ejemplo analisis 3d
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RSM/20009 1
1500 mm
1500 mm
3000 mm
2000 mm
3000 mm
3000 mm
3000 mm
3000 mm
Espesores: 300 mm
Vigas: 500x300 mm
Datos:
Diafragmas rígidos.
RC, E=20000 MPa, µ=0.3
RSM/20009 2
X
Y
6000 mm
6000 mm
x4
x1
x2
x3
RSM/20009 3
PASOS:
1) Modelar cada marco (eje estructural) de manera plana, con el fin de determinar la matriz de rigidez en sus ejes locales.
Marco 1 y 2 Marco 3 Marco 4
RSM/20009 4
2) Determinar grados de libertad asociados a desplazamientos horizontales, y a desplazamientos verticales y giros, para luego realizar condensación estática.
Marco 1 y 2
Marco 3
Marco 4
t=[10 16];
0=[7 8 9 11 12 13 14 15 17 18];
t=[10 16];
0=[7 8 9 11 12 13 14 15 17 18];
t=[4 7];
0=[5 6 8 9];
Khor = Ktt – K0t · K00-1 · K0t
Kh1=[2.1820e+004 -1.0257e+004
-1.0257e+004 9.2218e+003]
Kh2=[8.7868e+005 -2.8860e+005
-2.8860e+005 1.5168e+005]
Kh3=[1.0722e+006 -3.5110e+005
-3.5110e+005 1.6609e+005]
RSM/20009 5
Solo como comprobación y para saber como obtener la matriz de rigidez horizontal con un programa comercial.
Marco 1
-Restringir los desplazamientos laterales necesarios.
-Aplicar desplazamientos unitario en dichas restricciones de manera sucesiva.
-Las reacciones de apoyo corresponden a los coeficientes de la matriz de rigidez lateral.
1mm≠ 1mm debido a
deformación axialK11
K12
RSM/20009 6
1mm
K22
RSM/20009 7
3) Determinar las matrices de transformación de cada eje estructural y calcular matrices de rigidez en coordenadas globales del edificio.
[A]= [ cos γi · [I] sen γi · [I] ± dai· [I] ]
I: matriz identidad de NxNN: número de pisos o diafragmas.
γi : ángulo entre eje estructural o marco y el eje x.
θ
θ
θ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
=
N
2
1
yN
2y
1y
xN
2x
1x
N
2
1
u
u
u
u
u
u
dsincos
dsincos
dsincos
dsincos
dsincos
u
u
u
M
M
M
M
M
M
M
M
RSM/20009 8
Marco 1
Marco 3
Marco 4
Marco 2
A1=[0 0 1 0 b 0
0 0 0 1 0 b];
A2=[1 0 0 0 -b 00 1 0 0 0 -b];
A3=[0 0 1 0 -b 00 0 0 1 0 -b];
A4=[1 0 0 0 b 00 1 0 0 0 b];
Ki= At ·K hor · A
K1=[0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 2.1820e+004 -1.0257e+004 6.5460e+007 -3.0770e+007
0 0 -1.0257e+004 9.2218e+003 -3.0770e+007 2.7665e+007
0 0 6.5460e+007 -3.0770e+007 1.9638e+011 -9.2309e+0100 0 -3.0770e+007 2.7665e+007 -9.2309e+010 8.2996e+010]
K2=[2.1820e+004 -1.0257e+004 0 0 -6.5460e+007 3.0770e+007
-1.0257e+004 9.2218e+003 0 0 3.0770e+007 -
2.7665e+007
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
-6.5460e+007 3.0770e+007 0 0 1.9638e+011 -9.2309e+010
3.0770e+007 -2.7665e+007 0 0 -9.2309e+010 8.2996e+010]
K3=[ 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 8.7868e+005 -2.8860e+005 -2.6361e+009 8.6579e+008
0 0 -2.8860e+005 1.5168e+005 8.6579e+008 -4.5505e+008
0 0 -2.6361e+009 8.6579e+008 7.9082e+012 -2.5974e+012
0 0 8.6579e+008 -4.5505e+008 -2.5974e+012 1.3652e+012]
K4=[1.0722e+006 -3.5110e+005 0 0 3.2166e+009 -1.0533e+009
-3.5110e+005 1.6609e+005 0 0 -1.0533e+009 4.9828e+008
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3.2166e+009 -1.0533e+009 0 0 9.6498e+012 -3.1599e+012
-1.0533e+009 4.9828e+008 0 0 -3.1599e+012 1.4948e+012]
RSM/20009 9
4) Ensamblar matrices y calcular matriz de rigidez lateral total. Esta matriz está referida al centro de masas de la planta. Ahora el edificio que tenía originalmente 14(nodos)x6=84 gdl en el espacio 3D, solamente asociados a los marcos (podrían ser muchos más si el modelo incluyera las losas discretizadas por EF por ejemplo), puede ser analizado solo con 6 gdl. Si se definen fuerzas
KT=K1+K2+K3+K4
KT= [1.0940e+006 -3.6135e+005 0 0 3.1512e+009 -1.0225e+009
-3.6135e+005 1.7531e+005 0 0 -1.0225e+009 4.7061e+008
0 0 9.0050e+005 -2.9885e+005 -2.5706e+009 8.3502e+008
0 0 -2.9885e+005 1.6091e+005 8.3502e+008 -4.2739e+008
3.1512e+009 -1.0225e+009 -2.5706e+009 8.3502e+008 1.7951e+013 -5.9419e+012
-1.0225e+009 4.7061e+008 8.3502e+008 -4.2739e+008 -5.9419e+012 3.0260e+012]
RSM/20009 10
5) Si se aplican fuerzas horizontales a nivel de cada diafragma, que pueden corresponder a fuerzas sísmicas, el edificio ahora se puede analizar con solo 6 grados de libertad, 3 por piso. Las fuerzas sísmicas actúan en el centro de masa de la planta.
[ ] [ ] [ ] [ ]
==
θ
θ
=
0
0
0
0
2000
1000
Fu
u
u
u
KuK 6x1
21
1
2y
1y
2x
1x
6x16x6
u=[4.7974e+000
9.6477e+000
-3.3524e+000
-5.5705e+000
-1.2222e-003
-2.1410e-003] mm / rad
RSM/20009 11
COMPROBACION (RAM ADVANSE)
Centros de masa
RSM/20009 12
?? Algo pasó que no da lo mismo, el modelo de RAM es más rígido y da menos desplazamiento. Razón: los muros estaban empotrados en su eje débil, y nuestra teoría o
simplificación considera que los marcos y muros solo contribuyen a la rigidez en su propio plano, no considera la rigidez fuera del plano (en el eje débil).
RSM/20009 13
Al rotular los apoyos en su eje débil, los resultados son casi exactamente iguales. Ojo, aquí
en ambos análisis (“a mano” y RAM) se consideró la deformación por corte.
Posible razón para la diferencia: en RAM el análisis en tridimensional, esto es, considera 6gdl por nodo, rigideces flexurales en ambos ejes, rigideces torsionales, etc, que nuestro análisis pseudo-tridimensional simplificado no considera.
RSM/20009 14
6) Con los desplazamientos por piso conocidos, se pueden calcular los desplazamientos laterales de cada marco a nivel de piso (ecuación pag. 7); estos son los desplazamientos condensados. Con ellos, se pueden calcular los desplazamientos nodales, es decir, el resto de los grados de libertad, utilizando la ecuación:
u0=-k00-1k0tut
0: grados de libertad a condensar
t : grados de libertad o desplazamientos laterales de cada piso
Con los desplazamientos nodales conocidos en el plano de cada marco, se pueden calcular las fuerzas locales (axial, corte y momento) de manera usual: f=k·u+kip
Otra posibilidad, para utilizar la misma rutina ya implementada para análisis de marcos
planos, es volver un paso más atrás, y calcular las fuerzas laterales a nivel de piso para cada marco multiplicando la matriz de rigidez horizontal de cada marco (NxN) por los desplazamientos de piso (Nx1). Estas fuerzas se aplican a los marcos individuales, y se procede de manera usual: calculo de desplazamientos (en el plano), reacciones y fuerzas locales nodales.
RSM/20009 15
Desplazamientos laterales de cada marco:
u1 = -7.0191e+000 mm
-1.1994e+001
u2 = 8.4641e+000
1.6071e+001
u3 = 3.1435e-001
8.5263e-001
u4 = 1.1306e+000
3.2246e+000
f1 = 30144 N
38611
f2 = 19856
61389
f3 = 30144
38611
f4 = 80144
138610
Comparando con RAM, bastante bien!
RSM/20009 16
Marco 1
30144N
38611N
Desplazamientos
1.0000e+000 0 0 0
2.0000e+000 0 0 0
3.0000e+000 7.0041e+000 1.1797e-001 -7.3442e-004
4.0000e+000 7.0191e+000 -1.1797e-001 -7.3658e-004
5.0000e+000 1.1974e+001 1.5199e-001 -3.6731e-004
6.0000e+000 1.1994e+001 -1.5199e-001 -3.6762e-004
Fuerzas nodales
1.0000e+000 -3.4343e+004 -7.0782e+004 5.4820e+007
2.0000e+000 -3.4412e+004 7.0782e+004 5.4932e+007
3.0000e+000 0 0 0
4.0000e+000 3.0144e+004 0 0
5.0000e+000 0 0 0
6.0000e+000 3.8611e+004 0 0
Fuerzas internas
1.0000e+000 -7.0782e+004 3.4343e+004 5.4820e+007 7.0782e+004 -3.4343e+004 4.8210e+0072.0000e+000 -2.0410e+004 1.9304e+004 2.7304e+007 2.0410e+004 -1.9304e+004 3.0608e+007
3.0000e+000 7.0782e+004 3.4412e+004 5.4932e+007 -7.0782e+004 -3.4412e+004 4.8303e+007
4.0000e+000 2.0410e+004 1.9307e+004 2.7300e+007 -2.0410e+004 -1.9307e+004 3.0621e+007
5.0000e+000 -1.5039e+004 -5.0372e+004 -7.5514e+007 1.5039e+004 5.0372e+004 -7.5604e+007
6.0000e+000 -1.9304e+004 -2.0410e+004 -3.0608e+007 1.9304e+004 2.0410e+004 -3.0621e+007
Comparar con valores página anterior
RSM/20009 17
Marco 2 Desplazamientos
1.0000e+000 0 0 0
2.0000e+000 0 0 0
3.0000e+000 8.4541e+000 1.6509e-001 -9.8338e-004
4.0000e+000 8.4641e+000 -1.6509e-001 -9.8657e-004
5.0000e+000 1.6040e+001 2.1836e-001 -5.6107e-004
6.0000e+000 1.6071e+001 -2.1836e-001 -5.6366e-004
Fuerzas nodales
1.0000e+000 -4.0607e+004 -9.9057e+004 6.5336e+007
2.0000e+000 -4.0638e+004 9.9057e+004 6.5396e+007
3.0000e+000 0 0 0
4.0000e+000 1.9856e+004 0 0
5.0000e+000 0 0 0
6.0000e+000 6.1389e+004 0 0
Fuerzas internas
1.0000e+000 -9.9057e+004 4.0607e+004 6.5336e+007 9.9057e+004 -4.0607e+004 5.6486e+007
2.0000e+000 -3.1962e+004 3.0659e+004 4.4089e+007 3.1962e+004 -3.0659e+004 4.7890e+007
3.0000e+000 9.9057e+004 4.0638e+004 6.5396e+007 -9.9057e+004 -4.0638e+004 5.6517e+0074.0000e+000 3.1962e+004 3.0730e+004 4.4191e+007 -3.1962e+004 -3.0730e+004 4.7997e+007
5.0000e+000 -9.9480e+003 -6.7094e+004 -1.0057e+008 9.9480e+003 6.7094e+004 -1.0071e+008
6.0000e+000 -3.0659e+004 -3.1962e+004 -4.7890e+007 3.0659e+004 3.1962e+004 -4.7997e+007
19856N
61389N
RSM/20009 18
Marco 3 Desplazamientos
1.0000e+000 0 0 0
2.0000e+000 0 0 0
3.0000e+000 2.9564e-001 3.8083e-003 -1.4605e-004
4.0000e+000 3.1435e-001 -3.8083e-003 -1.5182e-004
5.0000e+000 8.2296e-001 5.8663e-003 -1.7419e-004
6.0000e+000 8.5264e-001 -5.8663e-003 -1.7725e-004
Fuerzas nodales
1.0000e+000 -3.2258e+004 -1.1425e+004 1.3054e+008
2.0000e+000 -3.6497e+004 1.1425e+004 1.4014e+008
3.0000e+000 0 0 0
4.0000e+000 3.0144e+004 0 0
5.0000e+000 0 0 0
6.0000e+000 3.8611e+004 0 0
Fuerzas internas
1.0000e+000 -1.1425e+004 3.2258e+004 1.3054e+008 1.1425e+004 -3.2258e+004 -3.3769e+007
2.0000e+000 -6.1738e+003 1.9784e+004 4.5504e+007 6.1738e+003 -1.9784e+004 1.3849e+007
3.0000e+000 1.1425e+004 3.6497e+004 1.4014e+008 -1.1425e+004 -3.6497e+004 -3.0652e+007
4.0000e+000 6.1738e+003 1.8827e+004 4.2547e+007 -6.1738e+003 -1.8827e+004 1.3934e+007
5.0000e+000 -1.2473e+004 -5.2512e+003 -1.1735e+007 1.2473e+004 5.2512e+003 -1.1895e+007
6.0000e+000 -1.9784e+004 -6.1738e+003 -1.3849e+007 1.9784e+004 6.1738e+003 -1.3934e+007
RSM/20009 19
Marco 4 Desplazamientos
1.0000e+000 0 0 0
2.0000e+000 1.1306e+000 0 -5.5797e-004
3.0000e+000 3.2245e+000 0 -7.1391e-004
Fuerzas nodales
1.0000e+000 -2.1875e+005 0 1.0721e+009
2.0000e+000 8.0144e+004 0 0
3.0000e+000 1.3861e+005 0 0
Fuerzas internas
1.0000e+000 0 2.1875e+005 1.0721e+009 0 -2.1875e+005 -4.1583e+008
2.0000e+000 0 1.3861e+005 4.1583e+008 0 -1.3861e+005 0
RSM/20009 20Resultados OK comparando con RAM (análisis tridimensional)
RSM/20009 21
ANALISIS MODAL
1) Determinar masa traslacional y rotacional de cada piso. Si m es la masa de un diafragma uniformemente distribuida, Io=m(b2+d2)/12 es el momento de inercia del diafragma con respecto a un eje vertical que pasa a través de O (centro de masa)
2) Escribir la matriz de masas
3) Resolver problema de valores propios: det(KT-λM)=0
KT fue calculada en página 9 (está en unidades N-mm)
m piso 1 = 30000 kg ; m piso 2 = 20000 kg ;
IO piso 1 =180000 kgm2
=
120000
180000
20000
30000
20000
30000
M
En Matlab:
[V,D]=eig(KT,M);
[frec2,index]=sort(diag(D));
frec=frec2.^0.5;
T=1./frec;
RSM/20009 22
RESULTADOS
Vectores propios
Periodos=2π/w (s)
392.58
196.66
97.149
55.286
49.888
21.372
Frecuencias (1/s)
0.001001800.000094100.002371700.000692990.000062800.00110070
-0.00188000-0.000113710.00077411-0.000980390.000055950.00066682
-0.00084661-0.00208940-0.002155200.002835100.004426300.00355570
0.001590700.00383100-0.00102800-0.002783800.001712400.00209480
0.00108190-0.001923500.00189680-0.002524400.00472120-0.00358740
-0.002079400.003628600.000827790.002879000.00156370-0.00210310
Periodos (s), con RAM
0.016005
0.031949
0.064675
0.11365
0.12595
0.29399
0.01489
0.02926
0.06415
0.09374
0.12476
0.29075
RSM/20009 23
CENTRO DE RIGIDEZ
[yr] · [Kxx] – [xr] · [Kyx] + [Kθx] = [0]
[yr] · [Kxy] – [xr] · [Kyy] + [Kθy] = [0]-2.3745-2.4345piso 2
-2.9883-2.9519piso 1
yr (m)xr (m)
x
y
CR nivel 1
CR nivel 2
x
y