ejercicios de lógica
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5/13/2018 Ejercicios de l gica - slidepdf.com
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E j e r c i c i o s P r i m e r P a r c i a l
1 . I n d i q u e e l a n t e c e d e n t e y e l c o n s e c u e n t e p a r a c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s
e n u n c i a d o s .
a ) S i l a l u n a e s t á h e c h a d e q u e s o , e n t o n c e s 8 e s u n n ú m e r o i r r a c i o n a l .
b ) E l p e z m u e r d e s ó l o c u a n d o l a l u n a e s t á l l e n a .
c ) b d i v i d e a 3 s i y s ó l o s i b d i v i d e a 9.
2 . E s c r i b e e l o p u e s t o y l a c o n t r a p o s i t i v a p a r a c a d a e n u n c i a d o d e l i n c i s o
a n t e r i o r .
3 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s c o n d i c i o n a l e s s o n v e r d a d e r o s ?
a ) S i e l h e x á g o n o t i e n e s e i s l a d o s , e n t o n c e s l a l u n a e s t á h e c h a d e q u e s o .
b ) S i 5 < 2 , e n t o n c e s 10 < 7 .
c ) S i e l c u m p l e a ñ o s d e E u c l i d e s f u e e l 2 d e a b r i l , e n t o n c e s l o s r e c t á n g u l o s
t i e n e n c u a t r o l a d o s .
4 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s s o n p r o p o s i c i o n e s ?
a ) ¾ D ó n d e e s t á n l a s l l a v e s d e m i a u t o ?
b ) E n t r e e l 1 d e e n e r o d e l 2 2 0 5 y e l 1 d e e n e r o d e 2 2 1 5 , l a p o b l a c i ó n m u n d i a l
s e d u p l i c o .
c ) x2
≤20 .
5 . H a c e r l a s t a b l a s d e v e r d a d p a r a c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s f o r m a s
p r o p o s i c i o n a l e s .
a ) ( p ∧ q) ∨ ¬q .
b ) ( p ∨ ¬q) ∧ r .
c ) ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r).
d ) ( p ∨ q) ⇒ ( p ∧ q).
e ) [(q ⇒ s) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ [( p ∨ q) ⇒ (s ∨ r)].
6 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s p a r e s d e f o r m a s p r o p o s i c i o n a l e s s o n e q u i v a -
l e n t e s ?
a ) ( p ∨ q) ∨ r, p ∨ (q ∨ r) .
b ) ( p ∧ q) ∨ r, p ∨ (q ∧ r).
c ) p ∧ (q ∨ r), ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) .
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7 . D é u n a n e g a c i ó n c o n v e n i e n t e p a r a c a d a e n u n c i a d o .
a ) L a s r o s a s s o n r o j a s y l a s v i o l e t a s a z u l e s .
b ) S u e e s c o g e r á y o g u r t p e r o n o e s c o g e r á h e l a d o .
c ) n e s p a r y n n o e s m ú l t i p l o d e 5. ( A s u m a q u e n e s u n e n t e r o . )
8 . S e a p l a s e n t e n c i a " q e s v e r d a d " y s e a q l a s e n t e n c i a " p e s v e r d a d " . ¾ E s
p u n a p r o p o s i c i ó n ? E x p l i q u e .
9 . D e t e r m i n e s i c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n u n a t a u -
t o l o g í a , u n a c o n t r a d i c c i ó n o n i n g u n a . P r u e b e s u r e s p u e s t a .
a ) ( p ∧ q) ∨ ((¬ p) ∧ (¬q)).
b ) (a
∧b)
∨(a
∧ ¬b)
∨((
¬a)
∧b)
∨((
¬a)
∨(
¬b)) .
c ) p ∨ ((¬q) ∧ p) ∧ (r ∨ q) .
d ) ( p ⇔ q) ⇔ ¬(¬ p ∨ q) ∨ (¬ p ∧ q).
e ) [ p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ [r ⇒ ( p ⇒ q)].
1 0 . R e e s c r i b a c a d a u n a d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s u s a n d o c o n e c t i v o s
l ó g i c o s . A s u m a q u e c a d a s í m b o l o n , x, S r e p r e s e n t a n a l g ú n o b j e t o c o m -
p u e s t o .
a ) S i n e s p r i m o , e n t o n c e s n = 2 o n e s i m p a r .
b ) S e s c o m p a c t o s i y s o l o s i S e s c e r r a d o y a c o t a d o .
c ) 6 ≥ n − 3 s ó l o s i n > 4 ó n > 10.
d )
xe s d e C a u c h y i m p l i c a q u e
xe s c o n v e r g e n t e .
1 1 . D a r , d e s e r p o s i b l e , u n e j e m p l o d e u n a f r a s e c o n d i c i o n a l f a l s a p a r a e l
c u a l .
a ) L a c o n v e r s a e s v e r d a d e r a .
b ) L a c o n v e r s a e s f a l s a .
c ) L a c o n t r a p o s i t i v a e s v e r d a d e r a .
d ) L a c o n t r a p o s i t i v a e s f a l s a .
1 2 . L a i n v e r s a u o p u e s t a , d e u n a s e n t e n c i a c o n d i c i o n a l p ⇒ q e s
¬ p
⇒ ¬q .
a ) M o s t r a r q u e p ⇒ q y s u i n v e r s a n o s o n f o r m a s e q u i v a l e n t e s .
b ) P a r a c a d a v a l o r d e l a p r o p o s i c i ó n p y q . ¾ S o n p ⇒ q y s u i n v e r s a a m b a s
v e r d a d e r a s ?
c ) ¾ C u á l e s e q u i v a l e n t e a l c o n v e r s o d e u n s e n t e n c i a c o n d i c i o n a l . ¾ L a c o n t r a -
p o s i t i v a d e s u i n v e r s o , o e l i n v e r s o d e s u c o n t r a p o s i t i v a ?
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1 3 . T r a d u z c a l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s d e l e s p a ñ o l a e n u n c i a d o s s i m b ó l i -
c o s c o n c u a n t i c a d o r e s . E l u n i v e r s o d e c a d a u n o e s t á d a d o e n t r e p a r é n t e s i s .
a ) A l g u n o s t r i á n g u l o s i s ó s c e l e s s o n t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s . ( T o d o s l o s t r i á n -
g u l o s )
b ) A l g u n a s p e r s o n a s s o n h o n e s t a s y a l g u n a s p e r s o n a s n o l o s o n . ( T o d a s l a s
p e r s o n a s )
c ) P a r a c a d a r e a l p o s i t i v o x, h a y u n ú n i c o r e a l y t a l q u e 2y = x. ( N ú m e r o s
r e a l e s )
1 4 . P a r a c a d a p r o p o s i c i ó n e n e l e j e r c i c i o 1 3 , e s c r i b a l a n e g a c i ó n , y d é u n a
t r a d u c c i ó n a l e s p a ñ o l .
1 5 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s s o n v e r d a d e r o s ? E l u n i v e r s o p a r a
c a d a u n o e s t a d a d o e n t r e p a r é n t e s i s .
a ) (∃x)(2x + 3 = 6x + 7) ( N ú m e r o s n a t u r a l e s )
b ) (∀x)(x2 + 6x + 5 ≥ 0)( N ú m e r o s r e a l e s )
c ) (∀x)(x3 + 17x2 + 6x + 100 ≥ 0)( N ú m e r o s r e a l e s )
1 6 . E s c r i b a l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s u s a n d o l a n o t a c i ó n {x : P (x)}.
a ) E l c o n j u n t o d e e n t e r o s c u y o c u a d r a d o e s m e n o r q u e 17.
b ) [−5, −1]c ) E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s m e n o r q u e
−1.
1 7 . ¾ V e r d a d e r o o f a l s o ?
a ) {∅} ⊆ {∅, {∅}} .
b ) P a r a c a d a c o n j u n t o A, {∅} ⊆ A.
c ) {1, 2} ∈ {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}.
1 8 . E s c r i b e l o s c o n j u n t o s p o t e n c i a , P (X ) , p a r a c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s
c o n j u n t o s .
a ) X = {∅, {a}, {b}, {a, b}}b ) X =
{1,
{2,
{3
}}}1 9 . P r u e b e q u e s i A ⊆ B , B ⊆ C y C ⊆ A, e n t o n c e s A = B y B = C .
2 0 . A s i g n e u n a c a l i c a c i ó n d e A ( c o r r e c t o ) , C ( p a r c i a l m e n t e c o r r e c t o ) o
F ( f r a c a s o ) a c a d a u n o . J u s t i c a r l a s a s i g n a c i o n e s d e o t r a c a l i c a c i ó n q u e n o
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s e a A .
a ) S i
A,
By
C s o n c o n j u n t o s y
A ⊆ By
B ⊆ C , e n t o n c e s
A ⊆ C .
P r u e b a : S e a A = { 1 , 5 , 8 } , B = { 1 , 4 , 5 , 8 , 1 0 } y C = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 1 0 } . E n -
t o n c e s A ⊆ B , B ⊆ C y A ⊆ C .
b ) S i A, B y C s o n c o n j u n t o s y A ⊆ B y B ⊆ C , e n t o n c e s A ⊆ C .
P r u e b a : s i x ∈ C , e n t o n c e s , d a d o q u e B ⊆ C , x ∈ B . P u e s t o q u e A ⊆ B
y x ∈ B , s e d e d u c e q u e x ∈ A. D e e s t o x ∈ C i m p l i c a x ∈ A. P o r l o t a n t o
A ⊆ C
c ) S i A e s u n c o n j u n t o , A ⊆P (A) .
P r u e b a : A s u m i m o s q u e A e s u n c o n j u n t o . S u p o n g a m o s q u e x ∈ A. E n t o n c e s
{x} ⊆ A. P o r l o t a n t o x ∈P (A) . P o r l o t a n t o , A ⊆
P (A) .
2 1 . S e a U e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s e n t e r o s . S e a n E , D , P y N l o s c o n j u n t o s
d e t o d o s l o s e n t e r o s p a r e s , i m p a r e s , p o s i t i v o s y n e g a t i v o s r e s p e c t i v a m e n t e .
E n c o n t r a r .
a ) P − E
b ) P − N
c ) D
d ) U − P
2 2 . S e a U = {I, 2, 3} e l u n i v e r s o d e l o s c o n j u n t o s A = {I, 2} y B = {2, 3}.
E n c o n t r a r
a ) P
(A) ∩P
(B)b ) P (A) ∪
P (B)
2 3 . S e a U e l u n i v e r s o , s e a n A y B s u b c o n j u n t o s d e U . E n t o n c e s
a ) A ⊆ B s s i B ⊆ A
b )
A ∪ B = A ∩ B
c )
A ∩ B = A ∪ B
( b ) y c ) l e y e s d e D e M o r g a n )
2 4 . S e a n A y B c o n j u n t o s .
a ) D e m o s t r a r q u e P (A)∪
P (B)⊆
P (A∪
B)b ) M o s t r a r c o n u n e j e m p l o q u e l a i g u a l d a d d e c o n j u n t o n o e s n e c e s a r i a -
m e n t e e l c a s o e n l a p a r t e a ) . ¾ B a j o q u é c o n d i c i o n e s s o b r e A y B s e c u m p l e
P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B) ?
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2 5 . S e d e n e l a o p e r a c i ó n d i f e r e n c i a s i m é t r i c a c o m o
A B = (A − B) ∪ (B − A)
P r u e b e q u e
a ) A B = B A
b ) A B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
2 6 . P r u e b e q u e p a r a c a d a f a m i l i a n o v a c í a A d e c o n j u n t o s ,
A∈A
A ⊆
A∈A
A
.
2 7 . S e a A = {Aα : α ∈ ∆} u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s y s e a B u n c o n j u n t o ,
p r u e b e q u e
B ∩
α∈∆
Aα =
α∈∆
(B ∩ Aα)
2 8 . S e a A u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s , s u p o n g a q u e A ⊆ D p a r a c a d a A ∈ A .
P r u e b e q u e
A∈A
A
⊆D
.
2 9 . P r u e b e q u e , s i A = {Aα : α ∈ ∆}e s d i s j u n t a p o r p a r e s y A c o n t i e n e
a l m e n o s d o s c o n j u n t o s q u e n o s o n i g u a l e s , e n t o n c e s
α∈∆
Aα = ∅
.
3 0 . S e a A =
{Ai : i
∈N
}u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s y s e a n k , m n ú m e r o s
n a t u r a l e s c o n k ≤ m. p r u e b e q u e
a )
k+1
i=1
Ai =k
i=1
Ai ∪ Ak+1
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b )
∞
i=1
Ai ⊆m
i=k
Ai
3 1 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s s o n p r o p o s i c i o n e s ? D e s e r l o , i n -
d i q u e s u v a l o r d e v e r d a d .
a ) E l e n t e r o 0 e s p a r .
b ) 5x + 3 e s u n e n t e r o i m p a r .
c ) E l e n t e r o 123 e s p r i m o .
3 2 . ¾ C u á l e s d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n v e r d a d e r a s ? D é u n a e x p l i -
c a c i ó n p a r a c a d a p r o p o s i c i ó n f a l s a .
a ) ∅ ∈ ∅.
b ) {1, 3} = {3, 1}
.
c ) 1 ⊆ {1}.
3 3 . D é l a n e g a c i ó n d e c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s .
a )
√2 e s u n n u m e r o r a c i o n a l .
b ) Q e s u n e n t e r o n o n e g a t i v o .
c ) 111 e s u n n ú m e r o p r i m o .
3 4 . S e a p : 15 e s u n n ú m e r o i m p a r y q : 21 e s p r i m o . I n d i c a r c a d a u n o d e
l o s s i g u i e n t e s e n p a l a b r a s y d e t e r m i n a r s i s o n v e r d a d e r o s o f a l s o s .
a ) P ∨ Q .
b ) P ∧ Q.
c ) (¬P ) ∨ Q .
d ) P ∧ (¬Q).
3 5 . D a d a l a i m p l i c a c i ó n (q ∨r) ⇒ ¬ p f a l s a y q f a l s a . D e t e r m i n e l o s v a l o r e s
d e v e r d a d d e r y p .
3 6 . C o n s i d e r e l a s p r o p o s i c i o n e s p : x = −2 y q : x2 = 4 . I n d i c a r c a d a u n a
d e l a s s i g u i e n t e s e n p a l a b r a s :
a ) p ∨ q .
b ) p ⇒ q .
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c ) p ⇔ q .
3 7 . M o s t r a r q u e p ⇒ ( p ∨ q) e s u n a t a u t o l o g í a .
3 8 . a ) ¾ É s ¬( p ∨ q) l ó g i c a m e n t e e q u i v a l e n t e a (¬ p) ∨ (¬q) ? E x p l i q u e
b ) ¾ Q u é p u e d e d e c i r a c e r c a d e ¬( p ∨ q) ⇔ ((¬ p) ∨ (¬q))?
3 9 . E s c r i b a l a n e g a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s a b i e r t o s .
a ) x = 0 ó y = 0.
b ) l o s e n t e r o s a y b s o n a m b o s p a r e s .
4 0 . C o n s i d e r e l a i m p l i c a c i ó n : s i x e y s o n p a r e s e n t o n c e s xy e s p a r .
a ) I n d i q u e l a i m p l i c a c i ó n u s a n d o " s o l o s i " .
b ) I n d i q u e l a c o n v e r s a d e l a i m p l i c a c i ó n .
4 1 . I n d i q u e l a n e g a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s c u a n t i c a d o s . D o n d e
t o d o s l o s c o n j u n t o s s o n s u b c o n j u n t o s d e a l g ú n u n i v e r s o U .
a ) P a r a c a d a c o n j u n t o A, A ∩ A = ∅b ) E x i s t e u n c o n j u n t o A t a l q u e A ⊆ A.
4 2 . I n d i q u e l a n e g a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s c u a n t i c a d o s .
a ) P a r a c a d a n ú m e r o r a c i o n a l r , e l n u m e r o
1
re s r a c i o n a l .
b ) E x i s t e u n n u m e r o r a c i o n a l
rt a l q u e
r
2
= 2.
4 3 . S e a S e l c o n j u n t o d e l o s e n t e r o s i m p a r e s , y s e a P (x) : x2 + 1 e s p a r y
Q(x) : x2 p a r
a ) E s c r i b a ∀x ∈ S , P (x) y
∃x ∈ S e n p a l a b r a s .
b ) D e n a u n e n u n c i a d o a b i e r t o R(x) y e n t o n c e s i n d i q u e ∀x ∈ S , R(x) y
∃x ∈ S , R(x) e n p a l a b r a s .
4 4 . S i m b o l i z a r l a s p r o p o s i c i o n e s s i g u i e n t e s :
a ) S i u n a s u s t a n c i a o r g á n i c a s e d e s c o m p o n e , e n t o n c e s s u s c o m p o n e n t e s s e
t r a n s f o r m a n e n a b o n o y f e r t i l i z a n t e s d e s u e l o .
b ) O s u s d e b e r e s e s t á n t e r m i n a d o s , o s i n o e s t á n t e r m i n a d o s t e n d r á q u e h a -
c e r l o s p o r l a n o c h e .
c ) S i e s t e m i n e r a l n o e s d u r o , e n t o n c e s n o e s t á c o m p u e s t o d e c r i s t a l e s .
4 5 . D e t e r m i n a r l o s v a l o r e s d e v e r d a d d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s , s i p
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y q s o n p r o p o s i c i o n e s c i e r t a s y a y b s o n p r o p o s i c i o n e s f a l s a s .
a )
( p ⇒ a) ⇒ (¬ p ⇒ ¬a)b ) (¬ p ∨ b) ∨ (¬b ∧ a)c ) ( p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
4 6 . M o s t r a r m e d i a n t e t a b l a s d e v e r d a d c u a l e s d e l a s s i g u i e n t e s , s o n e q u i v -
a l e n c i a s t a u t o l ó g i c a s .
a ) ( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) .
b ) p ⇔ p ∨ q .
c ) ( p ⇒ q) ⇔ ¬ p ∨ q .
4 7 . S i m b o l i z a r c o m p l e t a m e n t e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s .
a ) N i n g ú n h o m b r e e s a l a v e z l o c o y c u e r d o .
b ) S o l o l o s n ú m e r o s p o s i t i v o s s o n m a y o r e s q u e c e r o .
c ) P a r a t o d o x, x e s p o s i t i v o s i y s ó l o s i x e s m a y o r q u e c e r o .
4 8 . D e n o t e c o n s l a p r o p o s i c i ó n " y o e s t u d i o " , y c o n p l a p r o p o s i c i ó n " y o
p a s a r e e l c u r s o " . E x p r e s e s i m b ó l i c a m e n t e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :
a ) S i e s t u d i o p a s a r e e l c u r s o .
b ) E s t u d i o o n o p a s a r e e l c u r s o .
c ) P a s a r e e l c u r s o s i y s o l a m e n t e e s t u d i o .
4 9 . C a l c u l e e l v a l o r d e v e r d a d d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s , s u p o n i e n d o
q u e p e s v e r d a d e r a y q e s f a l s a .
a ) p ∨ q .
b ) p ∨ (¬ p ∧ q).
c ) ¬( p ⇔ q) .
5 0 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s p a r e s d e p r o p o s i c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s ?
a ) 3 e s p a r p e r o 7 e s i m p a r ; e s f a l s o q u e : 3 e s p a r i m p l i c a q u e 7 e s p a r .
b ) S ó l o s i l a v a s l o s p l a t o s v a s a l c i n e ; s i l a v a s l o s p l a t o s v a s a l c i n e .
5 1 . D e t e r m i n e c u á l e s d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n d e l t i p o
∀x ∈ U : p(x) ó ∃x ∈ U : p(x)p r e c i s a n d o e l c o n j u n t o u n i v e r s a l , l a p r o p o s i c i ó n a b i e r t a p(x) y e x p r é s e l a s s i m -
b ó l i c a m e n t e .
a ) C u a l q u i e r h o m b r e , s i t r a b a j a , s e a g o t a .
b ) A l g ú n t r i á n g u l o p u e d e s e r e q u i l á t e r o y n o t e n e r l o s 3 l a d o s i g u a l e s .
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c ) N i n g ú n h o m b r e v i v e m á s d e 1 5 0 a ñ o s .
d ) T o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s c u m p l e n q u e s u c u a d r a d o e s p o s i t i v o .
5 2 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s p a r e s d e p r o p o s i c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s ?
a ) ∀x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2;
¬(∃x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2)b ) ∃x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 + 1 = 2; ¬(∀x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2)c ) T o d a s l a s p e r s o n a s o y e n c o n s e j o , o n o l l e g a r á n a v i e j o s ; c a d a p e r s o n a q u e
o y e c o n s e j o l l e g a a v i e j o
5 3 . D a d a s l a s s i g u i e n t e s p r e m i s a s t r a t e d e o b t e n e r c o n c l u s i o n e s c o r r e c t a s :
a ) N i n g ú n c u a d r ú p e d o s a b e v o l a r ; l o s g a t o s n o v u e l a n .
b ) S i H o r a c i o c o m e a d e s h o r a s , e n g o r d a r á ; H o r a c i o n o h a e n g o r d a d o .
5 4 . A v e r i g ü e s i s o n r e g l a s d e i n f e r e n c i a l a s s i g u i e n t e s f o r m a s :
a ) p ⇒ q ; q ⇒ r
p ⇒ r
b ) p ⇒ q ; ¬r ⇒ ¬q
¬r ⇒ ¬ p
c ) ∃x ∈ U : p(x) ; ∃x ∈ U : q(x)∃x ∈ U : p(x) ∧ q(x)
5 5 . D e m u e s t r e d i r e c t a m e n t e q u e :
a )
∀x ∈ R :s i
x > 5, e n t o n c e s
x > 3.
b ) S i m y n s o n n ú m e r o s e n t e r o s i m p a r e s , e n t o n c e s m + n e s u n e n t e r o p a r .
5 6 . D e m u e s t r e p o r c o n t r a d i c c i ó n q u e s i x e s r a c i o n a l y y e s i r r a c i o n a l e n -
t o n c e s x - y e s i r r a c i o n a l .
5 7 . D e m u e s t r e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :
a ) ( ∀x ∈ R : x2 + 6 = 10 ) e s f a l s a .
b ) ( ∃x ∈ R : x2 + 6 = 0) e s v e r d a d e r a .
c ) ( ∀x ∈ R : x2 < 0 ⇒ x2 + 6 = 10 ) e s v e r d a d e r a .
5 8 . S i E = {1, 0} d e c i r e n t r e l a s a r m a c i o n e s c u a l e s s o n c o r r e c t a s o i n -
c o r r e c t a s .
a ) {0} ∈ E .
b ) ∅ ∈ E .
c ) {0} ⊂ E .
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d ) 0 ∈ E .
e )
0 ⊂ E .
5 9 . S i B = {0, 1, 2} h a l l a r t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s d e B .
6 0 . S e a n A = {1, 2, ..., 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D ={3, 4, 5}
y E = {3, 5}. ¾ C u á l e s c o n j u n t o s p u e d e n s e r i g u a l e s a X d a d a s l a s
s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s ?
a ) X y B s o n d i s j u n t o s . b ) X ⊂ D y X B . c ) X ⊂ A y X C . d ) X ⊂ C
y X A.
6 1 . D e c i r c u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n n i t o s o i n n i t o s :
a ) E l c o n j u n t o d e r e c t a s p a r a l e l a s a l e j e x.
b ) E l c o n j u n t o d e n ú m e r o s q u e s o n m ú l t i p l o s d e 5.
c ) E l c o n j u n t o d e n ú m e r o s q u e s o n r a í c e s d e l a e c u a c i ó n .
x38 + 42x23 − 17x18 − 2x5 + 19 = 0
d ) E l c o n j u n t o d e a n i m a l e s q u e v i v e n e n l a t i e r r a .
6 2 . D e m o s t r a r A ∩ B = ∅, e n t o n c e s A ∪ B = B
.
6 3 . H a c e r u n d i a g r a m a d e V e n n c o n t r e s c o n j u n t o s n o v a c i o s A, B y C d e m o d o q u e A, B y C t e n g a n l a s s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s :
a ) A ⊂ B , C ⊂ B , A ∩ C = ∅.
b ) A ⊂ C , A = C , B ∩ C = ∅.
c ) A ⊂ (B ∩ C ), B ⊂ C , C = B , A = C .
6 4 . D e m o s t r a r : s i A e s u n s u b c o n j u n t o d e l c o n j u n t o v a c i o ∅
, e n t o n c e s
A = ∅.
6 5 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n v a c i o s ?
a )
B = {x|x2
= 9y2x = 4}b ) C = {x|x = x}c ) D = {x|x + 8 = 8}
D e m o s t r a r :
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6 6 . B − A e s u n s u b c o n j u n t o d e A.
6 7 . B − A = B ∩ A.
6 8 . s i A ∩ B = ∅, e n t o n c e s B ∩ A = B .
6 9 . A ∩ B e s u n s u b c o n j u n t o d e A y d e B .
7 0 . A ∩ ∅ = ∅.
7 1 . S e a n A, B ⊂ S , e n t o n c e s A = B s i , y s o l a m e n t e s i , S − A = S − B .
7 2 . S i A ⊂ S , e n t o n c e s S − (S − A) = A.
7 3 . D e t e r m i n e l o s c o n j u n t o s X = (A∪B)∩(A∪Bc); Y (Ac∪Bc)∩(Ac∪B) .
7 4 . ¾ s o n v e r d a d e r a s l a s s i g u i e n t e s i m p l i c a c i c o n e s ?
a ) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ C ) ⇒ B ⊂ C .
b ) (A ∪ B) ⊂ (A ∩ C ) ⇒ B ⊂ C .
7 5 . S u p o n g a q u e J u a n t o m a h u e v o s o t o c i n o ( o a m b o s ) p a r a s u d e s a y u n o
c a d a m a ñ a n a d u r a n t e e l m e s d e e n e r o . S i c o m e t o c i n o 2 5 m a ñ a n a s y h u e v o s
1 8 m a ñ a n a s , ¾ C u á n t a s m a ñ a n a s c o m e h u e v o s y t o c i n o ?
7 6 . S e a n A, B ⊂ S , e n t o n c e s B ⊂ A s í , y s o l a m e n t e s i , S − A ⊂ S − B .
7 7 . P o r c o n t r a d i c c i ó n , d e m u e s t r e q u e p a r a c u a l q u i e r s u b c o n j u n t o A d e U ,
A = Ac.
7 8 . C o n s t r u y a 3 e j e m p l o s d e c o n j u n t o s A y B p a r a l o s c u a l e s s e v e r i q u e n
l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s : A ∈ B, A ⊆ B y A ⊂ B .
7 9 . M u e s t r e q u e e l c o n j u n t o v a c i o e s t á c o n t e n i d o e n t o d o c o n j u n t o .
8 0 . F o r m e l a s n e g a c i o n e s d e :
a ) ∀x ∈ E, [ p ∧ (¬q)]b ) ∀x ∈ E, [ p ∨ (¬q)]
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