eixo de simetria 2 coeficientes a, b e c no grÁfico2...

MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PARTE 2

EIXO DE SIMETRIA ..............................................................................2

COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO...........................................2

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA ...................................................4

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ...............................................................9

INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE ................................... 14

SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ................................... 18

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ...................................................... 25

No final das séries de exercícios podem

aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva

fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

Terminamos a apostila anterior construindo de gráficos da função do 2º

grau. Vamos começar esta apostila tratando de mais alguns elementos

importantes acerca destes gráficos.

EIXO DE SIMETRIA

“O gráfico da função quadrática

admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo horizontal e que

passa pelo vértice da parábola”. A afirmação acima está presente no livro “Fundamentos da Matemática

Elementar” e vamos demonstrá-la abaixo.

Os pontos de uma reta vertical que passa pelo vértice de uma parábola

obedecem à equação a2

bx pois

todos os pontos têm abscissa a

b

2 .

Para provarmos que a parábola

tem um eixo de simetria, na reta

a2

bx devemos mostrar que se o

ponto

1y,k

a2

bA pertence ao

gráfico, então o ponto

1y,k

a2

bB

também pertence.

Vamos considerar a função

cbxaxxf 2 na sua forma

2

2

a4a2

bxaxf

e também que o ponto

1y,k

a2

bA

pertence a f(x), assim,

ka2

bf

a4a2

bk

a2

ba

a4ka

a4ka

a4a2

bk

a2

bayk

a2

bf

a4a2

bxaxf

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

logo, podemos ver que o ponto

1y,k

a2

bB também pertence ao

gráfico.

Esta conclusão nos permite construir apenas um ramo da parábola (à esquerda ou direita do vértice) e

simetrizar este ramo em relação ao eixo de simetria para construir o outro ramo.

COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO

Os parâmetros a, b e c de uma função quadrática apresentada sob a forma f(x) = ax2 + bx + c nos dão

informações interessantes e importantes sobre a natureza do gráfico. Vamos ver

nos acasos a seguir:


1. Parâmetro c

O coeficiente c indica o ponto onde a

parábola cruza o eixo vertical.

A parábola cruzo o eixo das ordenadas no ponto (0, c).

2. Parâmetro b

Este coeficiente indica se a parábola

cruza o eixo das ordenadas com seu ramo crescente ou decrescente. Veja

cada um dos casos nos exemplos abaixo.

1º caso: b > 0

Quando b > 0, a parábola cruza o eixo

vertical com seu ramo crescente.

2º caso: b < 0

Quando b < 0, a parábola cruza o eixo vertical com seu ramo decrescente.

3º caso: b = 0 Quando b = 0, a parábola cruza o eixo

vertical no vértice, onde a função não é crescente nem decrescente.

3. Parâmetro a

O parâmetro a é responsável pela

concavidade e abertura da parábola. Como já vimos na página 13 da apostila

6, se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima e se a < 0, a concavidade estará voltada para

baixo.

Porém, mais do que isso, este parâmetro determina a parábola. Quanto maior o valor absoluto de a, menor será

sua abertura ou, em outras palavras, mais “fechada” ela será independente da

direção da concavidade. Veja nos exemplos a seguir:


Estas informações são úteis, entre outras coisas, para verificar se

construção do gráfico está correta.

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Como já vimos em funções do primeiro grau, estudar o sinal de uma

função é determinar para quais valores de x a função assume valores positivos,

negativos ou mesmo zero. Dada uma função quadrática do

tipo f(x) = ax2 + bx + c, sabemos que f(x) pode apresentar duas, uma ou nenhuma raiz e o sinal do coeficiente a determina

a concavidade da parábola.

Para estudar o sinal de uma função do 2º grau, fazer um esboço do

gráfico baseado nas raízes, caso existam, e no sinal do coeficiente a.

Veja, nos exemplos, alguns casos.


Ex.: Vamos estudar o sinal das seguintes funções:

a) f(x) = x2 – x – 6

b) f(x) = –2x2 + 3x + 2

c) f(x) = x2 – 2x + 1

d) f(x) = –2x2 + 8x - 8

e) f(x) = x2 – 2x + 2

f) f(x) = –x2 + x – 1

Resolução: a) f(x) = x2 – x – 6

As raízes são x1 = -2 e x2 = 3 e a = 1 > 0, assim a parábola corta o eixo OX em dois pontos e possui

concavidade para cima. O esboço a seguir mostra isto e apresenta os sinais

em cada intervalo.

Logo, podemos afirmar que:

3x2para0xf

3xou2xpara0xf

3xou2xpara0xf

b) f(x) = –2x2 + 3x + 2

x1 = -1/2 , x2 = 2 e a = -2 < 0

2x2

1para0xf

2xou2

1xpara0xf

2xou2

1xpara0xf

c) f(x) = x2 – 2x + 1 x1 = x2 = 1 e a = 1 > 0

1xpara0xf

1xpara0xf

d) f(x) = –2x2 + 8x - 8

x1 = x2 = 2 e a = 1 > 0

2xpara0xf

2xpara0xf


e) f(x) = x2 – 2x + 2 a = 1 > 0 e f(x) não possui raízes.

Logo, xpara0xf

f) f(x) = –x2 + x – 1 a = -1 < 0 e f(x) não possui raízes.

Assim, xpara0xf

______________________________

Faça agora alguns exercícios envolvendo estudo de sinais e

inequações.

1) Faça o estudo do sinal das seguintes

funções:

a) 1x5x6xf 2


b) 3x2xxf 2

c) 4x4xxf 2

d) 2xxxf

e) 9xxf 2


f) 1x34x2xf

g) 2x1x2xf

h) 1xx2xf 2

i) 1x1xxf


j) 2x3xf

2) Determine os valores de c para os

quais temos x,0cx4x2

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Pág. 182 – Exercícios R.6 e R.7

Pág 184 – Exercícios 15 e 16 ______________________

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Sendo f(x) = ax2 + bx + c com a,

b e c reais e a 0, chamamos de

INEQUAÇÃO DO 2º GRAU às

sentenças do tipo f(x) > 0 ou f(x) 0 ou

f(x) < 0 ou ainda f(x) 0.

Resolver uma inequação significa determinar os valores reais de x que

satisfazem a condição pedida e isto é feito analisando-se o sinal da função.

Veja no exemplo a seguir.

Ex. 1. Qual a solução da inequação 2x2 – 5x + 2 >0.

Resolução:

Em princípio devemos determinar as raízes da função e a seguir esboçar o gráfico.

As raízes são 2x1 e 2

1x2 e

a = 2 > 0.

Observando o esboço do gráfico, podemos notar que a função é positiva

para 2

1x ou 2x assim:

2xou2

1x|xS


Ex.2:

Resolver a inequação x2 – 6x – 7 0.

As raízes são x1 = -1 e x2 = 7 e a > 0.

7x1|xS

Ex.3: Quais valores de x satisfazem a inequação x2 – 6x + 9 > 0?

Raízes: x1 = x2 = 3 e a > 0

3x|xS

3) Determine o conjunto solução de

cada uma das inequações a seguir:

a) 010x9x2

b) 0xx6 2

c) 4x2


d) x1236x2

e) 1xx2

f) 8

1x12x2

2

x2

g) 2mm21mm 22


h) 1tt2t

i) 16x44xx

j) 6

1k

3

1k

2

k 2

k) 2a42x 22


4) Num laboratório, uma substância sofre um processo de mudança de

temperatura. Sabe-se que após t segundos após o inicio do experimento,

a temperatura C, em graus Celsius, é dada por C(t) = t2 – 12t + 35.

a) Qual a temperatura inicial da substância?

b) Qual a temperatura mínima que a

substância atinge?

c) Em que instante isto ocorre?

d) Durante quanto tempo a temperatura

fica negativa?


e) Em que intervalo de tempo a temperatura ficou abaixo de 24ºC?

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Pág. 184– Exercícios 17 a 19

______________________

INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE

Resolver uma inequação produto e/ou quociente do segundo grau é

semelhante ao que fazemos com aquelas que envolvem apenas funções

do primeiro grau. Veja o exemplo.

Ex.: Resolver a inequação

(x2 + 2x – 3)(4x – 1) > 0

Resolução: Devemos estudar o sinal de cada uma

das funções.

f(x) = x2 + 2x – 3

g(x) = 4x – 1

1xou4

1x3|xS

___________________________

Como não há novidades em relação ao que já vimos em inequações

produto/quociente do primeiro grau, podemos passar direto aos exercícios.


5) Resolva as inequações:

a) 01xx24x5x 22

b) 01x5xx2

c) 02x3xx 2

d) 0x110x3x3x2 22


e) 01xx2

1x3x42

2

f) 05x6x

x42

2

6) Resolva as duas inequações a seguir:

a) 2x

1x

1x

x

b) 21x

1

1x

122


7) Seja 1x2

1x2xf

2

. Determine os

valores de x em cada caso:

a) para que se tenha f(x) = 1

b) para que se tenha f(x) > 1

8) Dado 1x2x31xx2xf 22

calcule os valores de x em cada caso:

a) para que se tenha f(x) = 0

b) para que se tenha f(x) > 0


SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Resolver um sistema de

inequações do 2º grau ou um sistema de inequações simultâneas do 2º grau é

semelhante àquele envolvendo apenas inequações do primeiro grau.

Devemos lembrar que a solução

de um sistema é a INTERSECÇÃO das soluções de cada uma das inequações que o formam.

Ex.: Resolver o sistema

1xx2

2xx

2

2

.

Resolução: Devemos resolver cada inequação separadamente e, em seguida, fazer a

intersecção entre as soluções.

2xe1x

02xx

2xx

21

2

2

1xe

2

1x

01xx2

1xx2

21

2

2

]2;1[]2

1;1[S

9) Resolva os sistemas:

a)

3x2x2x2x

1x21x2

22

2


b)

9x8x

9x

x8x

2

2

2

10) Indique o conjunto solução de cada um dos três sistemas de inequações

simultâneas a seguir:

a) 4x5xx4 222


b) 2

x1x5

2

xx

2

1 2

c) 3xx22x3x1x2x3 222


11) Sejam 52xxf 2 e

1x3xg 2 . Determine x tal que:

a) 2 < f(x) < 5

b) f(x) g(x)

12) Calcule m de modo que

1mxmxxf 2 tenha raízes reais e o

gráfico seja uma parábola voltada para

cima.


13) Construir o gráfico da função:

3xou3xpara14x

3x3para4xxf

2

2

14) Construir o gráfico da função:

1xpara1x

1x2para3 - x 2 + x²

-2xpara7x2

xf


RESPOSTAS

1)

a)

2

1x

3

1para0xf

2

1xou

3

1xpara0xf

2

1xou

3

1xpara0xf

b)

1xou3xpara0xf

1xou3xpara0xf

1x3para0xf

c)

2xpara0xf

2xpara0xf

d)

1xou0xpara0xf

1xou0xpara0xf

1x0para0xf

e)

3x3para0xf

3xou3xpara0xf

3xou3xpara0xf

f)

3

1x2para0xf

3

1xou2xpara0xf

3

1xou2xpara0xf

g)

2xou1xpara0xf

2xou1xpara0xf

2x1para0xf

h) xpara0xf

i)

xpara0xf

j)

2xpara0xf

3xpara0xf

2)

c > 4

3) a)

2

419xou

2

419x|xS

b) 6x0|xS

c) 2xou2x|xS

d) 6x|xS

e)

2

51x

2

51|xS

f)

2

1S

g) 1m|mS

h) S = Ø

i) 4S

j)

2

1kou

3

1k|kS

k) S = Ø

4) a) 35ºC

b) -1ºC

c) t = 6 s


d) durante 2 segundos

e) 1 < t < 11

5) a)

4xou2

1x|xS 185

b)

5

1x0ou1x|xS

c) 0x1ou2x|xS

d)

}5x2

3ou1x1

ou2x|x{S

e)

}1xou1x4

1

ou2

1x|x{S

f)

}3xou1x2ou

5x|x{S

6) a) 2x1|xS

b) 1xou0xou1x|xS

7) a) x = 0 ou x = 1

b) 1x2

2ou0x

2

2

8) a) 1xou3

1xou

2

1x

b) 2

1xou

3

1x1ou1x

9) a) 1x0|xS

b) 9xou3x|xS

10) a) 4xou1x|xS

b) S = Ø

c)

1x2

1|xS

11) a) -2 < x <0 b) x -1 ou x ≥ 2

12) m ≥ 4 13)

14)


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

MACHADO, Antônio dos

Santos; Matemática, Temas e Metas.

São Paulo, Atual, 1988.

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição,

1977.

RUBIÓ, Angel Pandés;

Matemática e suas tecnologias; Volume

1. São Paulo, IBEP, 2005.

PAIVA, Manoel; Matemática;

Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995.

Links para as vídeos-aulas sugeridas

Pág. 04

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/

coef-a-b-c-grafico/

Pág. 06

http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/

est-sinal-f2g/

eixo de simetria 2 coeficientes a, b e c no grÁfico2...

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