ejercicio 1
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EJERCICIO 5.83. Una barra delgada de peso 𝑊 y longitud 𝐿 se apoya sobre un semicilindro fijo.
¿Cuál es la aceleración angular inicial de la barra cuando se suelta desde el reposo en la posición
indicada? Se desprecia el remozamiento.
SOLUCION:
i. Haciendo el D.C.L. de la barra.
ii. Planteando las ecuaciones de movimiento.
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑦
𝑅2 + 𝑅1 ∗ cos 𝛼 − 𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑦 … (1)
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑥
𝑅1 ∗ sin 𝛼 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑥 … (2)
∑ 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺 ∗ 𝛼
−𝑅1 ∗ (𝑎
tan 𝛼−
𝐿
2) + 𝑅2 ∗
𝐿
2∗ cos 𝛼 =
1
12𝑚 ∗ 𝐿2 ∗ 𝛼 … (3)
iii. Por cinemática de cuerpos rígidos.
𝑎𝐺 = 𝑎𝐵 + 𝛼 × 𝑟𝐵/𝐺 + 𝜔2 ∗ 𝑟𝐵/𝐺 (𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜)
𝑎𝐺 = 𝛼 × 𝑟𝐵/𝐺
𝑎𝐺 = 𝛼𝑘 ×𝐿
2(− cos 𝛼 𝑖 + sin 𝛼 𝑗)
𝑎𝐺 = (−𝐿 ∗ 𝛼
2sin 𝛼) 𝑖 + (−
𝐿 ∗ 𝛼
2cos 𝛼) 𝑗
𝑎𝐺𝑥 = −𝐿 ∗ 𝛼
2sin 𝛼 … (4)
𝑎𝐺𝑦 = −𝐿 ∗ 𝛼
2cos 𝛼 … (5)
iv. Reemplazando la ecuación (4) en (2) se tiene:
𝑅1 ∗ sin 𝛼 = 𝑚 ∗ −𝐿 ∗ 𝛼
2sin 𝛼
𝑅1 = −𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼
2… (6)
v. Reemplazando la ecuación (6) en (3) se tiene:
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− (−𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼
2) ∗ (
𝑎
tan 𝛼−
𝐿
2) + 𝑅2 ∗
𝐿
2∗ cos 𝛼 =
1
12𝑚 ∗ 𝐿2 ∗ 𝛼
𝑅2 = (1
cos 𝛼) ∗ (
𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼
6+
𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼
2−
𝑚 ∗ 𝛼 ∗ 𝑎
tan 𝛼)
𝑅2 =𝑚 ∗ 𝛼
6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −
6 ∗ 𝑎
tan 𝛼) … (7)
vi. Reemplazando las ecuaciones (6),(7) y (5) en (1) se tiene lo siguiente:
𝑅2 + 𝑅1 ∗ cos 𝛼 − 𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑦 𝑚 ∗ 𝛼
6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −
6 ∗ 𝑎
tan 𝛼) + (−
𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼
2) ∗ cos 𝛼 − 𝑊 = 𝑚 ∗ (−
𝐿 ∗ 𝛼
2cos 𝛼)
𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼
2−
𝑚 ∗ 𝛼
6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −
6 ∗ 𝑎
tan 𝛼) + 𝑊 = 𝑚 ∗ (
𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼
2)
𝑊𝑔
∗ 𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼
2−
𝑊𝑔
∗ 𝛼
6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −
6 ∗ 𝑎
tan 𝛼) + 𝑊 =
𝑊
𝑔∗ (
𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼
2)
𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼
2 ∗ 𝑔−
𝛼
6 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼∗ (4 ∗ 𝐿 −
6 ∗ 𝑎
tan 𝛼) + 1 =
𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼
2 ∗ 𝑔… (8)
vii. Despejando de la ecuación (8) la aceleración angular 𝛼 se tiene:
1 = 𝛼 ∗ (𝐿 ∗ cos 𝛼
2 ∗ 𝑔−
𝐿 ∗ cos 𝛼
2 ∗ 𝑔+
1
6 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼∗ (4 ∗ 𝐿 −
6 ∗ 𝑎
tan 𝛼))
1 = 𝛼 ∗ (𝐿 ∗ cos 𝛼
2 ∗ 𝑔−
𝐿 ∗ cos 𝛼
2 ∗ 𝑔+
2 ∗ 𝐿
3 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼−
𝑎
𝑔 ∗ sin 𝛼)
Homogenizando las fracciones se tiene:
1 = 𝛼 ∗ (2 ∗ 𝐿 ∗ sin 𝛼 − 3 ∗ 𝑎 ∗ cos 𝛼
3 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼 ∗ sin 𝛼)
𝛼 =3 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼
2 ∗ 𝐿 ∗ tan 𝛼 − 3 ∗ 𝑎