ej. ident. ecuac. trig

8/20/2019 Ej. Ident. Ecuac. Trig.

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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES

FACULTAD DE INGENIERÍA

INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS

ÁlgebraGuía de Ejercicios Nº1

Trigonometría Plana



TRIGONOMETRÍ P!N

1. En cada caso, encuentre los valores de las restantes funciones trigonométricas si:

a) cos θ =

7

1; θ no está en Q I.

b) tan θ = − ; θ no está en Q I!.

c) sen θ ="

7; θ no está en Q II.

d) cos θ = −#

$; θ no está en Q

II.

e) tan θ ="

1; cos θ % &.

f) sen θ = −1$ ; tan θ ' &.

g) cos θ = −#1

#&; sen θ % &.

() tan θ = −7

#; sen θ ' &.

i) sen θ =1$

1$; no está en Q I!.

*) cos θ =+

77; no está en Q I!

) tan θ =1

; no está en Q I.

l) sen θ =7

1&; no está en Q I.

m) csc θ = +; θno está en Q I.

n) cot θ = ; θno está en Q I.

o) sec θ = b; θ está en Q I!.

-) cot θ = a; θ está en Q I.

. alifi/ue como falso o verdadero las siguientes afirmaciones, *ustificando su res-uesta

a) cos 1&0 ' cos &0

b) sen 0 ' sen &0

c) sen #0 sen #0 = sen +&0

d) cot &0 = tan 7&0

e) sen20 θ) = cos2"0 − θ)

f) cos &0 = °&eccos

1

g) °33eccos

1

= sen #0

() sec 10 =°7"sen

1

$. 4i sen α =+

17, con α∈QII, determine el valor de la e5-resi6n

αα−α

sec

tgcos.

#. 4i cos α =

#, con α∈QI, determine el valor de la e5-resi6n :

α⋅αα+α

eccoscos

ctgsen

. onsidere /ue & < α ≤ π su-onga /ue si tg α = - entonces -

1

sen

1sen

=α−α

.

8etermine el valor de α el valor de - .

3. 4i ,

cos

sen =β=α encuentre ).9cos2)2sen βαβ+α

niversidad 8iego <ortales Ingenier>a ivil

1



7. alcule el valor e5acto de las siguientes e5-resiones:

a) $sen #0?cos $&0 3 cos 3&0 − cos$ +&&

b) 7 cos# #0 − sen 3&0?cos $&0 cos &0

c) $ sen 3&0 − 7 cos #0 sen# $&0

d) 1sen 3&0 −13cos# $& sen $&0

e) &sen# #0 − 3cos $&0 $sen $ $&0 − sen &0

f) 1&cos$ 3&0 −#sen $&0 − sen #&

g) $ cos #0 13sen3 3&0 − 1"cos 3&0

() cos 3&0 3 sen #0 9 $ sen$ +&0

". Encuentre los valores e5actos de seno coseno de los siguientes ángulos, sin utili@ar calculadora:

a) 1&0

b) 1$0

c)$10

d)$$&0

e)$&&0

f) #&0

g)0

()#"&0

+. alcule:

a) sen 1+0 a -artir de las funciones de 3&0 1$0

b) cos $#0 a -artir de las funciones de $&0 $10c) sen "0 a -artir de las funciones de #&0 #0

d) cos 130 a -artir de las funciones de #0 1&0

1&. 4im-lifi/ue cada e5-resi6n reduciéndola a un solo término:

a) cos &&0 cos 13&0 − sen &&0 sen 13&0

b) sen θ sen θ − cos θ cos θ

c) sen3

θ cos

3

θ cos

3

θ sen

3

θ

d) sen "&0 cos 1&&0 sen 1&&0 cos "&0

11. !erifi/ue las siguientes igualdades:

a) sen2π θ) = − sen θ.

b) sen 2 θ+π

#

7) = − cos #θ.




c) cos2 − 8)cos8 − sen2 − 8)sen8 = cos.

d) sen2#0 θ) − cos20 θ) = cosθ.

e) sen2$&0 θ) cos21&0 θ) = &.

1. 4i cos A =7

$, con

$π' A ' π, encuentre los valores e5actos de cos

A cos A

1$. 4i sen B =1$

1− , con π ' B '

$π, encuentre los valores e5actos de sen

"

# sen

B

1#. 4i cos

. =

"

− , con

π'

.' π, encuentre los valores e5actos de cos cos

#

.

1. 4ea f la funci6n trigonométrica definida -or f25) = $ cos25 − π ).

a) Crafi/ue la funci6n f indicando sus -rinci-ales caracter>sticas.

b) 8etermine los valores de 5∈D&, πD tales /ue f25) = .

13. 8adas las funciones reales f25) = 1 sen25 −

π) g25) = −sen 5

a) 8etermine, si e5iste, 5∈D&, πD tal /ue f25) = g25).

b) aga un bos/ue*o de la gráfica de f indicando am-litud, -eriodo, fase desfase.

17. onsidere la funci6n trigonométrica ( ) ( ))

5sen)

115f π

−+=

a) Crafi/ue la funci6n f.

b) 8etermine los valores de 5∈D&,πD tales /ue#

$)52f =

1". 4ea f la funci6n trigonométrica definida -or ( ) ( )π++= 5cos$5f

a) Crafi/ue la funci6n f

b) 8etermine los valores de 5∈D&,πD tales /ue

1)52f =

1+. onsidere la funci6n real ( )

= π+

5cos

15f


$



a) Crafi/ue la funci6n f indicando -er>odo am-litud

b) !erifi/ue si se satisface la igualdad ( )[ ] ( )5cos1"1

5f +=

20. onsideremos f25) =

π+−−

5

1sen

1

a) Bos/ue*e un gráfico -ara la funci6n f25) indicando -er>odo, traslaci6n, desfase am-litud.

b) Fesuelva la ecuaci6n f25) =#

7 en [−π , π]

Identidades trigonom%tricas

1. Guáles valores de a, b c (acen de la siguiente ecuaci6n una identidadH

$ #cos θ cos# θ = a bsen θ csen# θ

. 8emuestre las siguientes identidades:

a) cos 5 − 1 = 1 − sen 5

b)sen# 5 − cos# 5 = 1 − cos 5

c)tan 5 − cot 5 = sec 5 − cosec 5

d)2cosec 5 − cot 5) =5cos1

5cos1

+−

e)

)sen512

5cos

− = 2sec 5 tan 5)

f) sen 5?cos$5 − cos 5? sen$5 =#

1sen #5

g)sen5

5cos1− = tan

5

()15sec

5sec

− = csc2

5)

i)5sencos

5sen5#cos5cos5#sen

−

⋅−⋅=tan 5

*) tan 5 cot 5 = cosec 5

)5sec

11

5csc

−=

l)5cos

5$cos

sen5

5$sen− =

m)5cos

5cos1

5cos1

5sen −⋅

−= tan

5

n) tan θ = 2sec θ 1)⋅2csc θ − cot θ)

o)

Acos3$

Acos"

1Acsc"

1Acsc

AtanAsec"

AtanAsec

+

−=

−+

++−

-) sec θ2sen θ − 1)2tan θ sec θ) = −1

/) 2cot θ − tan θ ) = cot θ 2 − secθ)

r)θ+θ+

θ

tancsc1

tan = sen #θ

s) 2cot θ − tan θ) = cot θ2 − sec θ)

t)Asen

Bcot

Bsen

Acot

− = cotA cotB

u)θ+θ−

cos1

cos1= cot θ cscθ cot θ

csc

θ

v)Bcos

senB1

1BcossenB

1BcossenB −=

+−−+

) csc θ cot θ 1 =

1cotcsc

cotcotcsc

−θ+θθ+θθ


&



5) csc3 θ − cot3θ= 1 $csc θcot θ ) 2senA senB − cosA cosB) 2senA

cosB cosA senB) = 1

$. 8emuestre /ue &

1sec#2θ)

#&

1sec2θ) es idéntica a &

1tan#2θ) "

1tan2θ)

donde es una constante real; determine el valor de esa constante .

#. 8ecida si las siguientes igualdades son o no identidades trigonométricas:

a) 1& cos 110 − 1& sen 110

b)3

cos3

sen ππ

c) #sen# θ − #sen θ = cos θ

d)$

13&cos1

°−

= sen3 "θ

e) sen

B cos

B = sen B

f) sen $θ − 1 = − cos 3θ.

g)

&&cos1 °+ = cos "&0

() cos 3A = cos 1A sen 3A

i) 1 − cos "θ = cos 2−13θ )

*) ( )Bcos1 + = ± cosB

) cos

θ − sen

θ =

1

cos θ

l) sen 3A = sen 1A⋅cos 1A

m) cos

3

θ = sen

3

θ = cos

$

θ

n) sen 11B −

1cos B =

1

. Jransforme

a) cos# θ en"

$

1cos θ

"

1cos #θ

b) sen# θ en"

$

1cos #θ

"

1cos "θ

c) sen θ⋅cos θ en"

1 −

"

1cos #θ

3. on las (i-6tesis de cada caso, determine sen2A B) cos2A B). om-ruebe suresultado utili@ando calculadora o com-utadora a-ro5ime A, B A B.

a)1&

1senA =

1&

+senB = , con A B en Q I

b)17

"Acos = , con A en Q I

#

$Btan −= , con B en Q II

c)

#senA = , con A en Q I

7senA −= , con B en Q III




d) cotA =

1, con A en Q I cosB =

17

1− , con B en Q III

'unciones trigonom%tricas in(ersas7. alcule el valor de:

a)

+

#

$senarc

#cosarcsen

b)

+

1gcotarc

#

$arctgtg

c)

+

−

$arccos

1arcsensen

7. Fesuelva -ara ℜ∈5 la ecuaci6n:

a)#5

15arctg

5

15arctg

π=

++

+

+−

b) arccos25) arctg25) =

π.

c)3

)5arccos2)52arcsen π

=−

". 8emuestre /ue

Arcsen

1Arcsen

π=+

Ecuaciones trigonom%tricas

+. Fesuelva las siguientes ecuaciones -ara i) K,&D π∈θ ii) ℜ∈θ

a) sen θ = 1

b) csc θ = #

c) #cos θ = 1

d) tan θ = $

e) sen2θ − 70) =

$

f) cos2θ 1&0) =

g) ( ( $cos1sen +θ⋅−θ = &

() ( ( $sensec$ +θ⋅−θ = &

i) ( ) ( $coseccos −θ⋅−θ = &

*) 2cos θ − 1)⋅ ( csc$ +θ = &


)



) tan θ = tan θ

l) csc$ θ = csc θ

m) cosθ⋅senθ cosθ senθ 1 =

&

n) cos θ − cos θ = 1

o) sen θ $sen θ 1 = &

-) cos θ − +cos θ − = &

/) cos θ = $ sen θ

r) sen θ⋅tan θ − $ tan θ = &

s) 3sec θ sec θ 1 = &

t) sen

θ 7cos θ − = &

u) cos θ sec θ = 1,+

v) $sec θ⋅csc θ = csc θ

) cos θ = 1 − sen θ

5) sen #θ − $ cos θ = &

) sen θ sen θ = &

@) cos #θ = 7cos θ "

aa) sen θ = sen

θ

bb) cos 2θ − cos θ = &

cc) cos 3θ sen

$θ = &

dd) sen θ cos

θ= 1

ee) sen θ = 3cos θ 3

ff) cos θ 7sen θ =

gg) tan θ cot θ = csc θ

(() sen θ = $cos θ

ii) cos $θ cos θ = cos θ

**) #tan θ = $ sec θ

) $sec θ sen θ 1 = &

ll) cos1

sen =θ−+θ

mm) tan2#

π − θ) = 1 − sen θ

nn) cot θ sen θ − cos θ⋅cot θ = &

oo) 3cos1cos$ −=θ++

θ

Resoluci*n de tri+ngulos

$&. La medida del ángulo maor de un triángulo es el doble de la medida del ángulo menor,GEs la medida del lado maor el doble de la medida del lado menorH Mbtenga la medida

de c, si α = #&,#0, γ = "1,&0 a = 1&&.

$1. 4e desea determinar la distancia entre dos -untos A B /ue se encuentran en las orillas

o-uestas de un r>o. 4e tra@a un segmento de recta A de una longitud de #& metros se encuentra /ue los ángulos BA AB miden 3$0 &N #0 1&N, res-ectivamente.alcule la distancia a-ro5imada entre A B.

$. n to-6grafo elige un -unto a $7 metros de A $& metros de B, -ara determinar la distancia entre A B. 8etermine la distancia re/uerida sabiendo /ue el ángulo BAmide #+0 $&N.


,



$$. n -oste de telégrafos, /ue está inclinado en un ángulo de 10 con res-ecto al sol, dauna sombra sobre la tierra de 1& metros de longitud, cuando el ángulo de elevaci6n delsol es de 3#0. Mbtenga la longitud del -oste.

$#. na carretera recta forma un ángulo de 10 con la (ori@ontal. n -oste vertical, /ue se

encuentra en la orilla de la carretera, -roduce una sombra sobre ésta de 7 metros delongitud, cuando el ángulo de elevaci6n del sol es de 70. 8etermine la longitud del -oste.

$. El ángulo de una de las es/uinas de un terreno triangular mide 7$0 #&N. 4i los ladosentre los cuales se encuentra dic(o ángulo, tienen una longitud de 17 1& metros,determine la longitud del tercero de los lados.

$3. n -oste vertical sobre una ladera, mide #& metros de alto forma un ángulo de 170con el (ori@onte. Encuentre la longitud m>nima /ue debe tener una cuerda, /ue -arte dela -unta del -oste, -ara /ue alcance un -unto a 7 metros de la base del -oste.

$7. 8emuestre /ue -ara todo triángulo AB, se cum-le.

a) a b c = ⋅2bc⋅cos α ac⋅cos β ab⋅cos γ )

b)abc

c ba

c

cos

b

cos

a

cos ++

=γ

+β

+α

$". 8esde un -unto sobre el -iso locali@ado a 1& metros de la Jorre Eiffel, se observa /ueel ángulo de elevaci6n de la -unta de la torre es 3",0. GQué altura tiene la torreH.

$+. 8esde un -unto locali@ado en el mismo -lano /ue la -arte su-erior de las cataratas deBridalveil en el -ar/ue nacional de Oosemite a una distancia de $# metros, el ángulode de-resi6n del e5tremo inferior de las cataratas es de #1,0. Encuentre la altura de lascataratas de Bridalveil.

#&. n (elic6-tero vuela a 1$& metros sobre uno de los e5tremos de un -uente /ue setiende sobre el r>o Pissouri en la ciudad de efferson. El ángulo de de-resi6n del otroe5tremo del -uente visto desde el (elic6-tero es de $,&0. GQué longitud tiene el -uenteH

#1. El ángulo de elevaci6n de la -arte más alta de la torre del it all de Riladelfia,tomada desde un -unto al nivel del -iso a 1&& metros de su base es de 31,$0 GQuéaltura tiene el edificioH

#. Encuentre el radio de una circunferencia -ara la cual una cuerda de 1&,"cm.corres-onde a un ángulo de $",#0 en su centro.

#$. n cercado de altura ( está locali@ado en -osici6n este oeste. El ángulo de elevaci6n

del sol es θ su orientaci6n es 4S. Mbtenga el anc(o de la sombra /ue -roecta elcercado al nivel del -iso.

##. 8esde la cima de un -eTasco al borde de un lago, se observa una boa con un ángulo de

de-resi6n θ una segunda boa más cercana al -eTasco, está a d metros de la base de

éste. 8emuestre /ue la distancia entre las boas es d2tan θ⋅cot θ − 1) metros.


-



#. n (elic6-tero sobrevuela directamente sobre un camino /ue va de este a oeste al niveldel suelo. Pirando (acia el este, el -iloto ve un bac(e en el camino, con un ángulo de

de-resi6n θ. Pirando (acia el oeste, observa otro bac(e en el camino con un ángulo de

de-resi6n ∅. 4i los bac(es están se-arados -or UaV metros, determine a /ué altura

vuela el (elic6-tero.#3. n observador en A mira directamente al norte ve un meteoro con un ángulo de

elevaci6n de 0. En el mismo instante, otro observador, locali@ado 1& Wm. al oeste deA, ve el mismo meteoro ubica su -osici6n como X &0 E, -ero olvida anotar el ángulode elevaci6n. Encuentre la altura del meteoro la distancia desde el -unto A al meteoro.

#7. 8esde una cabaTa ubicada en la cima de una colina costera ubicada a 1& m. sobre elnivel del mar, se observa un velero 4 detenido en la ba(>a. Mbtenga la longitud /uerecorre la lu@ de un foco /ue se dirige desde la cabaTa (asta el velero con un ángulo dede-resi6n de $&0.

#". 4obre un terreno -lano (a crecido un árbol inclinado (acia su derec(a. 8esde la base <

del árbol, un observador se des-la@a s unidades (acia la i@/uierda llegando al -unto A continYa t unidades en dic(a direcci6n (asta ubicarse en un -unto B. 4i desde los -untos A

B observa la cYs-ide del árbol con ángulos de elevaci6n α β, res-ectivamente,

determine la longitud del árbol su ángulo de inclinaci6n.

#+. 4ea AB un triángulo e/uilátero < un -unto interior de él. 4i las distancias desde < alos tres vértices son 1m, 1m m, determine el área del triángulo.

&. 8esde el -ie de un -oste, el ángulo de elevaci6n a la -unta de un cam-anario mide αo;

desde la -arte su-erior del -oste /ue tiene Um metrosV de altura, el ángulo de elevaci6n

a la -unta de dic(o cam-anario mide βo. 4i el -ie del -oste de la torre están en la

misma recta (ori@ontal, com-ruebe /ue la altura ( de la torre

β−α

α=

tgtg

tgm(

1. n asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. 8esde mmetros de distancia, los ángulos de elevaci6n de la -unta del asta la -arte su-erior del

edificio son α α res-ectivamente. 8emuestre /ue el asta de bandera mide:

α−α+α=

tg1

)tg12tgm(

. 8esde la cumbre de un cerro de 1&&m. de altura se observa un cam-amento A con unángulo de de-resi6n de #0 una aldea B con un ángulo de de-resi6n de $&0; además, el

ángulo entre las visuales a los -untos A B es de 1&0. 8etermine la distancia entre A B.

$. En los e5tremos de una calle e5isten una torre una iglesia entre sus bases (a unadistancia de &&m. 8esde el -unto e/uidistante a ambos edificios se miden sus ángulos deelevaci6n resulta /ue suman +&0. Además se su-o /ue desde el -ie de la torre el ángulo

de elevaci6n de la iglesia mide θ0 mientras /ue desde el -ie de la iglesia el ángulo de

elevaci6n de la torre mide 2θ)0. alcule las alturas de ambos edificios.


.



Resultados / Trigonometría Plana

1.9 a) $#)tan2;7

$#)2 −=

−= θ θ sen

c)1

7)tan2;"

1)cos2 == θ θ

e)17

1)2;

17

")cos2 ±== θ θ sen

g)#&

+)tan2;

#1

+)2 −== θ θ sen

i)$

)tan2;

1$

1$$)cos2 ±=±= θ θ

)7

$)cos2;

7

)2 −=−= θ θ sen

m) +

#)cos2;

+

1)2 == θ θ sen

o)b

b sen 1

)cos2;1)2 =−−= θ θ

$.9"1

17+3# −

.9 $;$

== pπ

α

7.9 a) 3

c)13

+

e)"

7

g)#

$

11.9 a) !erdaderoc) !erdaderoe) !erdadero

1$.91$

1$$

;

13+

1&)2 ±=

=

B sen B sen

1.9 b) 1

1$

;1

1

π π

== x x

17.9 b)$

;

$ 1

π π == x x

1+.9 Xo se verifica

Identidades Trigonom%tricas1.9 ;1#;1 =−== cba $.9

#&

$=c

'unciones Trigonom%tricas In(ersas

7.9 a)$

&7$ + b) &

Ecuaciones Trigonom%tricas

+.9 a)#

π θ =

c)$

π θ =

e)1"&

37;

1"&

171

π θ

π θ ==

g)3

π θ =

i)3π θ =

) &;#

1 == θ π

θ

m)$

π θ =

o)3

;

1

π θ

π θ −=−=

/)$

π θ =

s) ∃/u) ∃/

)3

;

3 1

π θ

π θ ==

Resoluci*n de Tri+ngulos$1.9 $"",1+= AB metros$.9 ",1+=c metros

$+.9 &7,&7=altura metros#1.9 3$7,1"=altura metros




#7.9 #&tan =ciadis metros$.9 .1&mtsiglesia = ; .

$

&&mtstorre =


10

ej. ident. ecuac. trig

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