ejemplo marco equivalente
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Hormigón II Dr. David Wong Diaz
1
HORMIGON II
DISEÑO DE LOSA EN DOS DIRECCIONES SIN VIGA ANALIZADA POR EL
MÉTODO DEL MARCO EQUIVALENTE
Usando el Método de Marco Equivalente, determine los momentos de diseño para el sistema de
losa mostrada, para un piso intermedio.
Altura del piso = 9 pies
Dimensiones de la columna = 16 × 16 plg.
Con muros de cortante y sin vigas de apoyo
Peso distribuido = 20 lb/pies
Carga viva de servicio = 40 lb/pies
'
cf = 4,000 lb/plg (para las losas), concreto de peso normal
'
cf = 6,000 lb/plg (para las columnas), concreto de peso normal
yf = 60,000 lb/plg
Figura 1.
<
<
<
1 =18’
2 =14’
Franja de
diseño
1 =18’
1 =18’
2 =14’ 2 =14’
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2
ACI 13.7.2.1 Debe considerase que la estructura esta constituida por marcos equivalentes sobre ejes de columnas
longitudinal y transversalmente a través del edificio.
ACI 13.7.2.2 Cada marco debe consistir en una hilera de columnas o apoyos y franjas de viga columna, limitada
lateralmente por el eje central de del tablero a cada lado de del eje de las columnas o apoyos.
SOLUCIÓN:
Parte 1. Diseño preliminar del espesor (h) de la losa.
a. Control de deflexiones:
ln (luz libre entre las columnas) = 18 pies × 12 – 16 plg = 200 plg.
De acuerdo con el código ACI en la sección 9.5.3.2, el espesor mínimo (h) para losas sin vigas
debe estar de acuerdo con lo requerido según la tabla 9.5(c) que se muestra a continuación:
Tabla 1. Peralte mínimo de losas sin vigas interiores
Resistencia a
la fluencia
yf, lb/pulg2
Sin ábaco Con ábacos
Tableros exteriores Tableros
interiores Tableros exteriores
Tableros
interiores
Sin vigas
de borde
Con vigas de
borde
Sin vigas
de borde
Con vigas de
borde
40,000 ln/33 ln/36 ln/36 ln/36 ln/40 ln/40
60,000 ln/30 ln/33 ln/33 ln/33 ln/36 ln/36
70,000 ln/28 ln/31 ln/31 ln/31 ln/34 ln/34
2006.67 lg
30 30
nlh pu ., pero menor de 5 pulgadas según sección 9.5.3.2(a) para losas sin
ábacos según se define ábaco en la sección 13.3.7.1 y 13.3.7.2 del código.
Este valor de h se redondea hacia arriba por razones prácticas y los cálculos se basaran en un
espesor tentativo de 7 pulgadas para todos los paneles.
Donde el peso de la losa para un γconcreto = 150 lb/ pie3 es:
3 2
1150 7 lg 87.5
12 lglosa
lb pie lbw p
pie p pie
b. Fuerza Cortante de la losa:
Para un recubrimiento de ¾ de pulgada y usando barras No. 4 (con diámetro de 0.5 plg), el
peralte efectivo (d) se calcula de acuerdo a la Figura 2 como sigue:
0.5 0.75 5.75d h plg.
d
db = 0.5”
Figura 2. R = ¾”
h
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3
La resistencia requerida según el código ACI 9.2.1 para soportar la carga muerta (D) y la carga
viva (L) se calcula de la siguiente manera:
U = 1.4D + 1.7L
U = 1.4 (87.5 + 20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2
Ancho de acción de viga: según el código ACI en la sección 11.12.1.1 la acción de viga en cada
una de las secciones críticas que van a investigarse se extiende en un plano a través del ancho
total. Para este caso el ancho de acción de viga es investigada para un ancho de franja de 12
pulg. tomada a una distancia d desde la cara del apoyo en la dirección larga como se muestra en
la Figura 3.
Acción de viga = ' " "18 16 5.75
7.8542 2 12 12
pies
Entonces el cortante último resulta
Vu = ( 218.5 lb/pie2 ) × ( 7.854 pies ) = 1716 lb ~ 1.72 klb
Y según extensos ensayos publicados por el ACI SP-30 el valor de Vc se aproxima a:
'2
0.85 2 4,000 12 5.75 7419 7.42
c c w
c
V f b d
V lb klb
u cV V
Acción en dos direcciones. La sección critica para cortante por punzonamiento está ubicada a
una distancia d/2 = 2.88 plg. desde la cara de la columna lo que proporciona un perímetro de
cortante bo = (16 + 2.88 × 2 ) × 4 = 87 plg. Entonces el cortante ultimo es:
2
21.75"218.5 18 14 54344 54.3
12uV lb
klb
y de acuerdo con el código ACI 11.12.2 se utiliza la ecuación 11.37 para Vc
'4c c oV f b d para columnas cuadradas interiores
4 4,000 87 5.75 126554 126.6cV lb klb
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4
luego
0.85 126.6 107.6cV klb
Vu = 54.3 klb < Vc = 107.6 klb
Figura 3. Sección crítica para cortante
Luego entonces diseño preliminar indica que un espesor global de losa igual a 7 pulg. es
adecuada para el control de deflexiones y cortante.
Parte 2: Miembros del marco equivalente
Determinar los factores de distribución de momento y los momentos de empotramiento perfecto
para los miembros del marco equivalente. El método de distribución de momento será usado
para analizar el marco parcial. El factor de rigidez “k”, los factores de transporte “COF” y los
momentos de empotramiento perfecto “FEM” para las vigas-losa y las columnas son
determinados usando las tablas que se muestran en el Apéndice. Los cálculos se muestran a
continuación:
a. Vigas-losa (ACI 13.7.3)
Rigidez flexional en ambos extremos (Ksb): De acuerdo a los diagramas que se muestran en las
tablas y los valores definidos de 1 2 y y conociendo que los subíndices N = near o extremo
cercano y F = far o extremo lejano
1 2
1 2
16 160.07 y 0.1
(18 12) (14 12)
N Nc c
18’
14’
Líneas de centro
del tablero
7.854’
d/2=2.88’
d =5.75’
21.75’
21.75’
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Usando la tabla A1, ya que es la que proporciona las constantes de distribución de momento
para las vigas-losa. En la sección en el que CF1 = CN1 y CF2 = CN2.
Interpolando:
0.10 0.07
0.18 4.00
4.126 4.13
NF
NF
K
K
luego:
1
cs ssb NF
E IK K
donde :
Ecs = módulo de elasticidad del concreto de la losa, que según el ACI 8.5.1 se define como
' 6 257,000 57,000 4,000 3.60 10 lb/plgcf
Is = momento de inercia de la losa definida como
3 3 4
2
1 1168" 7 4,802 plg .
12 12sI h
entonces:
6
6
1
3.60 10 4,8024.13 331 10 lb-plg
216
cs ssb NF
E IK K
Factor de transporte (COF): de acuerdo a la tabla A1 del apéndice, se puede obtener de la
siguiente manera:
Interpolando:
0.10 0.07
0.01 0.50
0.509
COF
COF
1
1
NC 2
2
NC
NFK
0.00
0.07
0.10
–
0.10
0.10
4.00
KNF
4.18
1
1
NC 2
2
NC COF
0.00
0.07
0.10
–
0.10
0.10
0.50
COF
0.51
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6
Momento de empotramiento perfecto (FEM): se calcula a partir de la tabla A1 del apéndice:
Interpolando:
0.10 0.07
0.0014 0.0833
0.08428 0.0843
NF
NF
m
m
entonces:
2
2 10.0843 uFEM w
b. Columnas (ACI 13.7.4)
Rigidez flexional en ambos extremos (Kc):
Utilizando ahora la tabla A7 del apéndice que se refiere a la rigidez (K) para columnas. De
acuerdo al primer diagrama que se muestran en ésta tabla y conociendo que:
ta y tb = h/2 = 3.5 plg. ta/tb = 1
H = 9 pies = 108 plg. H/Hc = 1.07
Hc = 101 plg. kAB = kBA = k
Interpolando:
0.05 0.57
0.02 4.22
4.74
k
k
entonces:
cc cc
E Ik k
H
donde:
Ecc = módulo de elasticidad del concreto de las columnas que según el ACI 8.5.1 se define como
' 6 257,000 57,000 6,000 4.42 10 lb/plgcf
Is = momento de inercia de las columnas definido como
3 4 41 116 5,461 plg .
12 12sI bh
1
1
NC 2
2
NC
NFm
0.00
0.07
0.10
–
0.10
0.10
0.0833
NFm
0.0847
ta/tb H/Hc kAB
1.0
1.05 4.52
1.07 k
1.10 5.09
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7
por lo tanto:
664.42 10 5461
4.74 1059 10 lb-plg.108
ck
Factor de Transporte (COF): Se calculan a partir de la tabla A-7 del apéndice de la siguiente
manera:
Interpolación:
0.03 0.05
0.54 0.02
0.54 0.012
0.552c
COF
COF
COF
c. Miembros sujetos a torsión (ACI 13.7.5)
Rigidez Torsional (Kt): según se describe en los comentarios del ACI R13.7.5 una expresión
aproximada para la rigidez del elemento torsional es la siguiente:
2
2
3
2
9
1
cst
c
E CK
donde C se define en el ACI 13.0 como la constante de sección transversal para definir las
propiedades torsionantes
3
1 0.633
x x yC
y
por lo tanto, a partir de la Figura 4
347 7 16
1 0.63 1,325 plg16 3
C
16 plg.
Miembro torsional
7”
Figura 4.
ta/tb H/Hc CAB
1.0
1.05 0.54
1.07 COF
1.10 0.57
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8
donde:
2
2
1614 121 1 0.905c
Luego entonces:
2
2
66
3 3
2
9 9 3.60 10 1325345 10 lb-plg
14 12 0.9051
cst
c
E CK
d. Rigidez equivalente de columna (Kec)
1 1 1
ec c t
c t
ec
c t
K K K
K KK
K K
donde: (ver Figura 5)
Kc = rigidez a flexión de la columna real y ΣKc es por las columnas arriba y debajo de la
viga-losa unida al piso intermedio.
Kt = rigidez de torsión de la viga de borde y ΣKt es por los dos miebrs torcionales, uno
a cada lado de la columna
Kc
Kt 1
1
Kt
Kc
Figura 5.
Por lo tanto:
6
2 1,509 2 345
2 1,509 2 345
520 10 lb-plg
ec
ec
K
K
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e. Factores de distribución de momento (DF) para los nodos de las vigas-losa.
Conociendo los valores de:
Kec = 520×106 lb-plg. y
Ksb = 331×106 lb-plg.
Como se muestra en la Figura 6. se calcula los DF para nos nodos interiores y exteriores de la
siguiente manera:
520 520
331 331 331
Figura 6.
En el nodo exterior:
331
0.389(331 520)
DF
En el nodo interior:
3310.280
331 331 520DF
Parte 3. Análisis parcial de pórtico del marco equivalente.
Determinar los momentos máximos negativos y positivos de la viga-losa usando el método de
distribución de momentos.
Obsérvese que:
40 30.37
(87.5 20) 4
L
D
Como la carga viva de servicio no excede las ¾ partes de la carga muerta de servicio, como se
menciona en el código ACI 13.7.6.2, se asume que los momentos de diseño ocurren en todas las
secciones críticas con la carga viva factorizada total en todos los tableros.
a. Cargas factoradas y momentos de empotramiento perfecto
Carga muerta factorada: wd = 1.4(87.5+20) = 150.5 lb/pie2
Carga viva factorada: wl = 1.7(40) =68 lb/pie2
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Carga muerta total: wu = 150.5 + 68 = 218.5 lb/pie2
FEM para la viga-losa = 0.0843wu2
2 1 que fue obtenido anteriormente
FEM = 0.0843 (218.5)(14)(182) = 83551 lb-pies 83.6 klb-pies
b. Distribución de momentos:
Convención de signos: Sentido contrario a las manecillas del reloj se toma como positivo
1 2 3 4
Figura 7. Sección transversal del marco parcial
Conociendo:
FEM: 83.6 klb-pies
DFint: 0.389 DFext: 0.280
COF: 0.509
Podemos hacer la distribución de momentos (Hardy Cross):
Nodo 1
2
3
4
COF 0.509 0.509 0.509 0.509
DF 0.389 0.28 0.28 0.28 0.28 0.389
FEM 83.6 -83.6 -32.52 0
0 -16.6
4.65
2.4
-0.93 0.67
0.3 -0.5
83.6 -83.6 0 0
0
4.65 -4.65
-2.4 2.4 0.67 -0.67
-0.3 0.3
83.6 -83.6 0 32.52
16.6 0
-4.65 .
-2.4
-0.67 0.93
0.5 -0.3
∑(M) 86.3 -100.7 80.9 -80.9 100.7 -86.3
∑MD* -33.6 +5.5 +5.5 -5.5 -5.5 +33.6 M Neg. +52.7 -95.2 +86.4 -86.4 +95.2 -52.7
*Momentos distribuidos
Como ya se había mencionado la rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj de los
momentos que actúan al final de los miembros se toman como positivos.
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Podemos obtener el valor de los momentos positivo por la siguiente ecuación:
o uL uRu
M (M M )M (tramo central)
2
donde: Mo = es el momento en el centro para una viga simple (wul2/8)
Cuando los momentos en los extremos no son iguales, el momento máximo no ocurre en el
centro, pero su valor es cercano a aquél en el centro.
Momentos: MuL MuR
o uL uRu
M (M M )M
2
Momento positivo para tramo 1-2 Mo
+Mu = 20.2185 14 18 52.7 95.2
50.0 klb-pie8 2
Figura 8.
Momento positivo para el tramo 2-3
+Mu = 20.2185 14 18 86.4 86.4
37.5 klb-pie8 2
Momento positivo para el tramo 3-4
+Mu = 20.2185 14 18 52.7 95.2
50.0 klb-pie8 2
Parte 4. Momentos de diseño
De acuerdo al código ACI en la sección 13.7.7.1, la sección critica en los apoyos interiores para
los momentos negativos factorizados puede tomarse en la cara de los apoyos rectos, pero a no
más de 0.175l1 desde del centro de la columna:
16"0.67 pies 0.175 18 3.15 pies
2
en este caso controla los 0.67 pies, y los momentos negativos de diseño se calculan restándole al
momento negativo en el centro del apoyo el área bajo el diagrama de cortante que está entre la
línea central y la cara del apoyo.
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12
En la Figura 9 se muestran los diagramas de momento resultantes de la distribución de
momento: el diagrama de cortante y el diagrama de momentos de diseño.
1 2 3 4
18’ 18’ 18’
50.0 50.0
37.5
52.7 52.7
86.4 86.4
95.2 95.2
MOMENTOS DE FRANJA
27.5 29.9 27.9
25.2 23.2 25.5
23.2 25.2
27.9 29.9 25.5 27.5
CORTANTE EN LAS FRANJAS
50.0 50.0
37.5
36.6 36.6
68.8 68.8
76.8 76.6
MOMENTOS DE DISEÑO
Figura. 9
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13
(36.6 76)50.0 106.3 klb-pies
2
Paso 5. Momento factorado total por franja
Según el código ACI en su sección 13.7.7.4, en los sistemas de losa que cumplan con las
limitaciones de la sección 13.6.1 , pueden reducirse los momentos calculados resultantes en una
proporción tal, que la suma absoluta de los momentos positivo y negativo promedio utilizados
para el diseño, no necesite exceder el valor obtenido con la ecuación 13.3 que es:
22
20.2185 14 18 2 0.67
106.3 klb-pie8 8
u no
wM
franjas finales:
franja interior:
Puede verse que los momentos de diseño total obtenidos por el Método de Marco Equivalente
producen un momento estático igual al momento estático dado por la expresión usada en el
Método de Diseño Directo.
Paso 6. Distribución de los momentos de diseño a través de la franja viga-losa (ACI 13.7.7.5):
Los momentos negativos y positivos factorados en las secciones criticas pueden ser distribuidas
a las franjas de columnas y a las franjas intermedias de acuerdo a lo especificado en la sección
13.6.4 y 13.6.6 del código ACI. Nótese que los requerimientos de la sección no aplica para
sistemas de losa sin viga (α = 0).
De acuerdo a los momentos factorados que se muestran en el diagrama de momento de diseños
de la Figura 9 y las tablas de la sección 13.6.4 que presentamos a continuación se puede obtener
la distribución de momentos factorados.
68.8 68.837.5 106.3 klb-pie
2
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14
Tabla 2. Fracciones de Momentos Factorizados Negativos Interiores:
l2/l1 0.5 1.0 2.0
(α1l2/l1) = 0 75 75 75
(α1l2/l1) ≥ 1.0 90 75 45
Tabla 3. Fracciones de Momentos Negativos Exteriores Factorizados:
l2/l1 0.5 1.0 2.0
(α1l2/l1) = 0 βt = 0 100 100 100
βt ≥ 2.5 75 75 75
(α1l2/l1) ≥ 1.0 βt = 0 100 100 100
βt ≥ 2.5 90 75 45
Tabla 4. Fracciones de Momento Positivos Factorizados:
l2/l1 0.5 1.0 2.0
(α1l2/l1) = 0 60 60 60
(α1l2/l1) ≥ 1.0 90 75 45
Como α = 0
βt = 0
l2/l1 = 14/18 = 0.78
Tabla 5. Distribución De Momento Factorado:
Momento
Factorado
(klb-pie)
Franja de Columna Momento (klb-pie)
en las dos mitades
de franja
intermedia** Porcentaje*
Momento (klb-
pie)
Tramos Finales:
Exterior Negativo
Positivo
Interior Negativo
36.6
50.0
76.0
100
60
75
36.6
30.0
57.0
0.00
20.0
19.0
Tramo Interior:
Negativo
Positivo
68.8
37.5
75
60
51.6
22.5
17.2
15.0
* De acuerdo a las tablas anteriores para sistemas de losas sin vigas
** Según sección 13.6.6.1 del ACI: la fracción de los momentos no factorizados positivos y negativos no resistida
por las franjas de columna deben asignarse proporcionalmente a la mitad de las franjas intermedias
correspondientes
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15
Paso 7. Momento de las Columnas:
Los momentos desbalanceados de la viga-losa en los apoyos del marco equivalente son
distribuidos a las columnas arriba y debajo de la viga-losa en proporción a la rigidez relativa de
las columna. Refiriéndonos a la Figura 9, los momentos desequilibrados en los nodos son:
Nodo 1 = +52.7 klb-pie
Nodo 2 = -95.2 + 86.4 = -8.8 klb-pie
Nodo 3 = 95.2 - 86.4 = 8.8 klb-pie
Nodo 4 = -52.7 klb-pie
La rigidez y el factor de transporte de las columnas y la distribución de los momentos
desbalanceados al exterior e interior de las columnas son mostrados en la Figura 10. Los
momentos de diseño para las columnas pueden ser tomados en la junta de las columnas con la
losa.
C 14.54 2.43
25.03 parte superior de losa 9 pies
26.35 4.40 4.18 7 plg.
26.35 4.18 4.40
parte inferior de losa 25.03
C
14.54 2.43
COLUMNA COLUMNA
EXTERIOR INTERIOR
Figura 10. Momentos de las Columnas
Obsérvese que al igual que con las vigas los momentos de diseño son aquellos que se
encuentran a una distancia de h/2 desde la junta.
Por lo tanto, los momentos de diseño son:
En el exterior de la columna = 25.03 klb-pie
En el interior de la columna = 4.18 klb-pie
COF = 0.552
Kc = 1059
COF = 0.552
Kc = 1059
L losa
L losa
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Paso 8. Transferencias de cortantes y momentos por carga de gravedad a las columnas
exteriores
Verificar las fuerzas cortantes y flexionante al borde de la columna debido al cortante directo y
a la transferencia de momento no equilibrado de cuerdo a la sección 11.12.6 y 13.5.3 del código
ACI.
a. Fuerza cortante factorada, transferida a las columnas exteriores.
1 2
2
0.2185 14 1827.5 klb.
2
uu
u
wV
V
b. Transferencia de momentos no equilibrados a las columnas exteriores.
Cuando los momentos factorados son determinados por métodos exactos de análisis de marcos,
como el Método de Marco Equivalente el cual considera la rigidez de los miembros reales, los
momentos no balanceados son tomados directamente de los resultados del análisis del marco.
El momento no balanceado en la columna exterior es Mu = 36.6 klb-pie. (de la tabla 5).
Nótese la provisión especial de la sección 13.6.3 para la transferencia de momentos
desbalanceados entre la losa y el borde de la columna cuando son usados los coeficientes de
aproximación de momento del Método de Diseño Directo. Considerando lo aproximado del
procedimiento de análisis de transferencia de momentos, se asume que los momentos no
balanceados Mu se encuentran en el centroide de la sección critica de transferencia.
c. Esfuerzo cortante combinado en la cara interior de la sección crítica de
transferencia.
De acuerdo a la sección 11.12.6.2 del código ACI y la ecuación de esfuerzo cortante
/
u v uu
c
V Mv
A J c
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donde de acuerdo al Apéndice B, la figura C:
Ac = (2b1+ b2)d = ( 2 × 18.75 + 21.75 ) × 5.75 = 342.125 plg2
Si b1 = c1 + d/2 = 16 + 5.75/2 = 18.875 plg. ancho de
b2 = c2 + d = 16 + 5.75 = 21.75 plg. franja
2 3
1 1 2 1 2
1
2 2 2/ 2358.43
6
b d b b d b bJ c
b
f1 1 0.62 0.38 38%v
si según la ecuación 13-1 de la sección 13.5.3.2 del código ACI la fracción del momento
desequilibrado transmitido por flexión en la conexión losa-columna es:
1
2
f23
10.62 62%
1b
b
Entonces
2
0.38 36.6 12,0027,500
/ 342.2 2,358
151.2 lb/in
u v uu
c
u
V Mv
A J c
v
d. Esfuerzo cortante permisible
' 24 0.85 4 4,000 215.0 lb/plgn c
n u
v f
v v
e. Diseño para transferencia de momentos no balanceados por flexión para la mitad
de la franja y la franja de columna. ACI 13.5.3
Acero por contracción y temperatura (ACI 13.3.1 y 7.12.2.1(b))
As(min) =0.008bh = 0.0018 × 84 × 7 = 1.06 plg2
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
18
147 84 plg.
2
846
14barras
Donde b es el ancho de franja de diseño =
Para barras No 4, cantidad de barras requeridas=
Para espaciado máximo según el código ACI 13.5.2 de smáx = 2h = 2 × 7 = 14 plg, total de barras
requeridas =
Verificando acero total requerido para el momento negativo en la franja de columna Mu = 36.6
klb-pie. Usado la Tabla 10.1 que se encuentra en el apéndice de este trabajo:
' 2 2
36.6 120.0439
0.9 4 845.75
u
c
M
f bd
y ω = 0.0451
'20.0451 4 84 5.75
1.45 plg60
cs
y
f bdA
f
entonces, para barras No. 4, el total de barras requeridas es
Usar barras 6 # 4 espaciadas @ 14 plg. en la franja central y en la porción de la franja de
columna fuera donde se transmiten los momentos no balanceados que tiene un largo igual a :
c + 2 (1.5 h) = 16 + 2 (1.5 × 7) = 37 plg.
El refuerzo adicional para las columnas dentro del argo efectivo de losa de 37 plg., requerido
para resistir la fracción del momento no balanceado transferido por flexión se calcula como
sigue:
Ya se calculó γf = 62% , entonces γf Mu = 0.62 × 36.6 = 22.7 lkb- pie. Este momento debe ser
transferido dentro de el largo efectivo de losa de 37 plg. Entonces pruébese 2 barras adicionales
en la columna y verifíquese el momento con barras No.4 en un largo de 37 plg.
Para barras No.4: As = 4 × 0.20 = 0.80 plg2
7”
7’= 84”
1.065.3
0.20barras
1.457.3
0.20barras
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
19
'
0.80 600.0564
4 37 5.75
s y
c
A f
f bd
de la tabla 10-1:
' 2
0.0545n
c
M
f bd
luego Mn = 0.0545 × 4 × 37 × 5.752 / 12 = 22.2 klb-pie
= 0.9 × 22.2 = 20.0 klb-pie < 22.7 klb-pie No cumple
probar con 3 barras adicionales
nM
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
20
Diseño de franja de 18 pies ( la otra dirección)
Figura 12.
Espesor de losa uniforme h = 7 plg. (peso = 87.5 lb/pie2).
d = 5.75 plg.
Las cargas son las mismas:
U = 1.4D + 1.7L
U = 1.4 (87.5 + 20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2
Miembros del marco equivalente
Igualmente como se calculó anteriormente todos factores y FEM son determinados usando las
tablas que se muestran en el Apéndice. Los cálculos se muestran a continuación:
<
<
<
2 =18’
1 =14’
2 =18’
2 =18’
1 =14’ 1 =14’
Franja
de
Diseño
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
21
Vigas-losa (ACI 13.7.3)
Rigidez flexional en ambos extremos (Ksb)
1 2
1 2
16 160.01 y 0.07
(14 12) (18 12)
N Nc c
Usando la tabla A1. CF1 = CN1 y CF2 = CN2.
Interpolando:
0.10 0.07
0.18 4.00
4.126 4.13
NF
NF
K
K
1
cs ssb NF
E IK K
Ecs = módulo de elasticidad del concreto de la losa, que según el ACI 8.5.1 se define como
' 6 257,000 57,000 4,000 3.60 10 lb/plgcf
Is = momento de inercia de la losa definida como
3 3 4
1
1 1216" 7 6,174 plg .
12 12sI h
entonces:
6
6
1
3.60 10 6,1744.13 425 10 lb-plg
216
cs ssb NF
E IK K
Factor de transporte (COF): de acuerdo a la tabla A1 del apéndice, se puede obtener de la
siguiente manera:
1
1
NC 2
2
NC
NFK
0.10
0.00
0.07
0.10
4.00
KNF
4.18
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
22
Interpolando:
0.10 0.07
0.01 0.50
0.509
COF
COF
Momento de empotramiento perfecto (FEM): se calcula a partir de la tabla A1 del apéndice:
0.10 0.07
0.0014 0.0833
0.08428 0.0843
NF
NF
m
m
2
2 10.0843 uFEM w
Columnas (ACI 13.7.4)
Rigidez flexional en ambos extremos (Kc):
Utilizando la tabla A7 del apéndice que se refiere a la rigidez (K) para columnas. De acuerdo al
primer diagrama que se muestran en ésta tabla
ta y tb = h/2 = 3.5 plg. ta/tb = 1
H = 9 pies = 108 plg. H/Hc = 1.07
Hc = 108 – 7 = 101 plg. kAB = kBA = k
Interpolando:
0.05 0.57
0.02 4.22
4.74
k
k
cc cc
E Ik k
H
1
1
NC 2
2
NC COF
0.00
0.07
0.10
–
0.10
0.10
0.50
COF
0.51
1
1
NC 2
2
NC
NFm
0.00
0.07
0.10
–
0.10
0.10
0.0833
NFm
0.0847
ta/tb H/Hc kAB
1.0
1.05 4.52
1.07 k
1.10 5.09
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
23
Ecc = módulo de elasticidad del concreto de las columnas que según el ACI 8.5.1 se define como
' 6 257,000 57,000 6,000 4.42 10 lb/plgcf
Is = momento de inercia de las columnas definido como
3 4 41 116 5,461 plg .
12 12sI bh
por lo tanto: 6
64.42 10 54614.74 1059 10 lb-plg.
108ck
Factor de Transporte (COF): Se calculan a partir de la tabla A-7 del apéndice de la siguiente
manera:
Interpolación:
0.03 0.05
0.54 0.02
0.54 0.012
0.552c
COF
COF
COF
Miembros sujetos a torsión (ACI 13.7.5)
Rigidez Torsional (Kt): Según se describe en los comentarios del ACI R13.7.5 la rigidez del
elemento torsional es la siguiente:
2
2
3
2
9
1
cst
c
E CK
donde C se define en el ACI 13.0 como la constante de sección transversal para definir las
propiedades torsionantes
3
1 0.633
x x yC
y
por lo tanto, a partir de la Figura 4
347 7 16
1 0.63 1,325 plg16 3
C
2
2
1614 121 1 0.905c
ta/tb H/Hc CAB
1.0
1.05 0.54
1.07 COF
1.10 0.57
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
24
luego
2
2
66
3 3
2
9 9 3.60 10 1325345 10 lb-plg
14 12 0.9051
cst
c
E CK
Rigidez equivalente de columna (Kec)
1 1 1
ec c t
c t
ec
c t
K K K
K KK
K K
donde: (ver Figura 13)
Kc = rigidez a flexión de la columna real y ΣKc es por las columnas arriba y debajo de la
viga-losa unida al piso intermedio.
Kt = rigidez de torsión de la viga de borde y ΣKt es por los dos miembros torcionales,
uno a cada lado de la columna
Kc
2 Kt
2
Kt
Kc
Figura 13.
Por lo tanto:
6
2 1,509 2 345
2 1,509 2 345
520 10 lb-plg
ec
ec
K
K
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
25
Factores de distribución de momento (DF) para los nodos de las vigas-losa.
Conociendo los valores de:
Kec = 520×106 lb-plg. y
Ksb = 425×106 lb-plg.
Los DF en el nodo exterior:
425
0.449(425 520)
DF
en el nodo interior:
4250.310
425 425 520DF
Análisis parcial de pórtico del marco equivalente.
Cargas factoradas y momentos de empotramiento perfecto
Carga muerta total: wu = 1.4(87.5+20) + 1.7(40) = 218.5 lb/pie2
FEM para la viga-losa = 0.0843wu2
2 1 que fue obtenido anteriormente
FEM = 0.0843 (218.5)(14)(182) = 83551 lb-pies 83.6 klb-pies
Distribución de momentos:
Convención de signos: Sentido contrario a las manecillas del reloj se toma como positivo
Conociendo:
FEM: 83.6 klb-pies
DFint: 0.310 DFext: 0.449
COF: 0.509
Podemos hacer la distribución de momentos (Hardy Cross):
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
26
Nodo 1
2
3
4
COF 0.509 0.509 0.509 0.509
DF 0.449 0.31 0.31 0.31 0.31 0.449
FEM 83.6 -83.6 -37.52 0
0 -19.11
5.92
3.01
-1.35 0.93
0.47 -0.69
-0.21 0.21
0.11 -0.11
83.6 -83.6 0 0
0
5.92 -4.65
-3.01 3.01 0.93 -0.93
-0.47 0.47
0.21 -0.21
-0.11 0.11
83.6 -83.6 0 32.52
16.6 0
-4.65 .
-3.01
-0.93 1.35
0.69 -0.47
-0.21 0.21
0.11 -0.11
∑(M) 87.19 -103.51 80.01 -80.01 103.51 -87.19
∑MD* -39.10 +7.06 +7.06 -7.06 -7.06 +39.10 M Neg. +48.09 -96.46 +87.07 -87.07 +96.45 -48.09
*Momentos distribuidos
Podemos obtener el valor de los momentos positivo por la ecuación:
o uL uRu
M (M M )M (tramo central)
2
donde: Mo = es el momento en el centro para una viga simple (wul2/8)
Momentos:
Momento positivo para tramo 1-2
+Mu = 20.2185 14 18 48.09 96.45
51.62 klb-pie8 2
Momento positivo para el tramo 2-3
+Mu = 20.2185 14 18 87.07 87.07
36.82 klb-pie8 2
Momento positivo para el tramo 3-4
+Mu = 20.2185 14 18 48.09 96.45
51.62 klb-pie8 2
Momentos de diseño
De acuerdo al código ACI en la sección 13.7.7.1, la sección critica en los apoyos interiores para
los momentos negativos factorizados puede tomarse en la cara de los apoyos rectos, pero a no
más de 0.175l1 desde del centro de la columna:
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
27
16"0.67 pies 0.175 18 3.15 pies
2
nuevamente en este caso controla los 0.67 pies, y en esta ocasión obtenemos las ecuaciones del
momento de la franja y evaluamos para las distancias:
Ecuación de momento de las franjas exteriores: Ecuación de momento de la franja interior:
22.35 31.94 48.09uM x x
22.53 35.397 87.07uM x x
0.67 27.8
13.33 71.6
u
u
x M
x M
0.67 64.5
13.33 64.5
u
u
x M
x M
1 2 3 4
14’ 14’ 14’
51.62 51.62
36.82
48.09 48.09
87.07 87.07
96.45 96.45
MOMENTOS DE FRANJA
51.62 51.62
36.82
27.8 27.8
64.5 64.5
71.6 71.6
MOMENTOS DE DISEÑO
Figura. 14. Diagramas de momento resultantes de la distribución de momento y diagrama de
momentos de diseño.
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
28
(27.8 71.6)51.62 101.3 klb-pies
2
Momento factorado total por franja
Según el código ACI en su sección 13.7.7.4, la suma absoluta de los momentos positivo y
negativo promedio utilizados para el diseño, no necesite exceder el valor obtenido con la
ecuación:
22
20.2185 14 18 2 0.67
106.3 klb-pie8 8
u no
wM
franjas finales:
franja interior:
Distribución de los momentos de diseño a través de la franja viga-losa (ACI 13.7.7.5):
Distribución de los momentos de diseño a través de la franja viga-losa se realiza de la misma
manera como se hizo con la franja l2, según las especificaciones del código ACI 13.6.4. y las
tablas que allí se presentan y que ya fueron mostradas en el paso 6
Como α = 0 , βt = 0 , l2/l1 = 14/18 = 0.78
Tabla 6. Distribución De Momento Factorado:
Momento
Factorado
(klb-pie)
Franja de Columna Momento (klb-pie)
en las dos mitades
de franja
intermedia** Porcentaje*
Momento (klb-
pie)
Tramos Finales:
Exterior Negativo
Positivo
Interior Negativo
27.8
51.62
71.6
100
60
75
27.8
30.97
53.70
0.00
20.65
17.90
Tramo Interior:
Negativo
Positivo
64.5
36.82
75
60
48.38
22.1
16.12
14.72
* De acuerdo a las tablas de la sección 13.6.4 del ACI para sistemas de losas sin vigas
** Según sección 13.6.6.1 del ACI: la fracción de los momentos no factorizados positivos y negativos no resistida por las
franjas de columna deben asignarse proporcionalmente a la mitad de las franjas intermedias correspondientes
64.5 64.536.82 101.3 klb-pie
2
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
29
Transferencias de cortantes y momentos por carga de gravedad a las columnas exteriores
Según la sección 11.12.6 y 13.5.3 del código ACI.
Fuerza cortante factorada transferida a las columnas exteriores.
1 2
2
0.2185 14 1827.5 klb.
2
uu
u
wV
V
Transferencia de momentos no equilibrados a las columnas exteriores.
El momento no balanceado en la columna exterior es Mu = 27.8 klb-pie. (de la tabla 6).
Esfuerzo cortante combinado en la cara interior de la sección crítica de transferencia.
De acuerdo a la sección 11.12.6.2 del código ACI y la ecuación de esfuerzo cortante
/
u v uu
c
V Mv
A J c
donde de acuerdo al Apéndice B, la figura C:
Ac = (2b1+ b2)d = ( 2 × 18.875 + 21.75 ) × 5.75 = 342.125 plg2
Si b1 = c1 + d/2 = 16 + 5.75/2 = 18.875 plg.
b2 = c2 + d = 16 + 5.75 = 21.75 plg.
2 3
1 1 2 1 2
1
2 2 2/ 2358.43
6
b d b b d b bJ c
b
f1 1 0.62 0.38 38%v
si según la ecuación 13-1 de la sección 13.5.3.2 del código ACI la fracción del momento
desequilibrado transmitido por flexión en la conexión losa-columna es:
1
2
f23
10.62 62%
1b
b
Entonces
2
0.38 27.8 12,0027,500
/ 342.2 2,358
134.12 lb/in
u v uu
c
u
V Mv
A J c
v
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
30
189 108 plg.
2
1087.71
14barras
f. Esfuerzo cortante permisible
' 24 0.85 4 4,000 215.0 lb/plgn c
n u
v f
v v
Diseño para transferencia de momentos no balanceados por flexión para la mitad de la
franja y la franja de columna. ACI 13.5.3
Acero por contracción y temperatura (ACI 13.3.1 y 7.12.2.1(b))
Como b es el ancho de franja de diseño =
As(min) =0.008bh = 0.0018 × 108 × 7 = 1.36 plg2
Para barras No 4, cantidad de barras requeridas =
Para espaciado máximo según el código ACI 13.5.2 de smáx = 2h = 2 × 7 = 14 plg, total de barras
requeridas =
Verificando acero total requerido para el momento negativo en la franja de columna Mu = 27.8
klb-pie. Usado la Tabla 10.1 que se encuentra en el apéndice de este trabajo:
' 2 2
27.8 120.0259
0.9 4 108 5.75
u
c
MR
f bd
4 4 0.02590.85 1 1 0.85 1 1 0.0263
1.7 1.7
R
'20.0263 4 108 5.75
1.09 plg60
cs
y
f bdA
f
entonces, para barras No. 4, el total de barras requeridas es
Usar barras 7 # 4 espaciadas @ 14 plg. en la franja central y en la porción de la franja de
columna fuera donde se transmiten los momentos no balanceados que tiene un largo igual a :
c + 2 (1.5 h) = 16 + 2 (1.5 × 7) = 37 plg.
1.366.80
0.20barras
1.095.45
0.20barras
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
31
Ya se calculó γf = 62% , entonces γf Mu = 0.62 × 27.8 = 17.2 lkb- pie. Este momento debe ser
transferido dentro de el largo efectivo de losa de 37 plg. Entonces pruébese 3 barras adicionales
dentro de la franja de 37 plg
Para barras No.4: As = 5 × 0.20 = 1.00 plg2
'
1.00 600.0705
4 37 5.75
s y
c
A f
f bd
' 21 0.59 0.0705 1 0.59 0.0705 0.0676n
c
M
f bd
luego Mn = 0.0676 × 4 × 37 × 5.752 / 12 = 27.56 klb-pie
= 0.9 × 27.56 = 24.8 klb-pie >17.2 klb-pie Si cumple
Esquema de la franja de columna a diseñar
nM
Fra
nja
de
dis
eño =
18
’
3 barras
adicionales
Lar
go
efe
ctiv
o d
e lo
sa
par
a m
om
ento
tran
sfer
ido p
or
flex
ión
. 5
# 4
Fra
nja
de
colu
mna,
9 #
4
Hormigón II Dr. David Wong Diaz
32
Figura 15