RESPECTO AL PROBLEMA DE DOPPLER

Según entiendo, la longitud de onda no depende del movimiento relativo del “oyente” respecto al aire quieto (medio donde se propaga la onda sonora).

Aclaración: Una fuente de onda sonora es básicamente algo que vibra con cierta frecuencia, supongamos el diafragma de un parlante conectado a una fuente fem que envía señal senoidal a cierta frecuencia “f”. Esto me lleva a concluir que la fuente sonora es una fuente de frecuencia (esto no quiere decir que todos los oyentes medirán esa frecuencia de vibración del diafragma).

El Efecto Doppler se refiere a frecuencias, no a longitudes de ondas:

Supongamos que esta fuente sonora está quieta respecto al aire (medio donde se propaga la onda sonora con v = 340

m/s respecto a este aire quieto) entonces de la relación v = f se puede calcular la longitud de onda. Ahora que pasa si el oyente se está moviendo respecto al aire quieto, para este oyente la velocidad de propagación de la onda, por

Transformada de Galileo (T.G. de ahora en adelante), será: v’ = v voyente (el + ó – depende si se acerca o se aleja de la fuente), dado que la longitud es invariante respecto a la T.G., el oyente en movimiento (respecto al aire quieto) medirá la misma longitud de onda que un oyente quieto respecto al aire (quieto). Por otro lado, dado que este oyente en movimiento mide una velocidad de onda v’, y como debe cumplirse la relación entre velocidad, longitud de onda y

frecuencia: v’ = = f’ entonces debe cambiar la frecuencia, dado que es invariante, para que sea válida esta relación, por lo tanto la frecuencia que este oyente mide será diferente a la frecuencia emitida por la fuente.

Que pasa cuando la fuente se mueve, recordando que lo que produce el sonido es un diafragma que se mueve con cierta frecuencia “f” definida por la fem conectada al diafragma. Al moverse la fuente respecto al aire quieto, los fruente de ondas se van apiñando en el sentido del movimiento y espaciándose detrás de la fuente (sentido opuesto al movimiento). Luego que la onda ya está “emitida” viaja por el aire quieto a una velocidad v = 340 m/s, y en este aire

quieto es válida la relación: v = = f; pero en este caso la longitud de onda será mas corta delante de la fuente y mas

larga detrás de la misma. Como debe satisfacerse la ecuación v = = f, un oyente quieto medirá una frecuencia mas alta si está por delante de la fuente, ya que los frentes de ondas están apiñadas delante de la fuente; mientras que medirá una frecuencia mas baja si está detrás de la fuente dado que los frentes de ondas están mas espaciados. Nuevamente, debido a la invariancia de la longitud respecto a T.G., todo los observadores (u oyentes) MEDIRAN las mismas longitudes ondas: mas corta en el sentido del movimiento de la fuente y mas larga en el sentido opuesto del movimiento de la fuente. Es decir, entiendo que si bien la frecuencia del sonido depende tanto del movimiento de la fuente como del observador respecto al aire quieto, la longitud de onda depende del movimiento de la fuente respecto al aire quieto, pero la longitud de onda NO depende del movimiento, respecto al aire quieto, del observador, aunque si de la ubicación del punto de medición respecto a la fuente y la dirección en que se mueve esta fuente.

Ilustración 1: Ejemplo de fuente de onda moviéndose respecto al medio de propagación. Si acordamos que es la distancia entre frentes de ondas sucesivos, vemos que por delante es mas pequeño y que en el sentido opuesto al movimiento es mas grande: estas distancias son invariantes respecto a la T. G., por lo tanto todos los observadores medirán las mismas longitudes de ondas, independientemente de su movimiento respecto al medio de propagación de la onda.(Libro: Serway, Capitulo 17, Pag. 532)

RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO

Datos: v = 340 m/s (velocidad del sonido); vt = 40 m/s (fuente); vA = 60 m/s (observador); = 15 m (¿?)

El ejercicio no da la frecuencia con que emite la fuente, sino da una longitud de onda.

Hipótesis 1: Supongo que = 15m es la longitud de onda del sonido cuando la fuente está quieta respecto al aire (medio donde se propagará la onda). Debo hacer esto porque, como se puede ver en la foto de la Ilustración 1, cuando la fuente se mueve, la longitud de onda depende de la posición de donde se decida medirla, si se mide delante será mas corta que si se mide detrás (tomando los dos casos extremos).

Hipótesis 2: El tren se mueve hacia la derecha.

Aceptando esta hipótesis 1, ahora voy a deducir que pasa con las longitudes de ondas delante de la fuente en movimiento y justo detrás de la fuente. Voy a tener en cuenta que dos frentes de ondas sucesivos son emitidos con un intervalo de tiempo igual al periodo de vibración del diafragma:

.

Supongamos que para t1 = to se emitió un frente, entonces el próximo frente se emitirá en t2 = to + T, para este tiempo el primer frente (suponiéndolo esférico) tendrá un radio R1 = v T (recordar que v = 340 m/s) cuyo centro está donde estaba el tren al momento de emitir este frente; pero el tren para t2 se habrá desplazado una distancia d = vt T (recorda que vt = 40 m/s). Entonces la distancia entre el frente emitido primero y el que se está siendo emitido en t2 = to + T será:

R1 – d; si está justo delante del tren.

R1 + d; si está justo detrás del tren.

Reemplazando R1, d y T = 1/f, se obtiene:

Nuevamente, como la longitud es invariante respecto a T.G., TODOS los observadores medirán estas mismas longitudes de ondas independientemente de si se están moviendo o no respecto al aire.

Esto NO significa que no afectará la frecuencia que pudiera medir, ya que si tenemos en cuenta que la frecuencia para un observador está relacionada con la frecuencia (valga la redundancia) con que llegan los frentes de ondas, entonces se puede ver que para la frecuencia SI importa del movimiento del observador.