(eja) relativos aos números racionais

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

LAÍDE CERAGIOLI

CONHECIMENTOS DE ALUNOS DO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA) RELATIVOS AOS NÚMEROS

RACIONAIS NA FORMA FRACIONÁRIA

SÃO PAULO

2011

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÃTICA

CONHECIMENTOS DE ALUNOS DO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA) RELATIVOS AOS NÚMEROS RACIONAIS

NA FORMA FRACIONÁRIA

Dissertação apresentada como exigência parcial para a conclusão do Curso de Mestrado em Educação Matemática, sob a orientação da Professora Dra Nielce Meneguelo Lobo da Costa.

SÃO PAULO

2011

BANCA EXAMINADORA

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus por usar este vaso, esperando que este trabalho

O glorifique.

À minha querida mãe pelas orações e estímulo nos momentos difíceis.

À Dra Nielce Lobo da Costa, colega de magistério por décadas, por acreditar em

mim, foi pela segunda vez, minha orientadora.

Às minhas três amigas especiais: Ana, que durante muitos fins de semana me

ajudou nas revisões; Marinês, que desde o princípio me estimulou, ajudando-me a

prosseguir nos momentos de desânimo e à Silvia, por tantas horas compartilhadas nas

correções.

Ao Capelão da EJA, Reverendo Jorge Corrêa dos Santos Filho, pelas suas

sábias palavras.

À minha caríssima coordenadora da EJA, Professora Paula Conti, pela ajuda e

compreensão em todos os momentos desta caminhada.

Em especial, à Professora Dra. Terezinha Nunes, por ceder seu material para a

minha pesquisa e ao Dr. Peter Bryant, pelas sugestões.

Aos professores Dr. Alecio Damico e Dra. Maria Helena Palma de Oliveira, pela

consideração dispensada ao participar da banca e suas contribuições para a finalização

desse estudo.

A todos os meus professores do Mestrado, particularmente, Dra. Angélica

Fontoura Silva, Dra. Bette Prado, Dra. Lulu Heally, Dra. Marlene Dias, Dra Nielce lobo

da Costa, Dra Rosana N. de Lima, Dr. Ruy Pietropaolo, Dra. Tânia Campos e Dra.

Verônica Kataoka.

À querida amiga dantina Semíramis, por me ajudar na elaboração do Abstract.

Ao reverendo Robson Garcez, pelo carinho com que revisou este trabalho.

Ao casal de amigos André e Vivian, que viabilizaram a formatação e a

organização deste trabalho.

Ao querido Breno, que durante horas me ajudou na transcrição de dados muito

úteis a esta pesquisa.

Aos meus amigos e colegas: Ariadne, Bruno, Elenice, Fátima, Fernanda,

Fernando, Lúcia Helena, Márcia, Marcos, Maria Célia, Natália, Raquel, Sílvia e Talita,

pelo apoio e sugestões durante a elaboração deste trabalho.

Aos meus queridos alunos que participaram desta pesquisa e torceram por mim.

DEDICATÓRIA

À minha mãe com muito amor

CERAGIOLI, L. Conhecimentos de alunos do programa de Educação de Jovens

e Adultos (EJA) relativos aos números racionais na forma fracionária. 2011. 147 f.

Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São

Paulo, 2011.

RESUMO

O objetivo desta pesquisa é investigar saberes sobre números racionais na forma

fracionária, particularmente quanto aos significados Parte-Todo e Quociente, os

Invariantes de Equivalência e Ordem, os quais foram construídos por alunos de um

Programa de Educação de Jovens e Adultos (EJA) da cidade de São Paulo. A

fundamentação teórica vem dos estudos de Nunes a respeito dos quatro significados

das frações: parte-todo, quociente, operador multiplicativo e quantidade intensiva, e

os invariantes de equivalência e de ordem. Trata-se de uma pesquisa de caráter

qualitativo, com a aplicação de um questionário, a partir do qual foi realizada uma

análise interpretativa. O estudo foi dividido em três fases: a primeira aborda a teoria

envolvida no tema; a segunda, a pesquisa junto a cento e catorze alunos de um

Programa de EJA do sexto, sétimo e o nono anos do Ensino Fundamental e dos três

anos do Ensino Médio e, na última fase, procedeu-se a análise. Os resultados

indicaram que mais da metade dos alunos pesquisados demonstraram ter

conhecimento da representação dos significados parte-todo e quociente, porém

esses alunos demonstraram dificuldade quanto ao conceito de denominador, quando

a abordagem da questão estava focada unicamente nos invariantes. Além disso, a

pesquisa revelou a necessidade da inserção na grade curricular do tema “Números

Fracionários” a partir do sexto ano da Educação Básica, na Educação de Jovens e

Adultos (EJA), de modo a auxiliar a promoção de aprendizado significativo que

permita aos alunos a transferência para situações-problemas do cotidiano. Os

resultados deste estudo sugerem a necessidade da elaboração de uma avaliação

diagnóstica para os alunos ingressantes na EJA, que aborde os conteúdos relativos

aos números racionais na representação fracionária, abrangendo conhecimentos

dos diversos significados das frações. Essa ação poderá oferecer subsídios aos

professores da EJA informando-os sobre os conhecimentos prévios desses alunos

de modo a auxiliar a definição dos conteúdos a serem ministrados em cada

ano/semestre da EJA, tanto do Ensino Fundamental, quanto do Ensino Médio.

Palavras-Chave: Números racionais. Representação fracionária. Educação de

jovens e adultos (EJA). Frações.

CERAGIOLI, L. Knowledge of students in a Program of Youth and Adults (EJA) about rational numbers in fraction form. 2011. 147 f. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, 2011.

ABSTRACT

The aim of this research is to investigate knowledge about rational numbers in

fraction form, particularly as to the meanings and Part-Whole and Quotient Invariant

Equivalence and Order, built by students in a program of Youth and Adults (EJA) in

São Paulo . The theoretical framework was built from the studies by Nunes about the

four meanings of fractions: part-whole, quotient, operator, multiplicative intensive

quantity, and the invariants of equivalence and order. It is a qualitative study, with the

application of a questionnaire, from which an interpretative analysis was performed.

The study was divided into three phases: the first covers the theory involved in the

issue, the second a survey of one hundred and fourteen students from an adult

education program of the sixth, seventh and ninth years of elementary school and

three years of high school and the last phase, carried out the analysis. The results

indicated that more than half of students surveyed have demonstrated knowledge of

the representation of the meanings and part-whole ratio, but these students

demonstrated difficulty on the concept of the denominator, when addressing the

issue was focused solely on the invariants. In addition, the survey revealed the need

to insert in the curriculum of the subject "Fractional Numbers" from the seventh year

of basic education, Education for Youths and Adults (EJA), in order to help the

promotion of meaningful learning that allows make the transfer to situations everyday

problems. The results of this study suggest the need for the development of a

diagnostic evaluation for freshman students in adult education, that addresses the

material related to rational numbers in fractional representation, including knowledge

of the different meanings of fractions. This action will provide subsidies for teachers

of adult education by informing them about the prior knowledge of students in order

to help define the content to be taught in each year / semester of adult education,

both elementary school, and high school.

Keywords: Rational numbers. Fractional representation. Youth and adult education. Fractions.

Lista de ilustrações

Figura 1 - Esquema de parte-todo. Fonte: Sangiorgi, 1983, p.101. ........................... 23

Figura 2 - Uma pizza a ser dividida entre quatro pessoas. Adaptada da questão 1 do

questionário de Nunes (2010). .................................................................................. 24

Figura 3 - Linha do tempo da Educação de Jovens e Adultos no Brasil ................... 35

Figura 3 - A – Resumo dos Procedimentos na Pesquisa ......................................... 51

Figura 4 – Conteúdo Programático do EF e EM dos materiais didáticos analisados.71

Figura 5 – Exemplo de fração / classe de equivalência. ........................................... 72

Figura 6 – Problema que envolve fração. .................................................................. 72

Figura 7 - Exemplos de fração aparente. .................................................................. 73

Figura 8 - Exemplo de frações equivalentes. ............................................................ 74

Figura 9 – Definição de simplificação de fração do material adotado. ...................... 74

Figura 10 - Exemplo de comparação de frações. ...................................................... 75

Figura 11 – Algoritmo para cálculo de MMC. ........................................................... 76

Figura 12 - Definição de número misto do material didático. .................................... 76

Figura 13 - Transformação de fração imprópria em número misto e vice-versa. ...... 77

Figura 14 – Comparação de frações. ........................................................................ 77

Figura 15 – Definição de razão do material didático. ................................................ 78

Figura 16 - Exemplos de razão e sua simplificação. ................................................. 78

Figura 17 – Definição da razão especial: velocidade média. .................................... 79

Figura 18 - Definição da razão especial: escala. ....................................................... 79

Figura 19 - Gráfico das idades dos alunos que responderam ao questionário ......... 80

Figura 20 - Primeira questão ..................................................................................... 53

Figura 21 - Segunda questão .................................................................................... 54

Figura 22 - Terceira questão ..................................................................................... 55

Figura 23 - Quarta questão ....................................................................................... 56

Figura 24 - Quinta questão ........................................................................................ 56

Figura 25 - Sexta questão ......................................................................................... 58

Figura 26 - Sétima questão ....................................................................................... 59

Figura 27 - Oitava questão ........................................................................................ 60

Figura 28 - Décima questão ...................................................................................... 61

Figura 29 - Décima segunda questão ....................................................................... 62

Figura 30 - Décima terceira questão ......................................................................... 63

Figura 31 - Décima quarta questão ........................................................................... 63

Figura 32 - Décima sexta questão ............................................................................. 64

Figura 33 - Décima sétima questão ........................................................................... 65

Figura 34 - Décima oitava questão ............................................................................ 66

Figura 35 - : doces e sobraram da barra ........................................................... 67

Figura 36 - condução gastou no total ou da barra ..................................... 67

Figura 37 - Décima nona questão ............................................................................. 67

Figura 38 - Resultados em fração da 19ª questão .................................................... 68

Figura 39 - Resultados da resposta da 19ª questão ................................................. 68

Figura 40 - Gráfico com a porcentagem das 19 questões ......................................... 83

Figura 41 - Gráfico de % dos ACERTOS por questão e significado/invariante ......... 84

Figura 42 - Gráfico de % dos ERROS por questão e significado/invariante .............. 86

Figura 43 - Gráfico de % dos EM BRANCO por questão e significado/invariante ..... 87

Figura 44 - 2ª Questão e Gráfico geral de respostas ................................................ 88

Figura 45 - Gráficos de análise de resultados da questão 2 ..................................... 89

Figura 46 - 4ª Questão e Gráfico geral de resultados ............................................... 89





Figura 51 - Gráfico de análise de resultados da questão 6 ....................................... 95

Figura 52 - 10ª Questão e Gráfico geral de resultados ............................................. 96

Figura 53 - Gráficos de análise de resultados da questão 10 ................................... 97




Figura 57 - Gráfico de colunas dos resultados da questão 17 ................................ 100

Figura 58 - 18ª Questão e Gráfico geral de resultados ........................................... 101

Figura 59 - Gráficos de análise de resultados da questão 18 ................................. 101

Figura 60 - 1ª questão e Gráfico geral de resultados .............................................. 102

Figura 61 - Gráfico de resultado da 1ª questão por série ........................................ 103

Figura 62 - 3ª questão e Gráfico geral de resultados .............................................. 104


Figura 64 - Resposta do aluno X ............................................................................. 106

Figura 65 - Resposta do aluno Y ............................................................................. 106

Figura 66 - Resposta do aluno W ............................................................................ 106

Figura 67 - 7ª questão e Gráfico geral de respostas ............................................... 107


Figura 69 - Resumo dos percentuais de acertos, erros e em branco das respostas

por pergunta da 3ª questão ..................................................................................... 109

Figura 70 - 13ª questão e Gráfico geral de respostas ............................................. 109

Figura 71 - Gráfico de resultado da 13ª questão ..................................................... 110

Figura 72 - 19ª questão e Gráfico geral 1................................................................ 111








Lista de Tabelas

Tabela 1 - Fonte: IBGE-2009, Censo Demográfico. Nota: (1) Em milhares .............. 36

Tabela 2 - M1 nos Eixos Cognitivos (INEP), p. 147. ................................................. 45

Tabela 3 - Divisão das Questões .............................................................................. 53

Tabela 4 - Resultados comparativos percentuais dos itens da questão cinco .......... 91

Tabela 5 - Resultados comparativos percentuais dos itens. ................................... 114

Tabela 6 - Resumo geral dos percentuais de acertos, erros, e questões em branco

por significado/invariante. ........................................................................................ 146

Lista de Abreviaturas e Siglas

CEAA - Campanha de Educação de Adolescentes e Adultos

CPC - Centros Populares de Cultura

CPCTAL - Campanha Pé no Chão Também se Aprende a Ler

EAD - Ensino à Distância

EJA - Educação de Jovens e Adultos

ENCCEJA - Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e

Adultos

ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio

IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística

IDH - Índice de Desenvolvimento Humano

INEP - Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais

LDB - Lei de Diretrizes e Bases

MEB - Movimento de Educação de Base

MEC - Ministério de Educação e Cultura

MCP - Movimento de Cultura Popular

Mobral - Movimento Brasileiro de Alfabetização

ONU - Organização das Nações Unidas

PCN - Parâmetros Curriculares Nacionais

PNAD - Pesquisa Nacional Por Amostra de Domicilio

PNE - Plano Nacional de Educação

PNUD - Atlas de Desenvolvimento Humano

SARESP - Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo

SBEM - Sociedade Brasileira de Educação Matemática

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO 14

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................... 17

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ......................................................................... 21

2.1 SIGNIFICADO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA FRACIONÁRIA......22

2.2 PESQUISAS CORRELATAS ............................................................................. 26

3 EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS ............................................................ 33

3.1 O PROGRAMA DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA) ................... 33

3.2 ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA A EJA .............................................. 41

3.3 O ENSINO DA MATEMÁTICA NA EJA .............................................................. 43

3.4 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA FRACIONÁRIA ....................................... 46

4 MÉTODO ............................................................................................................ 49

4.1 CENÁRIO DA INVESTIGAÇÃO ......................................................................... 49

4.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ........................................................... 50

4.3 INSTRUMENTO DE COLETA DE DADOS ........................................................ 51

4.4 A PESQUISA DE CAMPO .................................................................................. 52

5 O CURSO DE EJA PESQUISADO .................................................................... 70

5.1 ANÁLISE DO MATERIAL DIDÁTICO ................................................................. 70

5.2 PERFIL DOS ALUNOS DA EJA PESQUISADA ................................................. 79

5.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS .......................................................................... 82

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 119

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 124

ANEXO PARECER FINAL ..................................................................................... 128

APÊNDICE A TESTE ORIGINAL DE TEREZINHA NUNES .................................. 129

APÊNDICE B VERSÃO E TRADUÇÃO DO QUESTIONÁRIO .............................. 134

APÊNDICE C APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO ................................................. 143

APÊNDICE D RESUMO DAS QUESTÕES ........................................................... 146

14

APRESENTAÇÃO

Na vivência de décadas como professora de Matemática em escolas públicas

e particulares, tanto dos últimos quatro anos do Ensino Fundamental como dos três

anos do Ensino Médio, diagnostiquei dificuldades comuns aos educandos quanto à

compreensão do conceito dos números racionais na representação fracionária.

Atualmente trabalhando com adultos entre dezoito e oitenta e três anos na

Educação de Jovens e Adultos, EJA, percebo que as dificuldades apresentadas

pelos educandos adultos são similares às dos alunos da escola regular, que estão

aprendendo frações pela primeira vez.

A priori, percebe-se que a dificuldade apresentada na disciplina de

Matemática é comum a grande parte daqueles que estão ou já estiveram nos bancos

escolares.

Garcia Silva, em seu artigo, relata que a Matemática é ainda responsável por

muitos dos fracassos escolares:

A matemática, historicamente é tida como, como uma das disciplinas responsáveis por grande parte dos fracassos detectados nas escolas. Não é difícil encontrar uma pessoa que tendo passado pela escola dizer que “detesta matemática”, “repetiu por causa da matemática” ou outras afirmações negativas. (Garcia Silva, 2004, p. 2)

Dados do IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) nos mostram

que, no período de um século, o número de alunos brasileiros que retornam ao

banco escolar fora da idade regular tem diminuído. Porém o total de analfabetos se

mantém considerável. Como os analfabetos compõem a minoria dos alunos da EJA,

vemos que a educação básica no Brasil continua preocupante.

O Censo de 2000 mostra que o brasileiro tem ampliado sua escolaridade,

havendo crescimento na frequência escolar em todos os grupos de idade. Cerca de

um terço dos brasileiros não concluiu a primeira etapa do Ensino Fundamental. Para

esses cidadãos, que não puderam completar a alfabetização, mas que pertencem a

um universo onde a escrita os rodeia, existem cursos com identidade pedagógica

própria tais como a Suplência e cursos de Alfabetização de Adultos. O aluno que já

ultrapassou a idade escolar regular está inserido numa sociedade que o obriga a

adquirir conhecimentos novos necessários à sua sobrevivência no mercado de

trabalho atual.

15

Segundo Pantoja e Silva :

...ao se falar especificamente do ensino de matemática, fica mais evidente o processo de exclusão ao qual os alunos da EJA estão submetidos, pois além de se tratar de uma ciência temida pela maioria das pessoas, a forma abstrata e neutra como é trabalhada direciona seu acesso a poucos. (Pantoja e Silva, 2007, p 4).

As situações socioculturais em que estes adultos, alunos de Suplência, vivem

devem ser consideradas pelo professor ao verificar se tal educando identifica,

interpreta e utiliza os números naturais, inteiros, racionais e reais que são ensinados.

A partir do domínio de cada etapa de ensino, as situações problema devem ir aos

poucos se tornando mais complexas, porém mantendo a característica de

permanecer dentro da realidade dos alunos da EJA, permitindo que eles percebam

qual é a forma mais adequada para expressar um resultado.

Um fator que interfere na aprendizagem do aluno em Matemática quer seja

ele criança, jovem ou adulto é o autoconceito que ele tem da sua capacidade de

dominar os números. Fazemos nossa a afirmação de Salvador:

É inegável, por um lado, que as pessoas com baixos níveis de formação ou sem qualquer formação estejam em inferioridade de condições em relação aos seus concidadãos com melhores níveis de formação, tanto pela sua promoção pessoal e profissional como pelas suas possibilidades de desfrutar da vida.(Salvador, 1999, p. 189).

Por isso é necessário que o professor tenha a sensibilidade de cuidar da

autoestima do seu aluno por meio de atividades de dificuldades gradativas que

permitam a ele se perceber capaz de raciocinar e encontrar soluções como faz no

seu dia a dia. Isso proporciona ao educando a satisfação de se saber capaz de

dominar os números e o estimula a querer aprender mais.

Escolhemos abordar o conhecimento sobre frações que alunos da EJA trazem

para a sala porque tal conhecimento de números fracionários é relevante tanto no

estudo da Matemática escolar quanto no dia a dia das pessoas em que as frações

são utilizadas.

Essa pesquisa conecta-se a um projeto maior da autoria de Campos (

2009),denominado: “A apropriação de um novo modelo para o ensino de frações por

professores da terceira e quarta séries do Ensino Fundamental”1 cujo objetivo geral

é investigar como alunos lidam com os invariantes Equivalência e Ordem em

1 Projeto COPI 2009-294 Convênio UNIBAN/University of Oxford.

16

situações Quociente e Parte-Todo e oferecer, aos professores da rede da Educação

Básica, elementos para o ensino de frações. A pesquisa também pretende contribuir

fornecendo subsídios ao projeto maior acima mencionado, pela identificação de

dificuldades e facilidades dos alunos da EJA em relação a significados particulares

de frações.

Este texto se estrutura em uma “Apresentação” , uma “Introdução” na qual

apresentamos o “Objetivo”, a “Questão de Pesquisa” e a “Justificativa”; em seguida é

abordada a “Fundamentação Teórica”, contendo “Os Significados de Números

Racionais na Forma Fracionária” na visão da teoria de Nunes que subsidia o estudo

e as “Pesquisas Correlatas”; na “Educação de Jovens e Adultos”, são apresentados

o “Programa de Jovens e Adultos”, as “Orientações Curriculares”, o “Ensino de

Matemática na EJA” e os “Números Racionais na Forma Fracionária”; em seguida

abordamos o “Método” que retrata o “Cenário da Investigação” bem como os

“Procedimentos Metodológicos”, o “Instrumento de Coleta de Dados” e a “A

Pesquisa de Campo”; no “O Curso de EJA Pesquisado” comentamos a “Análise do

Material Didático”, o “Perfil dos Alunos Pesquisados” bem como procede-se a

“Análise Dos Resultados”, que está dividida em três etapas e finalizando este

estudo, relatamos nossas “Considerações Finais”, no qual apresentamos as

considerações gerais a respeito dos saberes acerca dos números racionais na

escrita fracionária de alunos do curso de Educação de Jovens e Adultos, EJA, assim

como sugestões para futuros trabalhos.

17

1 INTRODUÇÃO

Esta investigação teve como cenário um curso do Programa de Ensino de

Jovens e Adultos (EJA) pertencente a uma entidade educacional tradicional da

cidade de São Paulo, da rede particular de ensino.

Nossa preocupação foi procurar compreender como adultos que, em geral,

buscam sua escolarização tardiamente, compreendem as frações.

Vale lembrar que esses adultos convivem diariamente com porcentagens,

medidas, divisões e partições compreendendo, na prática, como esses conceitos

influenciam a sua vida.

Objetivo

O objetivo desta pesquisa é investigar saberes sobre números racionais na

forma fracionária, particularmente quanto aos significados Quociente e Parte-Todo e

os Invariantes equivalência e ordem, construídos por alunos de um Programa de

Educação de Jovens e Adultos (EJA).

Questão de pesquisa

Esta pesquisa se propõe a responder a seguinte questão:

Quais são os saberes que os alunos de um Programa de Educação de

Jovens e Adultos (EJA) construíram a respeito de números racionais na forma

fracionária – em particular em relação aos significados parte-todo e quociente, e aos

invariantes de equivalência e ordem?

Justificativa

A Matemática desempenha um papel fundamental na formação do cidadão.

Isso significa que a Matemática tem papel importante na inserção das pessoas no

mundo das relações sociais e da cultura e no mundo do trabalho.

Pensando nessas práticas pertencentes à vida cotidiana, todo cidadão faz

parte de uma sociedade em que:

“se fala a mesma língua, se utiliza o mesmo sistema de numeração, o mesmo sistema de medidas, o mesmo sistema monetário; além disso,

18

recebe informações veiculadas por meio de mídias abrangentes, que se utilizam de linguagens e recursos gráficos comuns, independentemente das características particulares dos grupos receptores”. (PCNs, 1997, p. 25)

Todo cidadão deve ter a compreensão do meio em que vive para que seja

capaz de tomar decisões políticas e sociais que necessitem da interpretação de

informações, as quais - muitas vezes - envolvem conhecimento matemático que

aparecem em diferentes representações tais como: gráficos, tabelas, dados

estatísticos etc.

Desse modo, segundo os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais), o

currículo de Matemática deve contribuir para a pluralidade cultural do cidadão e

também criar condições para que o cidadão se torne ativo na transformação da

sociedade em que vive.

O estudo das frações é um dos assuntos fundamentais da Matemática

escolar. Em razão disso, o SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar

do Estado de São Paulo) aponta a importância desse tópico, no qual os alunos da

escola regular apresentam muita dificuldade, justificando assim a necessidade de

elaborar um diagnóstico que nos permita avaliar quais são essas deficiências.

[...] A proposta curricular reserva um lugar muito especial para a fração [...] sua inclusão levou em conta que este tema além de fazer parte de um acervo cultural básico, é fundamental para o desenvolvimento de outros assuntos essenciais dentro e fora da Matemática. (SARESP, 1995, p. 97)

De acordo com os mais recentes dados do Relatório IBGE- 2008, publicados

no Jornal Folha de São Paulo, conforme a PNAD (Pesquisa Nacional Por Amostra

de Domicilio, Brasil, 2008), 68% da população nacional com mais de dez anos, têm

no máximo Ensino Médio completo e a taxa média nacional de adolescentes até 17

anos fora da escola é de 15,9%. A média nacional de analfabetos com mais de 15

anos é de 9,8%.

Considerando os dados apresentados, comprova-se a necessidade do ensino

básico para uma faixa etária acima de 17 anos, que ainda está fora da escola.

Pensando no ensino da Matemática para esse grupo, levando-se em conta as

especificidades, buscou-se identificar os saberes matemáticos quanto aos números

racionais na escrita fracionária por meio da aplicação de um questionário,

objetivando verificar e analisar os saberes prévios que os alunos já trazem da sua

vivência cotidiana.

Dentre os matemáticos que estudam a problemática do ensino dos números

19

racionais na escrita fracionária na escola, destacamos Kieren (apud Damico, 2007,

p. 68) que afirma que o ensino do significado parte-todo facilita a compreensão por

parte do aluno do conceito básico de fração. Porém é necessário que o material

didático utilizado e as explicações do professor levem o estudante a visualizar uma

imagem de dupla contagem: contar as partes em que o inteiro está dividido

(denominador) e contar quantas dessas partes são consideradas (numerador).

Assim, embora esse procedimento permita que o educando encontre soluções

corretas para algumas situações, desenvolve um modelo mental incompleto pois

frequentemente os alunos dissociam a contagem das “partes de um inteiro” da ação

de efetuar a divisão desse inteiro em “x” partes iguais e sua representação na escrita

matemática “x

”.

Rouche em seu livro “Pourquoi ont-ils inventé les fractions?” aborda a

dificuldade de se explicar o que é fração. Para ele:

Uma fração é uma coisa bem pequena: uma barra horizontal, um número em cima e um número embaixo. Mas que representa esta coisa? Um pedaço de torta? Uma razão? Uma nova espécie de números? A resposta está longe de ser clara para todo mundo.(apud SILVA, 2005, p.48)

Rouche analisa a dificuldade de esclarecer o que queremos e a forma como

ele apresenta o termo fração está associado à representação simbólica, ou seja, nas

palavras de Silva: a “um número em cima e um número embaixo” e a contextos em

que pode ser identificada como novo número.

Garcia Silva (2007) cita Behr et al. (1992), que abordam a diversidade de

possibilidades de representação do conceito de número racional, quais sejam, os

materiais manipulativos, as imagens ou figuras, os símbolos falados, os símbolos

escritos e as situações do cotidiano. Conforme Lesh et al. (apud Garcia Silva, ibid)

deve-se sugerir tarefas aos alunos recorrendo à utilização de símbolos escritos e

solicitar que ele os traduza também de modo concreto e de materiais concretos e de

situações reais.

Partimos do pressuposto que os adultos da EJA, por já terem uma vivência

sociocultural, têm mais contato com situações problemas de seu cotidiano. Dessa

forma, interpretam com maior facilidade as situações matemáticas quando lhe são

transmitidas oralmente e não na escola.

20

Considerando que, com foco nos significados da representação fracionária,

existem poucas pesquisas na área de Educação Matemática relativas à EJA, este

estudo pretende contribuir com reflexões sobre o conhecimento de número

fracionário que o adulto desenvolve ao longo do curso.

21

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo, abordamos os aportes teóricos relativos aos significados dos

números racionais na forma fracionária.

A definição de número racional por nós adotada é a de Machado (2004, p. 156):

Um número é racional quando pode ser escrito como uma fração q

p, com p e q

inteiros e q 0.

Assim sendo, números na representação fracionária, tais como: 2

3

53,,

e

não são abordados uma vez que não são números racionais. Boa parte dos

trabalhos sobre números racionais se apoiam nos estudos de Kieren, (1976, 1988);

Behr, Lesh, Post e Silver, (1983); Nunes (1997, 2005 e 2007) Damico, (2007) entre

outros. Apresentamos um resumo das divisões que esses autores fazem dos

números racionais.

Kieren apresentou o estudo de números racionais na forma de fração com

base em sete interpretações :

Os números racionais são frações que podem ser comparadas, somadas, subtraídas, multiplicadas e divididas;

Os números racionais são frações decimais que formam uma extensão natural dos números naturais;

Os números racionais são classes de equivalência de frações;

Os números racionais são números da forma a/b, onde a e b são inteiros e b diferente de zero

Os números racionais são operadores multiplicativos;

Os números racionais são elementos de um campo quociente ordenado e infinito, isto é, há números da forma x=a/b, onde x satisfaz a equação bx=a

Os números racionais são medidas ou pontos sobre a reta numérica. (apud SILVA, 2007, p. 85).

Após novos estudos, Kieren reclassifica os números racionais em quatro

subconstrutos:

Medida: a unidade é introduzida na forma de uma figura contínua ou um conjunto discreto, e o todo é repartido em partes iguais;

Quociente: um número de objetos precisa ser repartido ou dividido igualmente num certo número de grupos;

Número proporcional: é uma relação de comparação multiplicativa entre duas quantidades;

Operador: semelhante ao processo de “encolher” ou ”esticar”, de “reduzir” ou “ampliar” (apud SILVA, 2007, p.86).

22

Behr, Lesh, Post e Silver (1983) dividem os números racionais em: medida

fracionária, razão, taxa, quociente, coordenadas lineares, decimal e operador.

Já Damico (2007) afirma que números racionais podem ser interpretados de,

pelo menos, cinco modos diferentes: uma comparação entre parte-todo, um

quociente ou divisão indicada, um operador, uma coordenada linear e uma medida

do contínuo ou quantidade discreta. Esses subconstrutos estão detalhados no item

2.2, pesquisas correlatas.

Como nossa pesquisa está apoiada no questionário de Nunes,

apresentaremos os significados da representação fracionária de Nunes (2003) a

seguir.

2.1 SIGNIFICADO DOS NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA FRACIONÁRIA

De acordo com Nunes (2003), a dificuldade de compreender frações pode

estar relacionada com a introdução do conceito de números fracionários nas séries

iniciais de escolarização, por meio do procedimento da dupla contagem das partes,

em superfícies totalmente divididas em partes congruentes.

Esse conceito pode ter levado esse adulto de hoje, quando era uma criança, a

entender os fracionários como se fossem dois números naturais: um que se coloca

em acima e outro abaixo do traço.

Nunes e Bryant (2005) consideram quatro significados às frações, a saber:

parte-todo, quociente, operador multiplicativo e quantidade intensiva.

1. PARTE-TODO – é o significado que emerge da divisão do todo ou inteiro

em partes iguais, tomando-se uma ou mais partes desse todo. A idéia presente

nesse significado é a da partição de um todo em n partes iguais, em que cada parte

pode ser representada como n

1 com o valor de n diferente de zero.

Por exemplo, uma barra de chocolate dividida em três partes iguais: uma

dessas partes representa uma fração do chocolate que é chamada um terço e

23

indicada por 3

1 e duas dessas partes representam outra fração que é chamada dois

terços e indicada por 3

2.

Em boa parte das escolas este é o primeiro significado de fração que é

apresentado aos alunos nos anos iniciais do ensino regular

Figura 1 - Esquema de parte-todo. Fonte: Sangiorgi, 1983, p.101.

Medida – O significado parte-todo também inclui Medida que vem do ato

de se comparar duas grandezas de mesma espécie: uma que será a

unidade de medida padrão e outra que será a grandeza que se quer

medir. Esse significado é consequência da impossibilidade de medir

usando apenas os números naturais;

2. QUOCIENTE – esse significado de fração utiliza a operação divisão, que

está representada pelo traço: b

a com o número b sempre diferente de zero, e o valor

de a que pode ser tanto maior quanto menor que o valor de b. É especialmente útil

em situações nas quais temos mais que um inteiro dividido em partes iguais.

Vejamos um exemplo de situação na qual surge esse significado: se uma

pizza for dividida entre quatro pessoas, teremos 1 inteiro (no caso, a pizza) dividido

por 4 (uma pizza cortada em quatro pedaços iguais); é 4

1 o valor que cada pessoa

ganhará (comerá...), onde o um representa o número de pizzas e quatro representa

o número de pessoas; 4

1

é a quantidade que corresponde a cada pessoa.

24

Figura 2 - Uma pizza a ser dividida entre quatro pessoas. Adaptada da questão 1 do questionário de Nunes (2010).

3. OPERADOR MULTIPLICATIVO – esse significado de fração emerge

quando a fração atua sobre uma grandeza, dando origem, através dessa ação, a

outra maior ou menor. Por exemplo: uma fazenda A tem 600 cabeças de gado e

uma fazenda B tem 900 cabeças de gado, sabendo que 3

2 do gado de cada fazenda

são fêmeas, a fazenda A tem 400 vacas e a fazenda B tem 600 vacas, ou seja neste

caso, a fração 3

2

corresponde tanto a 400 animais da fazenda A como a 600

animais da fazenda B, não importando a quantidade específica de fêmeas mas sim,

os 3

2 (dois terços) do total de animais de cada fazenda.

4. QUANTIDADE INTENSIVA –

são as medidas baseadas na relação entre duas quantidades diferentes” Exemplos: reais por quilo, quantidade de açúcar em relação à quantidade de água. As quantidades também podem ser extensivas: esse significado de fração abrange unicamente a quantificação dos números utilizados. Nunes explica que uma medida se refere a uma quantidade extensiva quando: a medida de uma quantidade é baseada na comparação de duas quantidades de mesma natureza e na lógica parte-todo (NUNES. 2005, p. 122).

Por exemplo, a tonalidade de loiro que Adelaide aplica mensalmente nos seus

cabelos brancos é resultado da mistura de duas partes de loiro dourado com uma

parte de loiro cinza dissolvidas numa vasilha que contém água oxigenada de 10

volumes.

25

Se após a pintura sobrarem 200g dessa tintura na vasilha, esse restante

poderá ser aplicado na sobrancelha também branca obtendo como resultado

coloração idêntica à do cabelo. Nesse exemplo a mistura dos tons pode ser

representada tanto em forma de razão como uma parte de loiro cinza para duas

partes de loiro dourado para onde a razão é de 1 para 2, ou 2

1, ou em forma de

fração como 3

1

de loiro cinza para

3

2

de loiro dourado.

Assim as quantidades intensivas são representadas por frações ou razões.

Devemos ter cuidado com as razões pois elas nem sempre representam uma

fração. Por definição, razão é a comparação entre duas grandezas de mesma

espécie ou não.

Assim, 3

2 pode significar a razão “dois em cada três”, ou seja, por exemplo,

no caso de 3

2 o dois pode representar a quantidade de cães para cada três

habitantes de uma cidade; enquanto que, na concepção parte-todo, a fração 3

2

significa um inteiro dividido em três partes iguais das quais foram tomadas duas.

A cada um dos quatro significados são identificados invariantes operatórios,

os quais explicitam propriedades tais como:

Equivalência. Duas ou mais frações são equivalentes quando

representarem quantidades iguais, porém estiverem registradas de

maneiras distintas.

Por exemplo, 4

2 de uma melancia representa o mesmo que

2

1 da fruta

(escreve-se 4

2 =

2

1), portanto a fração

2

1 é equivalente à fração

4

2.

Relação de Ordem. Por exemplo, 2

1

quilo de carne é mais que

4

1 de

quilo. Assim, 2

1 >

4

1.

26

2.2 PESQUISAS CORRELATAS

Nos últimos anos no Brasil vários trabalhos acadêmicos sobre o conceito de

número racional, em particular, das frações, têm sido registrados por estudiosos

como Nunes (1996, 2003, 2005, 2007); Campos (2004); Magina (2004); Damico

(2007), Silva Angélica (2007), Silva Maria José (2005), Canova (2006) entre tantos.

O interesse em pesquisar números racionais e seu ensino se justifica porque, como

afirma Damico (2007, p.64), “muitas das dificuldades em matemática no Ensino

Fundamental estão relacionadas com a idéia de número racional”.

Analisamos algumas dessas pesquisas as consideramos mais próximas à

nossa temática de investigação. Ou seja, o critério de escolha foram as pesquisas

que abordam os significados de frações, cuja análise nos auxiliaram nas

considerações semelhantes aos nossos resultados obtidos, ainda que a maior parte

de tais pesquisas não tenham sido realizadas com alunos.

Começamos com a pesquisa de doutoramento de Damico (2007), que fez um

levantamento sobre a literatura pertinente ao ensino e aprendizagem dos números

racionais. O pesquisador relata que são diversos os construtos teóricos que

fornecem a base para identificar os principais tipos de situações problemas

envolvendo números racionais e que, a partir do final da década de 70, têm crescido

significativamente as pesquisas a respeito desses números na representação

fracionária.

A referida pesquisa foi empreendida em dois cursos de graduação, nos quais

foram analisados 346 futuros docentes de matemática e 41 professores formadores.

Focou-se o tema números racionais no Ensino Fundamental coletando dados em

cinco etapas: elaboração de problemas envolvendo frações, resolução dos

problemas elaborados, resolução de um teste com questões sobre frações no

conteúdo exigido no Ensino Fundamental e entrevistas com todos os formadores e

10% dos licenciandos.

A análise foi com base na abordagem qualitativa e os resultados foram

divididos em três categorias: abordagem do conhecimento matemático, tanto

conceitual como processual, que os alunos apresentaram em relação ao significado

de fração; conhecimento matemático como o didático em relação às três operações

básicas: adição, multiplicação e divisão de frações e como os números racionais são

abordados na formação dos futuros professores.

27

A conclusão foi a constatação de uma discrepância entre o conhecimento

conceitual e o do saber fazer, sendo que os licenciandos obtiveram maior sucesso

em fazer do que nas questões de conhecimento conceitual. Quanto às

representações das frações ensinadas no Ensino Fundamental concluiu-se que o

conhecimento didático precisa ser revisto, uma vez que a pesquisa apontou falhas

no ensino desses significados.

Damico, no trabalho referido, interpreta a representação do número racional

através dos subconstrutos comparação, parte-todo, quociente ou divisão indicada,

medida, operador, coordenada linear, que é diversa da que utilizaremos em nossa

pesquisa.

Os subconstrutos comparação, parte-todo e quociente se assemelham à

teoria de Nunes (2005), o quarto, coordenada linear, expressa na sua escrita b

a ou

seu valor decimal equivalente, a representação de um número (ponto) na reta real

(numerada).

Dentre as vantagens desse significado discutido por Damico (2007, p. 77),

salienta-se o fato de que “a reta numérica pode ser utilizada na construção do

significado de equivalência e ordem”. Desse modo, pode-se facilitar a compreensão

de fração imprópria 2

5 ou seja, numerador maior que denominador e o conceito de

número misto 3 4

1. No quinto subconstruto, medida, o autor trabalha o conceito de

comparação de duas grandezas. Caraça (1951, apud Damico, ibid) afirma a

necessidade de que o meio de comparação seja o mesmo como litros para

capacidade, metro para comprimentos. Além disso, enfatiza que para uma

compreensão mais ampla é necessário não só o entendimento dos significados, mas

o de seu inter-relacionamento, posição idêntica a defendida por Kieren (1976 apud

Damico, 2007) entre outros.

Vale destacar a defesa feita por Kieren:

“... no que se refere ao ensino de números racionais, a idéia de que as frações interpretadas como medida proporcionam um contexto natural para a “soma” de frações (união de duas medidas) e, também facilita a introdução dos decimais (notação decimal)” (apud DAMICO, 2007, p. 75).

28

Baseando-se na pesquisa de Damico e na posição defendida por Kieren,

acima mencionada, é conveniente que se trabalhe o processo de somar frações a

partir de uma situação real envolvendo medidas (capacidade, comprimento), por

fazer parte do cotidiano dos alunos, no qual boa parte já calcula intuitivamente, sem

a noção da teoria.

A pesquisa de Damico nos fez pensar como está ocorrendo a formação de

professores, pois é imprescindível que os futuros docentes se apropriem do

conhecimento teórico de maneira a o transferir para uma situação-problema e,

então, aplicá-lo de forma adequada para resolvê-la satisfatoriamente. Para isso, o

professor deverá estar seguro do seu conhecimento conceitual, de maneira que

possa sentir-se apto a mediar tais conteúdos com clareza aos seus alunos, por

compartilhamento.

Neste ponto, cremos haver plena harmonia entre o revelado pela pesquisa

de Damico – professores demonstrando mais técnica que domínio da teoria - e o

presente trabalho: constatou-se que os melhores resultados dos alunos da EJA

foram nos conhecimentos empíricos .

Outra pesquisa dentro do mesmo contexto foi a de Canova (2006) a qual teve

por objetivo identificar e analisar crenças, concepções e competências de

professores em relação ao conceito de número racional na sua forma fracionária.

A pesquisa focou a evolução da escrita numérica dos números racionais,

análise do conteúdo de três livros didáticos e, trabalhos do grupo de pesquisa do

qual Canova faz parte2. A fundamentação foi construída a partir dos estudos de

Vergnaud, Nunes e Ponte.

O instrumento diagnóstico abordou o perfil dos professores quanto à sua

formação, crenças e concepções. As questões específicas conceituais de números

racionais na escrita fracionária abrangiam as quantidades contínuas e discretas, os

invariantes conceituais ordem e equivalência e os cinco significados de frações

apontados por Nunes (2003), a saber, parte-todo, quociente,medida, operador

multiplicativo e número.

O instrumento foi aplicado a 51 professores polivalentes (formados em

pedagogia) que atuam nas séries iniciais, de três escolas municipais da cidade de

Osasco. Esses docentes pesquisados foram divididos em dois grupos: um grupo

2 Trata-se do grupo “A formação, desenvolvimento e ensino do conceito de fração” e estuda a

formação e o desenvolvimento do conceito de número racional.

29

denominado G1 composto por 26 professores da 1ª e 2ª série

(atualmente 2º e 3º ano do Ensino Fundamental) séries nas quais não se ensina

frações e o grupo chamado G2, que era constituído por 25 professores das séries

seguintes: 3ª e 4ª série (atualmente 4º e 5º anos).

Lembramos aqui que, na época da realização do trabalho, o Ensino

Fundamental I das escolas pesquisadas compreendia quatro séries, sendo que 88%

desses docentes tinham experiência em ensinar frações.

A pesquisadora constatou pelos resultados obtidos que o tempo de exercício

da profissão não influenciou nos acertos das crenças dos professores. Os docentes

que tinham mais tempo de profissão não julgavam o tema frações como sendo difícil

de ensinar e também acreditavam que frações devem ser ensinadas nas séries

iniciais, confirmando assim a teoria de Vergnaud (1993) de que a construção de um

conceito matemático ocorre ao longo do tempo.

Para analisar concepções, os docentes formularam problemas que envolviam

os significados, invariantes e o conceito de discreto e contínuo. Os resultados

encontrados não apresentavam inovações. Estes resultados seguiam os exemplos

dos materiais didáticos e dos professores do grupo G1, predominando os problemas

que abordavam o significado parte-todo, enquanto que no G2 o significado mais

abordado foi o operador multiplicativo.

No quesito concepções, a pesquisa apontou um maior número de acertos por

parte dos professores com mais tempo de docência, confirmando a discussão de

Nóvoa (apud Canova, 2006), sobre os docentes com vários anos no exercício da

profissão terem melhor desempenho na resolução de problemas que os professores

recém-egressos da graduação. Enquanto alguns problemas apresentaram o

significado quociente, os significados medida e número não apresentaram

relevância, talvez porque são pouco abordados nos livros didáticos.

Quanto às concepções direcionadas aos números fracionários, a pesquisa

apontou que os professores das 3ª e 4ª séries (4º e 5º anos, atuais) apresentaram

maior desenvoltura no ensino do conteúdo que na resolução de problemas.

Esses professores não se apropriaram do conceito de fração como um

elemento do conjunto dos números racionais. Tal falha também se refletiu no

resultado da quantidade de acertos do quesito invariante equivalência que foi muito

maior em detrimento do invariante ordem.

30

Tais constatações nos levaram a perceber que as duas pesquisas revelam a

necessidade da intensificação da formação continuada do professor quanto ao

estudo das frações, além da que sejam aprofundados esses significados e

invariantes nos cursos de Pedagogia e Licenciatura.

Analisamos também a dissertação de mestrado de Garcia Silva (2000), cuja

pesquisa teve por foco os saberes e a organização do trabalho pedagógico em

matemática nas escolas.

Essa pesquisa questionou as orientações que os professores ministrantes de

Matemática nas séries iniciais recebiam dos superiores, como eles encaravam essas

orientações, se as instituições possuíam material para desenvolver o ensino, se os

docentes tinham ou não acesso a essas informações, o que esses profissionais

pensavam sobre essas orientações e se as aplicavam nas suas aulas e se havia

condições nas instituições que permitissem aos professores trocar experiências que

os levassem a discutir e refletir sobre suas práticas e estratégias através da

formação continuada.

A pesquisa desenvolveu-se em quatro escolas estaduais da cidade de São

Paulo. A pesquisa foi qualitativa, analisando a atuação desses profissionais e os

conteúdos programáticos ministrados por eles.

A constatação foi a de que números racionais são ministrados somente na 5ª

série (6º ano atual), o que pode explicar as falhas encontradas nos alunos que

retornam à sala de aula após anos fora da escola.

Continuando com Garcia Silva (2007), na sua tese de Doutorado, essa autora

pesquisou um grupo de professores de uma escola estadual das séries iniciais da

educação básica, analisando os fatores que podem intervir no desenvolvimento

profissional dos docentes quando estes participam de uma formação.

A pesquisa deu indícios para nossa análise nos levando a comparar os

resultados de acertos dos professores com os acertos dos nossos alunos da EJA.

O assunto estudado focou a representação de número racional na forma

fracionária e seus significados através de teorias relacionadas com a formação de

professores e analisando questões da didática a ser utilizada quanto à ministração

dos significados de números racionais na forma fracionária de Nunes (2003).

A autora, num primeiro momento, aplicou uma avaliação diagnóstica nos

professores, depois discutiu os significados das frações e as várias metodologias

para apresentar esses significados aos seus alunos.

31

Após essas discussões, os professores prepararam exercícios envolvendo o

tema, para serem aplicados a seus alunos. Posteriormente os professores foram

entrevistados e contaram suas experiências desse trabalho com suas classes. Por

fim, após um ano, Silva retornou a essa escola e verificou com esses docentes como

eles avaliam o seu trabalho pós-pesquisa.

Nesse caso, verificou-se mais um resultado no qual encontraram-se

semelhanças com o objeto da presente pesquisa, no que diz respeito ao conceito de

fração, dificuldade que se mostra comum a professores e a alunos, como os do EJA.

Ou seja, há a necessidade de que os cursos de Pedagogia, tanto quanto na

formação continuada, passem a dar maior enfoque aos significados de fração, pois

os dados obtido nos levam a crer que parte dos professores não se sentem muito à

vontade com as frações. Também mostrou que os docentes conseguem melhores

resultados quando a escola lhes oferece oportunidades constantes de trocarem

experiências com os colegas e, assim, refletirem sobre sua prática.

A dissertação de Kooro (2006) intitulada: Uma análise curricular da

matemática na Educação de Jovens e Adultos muito nos ajudou na elaboração do

item Orientações Curriculares para a EJA. A autora investigou e analisou

documentos oficiais que tratam das diretrizes a serem adotadas na Educação de

Jovens e Adultos, já que não existe uma legislação própria para este segmento da

Educação no Brasil.

Segundo a autora, nos dias atuais, o currículo que é utilizado para o ensino da

matemática no EJA é uma adaptação das Leis de Diretrizes e Bases da Educação

do MEC (Ministério de Educação e Cultura), para o ensino da matemática no Ensino

Fundamental e Médio da “escola regular“. Porém a autora comenta que:

A análise dos documentos mostrou-nos que, embora a maioria das propostas apresente considerações pertinentes e coerentes com os referenciais teóricos os quais consideramos relevantes para a Educação de pessoas jovens e adultas, a organização dos temas e as orientações didáticas não estão na mesma perspectiva, sendo ainda muito similares às que são feitas no ensino regular, sem considerar as especificidades da Educação de Jovens e Adultos. Nem todos os documentos contemplam a área de Matemática e os que a contemplam não orientam o professor sobre como fazer a abordagem na EJA. (KOORO, 2007, p.106).

A partir da análise de cada autor em suas pesquisas, entendemos que

apesar de não abordarem alunos da EJA, seus resultados nos permitiram perceber

que no Ensino Fundamental, na área de Matemática, há a necessidade de um

32

currículo que aborde detalhadamente a introdução dos números racionais na forma

fracionária de maneira a orientar os professores atuantes e os futuros docentes no

ensino/aprendizagem desse conceito .

33

3 EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

3.1 O PROGRAMA DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA)

No Brasil, o Ensino de Jovens e Adultos é ainda um problema bastante

relevante para aqueles que não tiveram a oportunidade de cursar a educação

regular em idade adequada. Sabemos que o direito à educação é um dos direitos

mais importantes da sociedade brasileira quanto da comunidade mundial:

Toda a pessoa tem direito à educação...; o acesso aos estudos superiores deve estar aberto a todos em plena igualdade, em função do seu mérito. A educação deve visar à plena expansão da personalidade humana e ao reforço dos direitos do Homem e das liberdades fundamentais e deve favorecer a compreensão, a tolerância e a amizade entre todas as nações e todos os grupos raciais ou religiosos,... Declaração Universal dos Direitos Humanos, . estabelecida pela ONU (ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS em 1948)

A Constituição Federal do Brasil, quanto ao direito à educação, se mantém

dentro da LDB (Lei de Diretrizes e Bases) nº 9394/96, artigo 4º, e no seu artigo 208,

estabelece que:

O dever do Estado com a educação será efetivado mediante a garantia de: I - Ensino Fundamental, obrigatório e gratuito, assegurada, inclusive, sua oferta gratuita para todos os que a ele não tiveram acesso na idade própria; II - progressiva universalização do Ensino Médio gratuito; III - atendimento educacional especializado aos portadores de deficiência, preferencialmente na rede regular de ensino; IV - atendimento em creche e pré-escola às crianças de zero a seis anos de idade; V - acesso aos níveis mais elevados do ensino, da pesquisa e da criação artística, segundo a capacidade de cada um; VI - oferta de ensino noturno regular, adequado às condições do educando; VII - atendimento ao educando, no Ensino Fundamental, através de programas suplementares de material didático-escolar, transporte, alimentação e assistência à saúde. 1

o O acesso ao ensino obrigatório e gratuito é direito público subjetivo.

2o O não-oferecimento do ensino obrigatório pelo Poder Público, ou sua

oferta irregular, importa responsabilidade da autoridade competente. 3

o Compete ao Poder Público recensear os educandos no Ensino

Fundamental, fazer-lhes a chamada e zelar, junto aos pais ou responsáveis, pela freqüência à escola.

Assim, as pessoas que não puderam cursar a escola na idade regular têm o

direito de retomar seus estudos sempre que sentirem sua necessidade e puderem

fazê-lo. Para tanto, o Estado deverá promover cursos de suplência e alfabetização

suficientes para estes sujeitos.

34

O EJA tem de se caracterizar como uma política afirmativa de direitos

coletivos sociais historicamente negados.

A pesquisa do IBGE,” Você no Mercado de Trabalhado”3, apresentada em

09/10/ 2008, mostrou que o salário dos trabalhadores aumenta , em média,15,07% a

cada ano de estudo. Os resultados apontaram que o salário de um trabalhador

analfabeto aumenta 6% após um ano de estudo. De acordo com a mesma pesquisa,

achamos interessante relatar que um brasileiro com o ensino superior completo,

com, em média, 15 anos de estudo, ao acrescentar um ano a mais de

especialização, aumenta seu salário em 47%. Essa pesquisa vai ao encontro dos

dizeres de Salvador (1999) os quais revelam que as pessoas com baixos níveis de

formação estão em inferioridade de condições em relação aos cidadãos com

melhores níveis de escolaridade.

Nas últimas décadas, esses cursos ofertados aos jovens e adultos que não

concluíram seus estudos na escola básica regular foram chamados de: madurezas

ginasial e colegial, Mobral (Movimento Brasileiro de Alfabetização), suplência,

supletivo e outros. Atualmente o curso é denominado EJA (Educação de Jovens e

Adultos). Segundo Kooro (2007), o nome EJA oculta identidades coletivas tais como

pobres, desempregados, negros pertencentes aos mesmos coletivos sociais,

étnicos, culturais.

De acordo com a linha do tempo da educação de jovens e adultos no país

podemos considerar que essa modalidade educacional iniciou desde a chegada dos

portugueses no Brasil ( século XVI).

3 Publicado em: http://www.perpetuaalmeida.org.br/site/texto.asp?tipo=Notícias&id=1112 Acesso em

24/03/2011.

http://www.perpetuaalmeida.org.br/site/texto.asp?tipo=Notícias&id=1112

35

Figura 3 - Linha do tempo da Educação de Jovens e Adultos no Brasil

Diversas pesquisas, tais como a de Corôa (2006) e a de Haddad e Di Pierrô

(2000) apresentam estudos históricos detalhados nos quais apontam que a

preocupação com a suplência e a educação dos jovens e dos adultos vem de longa

data em nosso país.

O Brasil, em 1549, começou a ser colonizado pelos Padres Jesuítas, que

vieram com a missão de catequizar os índios nativos, passando a instruir também os

colonizadores, adultos, jovens e crianças, focados nos diferentes objetivos de cada

um desses dois grupos. Esse trabalho dos padres pode ser considerado como foi o

início da EJA no país.

Ao expulsar violentamente, em 1759, a ordem dos Jesuítas do império

português, o Marquês de Pombal determinou que a educação na colônia passasse a

ser transmitida por leigos nas chamadas Aulas Régias, gerando assim uma

desorganização do ensino brasileiro. Somente no Império o ensino voltou a ser

ordenado (Menezes, 2002).

É interessante analisar os registros do IBGE com os dados referentes ao total

de brasileiros com mais de 15 anos e o total de analfabetos dentro desse grupo, a

partir do início do século passado: em 1900, o direito a ler e escrever era negado a

quase 6 milhões e 348 mil pessoas com mais de 15 anos, ou seja, 65,3% da

36

população e, cem anos depois, a porcentagem de analfabetos caiu para 13,5%4. A

tabela a seguir expõe os dados relativos ao analfabetismo na faixa de 15 anos ou

mais no Brasil no século passado.

Ano População de 15 anos ou mais(1)

Total Analfabetos(1)

Taxa de Analfabetismo %

1900 9.728 6.348 65,3

1920 17.564 11.409 65,0

1940 23.648 13.269 56,1

1950 30.188 15.272 50,6

1960 40.233 15.964 39,7

1970 53.633 18.100 33,7

1980 74.600 19.356 25,9

1991 94.891 18.682 19,7

2000 119.533 16.295 13,6

Tabela 1 - Fonte: IBGE-2009, Censo Demográfico. Nota: (1) Em milhares

Essa queda considerável que se observa do início para o final do século nas

taxas percentuais de analfabetismo no país, no entanto, não é ainda o ideal. A

melhora na alfabetização ocorreu graças aos cursos oferecidos pelos órgãos

governamentais e instituições privadas durante décadas que, entretanto, não

conseguiram sanar completamente o problema, erradicando o analfabetismo.

No início do século passado, houve a mobilização de grupos sociais que

tinham como finalidade organizar campanhas de alfabetização chamadas de Ligas.

Esse segmento da educação – a Educação de Adultos – a partir de 1932, passou a

ganhar maior importância com a Cruzada Nacional de Educação e, com a

aprovação do Decreto nº19. 513, de 25 de agosto de 1945.

A partir de 25 de agosto de 1945, a Educação de Adultos tornou-se oficial. Daí

por diante, novos projetos e campanhas foram lançados com o intuito de alfabetizar

jovens e adultos que não tiveram acesso a educação em período regular.

Dentre estes novos programas educacionais podemos citar:

a Campanha de Educação de Adolescentes e Adultos – CEAA (1947);

a Cruzada ABC, em 1952;

4 Ressaltamos que não pesquisamos o total de brasileiros que não completaram a Educação Básica.

37

o Movimento de Educação de Base – MEB, sistema rádio-educativo criado na

Conferência Nacional dos Bispos do Brasil com o apoio do Governo Federal

(1961);

os Centros Populares de Cultura – CPC (1963);

o Movimento de Cultura Popular – MCP e (vi) Campanha Pé no Chão

Também se Aprende a Ler – CPCTAL.

A partir da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB), de 1961, foram

criados os cursos de Madureza Ginasial e de Madureza Colegial, que ministravam

disciplinas dos antigos ginásio e colegial, e também o exame final de aprovação

desses cursos.

O Ministério da Educação juntamente com a TV Cultura, da Fundação Padre

Anchieta, produziram o primeiro Curso de Madureza Ginasial da tevê brasileira. Tal

curso contou com vários telepostos em muitos municípios paulistas e tinha como

finalidade atender às necessidades esse público adulto utilizando-se, para tanto,

dos recursos propiciados pela radiodifusão e televisão.

O Curso de Madureza foi substituído pelo Projeto Minerva em 1971 e,

posteriormente, pelo curso Supletivo.

No entanto, um dos programas mais importantes em termos de alcance

nacional foi o Mobral, criado em 1967, que tornou-se uma superestrutura,

expandindo-se por todo o país no final da década de 70 e estendendo o seu campo

de atuação às quatro primeiras séries do Ensino Fundamental. O Mobral foi extinto

em 1985 e substituído pelo novo Projeto Educar.

Na década de 90, com a nova LDB (Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional de 1996) foi retomada a preocupação com a Educação de Jovens e

Adultos.

O MEC, em 2001, instituiu o Programa Recomeço que tinha como objetivo

incentivar os jovens com mais de 15 anos e adultos que não tiveram acesso, ou

foram obrigados a abandonar a Educação Fundamental, a retomarem os estudos.

Esse programa é inovador porque se apoia no repasse de verbas que atende a

todos os 14 (quatorze) estados do Norte e Nordeste, assim como, aos municípios

de microrregiões com IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) inferior a 0,5%,

segundo o Atlas de Desenvolvimento Humano (PNUD - 1998).

38

Não poderíamos deixar de citar o Instituto Universal Brasileiro. Fundado em

1941, este instituto constituiu-se no maior propagador privado de cursos Supletivos e

outros trinta tipos de cursos profissionalizantes por correspondência do século XX;

todos esses cursos são até hoje anunciados em jornais e revistas em todo o país.

A partir do ano 2000, o Instituto Universal Brasileiro também entrou na era

tecnológica, passando a oferecer cursos pela Internet.

O ensino por correspondência oferecido pelo Instituto Universal Brasileiro é

considerado a primeira geração do ensino a distância (EAD).

A segunda geração, segundo Murrie (2002) no Livro Introdutório ENCCEJA

(Exame Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos), seria a

tele-educação e a terceira geração, as redes de computadores e as

videoconferências.

Percebemos, por esse histórico, que o Brasil vem ampliando o foco da

educação no país por meio da intensificação da formação dos jovens e adultos que

não tiveram oportunidade frequentar a escola regular no tempo certo de sua

escolarização.

Esse grupo de cidadãos acima é composto por jovens a partir dos 16 anos e

adultos que já estão inseridos no campo de trabalho. São pais de família,

provedores e, portanto, trazem consigo uma forte bagagem de conhecimentos

práticos adquiridos ao longo de sua vida.

Parte deles é de analfabetos funcionais5 e, pelo fato de morarem numa cidade

onde existem sinais e textos para onde quer que se olhe, possuem certo

conhecimento que lhes permite compreender, em parte, as manchetes escritas nos

jornais, as listas de supermercado, reconhecer as placas de trânsito e assim por

diante. Esse fato os diferencia dos adultos que não frequentaram a escola e moram

no campo, pois a vida nas cidades os obriga a terem um certo conhecimento sobre o

mundo em que vivem.

A LDB (1996), Lei de Diretrizes e Base da Educação, no seu artigo 2º, § 3º,

afirma que a educação além de ser obrigação da família também é dever do

governo, sendo assim um dos objetivos do programa da EJA assegurar o direito de

todos à educação. Nessa empreitada, estão engajados além dos governos Federal,

5 Denominação dada, no Brasil, às pessoas que sabem apenas escrever o próprio nome.

39

Estadual e Municipal, organizações não governamentais que incluem Universidades

particulares, empresas, escolas particulares, igrejas e pessoas físicas.

Murrie (2002) cita que, nos últimos anos, o valor do conhecimento escolar, no

caso específico do aluno da EJA, está voltado para “o pleno desenvolvimento do

educando, seu preparo para o exercício da cidadania, e sua qualificação para o

trabalho” (p.12,13) baseada no artigo 2º da LDB, na qual é valorizada a experiência

extraescolar associada à educação escolar com o mundo do trabalho e da prática

social.

O atual Programa de Ensino de Jovens e Adultos, de acordo com Murrie, na

obra citada, apoia-se em alguns conceitos centrais da Educação Básica no Brasil ,

conforme o art. 27 da LDB:

A difusão dos valores de justiça social e dos pressupostos da democracia.

O respeito à pluralidade, o crédito à capacidade de cada cidadão ler e

interpretar a realidade, conforme sua própria experiência.

Sendo assim, o programa da EJA está focado em adequar o conteúdo

ministrado no curso às possibilidades de melhoria da leitura e de interação do

educando com os seus problemas do cotidiano. Esse aluno – que é um adulto -

busca o certificado de conclusão do Ensino Fundamental e Médio com a expectativa

de melhoria financeira e também maior qualificação no tipo de função que

desempenha no mercado de trabalho, segundo Pantoja e Silva (2007).

O desejo de concorrer profissionalmente em igualdade de condições com os

demais cidadãos é o motor propulsor que leva esse adulto ao encontro de sua

escolarização tardia. Dessa maneira, a intenção do Programa de Educação de

Jovens e Adultos é despertar, no adulto, a sua capacidade de descobrir ou inventar

estratégias pessoais e coletivas fundamentadas nos conhecimentos básicos das

disciplinas estudadas.

Os alunos da EJA são pessoas que, hoje, retornam à escola portando

saberes, vivências, conhecimentos práticos e visões pessoais da sociedade em que

vivem e exercem sua cidadania.

Segundo Lowe, as principais funções da educação de adultos são:

dar aos adultos uma segunda oportunidade de obter qualificações que não puderam obter durante sua vida escolar;

dar a oportunidade aos adultos de expandir seus horizontes;

favorecer o desenvolvimento do próprio conhecimento;

40

alcançar uma competência profissional;

levar os adultos a proceder de forma diferente a fim de que consigam resolver problemas tanto pessoais quanto da comunidade;

promover a ação comunitária. (apud SALVADOR, 1999, p. 192)

Dessa forma, a recente formulação da EJA (2000)6 procurou responder ao desafio de:

ampliar o atendimento escolar a jovens e adultos, de modo a tornar a oferta compatível com os direitos educacionais dos cidadãos, consagrados na Constituição e na LDB, e com as metas do Plano Nacional de Educação (PNE) e, ao mesmo tempo, responder às exigências crescentes de escolaridade do mercado de trabalho. (Disponível em www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/vol1e.pdf. Acesso em 08/set/2010).

Na matriz de competências e habilidades do ENEM - Exame Nacional do

Ensino Médio - também encontramos abordagens do currículo escolar para os níveis

Fundamental e Médio da proposta curricular da EJA.

Nesse início de século constata-se pequeno número de trabalhos publicados

sobre o ensino da Matemática focando a educação matemática e ao currículo de

jovens e adultos (EJA), pois, de acordo com a Kooro (2006, p. 115), “a investigação

sobre a matemática na EJA ainda se encontra em um estágio inicial que precisa ser

intensificado”, pois não há uma transferência de conhecimento de sala de aula e sua

pratica no dia a dia, que implica numa mudança de atitude, o que leva a uma

transformação social dessa parte da população brasileira.

De acordo com a autora, o currículo que permeia todo o ensino da EJA vem

de uma adaptação do material destinado ao ensino fundamental. E, por haver pouca

disponibilidades de tempo para debate e reflexão sobre essas propostas curriculares

para os diferentes níveis de ensino, a pratica na sala de aula não está atingindo de

imediato o seu objetivo.

Segundo a SBEM7:

As discussões sobre currículos de matemática para a educação básica no Brasil consideram que a proposta dos parâmetros em ação, que veio com o objetivo de impulsionar e otimizar as apropriações dos PCNs, não foi estudada por muitas secretarias de educação, o que implicou a não utilização, análise e reflexão desse material pelo professor de EJA. (2004, apud, KOORO, 2006, p.25)

6 Apud SIMPÓSIO 20 - O Parecer nº 11/2000 da Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional

de Educação, ao regulamentar a Educação de Jovens e de Adultos, 7 SBEM = Sociedade Brasileira de Educação Matemática

http://www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/vol1e.pdf

41

Acreditamos, então, que não devemos nos prender somente à preparação de

mão-de-obra especializada nem se render, a todo instante, às oscilações do

mercado de trabalho, mas, sim, desenvolver uma educação que não dissocie escola

e sociedade, conhecimento e trabalho e coloque o aluno perante desafios que lhe

permitam desenvolver atitudes de responsabilidade, compromisso, crítica, satisfação

e reconhecimento de seus direitos e deveres.

Para que isso, de fato, se torne viável, concordamos com Kooro (2006)

quando ela afirma que ao elaborar uma proposta curricular deve se levar em conta

as experiências de vida, as características e expectativas do educando, além da

valorização e a formação do corpo docente.

Sabemos que a sociedade em que vivemos não é estática pois o mundo vive

em constante transformação e, portanto, todo o sistema de educação também, pois

a Educação é a base da nossa sociedade, seja ela ocidental ou oriental, cristã ou

não.

A liberdade é um bem supremo, porém é negado em muitos governos,

juntamente com a educação. Algumas sociedades têm acesso à mais moderna

tecnologia enquanto outros ainda estão “na era pré-cristã”

Quanto à Educação de Jovens e Adultos, EJA, Barcelos (2010, p. 25),

comenta sobre a dicotomia histórica estabelecida em que de um lado pensa-se a

formação para o trabalho e, de outro, enfoca-se “a formação de caráter mais geral

que é inerente ao processo educacional escolar”.

Estas ainda são questões atuais e discutidas ainda hoje, que influenciam

diretamente na construção dos currículos escolares dos diversos segmentos e que

permeiam os fundamentos que orientam os planejamentos das políticas públicas na

EJA.

3.2 ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA A EJA

Como não existe um documento especial para a EJA, o currículo que vem

sendo utilizado na Educação de Jovens e Adultos é baseado no que já existe para a

Educação Básica, com referências na LDB e nos PCNs.

Segundo Barcelos (2010, p. 25) “em função das especificidades inerentes ao

grupo de educandos(as) desta modalidade, dever-se-ia ter um currículo

especialmente pensado para a EJA”. No entanto, aponta para o fato de que em sua

42

maciça maioria o currículo denominado “especial” para a Educação de Jovens e

Adultos é de ordem técnica instrumental.

Pensa-se na estrutura de cargas-horárias das disciplinas, nos processos

avaliativos dos conteúdos e que “se deve elaborar os conteúdos a partir da realidade

dos educandos”, mas não se propõem à discussão do que ligado ao como, e dos

conteúdos às formas de aplicabilidade.

A critica do autor (Barcelos, p. 35) está na priorização dos conteúdos e não

na forma de lidar com eles, na preocupação e valorização do quê, em detrimento do

como na elaboração dos currículos. Diz ainda sobre a necessidade de agregarmos

às nossas diretrizes curriculares e às práticas pedagógicas a dimensão que, para o

autor, é prioritária, que é a dimensão da afetividade, do cuidado, da amorosidade.

Para isso, o currículo a ser elaborado para a EJA deve ser lido, interpretado e

construído envolvendo todos os autores que participam do processo educativo de

forma conjunta e permanente, que não seja pautado pelo método, pelo tecnicismo,

para atender somente à inserção do individuo ao mundo do trabalho, mas ao das

idéias, da afetividade, das relações.

Kooro e Lopes em seu artigo sobre “As perspectivas curriculares do

conhecimento matemático na educação de jovens e adultos” afirmam que :

“A escola deve preocupar–se em desenvolver um currículo que considere as experiências de vida que tanto podem contribuir para o processo de aquisição do conhecimento e proporcionar uma aprendizagem significativa e relacionada a cultura dos alunos da EJA – um processo que valorize suas relações interconceituais e suas interpretações pessoais”.( 2007, p. 101).

Também nesse seu artigo, as autoras, citam que:

“Em razão da frequente redução de tempo dos cursos da Educação de Jovens e Adultos (EJA), as instituições e os professores se veem muitas vezes, obrigados a fazer uma redução de conteúdos entre os já selecionados nos currículos da escola “regular” (2007, p. 99).

Lembramos que a estrutura curricular da EJA se dá na metade do tempo da

escola “regular”, ou seja, cada semestre da EJA corresponde a um ano letivo do

ensino tradicional, exigindo que o currículo do Programa seja adequado por síntese

de conteúdos e, por vezes, por supressão de alguns tópicos, o que pode dificultar a

aprendizagem.

Além disso, como vimos na análise do material utilizado na EJA pesquisada, a

quantidade de exemplos e exercícios de cada conteúdo é mínima, sendo que a

43

disciplina de Matemática necessita que os alunos aprendam os conceitos

trabalhados, aplicando esses saberes através de situações-problema.

Porém, de acordo com o MEC, entendemos que o Saber Matemático torna-se

cada vez mais necessário no mundo atual, em que se generalizam tecnologias e

meios de informações baseados em dados quantitativos e espaciais em diferentes

representações.

Portanto, faz-se necessária a elaboração de um currículo específico para a

EJA, em que, de acordo com Barcelos, (2010), deveríamos focar algumas questões

básicas:

Como seria esse currículo?

Quem seriam os artífices dessas propostas?

Quais seriam os conteúdos básicos e em que eles se diferenciariam das

demais modalidades da educação, regular ou profissional? (p.30)

Além de que a Matemática é o alicerce para construção de conhecimentos de

outras áreas do currículo como Ciências Exatas, Naturais e Sociais, bem como nas

diversas formas de comunicação e expressão.

A Matemática, no ensino fundamental, deve nortear de forma equilibrada, o

papel formativo onde se dá o desenvolvimento de capacidades intelectuais

fundamentais para a estruturação do pensamento e do raciocínio lógico e também o

papel funcional que desenvolve as aplicações na vida prática e nas resoluções de

problemas do cotidiano ou profissional

3.3 O ENSINO DA MATEMÁTICA NA EJA

Sabe-se que o conhecimento matemático auxilia o adulto a participar dos

processos tecnológicos que regem a sociedade no século XXI. Assim, as

competências para o ensino de matemática exigidas tanto pelo novo ENEM (2009),

quanto pelo ENCCEJA, estão voltadas à utilização de textos do cotidiano do aluno

de forma que este, ao exercer sua cidadania, seja capaz de externar suas opiniões

com argumentos que sejam matematicamente consistentes. Elas também estão

voltadas ao desenvolvimento do raciocínio, tanto o combinatório como o

probabilístico, bem como ao tratamento da informação (Murrie, 2002).

44

Segundo o documento do ENCCEJA, para atuar na sociedade tendo a

Matemática como instrumento de mediação, o cidadão necessita desenvolver

habilidades que o capacitarão com determinadas competências.

Considerando que a Matemática desenvolve, assim como as demais áreas do

conhecimento, os eixos cognitivos: domínio da linguagem, compreensão de

fenômenos, solução de problemas, construção de argumentação e elaboração de

propostas, o conhecimento matemático construído na suplência pelo aluno deve

levá-lo a perceber a importância do domínio dessa ciência para responder às

questões do seu cotidiano e auxiliá-lo a encontrar soluções para os problemas da

sociedade em que vive.

Assim sendo, esse documento organiza as indicações a partir das

competências e habilidades a serem desenvolvidas no Programa EJA na área de

Matemática.

Esses cinco eixos e suas competências estão assim divididos:

Domínio de Linguagem (DL) – seu objetivo é levar o aluno a dominar a norma culta da língua portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica. Construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas.

Compreensão de Fenômenos (CF) – seu objetivo é levar o aluno a construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas.

Solução de Problemas (SP) – seu objetivo é levar o aluno a selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas para tomar decisões e enfrentar situações-problema.

Construção de Argumentação (CA) – seu objetivo é levar o aluno a relacionar informações, representadas em diferentes formas e conhecimentos disponíveis em situações concretas para construir argumentação consistente.

Elaboração de Proposta (EP) – seu objetivo é levar o aluno recorrer aos conhecimentos desenvolvidos para a elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sócio-cultural. (ENCCEJA; MEC/INEP, 2003, p. 146/147)

A seguir, apresentamos a tabela que resume, para cada eixo cognitivo, a

competência da área de matemática relacionada ao conhecimento de números

racionais, qual seja a competência M1 – Construir significados e ampliar os já

existentes para os números naturais, inteiros, racionais e reais.

Na tabela descreve-se por H as habilidades.

45

M1 – Construir significados e ampliar os já existentes para os números naturais, inteiros,

racionais e reais. DOMÍNIO DE

LINGUAGEM COMPREENSÃO DE

FENÔMENOS SOLUÇÃO DE

PROBLEMAS CONSTRUÇÃO DE

ARGUMENTAÇÃO ELABORAÇÃO DE

PROPOSTA

H11 -

IDENTIFICAR, INTERPRETAR E

REPRESENTAR

OS NÚMEROS

NATURAIS, INTEIROS,

RACIONAIS E

REAIS.

H12 –

CONSTRUIR E

APLICAR CONCEITOS

DE NÚMEROS

NATURAIS, INTEIROS,

RACIONAIS E REAIS, PARA EXPLICAR

FENÔMENOS DE

QUALQUER

NATUREZA

H13 –

INTERPRETAR

INFORMAÇÕES E

OPERAR COM

NÚMEROS

NATURAIS, INTEIROS,

RACIONAIS E REAIS, PARA TOMAR

DECISÕES E

ENFRENTAR

SITUAÇÕES-PROBLEMA

H14 –

UTILIZAR OS

NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS

E REAIS, NA

CONSTRUÇÃO DE

ARGUMENTOS SOBRE

AFIRMAÇÕES

QUANTITATIVAS DE

QUALQUER NATUREZA

H15 –

RECORRER A

COMPREENSÃO

NUMÉRICA PARA

AVALIAR

PROPOSTAS DE

INTERVENÇÃO

FRENTE A

PROBLEMAS DA

REALIDADE

Tabela 2 - M1 nos Eixos Cognitivos (INEP), p. 147.

Ou seja, nas cinco competências básicas do Ensino, que são comuns a todas

as áreas do conhecimento, quanto à competência da área de matemática M1 – que

envolve os números racionais – são desenvolvidas as habilidades H11 a H15 da

Matriz Curricular do ENCCEJA.

O conhecimento matemático é fator imprescindível para que o cidadão possa

desenvolver a habilidade de avaliar.

Porém, segundo Pantoja e Silva (2007), os alunos da EJA ao se defrontarem

com o ensino da matemática são submetidos a um evidente processo de exclusão

dessa disciplina, pois, além de se tratar de uma ciência temida pela maioria das

pessoas, a forma abstrata e distante da realidade como vem sendo apresentada, faz

com que sua compreensão seja destinada a poucos.

Vale salientar que os alunos devem ser submetidos às provas do ENEM ou do

ENCCEJA ou da própria Instituição, caso esta tenha a autorização do MEC para

fornecer a certificação.

Para que o aluno, quer seja ele criança, jovem ou adulto, adquira confiança

ao aprender Matemática é necessário que o professor desperte sua auto-estima por

meio de atividades diferenciadas e com dificuldades gradativas que permitam a ele

se perceber capaz de encontrar as soluções dos problemas propostos.

Dessa forma, o aluno poderá se sentir estimulado a aprender mais, estímulo

este que poderá permitir-lhe superar as dificuldades antigas que talvez o tenham

impedido de seguir os estudos matemáticos.

46

Para amenizar esse quadro, há a necessidade de que os professores utilizem

as experiências de vida dos alunos, para auxiliá-los na interpretação das situações

problema que lhe são apresentadas.

Além disso, os professores devem fazer a “análise dos procedimentos por

eles utilizadas para essa resolução” (Araujo, 2010) de tal modo a compreender as

diferentes formas de pensamento dos alunos, a fim de orientá-los no caminho da

resolução.

Segundo Araujo (2010), a representação de uma situação-problema na língua

materna acessível é muito importante: ”a familiaridade que o sujeito possui com o

gênero discursivo enunciado de problemas matemáticos está ligada à interpretação

necessária à resolução de problemas” (p.200). Isso implica dizer que a leitura de um

problema cujo vocabulário seja inacessível ao aluno faz com que sua compreensão

seja inadequada para a escolha da resolução que o leve à solução da situação-

problema.

O autor enfatiza que o professor desse segmento deve estar atento também

ao vocabulário utilizado durante as aulas e na resolução dos problemas. Essa

preocupação não significa que o professor deva restringir seu vocabulário ao do

aluno, mas sim que ele deve procurar incrementá-lo paulatinamente.

3.4 NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA FRACIONÁRIA

Para o aluno da EJA, que em geral é um adulto, o ensino de números

racionais deve priorizar a possibilidade dele se apropriar desse conteúdo sobre

números racionais na forma fracionária, quer seja a partir da reconstrução do

significado de frações já anteriormente visto quando cursava a escola regular ou,

então, através da construção desse novo conhecimento de número fracionário que

lhe permita utilizá-lo na sua vivência pessoal de maneira mais adequada.

Os conteúdos requeridos que são discutidos no Ensino Fundamental II e

Médio com os alunos da EJA em relação às frações têm por objetivo:

construir significados e ampliar os já existentes para os números inteiros e

racionais

identificar, interpretar e representar os números naturais, inteiros e

racionais

47

construir e aplicar conceitos de números naturais e racionais para

explicar fenômenos da natureza8,

Em concordância com as habilidades citadas anteriormente, os PCNs

propõem que sejam desenvolvidos os seguintes conteúdos relacionados ao tema

“números racionais” na representação fracionária:

• Compreensão e utilização das regras do sistema de numeração decimal, para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de grandeza. • Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela observação da posição dos algarismos na representação decimal de um número racional. • Extensão das regras do sistema de numeração decimal para compreensão, leitura e representação dos números racionais na forma decimal. • Comparação e ordenação de números racionais na forma decimal. • Localização na reta numérica, de números racionais na forma decimal. • Leitura, escrita, comparação e ordenação de representações fracionárias de uso frequente. • Reconhecimento de que os números racionais admitem diferentes (infinitas) representações na forma fracionária. • Identificação e produção de frações equivalentes, pela observação de representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas. • Exploração dos diferentes significados das frações em situações problema: parte-todo, quociente e razão. • Observação de que os números naturais podem ser expressos na forma fracionária. • Relação entre representações fracionária e decimal de um mesmo número racional. • Reconhecimento do uso da porcentagem no contexto diário. (PCN, 1997, p.58)

Segundo os PCNs, ao final do segundo ciclo, espera-se que o aluno tenha

adquirido a competência de resolver problemas utilizando-se dos conhecimentos

relacionados aos números naturais e racionais às medidas e aos significados das

operações além de produzir estratégias de resolução e cálculo sabendo justificar os

processos de solução utilizados:

Espera-se que o aluno resolva problemas utilizando conhecimentos relacionados aos números naturais e racionais (na forma fracionária e decimal), às medidas e aos significados das operações, produzindo estratégias pessoais de solução, selecionando procedimentos de cálculo em função da situação proposta (PCN, 1997, p.62)

Segundo Garcia Silva (2004), os PCNs sugerem que a forma de abordagem

dos números racionais é a exploração de situações-problemas que permitam aos

8

Livro Introdutório Documento Básico, ENCCEJA, Exame Nacional de Certificação de Competências de Jovens e Adultos, INEP Ministério da Educação, Brasília,2003, pág. 146 e 152.

48

alunos perceber que os números naturais não são suficientes para resolvê-las e que

há a necessidade de outras formas de representações numéricas.

Os PCNs (1997, p 64) afirmam que: “A prática mais comum para explorar o

conceito de fração é a que recorre a situações em que está implícita a relação parte-

todo”.

Dessa forma, buscamos explorar nesta pesquisa também tal relação, a fim de

verificar os saberes matemáticos que os alunos da EJA construíram a respeito de tal

conceito.

49

4 MÉTODO

A pesquisa empreendida é de caráter qualitativo, exploratória e se

caracteriza, segundo Gil (1999, p.71), como sendo um “levantamento” de

“conhecimento da realidade”, o qual - ao abordar diretamente as pessoas - permite

que os dados obtidos sejam mais próximos da realidade que está sendo buscada,

sem que haja interferência dos aplicadores. O nosso objetivo foi investigar os

saberes sobre os significados de números fracionários que os alunos da EJA

construíram ao longo da vida escolar.

4.1 CENÁRIO DA INVESTIGAÇÃO

O cenário desta pesquisa foi o curso de Alfabetização e Educação de Jovens

e Adultos (EJA) de uma Instituição particular centenária e filantrópica situada na

cidade de São Paulo9 e nesta seção apresentamos o Programa de Educação de

Jovens de Adultos, contexto no qual o curso está imerso e a caracterização da

unidade de EJA.

A Instituição oferece os cursos de Alfabetização, Ensinos Fundamental e

Médio nos períodos: matutino, tarde e noturno. Devemos esclarecer que o curso de

EJA dessa Instituição, até o momento, possui somente autorização do MEC para

funcionar. Sua certificação está em processamento junto ao MEC. Assim os alunos

da EJA pesquisada obtêm a certificação por meio de aprovação em exames oficiais

como por exemplo o ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) e o ENCEJA (Exame

Nacional para Certificação de Competências de Jovens e Adultos) que ocorrem

durante o ano.

Vale enfatizar que entre a Educação Básica desenvolvida no ensino regular e

o ensino no Programa EJA existem diferenças. Uma das mais expressivas é que, no

curso de EJA, o tempo do ano letivo é diferente, cada ano escolar do ensino regular

corresponde a um semestre da EJA.

9 A pesquisadora atua como professora dessa unidade de EJA da Instituição cujo nome será mantido

em sigilo para resguardar o anonimato.

50

4.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Para atingir nosso objetivo de pesquisa, qual seja, investigar os saberes sobre

números fracionários de alunos da EJA, os procedimentos foram os seguintes:

1) Estudos teóricos e bibliográficos sobre o Programa de Educação de Jovens

e Adultos brasileiro;

2) Estudos sobre as investigações em Educação de Matemática que abordam

números fracionários e seus significados, de modo a nos apropriarmos dos

resultados e principais conclusões;

3) Pesquisa de campo, realizada com base em questionário elaborado por

Terezinha Nunes dentro do Projeto “A apropriação de um novo modelo para o

ensino de frações por professores da terceira e quarta séries do Ensino

Fundamental” (COPI 2009-294, UNIBAN/ University of Oxford, 2009), devidamente

traduzido e adaptado por nós para adequação ao contexto de aplicação.

O objetivo desse Projeto maior é analisar as adaptações necessárias à

passagem de resultados de pesquisa para a sala de aula e promover novas

estratégias de ensino dos números racionais na forma fracionária nos anos iniciais

do Ensino Fundamental no Brasil.

Os objetivos específicos incluem:

comparar o desempenho dos alunos brasileiros dos anos iniciais do

Ensino Fundamental com alunos de outros países, quanto ao

reconhecimento do invariante equivalência e ordem relativos ao

significado quociente,.

analisar a compreensão dos alunos na resolução de problemas

envolvendo o significado quociente na sala de aula bem como a

atuação dos professores desses alunos ao lidarem com problemas de

frações em situações quociente.

elaborar tarefas adequadas à realidade brasileira para serem

resolvidas em classe pelos alunos.

sistematizar os resultados do Projeto de maneira a subsidiar os

professores do Ensino Fundamental quanto à abordagem de frações

em situações quociente.

Os procedimentos na pesquisa estão resumidos a seguir na figura 3-A :

51

PROCEDIMENTOS NA PESQUISA

APLICAÇÃO DO

QUESTIONÁRIO

(12/2009)

CORREÇÃO DO

QUESTIONÁRIO

(01/2010)

TABULAÇÃO DOS

RESULTADOS

REPLANEJAMENTO

DO CURSO

(1º SEM 2010)

ANÁLISE GERAL

DO DESEMPEMHOS

DOS ALUNOS

(01/2010)

ADAPTAÇÃO DO

QUESTIONÁRIO

(para Português)

ANÁLISE

ESPECÍFICA DOS

RESULTADOS

(1º SEM. 2011)

CONSIDERAÇÕES

FINAIS

(1º SEM. 2011)

ELABORAÇÃO PROVAS

DIAGNÓSTICAS PARA

ALUNOS INGRESSANTES

(1º e 2º Sem 2011)

Analisando a figura, notamos que a tabulação dos dados, gerou duas frentes

de trabalho: o da pesquisa propriamente dita e a reavaliação do planejamento dentro

da EJA pesquisada o que levou à implantação de novas técnicas de didáticas dentro

dessa Instituição.

4.3 INSTRUMENTO DE COLETA DE DADOS

O instrumento para a coleta de dados dessa investigação foi o questionário

diagnóstico sobre frações de Nunes (2010)10, utilizado no Projeto maior do qual esta

pesquisa faz parte. Para aplicá-lo no Brasil, a apresentação e as dezenove questões

foram traduzidas para o português e adaptadas por nós para o contexto educacional

em estudo. Tanto o questionário original como a versão aplicada e suas questões,

encontram-se nos Apêndices A e B. O questionário foi configurado em dez folhas,

frente e verso.

O questionário é composto por um cabeçalho de dados pessoais como nome,

data de nascimento e ano de escolaridade e mais dezenove questões, subdivididas

em várias partes, que possibilitam averiguar os conhecimentos sobre números

fracionários de alunos do curso da EJA pesquisada.

10

A quem agradecemos a autorização para a aplicação. A obra citada encontra-se no prelo.

Figura 3-A – Resumo dos Procedimentos na Pesquisa

52

As dezenove questões enfocam dois significados de frações, a saber, parte-

todo e quociente somente como representação ou então focados nos invariantes, e

também questões versando tanto sobre os invariantes de ordem e equivalência

quanto sobre representação. Além disso, vale destacar que uma das questões (a

quinta) é subdividida em quatro partes.

Assim sendo, o questionário, para efeito de aplicação e análise, foi por nós

subdividido em 22 itens. Algumas questões são de múltipla escolha e outras

admitem respostas diretas e/ou respostas pessoais.

Pretendemos com esta pesquisa diagnosticar saberes de alunos da EJA

sobre números racionais na forma fracionária quanto aos significados parte-todo e

quociente e os invariantes de equivalência e ordem.

4.4 A PESQUISA DE CAMPO

A pesquisa de campo constou de aplicação do questionário realizada em

duas aulas seguidas de quarenta e cinco minutos, totalizando noventa minutos de

aplicação. Os critérios de inclusão dos alunos no estudo foram: alunos presentes na

data de aplicação do questionário e que consentiram em respondê-lo. A autorização

encontra-se no Anexo 1. Os alunos foram agrupados de forma que alunos de vários

anos estivessem em um mesmo espaço físico (mesma sala).

Os alunos foram convidados a participar e responderam voluntariamente após

se inteirarem dos objetivos da pesquisa. Em cada sala, após entregar os

questionários aos alunos contendo as questões sem o enunciado, a docente leu as

perguntas uma por vez (tais questões lidas, tal qual foram lidas, encontram-se no

Apêndice C), aguardou que todos os alunos a respondessem, somente após isso

indo à questão seguinte.

O questionário foi aplicado aos alunos em um único dia, tanto no período

matutino como no noturno, sem conhecimento prévio por parte dos alunos de que

haveria a aplicação. O total de alunos foi de 114 alunos assim divididos: 27 alunos

do 6º ano do Ensino Fundamental, sendo 5 do período matutino e 22 do período

noturno; 8 alunos do 7º ano do Ensino Fundamental do período matutino; 21 alunos

do 9º ano Ensino Fundamental; 27 alunos do 1º ano do Ensino Médio sendo 11

alunos do período matutino e 16 do noturno; 23 do 2º ano do Ensino Médio sendo 9

sendo período matutino e 14 do noturno, e 8 do 3º ano matutino do Ensino Médio.

53

A primeira questão pedia os dados pessoais e as dezenove demais

abrangiam questões envolvendo frações, que necessitavam ser completadas ou

respondidas adequadamente.

Das vinte e duas questões aplicadas, foram desconsideradas para efeito da

análise nesta pesquisa, três das questões, de números 9, 11 e 15, por terem

apresentado falhas diversas, seja pela tradução e/ou pela adaptação ao contexto.

O quadro abaixo expõe um resumo com os números das questões e os

respectivos significados e os invariantes a eles associados.

REPRESENTAÇÃO EQUIVALÊNCIA ORDEM

PARTE-TODO 4 , 5a, 6 2, 5b, 5c, 5d,10,18 16,17

QUOCIENTE 1 , 13 3, 7, 19

EQUIVALÊNCIA 12; 14

ORDEM 8

Tabela 3 - Divisão das Questões

A seguir apresentamos os objetivos de cada uma das questões do

questionário, o qual tinha por intuito verificar se o estudante compreende os

significados e os invariantes.

Questão 1 Esta pizza tem que ser dividida para estas 5 meninas. Que fração da

pizza cada uma receberá? Escreva sua resposta no quadradinho.

1

Figura 4 - Primeira questão

54

Essa questão aborda o significado quociente porque são duas variáveis: uma

pizza e (paras as) cinco meninas. Ela solicita a representação do quociente.

A resposta correta é 5

1.

Questão 2 Enzo e Vitório ganharam chocolates do mesmo tamanho. Enzo repartiu

o seu chocolate em 3 partes iguais e comeu uma. Vitório repartiu o seu chocolate em

6 partes iguais e comeu duas.

ENZOVitorio

2

chocolate chocolate

porqueEnzo come mais

Vitorio come mais

Ambos comem a mesma quantia

Figura 5 - Segunda questão

A questão aborda a invariante equivalência no significado parte-todo.

Enzo dividiu um chocolate em três partes iguais e comeu uma, 3

1, e Vitório

dividiu seu chocolate em seis partes iguais e comeu duas, 6

2ou

3

1.

A resposta correta é a terceira, “ambos comem a mesma quantia”, porque as

frações são equivalentes, o que quer dizer que, apesar das escritas fracionárias

serem diferentes, as quantias são iguais.

O aluno tem que justificar dizendo que as frações são equivalentes ou que

representam a mesma quantidade.

Questão 3 Temos 2 grupos de jovens. No primeiro, as 4 garotas repartem o bolo

em partes iguais. No segundo, os 8 garotos repartem em partes iguais os 2 bolos

iguais aos das meninas.

a) Que fração do bolo cada garota comeu?

b) Que fração do bolo cada garoto comeu?

c) Assinale a resposta correta no quadradinho correspondente

55

Cada garota come a mesma quantia de torta que cada rapaz

Cada garota come mais torta que cada rapaz

Cada rapaz come mais torta que cada garota

3

Figura 6 - Terceira questão

Das alternativas apresentadas, a resposta correta é a primeira, porque as

frações são equivalentes, o que quer dizer que ambas as quantias são iguais,

apesar das escritas numéricas fracionárias serem diferentes, ou seja, 4

1e

8

2

representam a mesma quantidade.

Essa questão aborda o invariante equivalência no significado quociente, pois

são duas variáveis. Para as quatro meninas, temos uma torta para dividir entre elas,

a resposta correta é 4

1; para os oito meninos, temos duas tortas para dividir entre

eles, a resposta correta é 8

2 ou

4

1.

Questão 4 Você acha que este círculo está cortado em duas metades?

a) Assinale sim ou não.

b) Explique a sua resposta.

56

SIM

NÃO

porque

.

4

Figura 7 - Quarta questão

Essa questão aborda o significado parte-todo: um inteiro dividido em duas

partes de tamanhos diferentes. Solicita-se ao aluno que justifique sua resposta, de

forma a que possamos identificar seu raciocínio.

A resposta correta é não, porque as duas partes são de tamanho diferentes.

Vale a pena enfatizar que outras justificativas pessoais poderão ser encontradas.

Questão 5 Pinte dois terços de cada uma dessas figuras

5

Figura 8 - Quinta questão

57

Essa questão aborda no primeiro desenho o significado parte-todo de dois

terços do retângulo que está dividido em três partes iguais. Para respondê-la

corretamente, o aluno deve pintar duas dessas partes para simbolizar 3

2; os demais

desenhos abordam o invariante equivalência de frações. No segundo desenho, o

hexágono está dividido em seis partes iguais e a resposta correta é pintar quatro

dessas partes 6

4. O terceiro desenho apresenta a figura dividida em seis partes

iguais e a resposta correta é pintar quatro dessas partes 6

4. A última figura está

dividida em nove partes iguais e a resposta correta é pintar seis dessas partes 9

6.

À exceção do retângulo, os demais desenhos procuram verificar se o aluno

realmente domina o significado equivalência pois, apesar dessas figuras estarem

divididas em partes iguais, elas estão cortadas de maneira totalmente diferentes.

Questão 6 Essa caixa contém 12 ovos dos quais cinco estão quebrados

a) Como você escreveria a fração que representa a quantidade de ovos

quebrados? Escreva a sua resposta no 1º quadradinho

b) Como você escreveria a fração que representa a quantidade de ovos não

quebrados? Escreva a sua resposta no 2º quadradinho.

58

Quebrados

NãoQuebrados

6

Figura 9 - Sexta questão

Essa questão aborda o significado parte-todo. A caixa contendo os doze ovos

representa o inteiro. A primeira pergunta pede que o aluno escreva a representação

numérica fracionária dos cinco ovos quebrados contidos na caixa e a resposta

correta do primeiro quadradinho, 12

5, é uma resposta direta. A segunda pergunta

pede a representação numérica fracionária dos sete ovos inteiros contidos na caixa

e exige que o aluno subtraia mentalmente os cinco ovos quebrados do total dos

doze e encontrasse a diferença de sete ovos inteiros; a resposta correta do segundo

quadradinho é 12

7.

Questão 7 Agora temos dois grupos de crianças. No primeiro grupo, 3 meninos

estão repartindo igualmente uma pizza. No segundo grupo nove meninas também

estão repartindo igualmente três pizzas idênticas à das meninas.

a) Que fração de pizza cada garoto comeu? Escreva sua resposta no

quadradinho correspondente

b) Que fração de pizza cada garota comeu? Escreva sua resposta no

quadradinho correspondente.

c) Qual dessas três está correta? Assinale o quadradinho da resposta que

você considera corretas.

59

Cada rapaz come a mesma quantia de torta que cada garota



7

Figura 10 - Sétima questão

Essa questão aborda o invariante equivalência no significado quociente

porque envolve dividir igualmente uma pizza para três rapazes fantasiados de índios

e dividir igualmente três pizzas entre nove garotas.

Exige do aluno saber representar numericamente as frações correspondentes

às quantidades de pizza que cada um dos rapazes e cada uma das garotas

comeram, bem como saber que, embora escritas de maneiras diferentes, estas duas

frações representam uma única quantidade.

A resposta correta da segunda pergunta pode ser 9

3 ou

3

1de pizza para cada

uma das garotas.

A resposta correta das alternativas é a primeira, porque as frações são

equivalentes, o que quer dizer que ambas as quantias são iguais, apesar das

escritas numéricas fracionárias serem diferentes, ou seja, 3

1e

9

3representam a

mesma quantidade de pizza.

Questão 8 Circule a maior fração de cada um dos três pares. Siga o exemplo.

60

Figura 11 - Oitava questão

Essa questão aborda:

– (item a) o invariante de ordem, através da comparação de duas frações de

inteiros divididos em sete partes iguais cada um, a primeira fração representa três

pedaços do inteiro, 7

3 , e a segunda fração ,

7

5, representa cinco pedaços do inteiro,

assim como cinco pedaços são mais que os três pedaços iguais a cada um dos

outros três anteriores, a resposta correta é 7

5;

– (item b) o invariante de ordem, através da comparação de duas frações de

inteiros divididos em número de partes diferentes cada um enquanto as quantidades

tomadas de cada um dos inteiros é o mesmo. O questionamento desse item é verificar

se o aluno compreendeu que, como as divisões iguais dos inteiros são diferentes,

implica que será maior a fração que, apesar de serem três as quantidades iguais

tomadas (numerador) em cada fração, será maior a fração que estiver dividida em

quantidade menor de partes, pois seus pedaços serão maiores. Assim as partes da

fração 5

3 são menores que da segunda fração

4

3, portanto a resposta correta é

4

3;

– (item c) os invariantes de ordem através da comparação entre duas frações

que têm tanto os numeradores (número superior da fração) como os denominadores

(número inferior da fração) diferentes sendo que um denominador é o dobro do

outro. Assim, o aluno deverá perceber que o numerador da fração que possui maior

1 3

4 4

a) 3 5

7 7

b) 3 3

5 4

c) 1 3

5 10

Exemple

8

Exemplo

61

denominador deveria ser dois, para ser equivalente à outra, porém é três que é

maior que dois. Como três é maior que dois, a resposta correta é 10

3.

Questão 10 Pedro e José ganharam cada um, uma barra de chocolate do mesmo

tamanho. Pedro partiu a sua em 8 pedaços iguais e comeu 2. José partiu a sua em 4

pedaços iguais e comeu 1.

a) Qual das três sentenças é a correta? Assinale dentro do quadradinho a

resposta que você considera correta,

b) Explique o porquê da sua resposta

Pedro José

porquePedro come mais

José come mais


chocolate chocolate

10

Figura 12 - Décima questão

Essa questão aborda o invariante equivalência no significado parte-todo.

Pedro dividiu um chocolate em oito partes iguais e comeu duas, sendo que a fração

representativa dessa situação é 8

2ou

4

1 , enquanto José dividiu seu chocolate em

quatro partes iguais e comeu uma, 4

1.

A resposta correta é a terceira, e o aluno tem que justificar dizendo que as

frações são equivalentes ou que representam a mesma quantidade.

62

Questão 12 Complete os quadradinhos com o número que falta de maneira a tornar

corretas as igualdades.

=1

3

2a)

=5

10

c)

30

=4

12

1e)

=6

8

3b)

=2

3

d)

15

12

Figura 13 - Décima segunda questão

Essa questão aborda o invariante equivalência em cada um dos cinco itens

através da comparação de duas frações que têm tanto os numeradores como os

denominadores diferentes entre si, sendo que:

No item a), um numerador é o dobro do numerador da outra fração; logo, na

resposta, o denominador também deve ser o dobro do anterior. Assim sendo, a

resposta é 6.

No item b), um numerador é a metade do numerador da outra fração; logo, na

resposta, o denominador também deve ser a metade e a resposta é 4.

No item c), um denominador é o triplo do denominador da outra fração; logo,

na resposta, o numerador também deve ser o triplo e a resposta é 15.

Analogamente, no item d), o denominador é o quíntuplo do denominador da

outra fração; logo, o numerador também deve ser o quíntuplo e a resposta é 10.

Finalizando, no item e), o numerador é a quarta parte do numerador da outra

fração; logo, o denominador também deve ser a quarta parte e a resposta é 3.

Questão 13 As três barras de chocolate serão repartidas igualmente entre as cinco

crianças. Qual a fração da barra de chocolate cada criança receberá? Escreva a sua

resposta no quadradinho.

63

chocolate

chocolate

chocolate

13

Figura 14 - Décima terceira questão

A questão aborda o significado quociente, pois são duas variáveis. Temos

três chocolates para serem divididos em partes iguais entre as cinco crianças. Ou

seja, cada uma receberá 5

3 de chocolate; sendo assim, cada chocolate será dividido

em cinco partes iguais e cada criança receberá três pedaços.

A resposta correta é 5

3.

Questão 14

a) Qual é o número que serve no lugar do quadradinho vermelho? Escreva

sua resposta dentro do primeiro quadradinho

b) Qual é o número que serve no lugar do quadradinho azul? Escreva sua

resposta dentro do segundo quadradinho.

2 10

7 14

14

Figura 15 - Décima quarta questão

64

Essa questão aborda o invariante de equivalência através da comparação

tripla de frações que têm tanto os numeradores como os denominadores diferentes,

sendo que na segunda fração, o denominador é dobro do outro; logo, o numerador

também tem que ser o dobro e a resposta é 4; na terceira fração, o numerador é o

quíntuplo do outro, logo o denominador também tem que ser o quíntuplo e a

resposta é 35.

Questão 16 Carolina e Rafael tem cada um seu cofrinho onde guardam o dinheiro

que ganham. Carolina costuma gastar 4

1do seu dinheiro, enquanto Rafael gasta

2

1

do seu11.

a) Você acha que Carolina gasta mais que Rafael? Assinale sua resposta no

quadradinho correspondente;


Sim

Não

porque

Carolina Rafael

16

Figura 16 - Décima sexta questão

Essa questão aborda o significado parte-todo, utilizando o invariante de

ordem através da comparação das duas frações que representam a quantidade que

Carolina gastou 4

1

do seu dinheiro, e Rafael gastou

2

1 do seu dinheiro.

11

Durante a aplicação foi explicado aos alunos que, tanto Carolina como Rafael, possuíam quantias iguais de dinheiro em seus cofrinhos.

65

O objetivo da questão foi verificar se o aluno domina a comparação de

frações.

Tais frações têm ambas numeradores unitários, porém os denominadores são

diferentes. Assim, o aluno deverá perceber que se os numeradores são iguais,

então, quanto maior o denominador, menor será a quantidade representada pela

fração unitária (no caso de um bolo, quanto maior a divisão deste em pedaços,

menor o tamanho de cada pedaço). Assim, a parte correspondente a 4

1é menor que

2

1. Logo, a resposta correta é não e a justificativa é que

4

1

é menor que

2

1.

Questão 17 Uma padaria utiliza 8

3 de farinha para fazer bolos e

8

2da mesma farinha

para fazer pão. Qual a fração de farinha é mais usada? Assinale dentro do

quadradinho essa resposta.

Figura 17 - Décima sétima questão

Essa questão aborda o significado parte-todo, utilizando a invariante de

ordem através da comparação das duas frações 8

3

e

8

2 , cujos numeradores são

diferentes e os denominadores são iguais. Assim, o aluno deverá perceber que

como as frações têm denominadores iguais, o tamanho das partes é o mesmo; logo,

quanto maior o numerador, maior será a quantidade representada pela fração.

66

Assim, a resposta correta é 8

3.

Questão 18 Ana gasta 5

2do dinheiro da sua carteira em doces. Qual a fração de

dinheiro que restou – guardou - na carteira? Assinale dentro do quadradinho essa

resposta. Ela também gasta 10

1 do dinheiro da sua carteira em passagem de

ônibus. Qual a fração de dinheiro que gastou com os doces e a condução? Assinale

dentro do quadradinho sua resposta.

Ela

guardou

Ela gastou

no total

1

10

2

5

18

Figura 18 - Décima oitava questão

Essa questão aborda o significado parte-todo, utilizando a invariante de

equivalência.

O aluno pode desenhar uma barra dividida em cinco partes iguais e pintar

duas que significam 5

2

e que correspondem à quantia que Ana gastou. Como o que

sobrou são as três partes não pintadas, o aluno percebe que Ana guardou 5

3, logo a

resposta é 5

3.

A seguir, o aluno pode dividir esta mesma barra pela metade, aparecendo

assim 10

4 da barra pintados. Como ele precisa de mais

10

1

, que é quanto Ana

67

gastou com a condução, para verificar, ele pode pintar mais um destes dez pedaços

em que a figura ficou dividida. Ao somar todos os pedaços pintados, o aluno poderá

perceber que estes cinco pedaços correspondem à metade da barra.

A resposta é 10

5

ou

2

1 (metade).

Figura 19 - : doces e sobraram da

barra

Figura 20 - condução gastou no total

ou da barra

Questão 19 Quatro crianças repartiram 3 barras de chocolate. Duas delas pegaram

uma metade mais um quarto, enquanto as outras duas pegaram três quartos cada

uma. A quantidade que cada uma delas comeu foi a mesma ou, injustamente,

alguma delas ganhou mais chocolate que as outras três? Assinale a resposta correta

no quadradinho.

Figura 21 - Décima nona questão

Justo

Não justo

Porque

68

Figura 22 - Resultados em fração da 19ª questão

Essa questão aborda o significado quociente, utilizando o invariante de

equivalência. Nessa questão, a proposta é que os meninos peguem 2

1 mais

4

1

do

chocolate e, para representar esta ação, o aluno pode desenhar uma barra dividida

em duas partes iguais e pintar uma parte 2

1, representando assim metade da barra.

A seguir, o aluno pode dividir esta mesma barra em quatro partes iguais e

perceber que, na nova divisão, a metade anterior é representada por duas partes 4

2,

ou seja, 2

1 é equivalente a

4

2.

Assim ele pode pintar mais uma parte da barra 4

1, totalizando três partes

4

3

da barra.

Figura 23 - Resultados da resposta da 19ª questão

O procedimento descrito permite, dessa maneira, ao aluno visualizar que

tanto os meninos como as meninas comeram quantidades iguais. Assim sendo, a

69

resposta correta a ser preenchida no primeiro quadradinho é “Justo”, porque as

quantidades que os meninos e as meninas pegaram são equivalentes.

Na justificativa, o aluno deve responder que as quantias são equivalentes ou

iguais.

70

5 O CURSO DE EJA PESQUISADO

5.1 ANÁLISE DO MATERIAL DIDÁTICO

O material didático utilizado na EJA da Instituição pesquisada, na área de

Matemática, constituía-se por dois livros intitulados: “7 Matérias em 1: Apostilas

Solução” do Interativo Centro Educacional, para o Ensino Fundamental e “9 Matérias

em 1: Apostilas Solução” do Interativo Centro Educacional, para o Ensino Médio.

Os conteúdos específicos programáticos disciplinares ministrados eram os

contidos nesse material, o qual está de acordo com o Programa Oficial da Secretaria

de Estado da Educação de São Paulo.

O livro do Ensino Fundamental abrange sete matérias, a saber: Português,

Inglês, Educação Artística, Matemática, Ciências, História e Geografia, e o do Ensino

Médio contém nove matérias: Português, Inglês, Educação Artística, Matemática,

Física, Química, Biologia, História e Geografia.

O estudo dos números racionais no livro do Ensino Fundamental apresenta-

se nas Unidades de Estudo 2, abrangendo:

FRAÇÕES: CLASSES DE EQUIVALÊNCIA, CONJUNTO Q, (p. 30)

Em seguida, vem a Unidade 3 que abrange:

RAZÕES E PROPORÇÕES (p. 50).

Na figura 4, apresentamos os índices tanto do volume do Ensino

Fundamental, como do Ensino Médio, que nos permitem visualizar como está

distribuído o conteúdo programático de Matemática.

71

Figura 24 – Conteúdo Programático do EF e EM dos materiais didáticos analisados.

Observa-se que o tema Números Racionais é abordado no Ensino

Fundamental na unidade de estudo 2, item 3. Entretanto, vale destacar que a

utilização dos números racionais estende-se por diversos outros tópicos da mesma

apostila, tais como: medidas, porcentagem, regra de três, juros e no próprio cálculo

algébrico, tendo continuidade no livro/apostila do Ensino Médio; além disso, as

frações surgem no decorrer dos mais diversos tópicos de conteúdos da Educação

Básica.

Ao analisarmos os conteúdos do material do Ensino Fundamental,

constatamos que o livro aborda os significados requeridos na nossa pesquisa,

parte-todo e quociente, bem como os invariantes de ordem e equivalência. Porém

percebemos que quando o livro aborda razões não faz menção ao conceito de

quociente de frações de Nunes (2005).

O significado parte-todo é introduzido através do exemplo da barra de

chocolate, enquanto a classificação das frações e os invariantes operatórios

semelhança e ordem se utilizam dos círculos repartidos em partes iguais (pizza).

Notamos também que não tem indicação da leitura da fração com “Avos”.

72

Figura 25 – Exemplo de fração / classe de equivalência.

Verificamos ainda que há pequena quantidade de exercícios para o aluno

resolver. No total, ambas as unidades contêm apenas onze exercícios, o que levou o

corpo docente a preparar material próprio.

Por exemplo, o exercício abaixo é o único que envolve significado e, no caso,

quociente.

Figura 26 – Problema que envolve fração.

O significado Quociente aparece nas frações aparentes representando a

mesma quantia, porém são representadas de maneiras diferentes. Como vemos no

exemplo abaixo, a unidade está representada de maneiras diferentes.

73

Figura 27 - Exemplos de fração aparente.

Os invariantes equivalência e ordem são bem abordados, sendo que o

material destaca o invariante equivalência.

É relevante que os exemplos de equivalência entre frações seja representado

através de desenhos como, no exemplo, as metades das pizzas, para a percepção

de que as partes são iguais, pois quando representamos só numericamente, o fato

de se aumentar ou diminuir tanto os números do numerador como do denominador

pode induzir o aluno a pensar que o valor da fração aumentou ou diminuiu.

74

Figura 28 - Exemplo de frações equivalentes.

É interessante verificar que o material não faz nenhuma menção de que o fato

de simplificar frações é encontrar uma fração equivalente à fração dada.

Figura 29 – Definição de simplificação de fração do material adotado.

Quanto ao invariante ordem, o material o apresenta mais como uma técnica.

metade

75

Figura 30 - Exemplo de comparação de frações.

Na explicação de frações com numerador e denominadores diferentes, o

termo “reduzi-las” não é explicado e, por ser se tratar de EJA, tal abordagem pode

induzir a uma idéia equivocada de que a quantidade representada foi diminuída

(reduzida). Nesse modalidade de educação de EJA, seria interessante que nos

exemplos constassem ilustrações das quantidades representadas.

O exemplo utilizado poderia ter sido feito através de flechas, o que facilitaria a

compreensão da técnica, como mostramos abaixo:

76

Figura 31 – Algoritmo para cálculo de MMC.

Ao apresentar número misto, é utilizado um exemplo em que o processo é

explicado sem ilustração: seria interessante mostrar o processo relacionando o

resultado com a parte inteira, que ainda pode ser dividida. O professor deve abordar

o significado de parte inteira, uma vez que esse tópico não é abordado no material.

Figura 32 - Definição de número misto do material didático.

Pensamos que seria interessante que o material apresentasse uma ilustração

e um exemplo com resolução de problemas.

77

Figura 33 - Transformação de fração imprópria em número misto e vice-versa.

Figura 34 – Comparação de frações.

O tópico razão é abordado rapidamente e, das três razões especiais:

velocidade, escala e densidade demográfica, esta última não é citada.

78

Há necessidade de recordar que quociente significa divisão, retomando que a

operação divisão pode ser escrita em forma de número fracionário.

Figura 35 – Definição de razão do material didático.

É preciso que o professor relacione antecedente com o primeiro número e

consequente com o segundo número, pois, do contrário, o aluno não compreenderá

o conceito da indicação da escrita de razão.

Figura 36 - Exemplos de razão e sua simplificação.

79

Figura 37 – Definição da razão especial: velocidade média.

Figura 38 - Definição da razão especial: escala.

5.2 PERFIL DOS ALUNOS DA EJA PESQUISADA

Julgamos interessante frisar que, além de jovens e adultos, entre os alunos

da EJA da Instituição pesquisada encontram-se vários aposentados que já são avós

e que agora, com os filhos já criados e com uma certa estabilidade financeira, têm o

sonho de cursarem uma faculdade num futuro próximo. Algumas famílias têm pais e

filhos estudando simultaneamente e bem como, avós e netos.

No caso da EJA pesquisada, o gráfico abaixo, das idades dos alunos que

responderam ao questionário, demonstra que mais da metade tinha entre 31 e 50

anos e praticamente um quarto deles, tinha mais de 50 anos ou seja, somente um

quarto dos alunos eram menores de 30 anos, o que nos permite deduzir que no caso

dessa EJA, especificamente, os alunos haviam parado de estudar por uma década

no mínimo.

80

Figura 39 - Gráfico das idades dos alunos que responderam ao questionário

É interessante ressaltar que boa parte desses alunos traz consigo um certo

receio quanto à aprendizagem da Matemática. Pantoja e Silva citam em seu artigo

que

Quando se trata do ensino de matemática, o quadro lastimável de desespero diante dos estudos se agrava e muitos alunos da EJA optam por abandonar a escola ao se sentirem intimidados diante da forma como os conhecimentos lhes são apresentados. (2007, p. 3)

Todavia, vale destacar, que não é o ensino de Matemática que por si só

provoca o abandono escolar dos alunos, mas sim toda uma dinâmica de situações

excludentes existentes na escola e fora dela que necessitam, com urgência, serem

revistas.

Fonseca argumenta que

Não e raro tomar-se o fracasso em matemática como causa da evasão escolar. Por mais infeliz que tenha sido, porém, a experiência ou o desempenho do sujeito no aprendizado da matemática, dificilmente essa acusação, na verdade, procede. Na realidade os que abandonam a escola o fazem por diversos fatores de ordem social, extrapolando as paredes da sala de aula e ultrapassam os muros da escola, (apud Pantoja e Silva, 2007, p.32).

Embora Fonseca argumente sobre a não culpabilidade da Matemática pelos

elevados índices de desistência escolar dos alunos, há os que insistem em julgar

81

essa ciência como a responsável pelos assustadores índices de fracasso escolar na

EJA e é tendo em vista a preocupação com essa conotação que se tem sobre o

ensino de matemática, pensando na melhoria do processo de ensino e

aprendizagem, que novas abordagens metodológicas são elaboradas, entre elas a

engenharia didática, uma das mais recentes vertentes tratadas dentro da didática da

matemática.

O curso apresenta uma alta taxa de evasão dos alunos e os motivos

declarados têm sido:

desmotivação do aluno ao verificar que deverá frequentar o curso por

mais tempo do que imaginava;

dificuldades em comparecer diariamente a EJA por motivo de filhos que

nascem.

Um problema que ocorre com freqüência nos cursos de EJA é a grande

evasão dos alunos durante os semestres. Algumas causas de evasão do curso,

segundo justificativas apresentadas pelos alunos à Instituição para o trancamento da

matrícula durante semestre, são:

surgimento de proposta de trabalho no horário do curso ou horário que

não permite frequentar as aulas;

mudança de casa para um bairro muito distante do local da EJA;

filhos que ficam sem ter quem lhes faça companhia;

doenças de familiares próximos como esposo, esposa, filhos, pais, avós;

dificuldades financeiras para pagar mais uma condução (para o curso) ou

pagar um lanche a mais, entre o trabalho e o curso ou pior, entre ambos;

necessidade de cumprir horas extraordinárias no trabalho, seja por

exigência do patrão ou problemas financeiros particulares;

tomada de consciência da falta de base para prosseguir na aprendizagem.

Essa desistência ocasiona no estudante adulto uma frustração muito grande,

porém boa parte dos desistentes retornam no semestre seguinte, em período diverso.

O aluno que entra no Ensino Fundamental II e no Ensino Médio da EJA,

diferentemente do que ocorre na escola regular, não estuda os conceitos escolares

em sequência.

Isto ocorre porque, além de esse aluno estar fora da escola há vários anos,

quando retoma os estudos na suplência, busca o ano (série) em que havia parado

82

ou, no máximo, retrocede um ano escolar. Assim na EJA, a cada semestre/ano,

parte dos alunos das classes está retomando os estudos, o que torna heterogêneo o

nível de conhecimento adquirido pelos mesmos.

Cabe ao professor de cada disciplina da EJA, a tarefa de resumir ao máximo

os conteúdos programáticos de cada semestre/ano, o que não lhe permite fazer uma

recapitulação completa dos conhecimentos anteriores exigidos, para o novo

conteúdo ser ministrado.

A revisão é superficialmente realizada, nos casos em que o aluno necessita

rever conceitos anteriores ou mesmo aprender o que nunca havia visto antes. No

caso específico do estudo dos números racionais, na forma fracionária, é necessário

retomar constantemente os invariantes de equivalência e de ordem, bem como as

operações com frações, pois frequentemente eles surgem durante a prática de

resolução de exercícios e problemas dos conteúdos do currículo ministrados tanto

no Ensino Fundamental II como no Ensino Médio.

Entendemos que o ato de rever conceitos – ainda que já sistematicamente

estudados - na disciplina Matemática é fundamental para a sequência dos estudos.

5.3 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Apresentamos os resultados obtidos em três etapas:

Na primeira etapa, expomos um quadro geral do teste com a porcentagem do

total de acertos, de erros e de questões em branco.

A segunda etapa apresenta três gráficos de colunas divididos por questões,

com os percentuais de acertos, erros e de questões em branco.

Finalmente, na última etapa, separamos as questões em categorias de acordo

com o seu significado.

Cada questão apresenta um quadro que contém o seu enunciado com um

gráfico de setor que traz o resultado geral das porcentagens dos acertos, erros e em

branco e um gráfico de colunas, por ano escolar, contendo as porcentagens de

acertos e erros.

Salientamos que no gráfico de colunas dos acertos e erros por ano escolar de

cada item, o percentual de erros passa a englobar a soma dos percentuais de

questões respondidas erradas e de questões deixadas sem resposta (em branco), as

quais estavam anteriormente separados no quadro geral de cada item.

83

Destacamos ainda a necessidade de, num primeiro momento, fazer distinção

entre questões erradas e questões em branco.

Apesar de ambas não representarem acertos, o fato de um aluno errar uma

resposta significa que pelo menos esse aluno tentou resolver a questão sem

sucesso, enquanto que, quando o aluno deixa de responder uma questão, não temos

como avaliar qual a razão disso e só podemos especular que talvez ele desconheça

esse conteúdo.

Na terceira etapa, com o intuito de facilitar as comparações dos dados, uma vez que

várias questões se subdividem em itens, algumas das questões foram tratadas em

mais de um gráfico de setor, com os dados gerais desses itens associados ao gráfico

de colunas por ano escolar correspondente.

Primeira Etapa – Resultado Geral do Teste

Iniciamos a primeira etapa de análise apresentando os resultados percentuais

globais de acertos, erros e questões deixadas em branco pelos alunos.

Figura 40 - Gráfico com a porcentagem das 19 questões

Considerando a totalidade de alunos, eles acertaram metade das questões, o

que informa que eles trazem consigo um certo conhecimento do assunto.

Segunda Etapa – Resultados Gerais de Acertos, Erros e Em Branco, por Questão

84

Apresentam-se a seguir os resultados gerais por questão da atividade

aplicada conforme figuras 41, 42 e 43.

A figura 41 refere-se aos acertos por questão. O gráfico foi construído tendo

a porcentagem geral de acertos de cada questão calculada da seguinte maneira:

dividiu-se a quantidade média12 de acertos da questão, multiplicada por 100, pela

soma do número total médio de acertos da questão.

Por exemplo, a questão quatro apresenta 86 acertos médios, sendo a

quantidade média 13 de acertos da prova 851; ao multiplicarmos 86 por 100,

obtemos 8600 como produto e, ao dividi-lo por 851, obtemos 10,1 % como

quociente, que será arredondado para 10%.

Figura 41 - Gráfico de % dos ACERTOS por questão

Queremos salientar que o percentual de acertos de cada uma das questões é

relativo ao total de acertos do questionário.

As oito questões de significado quociente somam 49% de percentual de

acertos, que dividido por oito resulta, aproximadamente, em 6% como média.

12

Como várias questões estavam subdivididas em itens, foi calculada a média aritmética dos acertos dessas questões para efeito da elaboração de um gráfico geral. Assim, a questão 4 está subdividida em dois itens, e o total de acertos é 173. Logo, a média aritmética dos acertos da questão para o cálculo da porcentagem será cento e setenta e três dividido por 2, de que resulta oitenta e seis e meio, que arredondamos para oitenta e seis. 13

E a soma dos dezenove valores médios de acertos do questionário é a soma total de acertos do questionário, que é 851.

85

E como a soma dos percentuais de acertos das cinco questões de significado

quociente é 30%, ao dividir esse percentual por cinco, obtemos também como média

6% de acertos, o que nos leva a concluir que os alunos dominam igualmente os dois

significados.

A soma dos percentuais de acertos das duas questões que abordam o

invariante equivalência somam 9% e, dividindo esse resultado por dois, resulta

4,5% de média de acertos.

Como o percentual de acertos da única questão que aborda o invariante de

ordem é 2%, podemos afirmar que as questões que abordam somente o conceito de

invariante foram as em que os alunos apresentaram maior dificuldade.

Analisando individualmente as questões corretas, o gráfico de acertos

demonstra que, de todas as questões, a primeira e a quarta que abordam os

significados quociente e parte todo respectivamente foram as mais compreendidas

pelos alunos, pois obtiveram igualmente 10% como percentual de acertos, que foi o

mais alto.

O segundo gráfico, figura 42, refere-se aos erros por questão. O gráfico foi

construído tendo a porcentagem geral de erros de cada questão calculada da

mesma maneira que a de acertos. Ou seja, dividiu-se a quantidade média14 de erros

da questão multiplicada por 100 pela soma média15 do número total de erros das

dezenove questões.

Tomemos como exemplo a questão 4, que apresenta a média de 14 erros.

Sendo a média da quantidade de erros da prova 714, ao multiplicarmos 14 por 100

obtemos 1400 como produto e ao dividi-lo por 714 obtemos 1,96% como quociente

que será arredondado para 2%.

14

Como várias questões estavam subdivididas em itens, foi calculada a média aritmética dos errados da questão. Assim, a questão 4 está subdividida em dois itens e, como o total de questões erradas é 28, a média aritmética das questões erradas, para efeito do calculo da porcentagem, será vinte e oito dividido por dois, que resulta catorze. 15

E a soma dos dezenove valores médios de erros do questionário é a soma média de questões erradas do questionário ,que é 714.

86

Figura 42 - Gráfico de % dos ERROS por questão

Queremos salientar que agora o percentual de erros de cada uma das

questões é relativo ao total de erros do questionário. Cada valor percentual

evidencia o grau de contribuição com os erros do grupo de alunos.

Analisando os erros dos alunos, o gráfico acima demonstra que, de todas as

questões, a sexta, a décima oitava (ambas de significado parte todo) e a décima

nona (significado quociente) foram as questões onde os alunos apresentaram

maiores dificuldades, pois o percentual de erros deles foi de 9%.

O cálculo do valor do percentual médio de erros dos alunos do invariante

equivalência,11%, foi o mais alto, seguido do significado quociente 6%, do

significado parte-todo 5% e do invariante ordem, 5%. É interessante verificar o

porquê da incoerência aparente do significado parte-todo apresentar tanto o melhor

quanto o pior desempenho dos alunos. No entanto, trataremos dessa problemática

especificamente nas considerações finais.

O próximo gráfico, figura 43, refere-se ao percentual de brancos por questão.

Nesse gráfico, a porcentagem geral de “em branco” de cada questão foi

calculada da seguinte maneira: dividiu-se a quantidade média 16 de alunos que

16

Como várias questões estavam subdivididas em itens, foi calculada a média aritmética do “em branco” da questão. Assim, a questão 4 está subdividida em dois itens, e o total de “em branco” é 28. Logo, a média aritmética dos ”em branco” da questão para o calculo da porcentagem será vinte e oito dividido por dois, que resulta em catorze.

87

deixaram “em branco” a questão multiplicada por 100 pela soma do número total

médio17 de “em branco” das 19 questões, que é 259.

Tomemos como exemplo a questão 4, que apresenta a média de 259

questões “em branco”. Sendo a quantidade média de “em branco” da prova 14, ao

multiplicarmos 14 por 100, obtemos 1400 como produto e ao dividi-lo por 259

obtemos 5,44 % como quociente, que será arredondado para 5%.

Figura 43 - Gráfico de % dos EM BRANCO por questão

Queremos salientar que o percentual de questões de cada uma das questões

é relativo ao total de questões em branco do questionário.

O gráfico de colunas acima apresenta o percentual de questões que os

alunos deixaram de responder, provavelmente por desconhecerem o assunto

abordado na questão.

Este gráfico apresenta o índice mais alto registrado dos três gráficos por

questão, 15% de questões em branco da questão 14, que aborda o invariante

equivalência.

Os alunos apresentaram as seguintes médias percentuais das questões em

branco: 11% do invariante equivalência, 6% do significado quociente e, empatados

com 5%, o significado parte todo e o invariante de ordem cada um.

Terceira Etapa - Análise das Questões Agrupadas por Significado

1717

E a soma dos dezenove valores médios das “em branco” do questionário é a soma média dos

“em branco” do questionário, que é 259.

88

Nesta seção apresentamos a análise das questões agrupadas por meio dos

significados: Parte-Todo; Quociente; Equivalência e Ordem.

Para cada uma das questões apresenta-se primeiramente o enunciado,

seguido de um gráfico de setor geral contendo os percentuais de acertos, erros e de

respostas em branco da referida questão. Em seguida, apresentamos um gráfico de

colunas com os percentuais de acertos e erros (neste caso, entendemos como erro

a soma das questões respondidas incorretamente e das questões que foram

deixadas sem fazer) por ano escolar. Quando a questão possuir mais de um item

para a resposta, ao lado do gráfico de colunas, apresentamos um gráfico de setor

com os dados percentuais de acertos, erros e questões em branco, por item.

No Apêndice D encontra-se um resumo geral dos percentuais gerais de cada

uma das questões.

Significado Parte-Todo

As questões relativas à Parte-Todo analisadas são as seguintes: 2, 4, 5, 6, 10, 16, 17

e 18.

Questão 2 Enzo e Vitório ganharam chocolates do mesmo tamanho. Enzo repartiu o seu chocolate em 3 partes iguais e comeu uma. Vitório repartiu o seu chocolate em 6 partes

iguais e comeu duas.

ENZOVitorio

2

chocolate chocolate


Vitorio come mais


Figura 44 - 2ª Questão e Gráfico geral de respostas

A questão 2 abrange o significado parte-todo e o invariante equivalência. O

gráfico acima nos informa que, como o percentual de acertos é 55% e é maior que a

soma dos percentuais de erros e de questões em branco somadas, 45%, os alunos

possuem um certo domínio do significado parte-todo com o invariante equivalência.

89

Figura 45 - Gráficos de análise de resultados da questão 2

No gráfico acima, podemos observar que os alunos do Ensino Médio

obtiveram maior sucesso que os alunos do Ensino Fundamental. Observa-se

também que os alunos do 7º ano atingiram um quarto de respostas corretas, porém

os do 9º ano e os alunos dos três anos do Ensino Médio apresentaram uma

porcentagem maior de acertos, 62%, 70%, 70% e 37%, fato este que parece nos

indicar que quanto mais tempo o sujeito permanece como estudante maior

internalização de conceitos ocorrerá.

Questão 4 Você acha que este círculo está cortado em duas metades? a) Assinale sim ou não. b) Explique a sua resposta.

Figura 46 - 4ª Questão e Gráfico geral de resultados

90

A questão 4 aborda o significado Parte-todo e sua representação.

Analisando o gráfico geral de acertos da quarta questão, observamos que os

alunos apresentaram o segundo melhor resultado de acertos do questionário, bem

como o mais baixo percentual de respostas erradas.


Este gráfico também informa que, nesta questão, os alunos do Ensino Médio

apresentaram melhor desempenho que os alunos do Ensino Fundamental. Os

resultados do gráfico acima nos informam que, comparando a resposta

representativa com a resposta justificativa, esta apresentou uma queda significativa

na quantidade de acertos, o que nos leva a crer que estes alunos podem estar com

dificuldades em se expressar.

Questão 5 Pinte dois terços de cada uma dessas figures.

91


A questão cinco difere das demais questões por apresentar na mesma

questão tanto a representação do significado parte-todo quanto o invariante

equivalência no significado parte-todo. No caso, o item 5A envolve a representação

da parte-todo, enquanto que os demais itens: 5B, 5C e 5D, envolvem o invariante de

equivalência no significado parte todo. Vale destacar que a questão solicita ao aluno

que pinte a região e não que a represente por um número, ou seja, na forma de

escrita fracionária.

Analisando a média geral de percentual de acertos dos alunos, 46%, com os

percentuais de acertos por itens da questão cinco, organizamos a tabela 4 abaixo

com o resumo dos percentuais de acertos, erros e em branco para cada um dos

itens da questão

No gráfico geral, o índice de acertos apresentou-se abaixo da média (46%),

por a questão envolver dois conceito: a representação parte-todo (5A), assim como o

invariante equivalência no significado parte todo (5B, 5C, 5D), sendo estes os itens

nos quais os alunos apresentaram maior dificuldade.

Para melhor compreender o resultado, organizamos a tabela abaixo com o

resumo dos percentuais de acertos, erros e em branco para cada um dos itens da

questão.

Questão Alternativas Certa Errada Não Fez

5º

A 81% 14% 5%

B 36% 60% 4%

C 30% 66% 4%

D 35% 58% 7%

Tabela 4 - Resultados comparativos percentuais dos itens da questão cinco

5

A B

C

D

92

Analisando cada item separadamente, percebemos que grande parte dos

alunos domina o significado parte-todo envolvendo a sua representação – no caso

não numérica, pois obtiveram o maior índice percentual de acertos do questionário,

81%, enquanto nos demais itens, os acertos alcançaram 36%, 30% e 35%

respectivamente, indicando uma possível dificuldade dos alunos em relação à

equivalência. É possível que isso se deva à complexidade dessas representações

apresentadas.

93


Na figura acima, o gráfico de colunas nos mostra que os alunos do Ensino

Médio obtiveram um maior percentual de acertos em relação os alunos do Ensino

Fundamental, sendo que os alunos dos anos iniciais de cada um desses cursos

foram os que obtiveram o menor percentual de acertos. Os alunos do 7º ano se

destacaram alcançando o segundo melhor percentual de acertos, sendo superados

apenas pelos alunos do 3º ano do Ensino Médio. É interessante também notar que

nos itens b, c, d, os alunos do 3º ano do Médio mantiveram o percentual de 75% de

acertos em cada um deles. Já nos itens b e c, os alunos dos três anos do Médio

mantiveram o mesmo percentual de acertos e erros; e que os alunos do 2º ano do

Ensino Médio no item d, trocaram os percentuais de erros e acertos entre si - eram

73% de acertos nos itens b e c, enquanto no item d, o percentual de questões

erradas foi de 73%.

94

Questão 6 Essa caixa contém 12 ovos dos quais 5 estão quebrados. a) Como você escreveria a fração que representa a quantidade de ovos quebrados? Escreva a sua resposta no 1º quadradinho b) Como você escreveria a fração que representa a quantidade de ovos não quebrados? Escreva a sua resposta no 2º quadradinho.

Quebrados

NãoQuebrados

6


Avaliando a questão seis, que abrange o significado parte-todo e sua

representação, observa-se que ela é similar à questão 5 A – a qual apresentou 81%

de acertos. Já, nesta sexta questão, o índice de acertos foi 38%, o que significa

menos da metade de acertos, quando comparamos com o item A da questão

anterior.

Uma possível causa seria o fato de o enunciado desta questão exigir um

maior conhecimento do significado parte-todo e uma melhor compreensão textual

por parte dos alunos. No caso, para o sucesso, torna-se necessário saber que 12 e

5 são as quantidades de ovos da caixa e de ovos quebrados, respectivamente. O

aluno tem que identificar o denominador da fração – o total 12 de ovos – e o

numerador 5 – quantidade de ovos quebrados – para que ele possa responder na

escrita fracionária corretamente.

Podemos observar que a questão cinco utiliza representação geométrica da

barra dividida em três partes iguais e utiliza a linguagem natural dos números

fracionários, pedindo ao aluno que pinte dois terços dessa barra, não envolvendo

assim a linguagem simbólica da fração.

Analisando os índices de erros dos alunos, constatamos que esta questão 6,

juntamente com a questão 18 (que aborda o invariante equivalência no mesmo

significado parte-todo), foram as que apresentaram o percentual mais alto de erros

de todo o questionário. Contudo, esta questão 6 foi a que apresentou o menor

percentual de questões em branco do questionário, 4%, o que pode indicar que os

alunos tinham noção da abordagem da representação no significado parte-todo.

95

Figura 51 - Gráfico de análise de resultados da questão 6

Analisando os gráficos de colunas, percebemos que o total do índice de

acertos dos alunos do Ensino Médio foi pouco maior do que o obtido pelos alunos do

Ensino Fundamental. Observa-se também que os alunos apresentaram maior

dificuldade em responder a segunda pergunta (6B). Um motivo provável talvez seja o

fato de que a quantidade solicitada (7 ovos não quebrados) não está explicitada no

enunciado como ocorre na pergunta 6A.

É importante enfatizar que, em relação à questão 6B – ovos não quebrados

– todos os alunos do sétimo ano erraram essa pergunta. Quanto aos alunos do

Ensino Médio, foram os do segundo ano que tiveram o menor número de acertos.

É interessante notar que, apesar da semelhança entre as questões cinco e

seis, os alunos do sétimo ano que sobressaíram na questão cinco como a segunda

melhor classe, nesta questão seis apresentaram o desempenho mais baixo entre os

anos.

96

Questão 10 Pedro e José ganharam cada um, uma barra de chocolate do mesmo tamanho . Pedro partiu a sua em 8 pedaços iguais e comeu 2. José partiu a sua em 4 pedaços iguais e comeu 1. a) Qual das três sentenças é a correta? Assinale dentro do quadradinho a resposta que você considera correta. b) Explique o porquê da sua resposta

Pedro José


José come mais


chocolate chocolate

10


Avaliando o gráfico geral da questão dez, que aborda o significado parte-todo

focada no invariante equivalência, verificamos que os alunos apresentaram

dificuldade em respondê-la, pois acertaram menos da metade, 45%.

É interessante ressaltar que esta questão dez é semelhante à questão dois,

que também aborda o invariante equivalência no significado parte-todo.

Analisando ambas, podemos notar que o percentual de acertos dos alunos

são muito próximos, ou seja, 55% na questão dois e 45% nesta questão dez.

Ao compararmos os percentuais de acertos acima, inferimos que, na questão

dois, mais da metade dos alunos teve facilidade em acertá-la, enquanto que, na

questão dez, o percentual de acertos desses alunos foi abaixo da metade. Esse

dado não deveria ocorrer, por se tratarem de questões com estrutura semelhantes,

na quais a diferença consiste apenas na alteração de números de partes em que o

todo foi dividido.

A análise dos dados acima mencionados, faz-nos refletir em que momento a

representação de frações e sua equivalência não foi compreendida, em razão de

que os dois exemplos fazem parte de situações do cotidiano (uma pizza sempre vem

dividida em oito pedaços; chocolates pequenos vem divididos em três pedaços) e,

portanto, os resultados deveriam ser iguais.

Verificando os percentuais das respostas deixadas em branco pelos alunos:

o percentual da questão dois foi de 5%, enquanto que o percentual da questão dez

foi de 9%, que é quase o dobro.

97

Analisamos, a seguir, os gráficos por itens da questão 10.


Os gráficos gerais por item da figura 52 nos mostram que 64% dos alunos

assinalaram corretamente a resposta a) da questão 10, contudo pouco menos da

metade desses alunos, 27%, justificaram corretamente essa resposta a).

Essa discrepância entre o percentual dos acertos das respostas a) e o

percentual de justificativas corretas talvez indique que grande parte dos alunos

possui conhecimento empírico do conceito, enquanto que poucos dominam o

conhecimento específico do significado parte-todo.

Os alunos do Ensino Fundamental18 obtiveram na resposta da pergunta a)

uma média percentual de acertos de 56%, enquanto que a média percentual de

acertos da justificativa foi de aproximadamente 14%, ou seja, menos da terça parte

desses alunos soube justificar corretamente o próprio acerto.

Comparando os alunos dos Ensinos Fundamental e Médio19 quanto à média

do percentual de acertos da questão dez, os resultados foram 35% e 60%

18 Calculo da média de acertos do EF da respostas a)= [44%+ 62%+ 62%= 168% ] : 3=56%; calculo da média de acertos do EF da justificativa= [4%+ 25%+ 14%= 43% ] : 3=14%. 19

Cálculo da média de acertos do EF = [44%+ 62%+ 62%+4%+ 25%+ 14%= 211% ] : 6=35%; cálculo da média de acertos do EM= [70%+ 78%+ 75%+48%+ 30%+ 62%= 363% ] : 6=60%.

98

respectivamente, o que nos leva a perceber que os alunos do Ensino Médio

obtiveram quase o dobro de acertos em relação ao percentual dos alunos do Ensino

Fundamental.

Quanto à justificativa, percebemos que os alunos do Ensino Médio 20

obtiveram melhor desempenho: 47% de acertos em relação aos os alunos do Ensino

Fundamental que registraram 14% de acertos, aproximadamente21.

Podemos inferir que uma das causas da diferença da média do percentual de

acertos das justificativas entre os alunos dos Ensinos Fundamental, 14%, e Médio,

47%, seja o fato de que quanto mais tempo o educando permanece na sala de aula,

maior internalização de conceitos ocorrerá.

Questão 16 Carolina e Rafael tem cada um seu cofrinho onde guardam o dinheiro que ganham. Carolina costuma gastar 1/4 do seu dinheiro , enquanto Rafael gasta 1/2 do seu. a) Você acha que Carolina gasta mais que Rafael? Assinale sua resposta no quadradinho correspondente, b) explique a sua resposta.

Sim

Não

porque

Carolina Rafael

16


A questão dezesseis é uma das duas questões do teste que abrangem o

invariante ordem no significado parte-todo e aborda uma comparação entre as duas

frações citadas. Na questão dezesseis as quantidades estão na escrita fracionária e

o aluno tinha que comparar frações de mesmo numerador, porém com

denominadores diferentes. Notamos que os alunos apresentaram um baixo

percentual de acertos, 39%.

20 Cálculo da média de acertos do EM da justificativa= [48%+ 30%+ 62%= 140% ] : 3=47%. 21

Calculo da média do percentual de acertos da respostas a) da justificativa = [resposta a) = (70% + 78%+ 75%): 3 = 74% e justificativa = (48% + 30%+ 62%): 3 = 41% e média final aproximada, (74% + 41%): 2= 58%]

99


Ao analisarmos os gráficos da figura 55 relativos à questão dezesseis, por

ano escolar, percebemos que os alunos do Ensino Médio obtiveram maior sucesso

que os do Ensino Fundamental. Em relação à justificativa solicitada, os alunos do

sexto ano do Ensino Fundamental e os do primeiro ano do Ensino Médio

apresentaram a mesma quantidade de erros e acertos, enquanto que os alunos do

segundo e terceiro anos do Ensino Médio mantiveram seus percentuais de acertos e

de erros tanto na resposta como na justificativa.

Questão 17 Uma padaria utiliza 3/8 de farinha para fazer bolos e 2/8 da mesma farinha para fazer pão. Qual a fração de farinha é mais usada? Assinale dentro do quadradinho essa resposta.


100

O gráfico geral da questão dezessete que aborda o invariante de ordem no

significado parte-todo nos mostra que 60% dos alunos acertaram essa questão.

Esse dado é discrepante em relação à questão dezesseis que também aborda o

invariante ordem no significado parte-todo na qual os alunos obtiveram 39% de

acertos.

Uma das possibilidades para essa diferença de percentuais de acertos por

parte dos alunos entre as questões dezesseis e dezessete poderia ser o fato de a

questão dezessete apresentar no desenho as quantidades em representação

enquanto que na questão dezesseis, apesar das quantidade também estarem

representadas na escrita fracionária, desta vez são os numeradores que são iguais,

o que teria dificultado a compreensão mais direta dos alunos.

Figura 57 - Gráfico de colunas dos resultados da questão 17

Ao analisarmos o gráfico 57 quanto ao desempenho dos alunos por ano

escolar, percebemos que, apesar dos alunos do Ensino Médio terem apresentado

melhores resultados obtendo um percentual médio de acertos de 61% enquanto que

os alunos do Ensino Fundamental apresentaram uma média percentual de acertos

de 47%, essa diferença percentual entre eles é pequena.

Se compararmos a questão dezesseis com a questão dezessete quanto aos

percentuais de acertos entre os dois Ensinos Fundamental e Médio, percebemos

que na questão dezesseis os alunos do Ensino Fundamental obtiveram 36% de

acertos e os do Ensino Médio 53% de acertos, enquanto na questão dezessete os

101

alunos do Ensino Fundamental obtiveram 62% de acertos e os do Ensino Médio,

61% de acertos.

Questão 18 Ana gasta 2/5 do dinheiro da sua carteira em doces. Qual a fração de dinheiro que restou – guardou- na carteira? Assinale dentro do quadradinho essa resposta. Ela também gasta 1/10 do dinheiro da sua carteira em passagem de ônibus. Qual a fração de dinheiro que gastou com os doces e a condução? Assinale dentro do quadradinho sua resposta

Ela

guardou

Ela gastou

no total

1

10

2

5

18


A questão dezoito, que abrange o invariante equivalência no significado parte-

todo, foi a questão na qual os alunos obtiveram o menor percentual de acertos,

12%. Uma hipótese para esse baixo índice de acertos dos alunos da questão em

relação às demais pode ser explicado pela complexidade da tarefa solicitada.


102

Analisando os gráficos da figura 59, que mostra os resultados dos alunos por

itens da questão e anos escolares, percebemos que o percentual de acertos dos

alunos, 20%, no primeiro item “quanto sobrou”, é discrepante em relação ao

percentual de acertos dos alunos, 3%, do segundo item “quanto gastou”.

Essa diferença acentuada dos percentuais de acertos do primeiro para o

segundo item nos leva a pensar que talvez seja o fato de o segundo item requerer

uma nova divisão da barra já anteriormente dividida, técnica esta que talvez os

alunos não dominassem.

Nessa questão, os gráficos do desempenho dos alunos por ano escolar

apontaram tanto percentuais baixos de acertos como percentuais nulos em ambos

os itens.

Verificamos que no segundo item os alunos apresentaram mais dificuldades

que no primeiro, porque a média dos percentuais de acertos22 deles nesse item no

Ensino Fundamental foi 6%, enquanto que o percentual médio de acertos do Ensino

Fundamental foi de 1%, aproximadamente.

No primeiro item, os alunos dos sexto e sétimo do Ensino Fundamental não

pontuaram acertos; enquanto que, no segundo item, foram os alunos do segundo e

terceiro anos do Ensino Médio que não pontuaram.

Significado Quociente

As questões analisadas, relativas ao significado Quociente, são as

seguintes:1, 3, 7, 13 e 19.

Questão 1 Esta pizza tem que ser dividida para estas 5 meninas. Que fração da pizza cada uma receberá? Escreva sua resposta no quadradinho

1

Figura 60 - 1ª questão e Gráfico geral de resultados

22 Cálculo da média de acertos do segundo item do EF = [0%+ 12%+ 5%= 17% ] : 3=6%; cálculo da

média de acertos do segundo item do EM = [4%+ 0%+ 0% = 4% ] : 3 = 1%.

103

A questão um aborda o significado quociente e sua representação. Nessa

questão os alunos obtiveram tanto o percentual de acertos mais alto do

questionário, 78% como o menor percentual de questões em branco, 2%.

Figura 61 - Gráfico de resultado da 1ª questão por série

Analisando a figura 60, que contém os resultados da primeira questão por

ano escolar, percebe-se que os alunos de todos os anos escolares, obtiveram mais

acertos do que erros. Observamos que nessa questão os alunos do Ensino Médio

obtiveram uma média de acertos de aproximadamente 86%, enquanto os alunos do

Ensino Fundamental apresentaram média de aproximadamente 77%. Podemos,

assim, deduzir que os alunos que estão no Ensino Médio parecem ter internalizado

melhor os conceitos e procedimentos relativos à representação do significado

quociente.

Questão 3 Temos 2 grupos de jovens. No primeiro, as 4 garotas repartem a torta em partes

iguais. No segundo, os 8 garotos repartem os 2 bolos iguais aos das meninas.

a) Que fração da torta cada garota comeu?

b) Que fração da torta cada garoto comeu?


104

Esta questão que abrange o invariante equivalência no significado quociente

apresentou um percentual de acertos dos alunos, 56%, que nos induz a crer que

mais da metade compreenderam o conceito.

Analisaremos, agora, a figura 62 que contem os gráficos do desempenho dos

alunos em cada item e por classes.




3

Figura 62 - 3ª questão e Gráfico geral de resultados

105


Apesar de dessa questão conter três perguntas a serem respondidas,

percebemos que, se considerarmos isoladamente a primeira delas, “repartir o bolo

para as quatro meninas”, percebemos que é similar à questão um, “uma pizza tem

de ser dividida entre as cinco meninas”, que aborda apenas a representação do

significado quociente.

Comparando-as, identificamos a proximidade dos percentuais de acertos da

resposta Moça, 67%, com o percentual de acertos da questão um, 78%, que foi um

dos mais altos do questionário. Esses percentuais tão próximos de acertos nos

permitem reiterar que os alunos dominam a representação do significado quociente

usado nessa questão, quando se trata de um único inteiro a ser repartido..

Vale observar que, nesta questão três, os alunos do 2º ano do Ensino Médio

foram os que mais se destacaram obtendo em todas as perguntas um percentual de

acertos acima de 60%.

Comparando os anos escolares, percebemos que na segunda pergunta, “a

fração de bolo que cada menino comeu”, o percentual de erros foi alto, pois, à

exceção dos alunos do segundo ano do Ensino Médio, os alunos dos demais anos

apresentaram um percentual de erros acima de 50%.

A partir dessa análise, questionamos o quanto realmente foi assimilado pelos

alunos em relação à representação do significado quociente, quando se trata de

mais de um inteiro.

É interessante analisar a terceira pergunta que podemos chamar de

justificativa, que aborda o invariante equivalência aplicado às duas respostas

anteriores, pois 28 dos 144 alunos acertaram a justificativa, apesar de terem

errado um ou os dois itens anteriores.

106

Figura 64 - Resposta do aluno X

Figura 65 - Resposta do aluno Y

Figura 66 - Resposta do aluno W

Essa discrepância entre as primeiras respostas erradas e a justificativa

correta talvez aponte que os alunos possuem conhecimento empírico do conceito

enquanto que poucos dominam o conhecimento específico do significado quociente.

Questão 7 Agora temos dois grupos de crianças. No primeiro grupo, 3 meninos estão repartindo

107

Figura 67 - 7ª questão e Gráfico geral de respostas

Esta questão sete aborda o invariante equivalência no significado quociente.

É interessante perceber a proximidade dos percentuais de acertos dos alunos

nesta questão sete: 55%, e o percentual de 56% de acertos na questão três de

abordagens similares.

A figura 68, abaixo, nos mostra o desempenho dos alunos por resposta e ano

escolar.

igualmente uma pizza. No segundo grupo nove meninas também estão repartindo igualmente três

pizzas idênticas à das meninas.

a) Que fração de pizza cada garoto comeu? Escreva sua resposta no quadradinho correspondente

b) Que fração de pizza cada garota comeu? Escreva sua resposta no quadradinho correspondente.

c) Qual dessas três está correta? Assinale o quadradinho da resposta que você considera corretas.




7

108


Observando-se os dados do gráfico acima, percebemos que do mesmo modo

como na questão três, nesta questão sete, os alunos do Ensino Médio obtiveram

novamente mais sucesso que os alunos do Ensino Fundamental e também, como na

questão três similar, foram os alunos do 2º ano do Ensino Médio que apresentaram

o melhor desempenho quanto ao percentual de acertos nas três perguntas, 78%,

78% e 74%.

Porém, ao contrário da questão três, nesta questão sete, foram os alunos do

6º ano do Ensino Fundamental que apresentaram o maior percentual médio de

erros 23 , 55%, enquanto que na outra questão foram os alunos do 7º ano que

obtiveram o maior percentual de erros.

23

Chamamos de percentual médio de erros a soma dos percentuais das respostas erradas das três perguntas da questão sete dividido por três. Assim, no caso do 6º ano, em que os alunos

109

Na análise comparativa entre os resultados gerais de cada uma das

perguntas das questões sete e três também verificamos uma proximidade de

percentuais de acertos.

Para facilitar esta comparação, colocamos a figura 68 acima, que resume os

dados gerais de acertos, erros e questões em branco de cada uma das perguntas

da questão três.

Figura 69 - Resumo dos percentuais de acertos, erros e em branco das respostas por

pergunta da 3ª questão

Analisando comparativamente os gráficos da figura acima que contém os

dados da questão três com os dados desta questão sete que constam na figura 67,

notamos que os percentuais de acertos entre as perguntas das Moças e dos

Rapazes apresentam uma queda similar:

Nesta questão sete, o percentual de acertos dos alunos quanto à quantia que

as Moças comeram foi de 65%, enquanto que os alunos obtiveram 45% de acertos

na resposta dos Rapazes. Similarmente, na questão três, o percentual de acertos

dos alunos no item das Moças foi de 67% e, no item dos Rapazes, os alunos

obtiveram o percentual de 43% de acertos.

Figura 70 - 13ª questão e Gráfico geral de respostas

apresentaram 44% de erros na primeira pergunta, 74% de erros na segunda e 48% na terceira pergunta, a soma deu 166%, que dividido por três deu como resultado aproximadamente 55%.

110

Esta questão aborda o significado quociente e sua representação.

O gráfico acima nos mostra que houve 60% entre erros e brancos, ou seja, os

alunos demonstraram dificuldade em acertar esta questão.

Figura 71 - Gráfico de resultado da 13ª questão

Diferentemente das questões anteriores, foram os alunos do Ensino

Fundamental e não os do Ensino Médio que obtiveram maior percentual de acertos

sendo que os alunos do 3º ano do Ensino Médio apresentaram 100% de erros.


crianças. Qual a fração da barra de chocolate cada criança receberá? Escreva a

sua resposta no quadradinho.

Questão 19 4 crianças repartiram 3 barras de chocolate. Duas delas pegaram uma metade mais um

quarto, enquanto as outras duas pegaram três quartos cada uma. A quantidade que cada uma delas

comeu foi a mesma ou, injustamente, alguma delas ganhou mais chocolate que as outras três? Assinale

a resposta correta no quadradinho.

111

Figura 72 - 19ª questão e Gráfico geral 1

Esta questão aborda o invariante equivalência no significado quociente.

Analisando a questão dezenove, verificamos que, dentre as demais questões

que abordam o mesmo significado, o percentual de acertos dos alunos, 17% foi o

mais baixo.

A questão dezenove, ao lado das questões seis e dezoito, apontou o

percentual de acertos dos alunos mais baixo do questionário.

Apesar de essa questão ser similar às questões três e sete, o percentual de

acertos dos alunos nesta questão dezenove, 17%, é bem inferior ao percentual de

acertos dos alunos nas questões três, 56%, e sete, 55%.


Justo Não justo

Porque

112

Os alunos do Ensino Médio obtiveram expressivamente maior percentual de

acertos do que os alunos do Ensino Fundamental. Observamos que todos os alunos

do sétimo ano do Ensino Fundamental erraram ambas as perguntas.

Uma possível explicação poderia ser o enunciado que, na questão dezenove,

apesar de conter a linguagem natural, diferentemente das demais questões,

apresenta as quantias em representação fracionária; já nas questões três e sete o

enunciado se utiliza somente da representação numérica associada às palavras, ou

seja, usa a linguagem natural.

Essa possível explicação pode confirmar a nossa suposição de que boa parte

dos alunos não consegue visualizar a escrita fracionária com a mesma facilidade

com que compreendem quando o enunciado está na língua natural.

Invariante de Equivalência

As questões analisadas, relativas apenas ao invariante equivalência, são as

seguintes: 12 e 14.

Esta questão aborda somente o invariante equivalência.

O percentual de acertos desta questão nos leva a pensar que mais da metade

dos alunos não adquiriu a noção do conceito de equivalência.

Analisamos agora os dados relativos a cada um dos itens da questão por ano

escolar.


Questão 12 – Complete os quadradinhos com o número que falta de maneira a tornar

correta as igualdades

=1

3

2a)

=5

10

c)

30

=4

12

1e)

=6

8

3b)

=2

3

d)

15

12

113


114

Em relação ao gráfico de coluna dividido por ano escolar, verificamos que os

alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio apresentaram relativo

desconhecimento das noções de equivalência, dado as porcentagens de acertos dos

alunos inferior a 50%. Já os alunos do 7º ano do Ensino Fundamental, dos 2º e 3º

anos do Ensino Médio apresentaram um desempenho satisfatório na questão da

equivalência.

O fato de o capítulo Números Racionais na escrita Fracionária fazer parte do

conteúdo programático do sétimo ano do Ensino Fundamental da EJA - conforme o

material utilizado na EJA já analisado neste trabalho - leva-nos a pensar que a

retomada em classe desse conceito seja a razão do bom desempenho dos alunos

Abaixo, segue a tabela com os percentuais gerais de acertos, erros e de

questões em branco dos alunos de todos os anos escolares em relação a cada item.

Tabela 5 - Resultados comparativos percentuais dos itens.

Os resultados dos alunos na Tabela cinco acima nos apresentam uma

acentuada queda dos percentuais de acertos, do primeiro para os dois últimos itens,

o que nos permite avaliar que, talvez para esses alunos, no dia a dia, a noção de

dobro, metade e múltiplos de dez é mais significativa do que trabalhar com outros

valores

Questão Alternativas Certa Errada Não Fez

12º

A

62% 26% 12%

B

52% 28% 20%

C

48% 30% 22%

D

34% 45% 21%

E

38% 38% 24%

115

A questão catorze aborda somente o invariante equivalência.

Entre todas, foi a que apresentou o mais alto índice de respostas deixadas em

branco do questionário, 35%, o que nos leva a pensar que a questão intimidou boa

parte dos alunos.

Para analisarmos a questão quatorze, que abrange o invariante equivalência,

utilizamos como comparação a questão doze, por também abranger o mesmo

invariante equivalência. Notamos que nessa questão os alunos obtiveram uma maior

quantidade de acertos nas cinco perguntas em relação às duas perguntas da

questão quatorze, 62%, 52%, 48%, 34% e 38%, enquanto que, na questão quatorze,

os alunos obtiveram 28% de acertos na resposta do item um e 21% de acertos na

resposta do item dois.

O fato de a pergunta quatorze apresentar uma dupla igualdade nos leva a

avaliar que o aluno pode não ter conseguido transformar 7

2=

14=

10, em duas

igualdades separadas, 7

2=

14

4

e

7

2=

35

10.

Questão 14 a) Qual é o número que serve no lugar do quadradinho vermelho? Escreva sua

resposta dentro do 1º quadradinho

b) Qual é o número que serve no lugar do quadradinho azul? Escreva sua resposta

dentro do 2º quadradinho.

2 10

7 14

14


116


Analisando o gráfico acima, notamos que os alunos do Ensino Médio

obtiveram melhor desempenho do que os alunos do Ensino Fundamental.

No item B, o percentual de acertos quase nulo dos alunos do Ensino

Fundamental e dos alunos do primeiro ano do Ensino Médio comparado aos

percentuais de acertos do primeiro item nos permite inferir uma maior dificuldade dos

alunos em utilizar o invariante equivalência quando o termo a ser encontrado é o

denominador.

Esse fato nos leva a supor que os alunos pesquisados do Ensino

Fundamental e do 1º ano do Ensino Médio não dominam o significado do

denominador de uma fração.

Analisamos que o fato de os denominadores serem múltiplos de sete,

multiplicidade esta que não faz parte do dia a dia dos alunos, pode ter sido um dos

motivos do baixo percentual de acertos dos alunos. Devemos lembrar que na

questão doze similar a esta, os percentuais de acertos dos alunos nos primeiro

(62%), segundo (52%) e quarto (34%) itens apresentaram resultados melhores que

o segundo item (21%) da questão catorze.

117

Invariante de Ordem

Analisando a questão oito, que abrange somente o invariante de ordem,

percebemos que ela é similar à primeira pergunta da questão dezesseis “você acha

que Carolina que gasta ¼ do seu dinheiro enquanto Rafael gasta ½ do seu

dinheiro?” apesar de a questão dezesseis abranger o invariante ordem no

significado parte-todo.

É relevante a discrepância existente entre os índices percentuais de acertos

dos alunos na questão dezesseis, 39%, e na questão oito, 59%, em que os alunos

obtiveram um bom desempenho.

Pensamos que um dos motivos dos alunos terem apresentado um baixo

rendimento nessa questão dezesseis pode ter sido o fato de a questão número oito

ser direta, enquanto que a questão dezesseis envolve uma situação-problema,

requerendo dos alunos um determinado raciocínio sobre ela, o que dificultando-lhes

a resolução.



1 3

4 4

a) 3 5

7 7

b) 3 3

5 4

c) 1 3

5 10

Exemple

8

Exemplo

118


Ao analisarmos a figura 79, percebemos uma diferença significativa entre os

percentuais de acertos dos alunos entre as respostas dos item A, 86% e item C,

82% com o item B, 68%, diferença esta que nos leva a crer que parte dos alunos

possuem maior facilidade de comparar frações de mesmo denominador com

numeradores diferentes e frações cujo os denominadores sejam múltiplos.

O fato dos alunos apresentarem maior dificuldade em comparar frações com

numeradores iguais e denominadores diferentes nos leva a inferir que talvez os

alunos possuam uma falta de compreensão no significado real do denominador e,

desse modo, não percebem que quanto maior o número de partes em que o inteiro é

dividido, menor será a fração.

119

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta pesquisa se propôs a investigar saberes sobre os números racionais na

forma fracionária, particularmente quanto aos significados Parte-Todo e Quociente, e

os Invariantes de Equivalência e Ordem, os quais foram construídos por alunos de

um Programa de Educação de Jovens e Adultos (EJA), da cidade de São Paulo.

Nesse sentido, consideramos a seguinte questão como orientadora de

pesquisa:

Quais são os saberes que os alunos de um Programa de Educação de

Jovens e Adultos (EJA) construíram a respeito de números racionais na forma

fracionária – em particular em relação aos significados parte-todo e quociente, e aos

invariantes de equivalência e ordem?

Assinalamos que a análise do instrumento está restrita a um total de 114

alunos cursando o sexto, sétimo e nono anos do Ensino Fundamental, bem como o

primeiro, segundo e terceiro anos do Ensino Médio. Assim, não temos a pretensão

de considerar os resultados encontrados como sendo a realidade estudantil dos

alunos da EJA no Estado de São Paulo ou no Brasil.

A fim de apontar os resultados mais significativos relativos aos saberes dos

alunos identificados por meio do instrumento aplicado (questionário), dividimos as

conclusões em cinco aspectos: (a) saberes relativos ao significado Parte-Todo; (b)

saberes relativos ao significado Quociente; (c) saberes relativos ao invariante

Equivalência – quando apresentado isolado; (d) saberes relativos ao invariante

Ordem – quando apresentado isolado; (e) saberes por ano de escolaridade na EJA

(a) Saberes relativos ao significado Parte-Todo: Investigado por meio das

questões 4, 5 e 6 – que abordam a representação –; das questões 2, 5B, 5C, 5D,10

e18 – que abordam o invariante equivalência –; e das questões 16 e17 que abordam

o invariante ordem.

A análise dos acertos e erros relativos ao significado Parte-Todo que abordam

a representação (questões 4, 5A e 6) permite afirmar que os alunos demonstram ter

domínio sobre a representação visual (desenho), mas nem sempre conseguem

transferir os dados contidos num texto para a escrita fracionária. Em relação ao

120

invariante equivalência, os saberes se mostram ainda em fase de consolidação, com

menos da metade dos alunos obtendo êxito (aproximadamente 37%).

Levando-se em conta que a maior porcentagem de erro ocorreu na questão

18, provavelmente pela complexidade do enunciado, entendemos que a maior

dificuldade se verifica no domínio sobre o invariante equivalência do significado

Parte-Todo, especialmente quando há necessidade de aplicá-lo duas vezes no

mesmo inteiro.

Quanto ao invariante ordem, desse significado, ficou evidenciado na pesquisa

que, quando a comparação é feita com o mesmo número de partes (denominadores

iguais), o aluno tem o domínio do conceito parte-todo, como na questão 17, em que

houve o acerto por 60% deles. Contudo ocorre de modo diverso quando os inteiros

são divididos em diferente número de partes, porém com numeradores iguais, ou seja,

grande parte dos alunos não identifica que quanto maior o número em que o todo será

dividido menor será o resultado, como na questão 16, na qual o acerto foi de 39%.

(b) Saberes relativos ao Significado quociente: Investigado por meio das

questões 1 e 13 –que abordam a representação – e as questões 3, 7 e 19

– que abordam o invariante equivalência.

Nesse significado os alunos apresentaram dominância quanto à

representação, ou seja, à escrita na forma de fração, denotando dificuldade em

operar quando mais de um inteiro era dado para ser repartido em partes iguais.

Em relação ao invariante equivalência, obtivemos um resultado de

aproximadamente 43% de acertos. Das três questões que focam tal invariante nesse

significado, a questão que apresentou o menor percentual de acertos, 17%, foi a de

número dezenove, sendo o segundo mais baixo percentual de acerto de todo o

questionário. A questão evidencia a dificuldade dos alunos em operar ao mesmo

tempo com mais de um inteiro e com várias informações, evidenciando que grande

parte deles ainda não domina o invariante de equivalência do significado quociente.

(c) Invariante equivalência: Investigado por meio das questões 12 e 14 que

abordam exatamente o invariante sem, contudo, explorar os diversos

significados da fração na representação fracionária.

A análise das duas questões acima citadas indicou índice de acertos de

aproximadamente 34%, de onde podemos inferir que grande parte dos alunos não

121

domina o conceito de equivalência, como constatamos nos itens anteriores

relacionados ao significado Parte-Todo que abordam o invariante equivalência,

como exposto em (b).

(d) Invariante ordem: Investigado por meio da questão 8 que aborda

exatamente o invariante, sem contudo explorar os diversos significados da

fração na representação fracionária.

Por meio da análise foi possível constatar que grande parte dos alunos

desenvolveu saberes para a comparação de duas frações, reconhecendo a maior

delas especialmente nas situações nas quais os denominadores das frações são

iguais (86% de acertos), ou um é múltiplo do outro (82% de acertos), contudo ainda

não dominam as situações nas quais os denominadores são diferentes

especialmente quando os numeradores são iguais (10% de acertos).

(e) Resultado por anos de escolaridade:

A partir de nossa análise constatamos que os alunos do Ensino Médio

apresentaram maior índice de acertos em relação aos alunos do Ensino

Fundamental, o que evidencia o efeito que a permanência na escola tem no sentido

do aluno desenvolver saberes em relação aos números racionais na representação

fracionária e seus diferentes significados.

Tornou-se evidente, pela análise de algumas questões como, por exemplo, a

questão dezenove, – que aborda o invariante de ordem no significado quociente –,

os alunos do primeiro ano do Ensino Médio tiveram o mesmo aproveitamento dos

alunos do Ensino Fundamental, o que evidencia a semelhança entre os

conhecimentos desenvolvidos por esses alunos.

Em nossa pesquisa, quanto aos alunos do Ensino Fundamental foi o sétimo

ano o que apresentou o melhor desempenho. Podemos especular que o sucesso

desses alunos talvez seja devido ao fato do conceito de números racionais na forma

fracionária fazer parte do conteúdo programático da área de Matemática desse

ano/semestre da EJA. Cabe aqui a lembrança de que, em boa parte das escolas da

Educação Básica, esse conteúdo faz parte do sexto ano do Ensino Fundamental.

A conclusão do teste apresenta uma questão evolutiva dos conhecimentos

nos diferentes anos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, porém percebe-se

que as relações de conteúdo não estabelecem a ordem, uma vez que a intenção é

122

trabalhar de uma forma espiral. Ou seja, não se esgota em apenas um ano e sim por

retomadas a cada ano, como revisão e/ou ferramenta para resolução das situações-

problemas do ano/semestre em curso.

Os resultados deste estudo sugerem a necessidade da elaboração de uma

avaliação diagnóstica para os alunos ingressantes na EJA, que aborde os conteúdos

relativos aos números racionais na representação fracionária, abrangendo

conhecimentos dos diversos significados das frações. Essa ação poderá oferecer

subsídios aos professores da EJA informando-os sobre os conhecimentos prévios

desses alunos de modo a auxiliar a definição dos conteúdos a serem ministrados em

cada ano/semestre da EJA, tanto do Ensino Fundamental, quanto do Ensino Médio.

Sugestões para futuros trabalhos.

Nossa expectativa é a de que esta investigação forneça subsídios a respeito

dos conhecimentos matemáticos dos alunos de EJA e permita auxiliar futuras

pesquisas que envolvam os saberes desses alunos a respeito de números

fracionários. Ressaltamos que nesta pesquisa não foi possível investigar todos os

significados de Fração e espera-se que outras pesquisas o façam, no contexto da

EJA.

Novas questões podem ser postas na tentativa de entender as causas do

baixo índice percentual de acertos dos alunos da EJA quanto aos significados das

frações, perguntamo-nos se:

Serão esses erros resultados da dificuldade dos jovens e adultos de

retomarem o conceito já visto?

Serão dificuldades relacionadas ao medo que a palavra fração vem

inspirando no meio estudantil há décadas, medo este talvez gerado por

uma não apropriação do conceito, devido ao desconhecimento teórico-

conceitual do educador de então?

Serão fruto dos obstáculos provocados pela dificuldade da interpretação

de texto e enunciado, que os impede de compreenderem o que está

sendo solicitado?

Para responder às perguntas acima, entendemos a necessidade de

investigações que apontem possíveis mudanças no currículo da formação específica

123

dos professores, dentro dos cursos de graduação de Pedagogia e Licenciatura, para

os futuros educadores da EJA.

A título de finalização, enfatizamos que, no caso desta pesquisa, houve uma

devolutiva para a EJA pesquisada de modo que os seus resultados pudessem ser

objeto de análise pelos gestores e pelo corpo docente, dando alguns subsídios para

avaliar possíveis obstáculos ao aprendizado da representação fracionária e

reformular parte de seus objetivos dentro da política educacional brasileira, em

especial a inserção do educando adulto no ensino superior.

Tivemos conhecimento que a Instituição aplicou em agosto de 2010, uma

avaliação diagnóstica para os jovens e adultos ingressantes contendo conteúdos

básicos mínimos de Português e Matemática necessários a cada um dos anos dos

Ensinos Fundamental e Médio. Em relação à Matemática, foram elaboradas

questões para os três últimos anos do Ensino Fundamental e para o primeiro ano do

Ensino Médio, permeando os conteúdos específicos de cada ano/semestre com

exercícios a respeito de número racional na sua representação fracionária. Essa

medida viabilizou matricular o aluno iniciante no ano escolar/semestre

aparentemente mais adequado à sua bagagem de conhecimentos prévios,

permitindo assim uma possível continuidade de estudos por parte deste aluno, o

que, de fato, vem ocorrendo desde então.

A nosso ver, com base no que diz Kooro (2006), corroborando as análises

feitas por Damico (2007), Canova (2006) e Garcia Silva (2000, 2007) adaptando

para o ensino da EJA, é essencial que a educação matemática para jovens e adultos

leve em conta as peculiaridades socioculturais desse público-alvo. Portanto, em

nossa compreensão, com base no até aqui exposto, pudemos constatar que se faz

necessária a criação de um currículo de Matemática voltado às especificidades da

Educação de Jovens e Adultos.

124

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127

________. Proposta para trabalho 2004. Proposta apresentada para a realização de oficinas para professores do Fundamental no VII Encontro Paulista de Educação Matemática, São Paulo, 2004.

________. O Desafio do desenvolvimento profissional docente: análise da formação continuada de um grupo de professores das séries iniciais. Tese de Doutorado em Educação Matemática. São Paulo: PUC/SP 2007.

SILVA, M. J. F. Sobre a introdução do conceito de número fracionário. Dissertação de Mestrado em Educação Matemática. São Paulo: PUC- SP, 1997, p. 294.

_________. Investigando saberes de professores do Ensino Fundamental com enfoque em números fracionários para a quinta série. Tese de Doutorado em Educação Matemática. São Paulo: PUC-SP, 2005, p. 48, p.29

SISTEMA educativo nacional de BRASIL. Disponível em: <http://www.oei.es/quipu/brasil/estructura pdf - -1k>. Acesso em: 08/10/10.

128

ANEXO PARECER FINAL

129

APÊNDICE A TESTE ORIGINAL DE TEREZINHA NUNES

Dados

pessoais Name __________________ ID ______

Today’s date _______________________

School ___________________________

Class ____________________________

Birthday __________________________

Pre-/ Post- / Delayed Post-test

Questão 1

This pizza has to be shared equally

between 5 girls. What fraction of the

pizza does each girl get? Write your

answer in the box.

Questão 2

JohnBen

2

chocolate chocolate

becauseJohn eats more

Ben eats more

They both eat the same

John and Ben each have a bar of

chocolate of the same size. Peter

breaks his chocolate bar into 3 equal

pieces and eats 1 of them. Alan

breaks his into 6 equal pieces and

eats 2 of them.

Which of these sentences is right?

Tick the right box,

explain why you think so.

130

Questão 3

Each girl gets the same as each boy

Each girl gets more than each boy

Each boy gets more than each girl

3

There are two groups of children. In

the first group, 4 girls are going to

equally share one pie. In the second

group 8 boys are going to equally

share two pies.

What fraction of a pie does each girl

get?

What fraction of a pie does each boy

get?

c) Which of these sentences is

correct? Tick the box for the right

one.

Questão 4 Yes

No

because

.

4

Has this circle been cut into 2

halves? Tick yes or no.

Explain why you think so.

Questão 5 5

Shade in two thirds of each of these

shapes.

Questão 6

Cracked

Not Cracked

6

5 eggs in a box of 12 are found to be

cracked.

What fraction of the box of eggs is

cracked? Write your answer in the

top box.

What fraction of the box of eggs is

not cracked? Write your answer in

the bottom box.

131

Questão 7

Each boy gets the same as each girl

Each boy gets more than each girl

Each girl gets more than each boy

7

There are two groups of children. In

the first group, 3 boys are going to

equally share one pizza. In the

second group nine girls are going to

equally share three pizzas.

What fraction of a pizza will each boy

get? Write your answer in the box.

Which fraction of a pizza will each girl

get? Write your answer in the box.

c) Which of these sentences is

correct? Tick the box for the right

one.

Questão 8

1 3

4 4

a) 3 5

7 7

b) 3 3

5 4

c) 1 3

5 10

Example

8

Put a ring around the bigger fraction

in each of the pairs below. The first

one is done for you.

Questão 10

Peter Alan

becausePeter eats more

Alan eats more

They both eat the same

chocolate chocolate

10

Peter and Alan each have a bar of

chocolate of the same size. Peter

breaks his chocolate bar into 8 equal

pieces and eats 2 of them. Alan

breaks his into 4 equal pieces and

eats 1 of them.

Which of these sentences is right?

Tick the right box,

explain why you think so.

132

Questão 12

=1

3

2a)

=5

10

c)

30

=4

12

1e)

=6

8

3b)

=2

3

d)

15

12

Fill in the missing number.

Questão 13

Three bars of chocolate are to be

shared equally between 5 children.

What fraction of a chocolate bar

does each child get? Please write

your answer in the box.

Questão 14

2 10

7 14

14

What number goes in the red box?

What number goes in the blue box?

Questão 16

Yes

No

because

Mary Paul

16

Mary and Paul have some pocket

money. Mary spent 1/4 of hers, and

Paul spent 1/2 of his.

Is it possible that Mary spent more

than Paul? Tick the box

Explain why you think so.

133

Questão 17 3

8

2

8

17

In a bakers shop 3/8 of the flour is

used for cakes and 2/8 of the flour is

used for bread.

What fraction of the flour has been

used? Write your answer in the box.

Questão 18

Anna spends 2/5 of her pocket

money on sweets. What fraction of

her pocket money does she have

left? Write your answers in the box

She also spends 1/10 of her pocket

money on bus fare. What fraction of

her pocket money does she spend

on sweets and bus fare altogether?

Write your answers in the box

Final Congratulations you have

reached the end!

Thank you for all your hard work

134

APÊNDICE B VERSÃO E TRADUÇÃO DO QUESTIONÁRIO DE TEREZINHA NUNES POR LAÍDE CERAGIOLI

Nome __________________ ID ______

Data_______________________

Curso ___________________________

Ano ____________________________

Data de Nascimento_________________ __________________________

????? Pre-/ Post- / Delayed Post-test

1

135

ENZOVitorio

2

chocolate chocolate


Vitorio come mais





3

136

SIM

NÃO

porque

.

4

5

137

Quebrados

NãoQuebrados

6




7

138

Pedro José


José come mais


chocolate chocolate

10

1 3

4 4

a) 3 5

7 7

b) 3 3

5 4

c) 1 3

5 10

Exemple

8

Exemplo

139

=1

3

2a)

=5

10

c)

30

=4

12

1e)

=6

8

3b)

=2

3

d)

15

12

chocolate

chocolate

chocolate

13

140

2 10

7 14

14

Sim

Não

porque

Carolina Rafael

16

141

Ela

guardou

Ela gastou

no total

1

10

2

5

18

142

Justo

Não Justo

Porque

143

APÊNDICE C APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO

Relação de perguntas sobre as questões feitas pela professora aos alunos, durante

a aplicação, em cada classe.

Questão 1 Esta pizza tem que ser dividida para estas 5 meninas. Que fração da

pizza cada uma receberá? Escreva sua resposta no quadradinho.

Questão 2 Enzo e Vitório ganharam chocolates do mesmo tamanho. Enzo repartiu

o seu chocolate em 3 partes iguais e comeu uma. Vitório repartiu o seu

chocolate em 6 partes iguais e comeu duas.

Questão 3 Temos 2 grupos de jovens. No primeiro,as 4 garotas repartem o bolo

em partes iguais. No segundo, os 8 garotos repartem os 2 bolos. No primeiro,

as 4 garotas repartem o bolo em partes iguais. No segundo, os 8 garotos

repartem em partes iguais os 2 bolos iguais aos das meninas.

a) Que fração do bolo cada garota comeu?

b) Que fração do bolo cada garoto comeu?


Questão 4 Você acha que este círculo está cortado em duas metades?

a) Assinale sim ou não.


Questão 5 Pinte dois terços de cada uma dessas figures

Questão 6 Essa caixa contém 12 ovos dos quais 5 estão quebrados.

a) Como você escreveria a fração que representa a quantidade de

ovos quebrados? Escreva a sua resposta no 1º quadradinho

b) Como você escreveria a fração que representa a quantidade de

ovos não quebrados? Escreva a sua resposta no 2º quadradinho.

Questão 7 Agora temos dois grupos de crianças. No primeiro grupo, 3 meninos

estão repartindo igualmente uma pizza. No segundo grupo nove meninas

também estão repartindo igualmente três pizzas idênticas à das meninas.

144

a) Que fração de pizza cada garoto comeu? Escreva sua resposta no

quadradinho correspondente

b) Que fração de pizza cada garota comeu? Escreva sua resposta no

quadradinho correspondente.

c) Qual dessas três está correta? Assinale o quadradinho da resposta

que você considera correta.


Questão 10 Pedro e José ganharam cada um, uma barra de chocolate do mesmo

tamanho . Pedro partiu a sua em 8 pedaços iguais e comeu 2. José partiu a

sua em 4 pedaços iguais e comeu 1.

a) Qual das três sentenças é a correta? Assinale dentro do

quadradinho a resposta que você considera correta,

b) Explique o porquê da sua resposta

Questão 12 Complete os quadradinhos com o número que falta de maneira a tornar

correta as igualdades


crianças. Qual a fração da barra de chocolate cada criança receberá?

Escreva a sua resposta no quadradinho.

Questão 14 a) Qual é o número que serve no lugar do quadradinho vermelho?

Escreva sua resposta dentro do 1º quadradinho

b) Qual é o número que serve no lugar do quadradinho azul? Escreva

sua resposta dentro do 2º quadradinho

Questão 16 Carolina e Rafael tem cada um seu cofrinho onde guardam o dinheiro

que ganham. Carolina costuma gastar 1/4 do seu dinheiro , enquanto Rafael

gasta 1/2 do seu.

145

a) Você acha que Carolina gasta mais que Rafael? Assinale sua

resposta no quadradinho correspondente,

b) explique a sua resposta.

Questão 17 Uma padaria utiliza 3/8 de farinha para fazer bolos e 2/8 da mesma

farinha para fazer pão.Qual a fração de farinha é mais usada? Assinale

dentro do quadradinho essa resposta .

Questão 18 Ana gasta 2/5 do dinheiro da sua carteira em doces.

a) Qual a fração de dinheiro que restou – guardou – na carteira?

Assinale dentro do quadradinho essa resposta.

b) Ela também gasta 1/10 do dinheiro da sua carteira em passagem de

ônibus. Qual a fração de dinheiro que gastou com os doces e a condução?

Assinale dentro do quadradinho sua resposta.

Questão 19 Quatro crianças repartiram 3 barras de chocolate. Duas delas pegaram

uma metade mais um quarto, enquanto as outras duas pegaram três quartos

cada uma. A quantidade que tanto os meninos como as meninas pegaram foi

a mesma ou,injustamente, uma das duplas ganhou mais que a outra?

Assinale a resposta correta no quadradinho

146

APÊNDICE D RESUMO DAS QUESTÕES POR SIGNIFICADO/INVARIANTE COM SEUS PERCENTUAIS DE ACERTOS, ERROS E EM BRANCO.

Significado/Invariante Número da

questão

% de acertos % de erros % de em branco

Parte Todo- representação 4 76 12 12

Parte Todo- representação/equivalência

5ª/5b,c,d

46 49 5

Parte Todo- representação 6 38 58 4

Parte Todo- equivalência 2 55 40 5



Parte Todo- ordem 16 39 44 17

Parte Todo- ordem 17 60 29 11

Quociente-representação 1 78 20 2

Quociente-representação 13 40 48 12

Quociente-equivalência 3 56 29 15



Equivalência 12 47 33 20

Equivalência 14 24 41 35

Ordem 8 59 29 12 Tabela 6 - Resumo geral dos percentuais de acertos, erros, e questões em branco por

significado/invariante.

Ceragioli, Laíde Conhecimentos de Alunos do Programa de Educação de Jovens e Adultos (EJA) Relativos aos Números Racio- nais na Forma Fracionária. / Laíde Ceragioli. – São Paulo: [s.n.], 2010.146 f ; il. ; 31 cm. Dissertação de conclusão de Mestrado– Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de Mestrado em Educa- ção Matemática Orientadora: Profª Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Cos- ta. 1.Números Racionais. 2. Representação Fracionária. 3.Educação de Jovens e Adultos. 4. EJA. 5. Frações.

(eja) relativos aos números racionais

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