ejercicios aplicativos
DESCRIPTION
mate 4TRANSCRIPT
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE UNA E.D. DE MOVIMIENTO LIBRE NO AMORTIGUADO
Problema 1: Resuelva el problema de valor inicial.
P .V . I .|d2 xdt2
+16 x=0
x (0 )=10x ' (0 )=0
El problema equivale a tirar hacia abajo una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio y soltarla desde ese instante.
De la ecuación diferencial:
ω2=16 → ω=4
De la solución general:
x (t )=c1 cos 4 t+c2 sen4 t
x (0 )=10=c1cos 0+c2 sen0 x ' ( t )=−4c1 sen4 t+4c2 cos4 t
x ' (0 )=0=−4 (10 ) sen0+4c2cos 0
Por tanto la ecuación del movimiento es:
x (t )=c1 cosωt+c2 senωt
c1=10 c2=0
x (t )=10cos 4 t
Problema 2: Un cuerpo que pesa 2libras estira un resorte en 6 pulgadas. Dicho cuerpo se suelta en t=0 desde un punto que esta 8 pulgadas bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pies/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante.
Solución: Puesto que estamos usando el sistema de unidades inglesas gravitatorias, las magnitudes dadas en pulgadas deben expresarse en pies y las unidades de peso en unidades de masa.
Por regla de tres para las elongaciones:
1 ft 12 pulgadas 1 ft 12 pulgadas
S= 1/2 ft X=2/3 ft
S 6 pulgadas X 8 pulgadas
Para la masa:
W=mg m=Wg
m= 232
= 116slug
Por la ley de Hooke:
2=k 12
lo que implica que k=4lbft
De la ecuación diferencial:
W=kx
d2 xdt2
+ω2 x=0
d2 xdt2
+ kmx=0 d
2 xdt2
+64 x=0
La posición y la velocidad iniciales están dadas por:
x (0 )=23ft y x
' (0 )=−43ft /s
También: ω2=64 ω=8
De modo que la solución general de la ecuación diferencial es:
x (t )=c1 cos8 t+c2 sen8 t
Aplicando las condiciones iniciales a esta ecuación tenemos:
x (0 )=23=c1 (1 )+c2(0) ( c1=
23
)
→ x (t )=23cos8 t+c2 sen 8 t
Derivando:
x' ( t )=−16
3sen8 t+8c2cos 8t
x ' (0 )=−43
=−163
(0 )+8c2(1) ( c2=−16
)
Por consiguiente, la ecuación del movimiento es:
CONCLUSIONES
1. Teniendo en cuenta la ley de Hooke y sus respectivas ecuaciones se puede determinar valores como constantes, fuerzas, peso y así remplazarlas en las
x (t )=c1 cosωt+c2 senωt
x (t )=23cos8 t−1
6sen8 t
ecuaciones diferenciales de tal forma que podamos hallar c1 y c2 para darle una solución principal a la ecuación diferencial.
2. Sabiendo los valores respectivos con las cuales podemos hallar la ecuación diferencial podemos darle solución a x (t) siendo el valor principal que nos pide en cada ejercicio determinado por la ecuación principal.