)(c + d) \Bigr)$$:(
(a+ b)(c+ d))
\Bigreine explizite Großenangabe (hier leicht ver-großert) fur eine rechte Klammer; siehe auch\Bigl
\binomobenunteneigenes Kommando: $\binomnk$:
(nk
)(Binominalkoeffizient)
\brevemathematischer Akzent: $\breve a$: a
\bulletbinarer mathematischer Operator:$a \bullet b$: a • b
\capbinarer mathematischer Operator:$A \cap B$: A ∩B
\cdotbinarer mathematischer Operator:$a \cdot b$: a · b
\cdotszentrierte Auslassungspunkte: · · ·
\checkmathematischer Akzent: $\check a$: a
\chigriechischer Kleinbuchstabe: χ
\chooseBinominalkoeffizient:$n \choose m$:
(nm
)\circ
binarer mathematischer Operator:$a \circ b$: a b
\cosmathematische Funktion: $\cos x$: cosx
\cupbinarer mathematischer Operator:$A \cup B$: A ∪B
\darausfolgteigenes Kommando:$\mathcalA%\darausfolgt \mathcalB$:A =⇒ B (Aussagenlogik)
\ddotmathematischer Akzent: $\ddot a$: a
\ddotsdiagonale Auslassungspunkte:
. . .
\Deltagriechischer Großbuchstabe: ∆
\deltagriechischer Kleinbuchstabe: δ
\dfracobenuntendickeeigenes Kommando zum Darstellen vonDoppelbruchen mit einem Hauptbruchstrichder Dicke dicke :$\dfrac\frac12%\frac341pt$:
1234
\displaystyleerzwingt im Mathematik-Modus die Mathe-matik-Standardschriftgroße
\dotmathematischer Akzent: $\dot a$: a
\dotsAuslassungspunkte: . . .
\downarrowmathematischer Pfeil nach unten: ↓
\Durchschnitteigenes Kommando: ∩ (Mengenlehre)
\emphtext(leichte) Hervorhebung im Normaltext
\entwederodereigenes Kommando: $\mathcalA%\entwederoder \mathcalB$:A⊕ B (Aussagenlogik)
\epsilongriechischer Kleinbuchstabe: ε
\equivmathematische Relation:$a\equiv b$: a ≡ b
\etagriechischer Kleinbuchstabe: η
\existsmathematisches Symbol: ∃ (”es gibt“)
\forallmathematisches Symbol: ∀ (”fur alle“)
\fraczaehlernennerBruch: $\frac1920$: 19
20
A ANHANG 29
\Gammagriechischer Großbuchstabe: Γ
\gammagriechischer Kleinbuchstabe: γ
\gemathematische Relation:$a \ge b$: a ≥ b
\gravemathematischer Akzent: $\grave a$: a
\hatmathematischer Akzent: $\hat a$: a
\heartsuitSymbol: ♥
\hlinewaagerechte Linie in einer array-Umgebung
\Immathematisches Symbol: (Imaginarteil ei-ner komplexen Zahl)
\imathkleines mathematisches ”i“ ohne Punkt:$\vec\imath$:ı
\inmathematisches Symbol: ∈ (”ist Elementaus“)
\inftymathematisches Symbol: ∞ (unendlich)
\int ugrenze^ogrenzegroßer Operator (Integralzeichen) mit un-terer Grenze ugrenze und oberer Grenzeogrenze
\iotagriechischer Kleinbuchstabe: ι
\itemein einzelner Eintrag in einer nummeriertenListe
\jmathkleines mathematisches ”j“ ohne Punkt:$\vec\jmath$:
\kappagriechischer Kleinbuchstabe: κ
\Komplementmengeeigenes Kommando zum Darstellen desKomplements: $\KomplementM$:M (Aussagenlogik, Mengenlehre)
\labelzielKennzeichnung des aktuellen Objekts alsVerweisziel
\Lambdagriechischer Großbuchstabe: Λ
\lambdagriechischer Kleinbuchstabe: λ
\langlelinkes Klammersymbol: 〈
\lbracelinkes Klammersymbol:
\lbracklinkes Klammersymbol: [
\lceillinkes Klammersymbol:
\lemathematische Relation: $\le b$: a ≤ b
\leadstospezieller mathematischer Pfeil nach rechts: (aus dem Package latexsym)
\leftautomatische Großenanpassung eines linkenKlammersymbols:\[ \left( (x^2 + 1)%(x^2 - 1) \right)^2 \]:((x2 + 1)(x2 − 1)
)2\leftarrow
mathematischer Pfeil nach links: ←\Leftarrow
mathematischer Doppelpfeil nach links: ⇐\leftharpoonup
mathematischer Pfeil (Harpune) nach links:
\leftrightarrowmathematischer Pfeil nach links und rechts:↔
\Leftrightarrowmathematischer Doppelpfeil nach links undrechts: ⇔
\lfloorlinkes Klammersymbol:
\lim untenmathematischer Grenzwert (Limes)
\limitsbewirkt bei
∑bzw.
∫bzw.
∏, dass die
Grenzen explizit nicht neben das Symbol ge-setzt werden
\lnmathematische Funktion: $\ln x$: lnx
\lnotNegation: ¬ (logisches ”nicht“)
A ANHANG 30
\longleftarrowlanger mathematischer Pfeil nach links:←−
\Longleftrightarrowlanger mathematischer Doppelpfeil nachlinks und rechts: ⇐⇒
\Longrightarrowlanger mathematischer Doppelpfeil nachrechts: =⇒
\mapstospezieller mathematischer Pfeil nach rechts:'→
\mathbfausdruckFettschrift im Mathematik-Modus
\mathcalausdruckkalligrafische Schrift im Mathematik-Modus
\mathrmausdruckNormalschrift im Mathematik-Modus
\mathstruterzwingt im Mathematik-Modus einen Min-destzeilenabstand
\mpbinarer mathematischer Operator:$a\mp b$: a∓ b
\mugriechischer Kleinbuchstabe: µ
\nemathematische Relation: $a\ne b$: a = b
\nearrowmathematischer Pfeil nach rechts oben:
\negmathematisches Symbol: ¬ (Negation)
\newcommandkmd[anzahl]definitionstextLATEX-Kommando zum Vereinbaren des ei-genen Kommandos kmd mit anzahl Parame-tern und der Definition definitionstext
\newtheoremnametitelVereinbarung einer eigenen Theorem-arti-gen Umgebung name mit der Titelzeile titel
\nolimitsbewirkt bei
∑bzw.
∫bzw.
∏, dass die
Grenzen explizit neben das Symbol gesetztwerden
\notNegation der nachfolgenden Relation:$\not=$: =
\nugriechischer Kleinbuchstabe: ν
\odereigenes Kommando: ∨ (Aussagenlogik)
\Omegagriechischer Großbuchstabe: Ω
\omegagriechischer Kleinbuchstabe: ω
\oplusbinarer mathematischer Operator:$a \oplus b$: a⊕ b
\overBruch (TEX): $a \over b$: a
b
\overbraceausdruck indexwaagerechte geschweifte Klammer uberausdruck
\overlineausdruckuberstreicht ausdruck
\parAbsatzende/Absatzwechsel
\partialmathematisches Symbol: ∂ (partielle Ablei-tung)
\Phigriechischer Großbuchstabe: Φ
\phigriechischer Kleinbuchstabe: φ
\Pigriechischer Großbuchstabe: Π
\pigriechischer Kleinbuchstabe: π
\pmbinarer mathematischer Operator:$a \pm b$: a± b
\primeerzeugt ein Ableitungszeichen:f\prime(x): f ′(x)
\prod ugrenze^ogrenzeerzeugt den großen Produktoperator (Pro-duktzeichen) mit unterer Grenze ugrenzeund oberer Grenze ogrenze
\Psigriechischer Großbuchstabe: Ψ
\psigriechischer Kleinbuchstabe: ψ
\quadhorizontaler Leerplatz : | |
\qquadhorizontaler Leerplatz : | |
A ANHANG 31
\Rdimensioneigenes Kommando: $\R2$: R2 (Korperder reellen Zahlen)
\ranglerechtes Klammersymbol: 〉
\rbracerechtes Klammersymbol:
\rbrackrechtes Klammersymbol:
\rceilrechtes Klammersymbol:
\Remathematisches Symbol: (Realteil einerkomplexen Zahl)
\refzielVerweis auf ein vorher vereinbartes Verweis-ziel
\rfloorrechtes Klammersymbol:
\rhogriechischer Kleinbuchstabe: ρ
\rightautomatische Großenanpassung eines rech-ten Klammersymbols; siehe \left
\Rightarrowmathematischer Doppelpfeil nach rechts:⇒
\rightarrowmathematischer Pfeil nach rechts: →
\scriptstyleerzwingt im Mathematik-Modus die fur Ex-ponenten und Indizes der ersten Stufe ubli-che Schriftgroße
\setminusMengendifferenz: $A\setminus B$: A \B
\Sigmagriechischer Großbuchstabe: Σ
\sigmagriechischer Kleinbuchstabe: σ
\simmathematische Relation: $a \sim b$:a ∼ b
\simeqmathematische Relation: $a \simeq b$:a b
\sinmathematische Funktion:$\sin x$: sinx
\sqcapbinarer mathematischer Operator:$A \sqcap B$: A B
\sqcupbinarer mathematischer Operator:$A \sqcup B$: A B
\sqrt[potenz]radikantmathematische Wurzel: $\sqrt[3]a+x$:3√a+ x
\stackrelobenuntensetzt oben uber die Relation unten:$x\stackrel\textrmdef= y$:
xdef= y
\struterzwingt einen Mindestzeilenabstand
\subsetmathematische Relation: $A \subset B$:A ⊂ B
\subseteqmathematische Relation: $A \subseteq B$:A ⊆ B
\sum ugrenze^ogrenzegroßer Operator (Summenzeichen) mit un-terer Grenze ugrenze und oberer Grenzeogrenze
\tanmathematische Funktion: $\tan x$: tanx
\taugriechischer Kleinbuchstabe: τ
\textrmtextaufrechter Normaltext
\Thetagriechischer Großbuchstabe: Θ
\thetagriechischer Kleinbuchstabe: θ
\tildemathematischer Akzent: $\tilde a$: a
\timesbinarer mathematischer Operator:$a \times b$: a× b
\tokleiner mathematischer Pfeil nach rechts:→
\ueberobenunteneigenes Kommando: $\uebermn$: m
n
\undeigenes Kommando: ∧ (Aussagenlogik)
\underbraceausdruck indexwaagerechte geschweifte Klammer unterausdruck
A ANHANG 32
\underlineausdruckunterstreicht ausdruck
\uparrowmathematischer Pfeil: ↑
\upsilongriechischer Kleinbuchstabe: υ
\varepsilongriechischer Kleinbuchstabe: ε (Variante zuε)
\varphigriechischer Kleinbuchstabe: ϕ (Variante zuφ)
\varrhogriechischer Kleinbuchstabe: (Variante zuρ)
\varsigmagriechischer Kleinbuchstabe: ς (Variante zuσ)
\varthetagriechischer Kleinbuchstabe: ϑ (Variante zuθ)
\vdotsvertikale Auslassungspunkte:
...
\vecmathematischer Akzent: $\vec a$: a
\veebinarer mathematischer Operator:$\mathcalA \vee \mathcalB:A ∨ B
\vereinigteigenes Kommando: ∪ (Mengenlehre)
\wedgebinarer mathematischer Operator:$\mathcalA \wedge \mathcalB:A ∧ B
\widehatanpassbarer mathematischer Akzent:$\widehatx, \widehatxyz$: x, xyz
\widetildeanpassbarer mathematischer Akzent:$\widetildex, \widetildexyz$:x, xyz
\Xigriechischer Großbuchstabe: Ξ
\xigriechischer Kleinbuchstabe: ξ
\zetagriechischer Kleinbuchstabe: ζ