Clculo diferencial Unidad 3. Derivacin

ACTIV

1. 2. Calcular las siguientes derivadas de orden superior:a. .

b. .

c. .

3. Considerando la funcin demuestre que(a)

existe en .

La funcin es

El numerador es una funcin continua por suma de continuas, lo mismo que el denominador. Adems el denominador no vale nunca 0 por ser suma de dos funciones positivas. Entonces el cociente es una funcin continua en todo RealY vamos a ver que es una funcin creciente, y entonces derivndola

La funcin es derivable en todo R y la derivada es positiva siempre, luego es es montona creciente estricta.Si una funcin es continua y montona estricta es inyectaba y por lo tanto tiene inversa en el intervalo imagen del intervalo que cumple esas condiciones y sabemos que es inyectiva en todo R solo nos falta probar que existen puntos donde vale y o que ese es el lmite en menos infinito e infinito

Como

Ahora bien

Luego la funcin toma todos los valores en y es invectiva, luego existe con dominio e imagen

(b) .

Si por definicin de la inversa inicialmente y considerando luego la definicin de tangente hiperblico

Realizando operaciones correspondientes e identidades logartmicas ocupando en las expresiones queda entonces demostrado

Luego

Finalmente

(c) .

Definiendo para la inversa

Derivando respectivamente de x la ltima igualdad y despejando su y sustituyendo las identidades trigonomtricas correspondientes queda demostrado esta expresin

Finalmente queda

4. Demostrar que .

Su funcin inversa se define cono

Ahora la derivada de con respecto a y obtenemos

De acuerdo con la expresin anterior tenemos

Considerando la identidad trigonomtrica

Dado que concluinos

5. Calcular .

Diferenciando suma por trmino y sacando el factor constante

Aplicando la regla del producto a:

Ahora derivando

Siendo

Entonces

Sustituyendo de esta ecuacin sus respectivas derivadas

Realizando operaciones queda

Finalmente el resultado es

6.

Utilizando induccin matemtica, demostrar que para todo polinomio existe tal que para todo .

Sea para todo polinomio Es decir por demostrar

Cuando

Se cumple para Para

Para

Debernos que se cumple para y debemos probar Factorizando primero Sustituyendo en la expresin (b) queda

Entonces se cumple para toda n en los naturales y x en los reales

7. Dada la siguiente funcin:

Calcular y .

Para calcular Si entonces por definicin de derivada

Por regla de L`Hopital

Siendo

Evaluando por esta regla y queda finalmente

Por tanto Si entonces derivando la funcin ocupando la regla del cociente y queda

Definidamente la

Ahora para encontrar derivando la funcin que es

Aplicando regla de derivadas para la divisin entonces finalmente queda

8.

Demuestre que la funcin es invertible en y .

Debemos mostrar que la funcin invertible se cumple si y solamente si

Ya tenemos Para encontrar se realiza lo siguiente

Esto implica

Entonces comprobando

Por lo tanto es invertible