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EJERCICIOS DE LOS EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II

CURSO 2017-2018

Ejercicio 1º.- Se considera la función f : R R dada por:

2( ) ( 3 1) xf x x x e

a) (1,5 puntos) Calcula las asíntotas de f.

b) (0,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa

x = 0.

c) (0,5 puntos) Halla, si existen, los puntos de la gráfica de f cuya recta tangente es

horizontal.

SOLUC: a) AV: NO tiene AH: una asíntota horizontal a la derecha de ecuación y = 0, es decir, el eje de abscisas AO: NO tiene

b) Recta normal: y = -1/2 x + 1

c) La gráfica de la función f tiene dos puntos de tangencia horizontal y son: (1, 5/e) y (-2, -e2)

Ejercicio 2º.- (2,5 puntos) Sabiendo que

0

cos(3 ) .lim

. ( )

x

x

x e a xx sen x

es finito, calcula el valor de

a y el valor del límite.

SOLUC: a = 1 y

0

cos(3 ) .lim 5

. ( )

x

x

x e a xx sen x

Ejercicio 3º.- (2,5 puntos) Considera la función f : R R dada por

2

2

3 2 0

( ) 2 cos( ) 0

x si x

f x x a x si x

ax b si x

Estudia la continuidad de f en función de los valores de los parámetros a y b

SOLUC: Para a = 1 y b = -2, la función f es continua en todo su dominio, es decir, en R.

Ejercicio 4º.- Considera la función f : R R dada por 2( ) | 4 |f x x

a) (1,5 puntos) Estudia la continuidad de la función f.

b) (1 punto) Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica

de la función f en el punto de abscisa x = -1.

SOLUC: a) La función f es continua en todo su dominio, es decir, en R.

b) Recta tangente: y = 2x + 5 Recta normal: y = -1/2 x + 5/2

Ejercicio 5º.-

a) (1,5 puntos) Considera la función f dada por

3 2

2

2( )

4

x xf x

x

para x ≠ ± 2

Determina las asíntotas de f.

b) (1 punto) Considera la función g dada por

3

2( )

( )

axg x

x b

para x ≠ b

Si se sabe que la recta de ecuación y = 2x – 4 es una asíntota oblicua de la función g, halla los

valores de a y b.

SOLUC: a) AV: una asíntota vertical en x = - 2 AH: NO tiene AO: una asíntota oblicua a ambos lados de ecuación y = x - 2

b) a = 2 y b =-1


20

( 1) ( ) cos(3 )limx

Ln x a sen x x x

x

es finito, calcula el valor de a y el valor del límite. SOLUC: a = 2 y

20

( 1) ( ) cos(3 ) 1lim

2x

Ln x a sen x x x

x

Ejercicio 7º.- Se considera la función f : R R dada por: ( )2

x xe ef x

a) (0,75 puntos) Estudia y calcula, si existen, las asíntotas de f.

b) (1,25 puntos) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de

decrecimiento de f. Calcula los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que

se alcanzan).

c) (0,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa

x = 0.

SOLUC: a) NO tiene asíntotas b) Decrece: (- 0), Crece: (0, ) mínimo: (0,1) c) x = 0

Ejercicio 8º.- (2,5 puntos) Calcula el

0

1 cos( )lim

( )x

xx sen x

SOLUC:

0

1 cos( )lim 0

( )x

xx sen x

Ejercicio 9º.- (2,5 puntos) Considera la función f : R R dada por: 3 2( )f x ax bx cx d

Calcula a, b, c, y d sabiendo que f tiene un extremo relativo en (0,1) y su gráfica un punto de

inflexión en (1,-1).

SOLUC: a) a = 1 b = -3 c = 0 d = 1

Ejercicio 10º.- (2,5 puntos) Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas superior e

inferior, y con capacidad para 20π m3. El material para las tapas cuesta 10 euros cada m

2 y el

material para el resto del cilindro 8 euros cada m2. Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura

del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.

SOLUC: Relación entre variables: 2 20r h

Función a optimizar: Precio del material 2 32020P( r ) r

r

2 5r m y h m

Ejercicio 11º.- (2,5 puntos) Considera la función f : R R definida por

2

cos( ) 2 0

( )( 1) 0

1

a x x si x

f x ba Ln x si x

x

Sabiendo que f es derivable y que b > 0, determina los valores de a y b. SOLUC: a = b = 2

RESPUESTA

Como la función es derivable en R, también tiene que ser continua en R, y en particular tiene que ser continua y

derivable en su punto de ruptura (x = 0).

1º.- Apliquemos que f(x) es continua en x = 0:

Como f(x) es continua en x = 0, los límites laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitos e iguales, es

decir:

2

0 0 0 0lim ( ) lim cos( ) 2 lim ( ) lim ( 1)

1x x x x

bf x a x x f x a Ln x

x

Calculemos los límites laterales y los igualamos:

0 0

2 2 2

0 0

lim ( ) lim cos( ) 2 .cos( ) 2.0 .1 0

lim ( ) lim ( 1) . (1) .01 1

x x

x x

f x a x x a o a a

a bb b

f x a Ln x a Ln a b bx

2º.- Apliquemos que f(x) es derivable en x = 0:

En primer lugar calculamos la función derivada de f(x):

2

2

( ) 2 0

'( ) 1. 0

1 ( 1)

asen x si x

f x ba si x

x x

Como f(x) es derivable en x = 0, las derivadas laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitas e iguales,

es decir:

'

2

20 0 0 0

1lim '( ) lim . ( ) 2 lim '( ) lim .

1 ( 1)x x x x

bf x a sen x f x a

x x

Calculemos las derivadas laterales y las igualamos:

0 0

2

2 2 2

2 20 0

lim '( ) lim . ( ) 2 .s ( ) 2 .0 2 2

21 1

lim '( ) lim . .1 0 1( 1) (0 1)

x x

x x

f x a sen x a en o a

a bb b

f x a a a bx x

Con las dos ecuaciones obtenidas, formamos un sistema y resolvemos:

2 2a b

a b

El sistema tiene dos soluciones a = b = 2 y a = b = -1, pero la segunda hay que desecharla como respuesta a la cuestión planteada puesto que el enunciado dice que b > 0.

Ejercicio 12º.- Considera la función definida por 2

4( )f x x

x para x ≠ 0

a) (1 punto) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) (1 punto) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de

decrecimiento de f. Calcula los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores

que se alcanzan).

c) (0,5 puntos) Esboza la gráfica de f.

SOLUC: a) AV: x = 0; AH: NO; AO: y = - x b) Decrece: (- 2)U(0, , ) Crece: (-2,0) mínimo: (-2,3)

Ejercicio 13º.- (2,5 puntos) Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular

con las siguientes características: la superficie rectangular que debe de ocupar la zona impresa debe

ser de 100 cm2, el margen superior tiene que ser de 2 cm, el inferior de 3 cm y los laterales de 5 cm

cada uno.

Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor

cantidad de papel posible. SOLUC: Relación entre variables: x.y = 100 (siendo x e y las longitudes respectivas de la base y de la altura del texto escrito)

Función a optimizar: Superficie del papel de la tarjeta 1000150 5S( x ) x

x

Base de la tarjeta: 10 10 2 10 24 14x cm , cm Altura de la tarjeta: 5 5 2 5 12 07y cm , cm


0

1lim

21xx

mxe

es finito, calcula m y el valor del

límite.

SOLUC: m = 2;

0

1 1lim

2 21xx

mxe

Ejercicio 15º.- (2,5 puntos) Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que

tiene un extremo relativo en el punto (0,2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 1

es la recta de ecuación x + y = 3. SOLUC: a) a = -1 b = 1 c = 0 d = 2

Ejercicio 16º.- (2,5 puntos) Considera la función derivable f : R R definida por

0( ) 2

0

x xe esi x

f x x

ax b si x

Calcula a y b. SOLUC: a = 0 b = 1

RESPUESTA

Como la función es derivable en R, también tiene que ser continua en R; y en particular tiene que ser continua y

derivable en su punto de ruptura (x = 0).


Como f(x) es continua en x = 0, los límites laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitos e iguales, es decir:

0 0 0 0lim ( ) lim lim ( ) lim

2

x x

x x x x

e ef x f x ax b

x


0 0 '

0 0 0 0

0 0

1 1 0 ( )' 1 1lim ( ) lim ( . ' ) lim lim 1

2 2.0 0 0 (2 )' 2 21

lim ( ) lim . .0

x x x x x xL H

x x x x

x x

e e e e e e e ef x IND tipo L Hopital

x xb

f x a x b a b b

2º.- Apliquemos que f(x) es derivable en x = 0:

En primer lugar calculamos la función derivada de f(x):

2

( )2 2( )0

'( ) 4

0

x x x xe e x e esi x

f x x

a si x

Como f(x) es derivable en x = 0, las derivadas laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitas e iguales,

es decir:

'( )2 ( )2

240 0 0 0lim '( ) lim lim '( ) lim

x x x xe e x e e

xx x x xf x f x a

Calculemos las derivadas laterales y las igualamos:

''

( )2 ( )2

2 '4 20 0 0

0 0

( )2 ( )20lim '( ) lim ... ( . ' ) lim ....... 0

0 40

lim '( ) lim

x x x xL Hx x x xe e x e e

xx x x

x x

e e x e ef x IND tipo L Hopital

xa

f x a a

Ejercicio 17º.- Se considera la función f : (O, ) R dada por: 1

( ) ( )f x Ln xx

a) (2 puntos) Calcula los extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan) de la función f en el intervalo 1,e

e

.

b) (0,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa x = e.

SOLUC: a) En el intervalo 1,e

e

la función f tiene un MÁXIMO ABSOLUTO en el punto (1/e, e - 1) y un MÍNIMO ABSOLUTO en el punto

de coordenadas (1, 1)

b) La ecuación explícita de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e es:

2

1 2ey x

ee

Ejercicio 18º.- Considera la región limitada por la gráfica de la función ( ) 2 2f x x para x

≥ 1, la recta y = x – 5 y el eje de abscisas.

a) (0,75 puntos) Esboza la gráfica de la región mencionada y halla los puntos de corte

entre la gráfica de f y las rectas.

b) (0,75 puntos) Expresa mediante integrales el área del recinto anterior.

c) (1 punto) Calcula el área de dicho recinto. SOLUC: a) Un solo punto de corte entre la gráfica de f y la recta y = x – 5 y las coordenadas de dicho punto son: (9, 4).

Un solo punto de corte entre la gráfica de f y el eje de abscisas (y = 0) y las coordenadas de dicho punto son: (1, 0).

b) 9 9

1 52 2 ( 5)A x dx x dx

c) 240

3A u

Ejercicio 19º.- Considera la integral definida:

8

0

1

2 1dx

x

a) (1,25 puntos) Exprésala en función de la variable t, siendo: 2 1t x

b) (1,25 puntos) Calcula el valor de dicha integral.

SOLUC: a) 8 5

0 3

1 2 4

2 1

tdx dt

tx

(observa como han cambiado los límites de integración con la nueva variable)

b)

8 5

0 3

1 2 4 3 54 4 (5) 4 (3) 4 1 (5) (3) 4 1 ( ) 4 1 ( )

5 32 1

tdx dt Ln Ln Ln Ln Ln Ln

tx

Ejercicio 20º.- (2,5 puntos) Una cuerda de 1m de longitud se divide en dos trozos con los que se

construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente. Determina, si es posible, las

longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.

SOLUC: Relación entre variables: 2 1 4r x (siendo x la longitud de cada lado del cuadrado y r el radio de la circunferencia)

Función a optimizar: Suma de las áreas de las dos figuras 2

2 21 4 4 2 11

2 4

xA( x ) x x x

El trozo de cuerda con el que formamos el cuadrado debe tener una longitud de: 40 56 56

4m , m cm

El trozo de cuerda con el que formamos la circunferencia debe tener una longitud de: 41 0 44 44

4 4m , m cm

Ejercicio 21º.- Se sabe que la función f : R R es continua, siendo:

2

2

3 2 0

( ) 2 cos( ) 0

x si x

f x x a x si x

a x b si x

a) (1,25 puntos) Determina los valores de a y b.

b) (1,25 puntos) Estudia la derivabilidad de f y calcula su función derivada.

SOLUC: a) a = 1 y b = -2

b) La función f es derivable en R – {0} y su función derivada es: 3 0

'( ) 2 2 ( ) 0

2

si x

f x x sen x si x

x si x

RESPUESTA APARTADO A

Como la función f es continua en R, también tiene que serlo en los puntos de ruptura x = 0 y x = π.


Como f(x) es continua en x = 0, los límites laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitos e iguales, es

decir:

2

0 0 0 0lim ( ) lim 3 2 lim ( ) lim 2 cos( )x x x x

f x x f x x a x


0 0

2

0 0

lim ( ) lim 3 2 2

2 1

lim ( ) lim 2 cos( ) 2

x x

x x

f x x

a a a

f x x a x a

2º.- Apliquemos que f(x) es continua en x = π:

Como f(x) es continua en x = π, los límites laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitos e iguales, es

decir:

2 2lim ( ) lim 2 cos( ) lim ( ) limx x x x

f x x a x f x ax b

Calculemos los límites laterales y los igualamos (teniendo en cuenta que a = 1):

2 2 2 2

2 2

2 2

lim ( ) lim 2 cos( ) 2cos( ) 2( 1) 2

2 2

lim ( ) lim

x x

x x

f x x x

b b

f x x b b

RESPUESTA APARTADO B

La expresión 3x + 2 es una función polinómica, que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto la función f es continua y derivable en el intervalo (-∞, 0) y su derivada vale 3.

La expresión x2 + 2.cos(x) es una la suma de dos funciones, una función polinómica y una trigonométrica, que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto la función f es continua y derivable en el intervalo (0, π) y

su derivada vale 2x – 2.sen(x).

La expresión x2 - 2 es una función polinómica, que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto la función f es continua y derivable en el intervalo (π, ∞) y su derivada vale 2x.

Veamos si la función también es derivable en los puntos de ruptura, x = 0 y x = π.

Derivabilidad en x = 0

Para que la función sea derivable en x = 0, la función tiene que ser continua en este punto, que lo es, y sus derivadas laterales en dicho punto tienen que coincidir. Calculemos las derivadas laterales en x = 0 y veamos si coinciden:

0 0

0 0

'(0 ) lim '( ) lim 3 3

'(0 ) 3 '(0 ) 0

'(0 ) lim '( ) lim 2 2 ( ) 2.0 2 (0) 0

x x

x x

f f x

f f

f f x x sen x sen

La función f(x) NO es derivable en x = 0.

Derivabilidad en x = π

Para que la función sea derivable en x = π, la función tiene que ser continua en este punto, que lo es, y sus derivadas

laterales en dicho punto tienen que coincidir. Calculemos las derivadas laterales en x = π y veamos si coinciden:

'( ) lim '( ) lim 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2

'( ) 2 '( )

'( ) lim '( ) lim 2 2.

x x

x x

f f x x sen x sen

f f

f f x x

La función f(x) SI es derivable en x = π.

CONCLUSIÓN: La función es derivable en R – {0} y su función derivada es:

3 0

'( ) 2 2 ( ) 0

2

si x

f x x sen x si x

x si x

Ejercicio 22º.- Considera la función definida por

22( )

( 1)( 2)

xf x

x x

para x ≠ -1 y x ≠ 2

c) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.

d) (1 punto) Determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de f

y calcula los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

e) (0,5 puntos) Calcula si existe algún punto de la gráfica de f dónde esta corte a su asíntota

horizontal.

SOLUC: a) AV: Hay dos cuyas ecuaciones son x = -1 y x = 2; AH: Hay una a ambos lados de ecuación y = 2; AO: No hay, pues hay

horizontal a ambos lados.

b) Decrece: (- 4)U(0,2)U(2, , ) Crece: (-4,-1)U(-1,0)

Hay un mínimo relativo en el punto (-4, 16/9) y un máximo relativo en el origen de coordenadas, es decir, en el punto (0,0)

Ejercicio 23º.- (2,5 puntos) Se quiere

hacer una puerta rectangular coronada por un

semicírculo (puerta normanda). El hueco de la

puerta tiene que tener 16 m2. Si es posible,

determina la longitud de la base de la puerta

para que el perímetro sea mínimo.

SOLUC: Relación entre variables: 2 21 128

162 2 8

x xx h h

x

(siendo x y h lo indicado en la figura)

Función a optimizar: Perímetro de la puerta 2128 4 32

22 4 2 4

x x xP( x,h ) x h P( x ) x x

x x

La base de la puerta debe medir: 1284 23

4x m , m

Ejercicio 24º.- Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta y = x,

la gráfica de la función 3

1( )f x

x (para x ≠ 0) y la recta x = 3.

a) (0,5 puntos) Haz un esbozo del recinto descrito.

b) (1,5 puntos) Calcula el área de dicho recinto.

c) (0,5 puntos) Si consideras la gráfica de la función 2

1( )g x

x en lugar de la de

3

1( )f x

x, el área del recinto correspondiente ¿será mayor o menor? ¿Por qué?

SOLUC: b) 1 32

30 1

1 1 4 17

2 9 18A xdx dx u

x

c) El área será mayor, pues basta con dibujar la región delimitada con la función g para ver que la segunda región es mayor.

Ejercicio 25º.- (2,5 puntos) Determina la función f : R R de la que se sabe que xf ''( x ) x.e ,

que su gráfica pasa por el origen de coordenadas y que tiene un extremo relativo en x = 1. SOLUC: ( ) 2 2x xf x xe e

Ejercicio 26º.- (2,5 puntos) Halla a y b sabiendo que es continua la función f : R R definida

por:

2

cos( )0

( )

0

xx x a esi x

f x x

b si x

SOLUC: a = 1 y b = -1

RESPUESTA

Como la función f es continua en R, también lo tiene que ser en x = 0. Y para que la función sea continua en x = 0,

deben de cumplirse tres condiciones:

1ª. Que exista f(0), y ente caso existe y vale b: 0f ( ) b

2ª. Que exista el límite de la función en x = 0 y que este límite sea finito: 0x

Lim f ( x )

3ª. Que ambos valores coincidan: 0

0xLim f ( x ) f ( ) b

En resumen, la función f en x = 0 tiene límite, es finito y vale b. Calculemos dicho límite:

0

2 20 0

0 2

0 0 0 1 1 0(IND. TIPO L'HOPITAL)

0 00

x

x x

'x

'x

x cos( x ) a e cos( ) a eLim f ( x ) Lim

x

x cos( x ) a eLim ......

x

Ejercicio 27º.- Se considera la función f dada por 23 2

( )1

xf x

x

para x ≠ 1

a) (1,5 puntos) Estudia y calcula las asíntotas de f.

b) (1 punto) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

SOLUC: a) AV: Hay una de ecuación x = 1 ; AH: NO hay; AO: Hay una a ambos lados de ecuación y = - 3x - 3.

b) Decrece: 3 3(- ,1- )U(1+

3 3, ) Crece: 3 3

(1- ,1)U(1,1+ )3 3

Ejercicio 28º.- (2,5 puntos) Sabiendo que 2

20x

cos( x ) a cos ( x )lim

sen( x )

es finito, calcula “a” y el

valor del límite.

SOLUC: a = - 1; 2 2

20 2x

cos( x ) a cos ( x )lim

sen( x )

Ejercicio 29º.- Considera la función dada por Ln( x )

f x xx

, para x > 0.

a) [1,5 puntos] Halla todas las primitivas de f.

b) [0,5 puntos] Halla 3

1( )f x dx .

c) [0,5 puntos] Determina la primitiva de f que toma el valor 3 para x = 1.

SOLUC: a ) 2( ) 22 1 2 13 ( ) ( )

3 2 3 2Ln x

x dx xx

x Ln x C x Ln x C

b )

3

( )3

1

22 12 (3)

3 2Ln x

x dxx

Ln

c) 27 7( )

3 3

22 1 2 13 ( ) ( )3 2 3 2

Ln xx dx x

xx Ln x x Ln x

Ejercicio 30º.- (2,5 puntos) Se quiere construir un bote de conservas cilíndrico, con tapa, de 1

litro de capacidad. Calcula las dimensiones del bote para que en su construcción se utilice la menor

cantidad posible de hojalata.

SOLUC: Relación entre variables: 2

2

11r h h

r

(siendo r el radio de la base y h la altura)

Función a optimizar: Superficie del bote de conservas 2 222 2 2S( r,h ) rh r S( r ) r

r

Las dimensiones del bote son: radio de la base 31

0 5422

r dm , dm

y la altura 3

2

3

1 41 084

1

2

h ..... dm , dm

Ejercicio 31º.- Sea 0f : , R la función definida por f x Ln( x ) .

a) (0,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa x = 1.

b) (2 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta de y = x – 1 y la recta

x = 3. Calcula el área de dicho recinto.

SOLUC: a) y = x – 1 b) 3 3

2

1 1( 1) ( ) 2 3 (3) 2 4 3 (3)A x dx Ln x dx Ln Ln u

Ejercicio 32º.- Considera la función 0f : , R definida por ( )

( )Ln x

f xx

f) (1,25 punto) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.

g) (1,25 punto) Determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento

de f y calcula los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se

alcanzan).

SOLUC: a) AV: Hay una por la derecha de ecuación x = 0 (el eje de ordenadas); AH: Hay una en ∞ de ecuación y = 0 (el eje de abscisas);

AO: NO hay, pues hay AH.

b) Crece: (0,e) ; Decrece: (e, ) ; Hay un máximo en el punto 1(e, )

e

Ejercicio 33º.- (2,5 puntos) Se dispone de un cartón cuadrado de 50 cm de lado para construir

una caja sin tapadera. Para ello, se corta un cuadrado de x cm de lado en cada una de las esquinas.

Halla el valor de x para que el volumen de la caja sea máximo y calcula dicho volumen.

SOLUC: Función a optimizar: Volumen de la cajas 2 3 250 2 4 200 2500V( x ) x x x x x

25

3x cm 3250 000

9259 25927

.Volumen , cm

Ejercicio 34º.- Considera las funciones f : R R y g : R R definidas por:

2f ( x ) x y 2 4g( x ) x x

a) (0,75 puntos) Esboza la región limitada por las gráficas de ambas funciones, hallando los

puntos de corte de ambas gráficas.

b) (0,75 puntos) Expresa el área de dicha región mediante una integral.

c) (0,5 puntos) Calcula el área de la citada región.

SOLUC: b) 2 2

2

0 0( ) ( ) 2 4A g x f x dx x x dx

c) 28

3A u

Ejercicio 35º.- (2,5 puntos) Sea la función f : R R definida por f ( x ) x.arctan( x ) ,

Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, π).

SOLUC:

2

arctan( )1

( ) ( ) arctan( )2 2 2

x x dxx x

F x arctan x x

Ejercicio 36º.- (2,5 puntos) De la función f : R R definida por:

( ) xf x ae b x , donde a y b R

se sabe que su gráfica tiene tangente horizontal en x = 0 y que 1

0( )

3

2f x dx e . Halla los

valores de a y b.

SOLUC: 1a b

Ejercicio 37º.- Se considera la función f dada por 4

3

3 1( )

xf x

x

para x ≠ 0

a) (1 punto) Estudia y calcula las asíntotas de f.

b) (1 punto) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, y los

extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) (0,5 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de f.

SOLUC: a) AV: x = 0 (el eje de ordenadas) ; AH: NO hay; AO: Hay una a ambos lados de ecuación y = 3x

b) Crece: (- ,-1)U(1, ) Decrece: (-1,0)U(0,1)

Máximo relativo: (-1, -4) Mínimo relativo: (1, 4)

Ejercicio 38º.- (2,5 puntos) Considera la función f : R R definida por:

2

0

1 0 1

21

1

xe si x

f ( x ) x si x

si xx

Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función f y calcula su función derivada.

SOLUC: Continua: R – {1}

Derivable: R – {0, 1}

2

0

2 0 1

21

1

xe si x

Función derivada : f '( x ) x si x

si x( x )

ESTUDIO CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

La expresión e-x es una función exponencial que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto, la

función f(x) es continua y derivable en el intervalo (-∞, 0) y su derivada vale – e-x.

La expresión 1 – x2 es una función polinómica que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto, la función f(x) es continua y derivable en el intervalo (0, 1) y su derivada vale – 2x.

La expresión 2

1x

es una función racional que es continua y derivable en todo su dominio que es R – {-1}. Por tanto,

la función f(x) es continua y derivable en el intervalo (0, ∞) y su derivada vale 2

2

1( x )

.

Veamos la continuidad y la derivabilidad de la funció f(x) en los puntos de ruptura.

Continuidad en x = 0: Para que la función sea continua en x = 0 debe de cumplirse

1ª. Que exista f(0), y ente caso existe y vale: 00 1f ( ) e


Lim f ( x )

. Para ello los limites

laterales de la función tienen que ser finitos y coincidir. Veamoslo.

0

0 0

02

0 0

lim ( ) lim 1

lim ( ) 1

lim ( ) lim 1 1

x

x x

x

x x

f x e e

f x

f x x

3ª. Que ambos valores coincidan y en este caso coinciden: 0

0 1xLim f ( x ) f ( )

La función f(x) SI es continua en x = 0

Continuidad en x = 1: Para que la función sea continua en x = 0 debe de cumplirse

1ª. Que exista f(1), y ente caso existe y vale: 2

1 11 1

f ( )


Lim f ( x )

. Para ello los limites

laterales de la función tienen que ser finitos y coincidir. Veamoslo.

2

1 1

1 1

1 1

lim ( ) lim 1 1 1 0

lim ( ) 0 lim ( ) 12 2

lim ( ) lim 11 1 1

x x

x x

x x

f x x

f x f x

f xx

1lim ( )x

f x

La función f(x) NO es continua en x = 1 y por tanto tampoco es derivable en este valor.

CONCLUSIÓN: La función es contiunua en R – {1}

Derivabilidad en x = 0

Para que la función sea derivable en x = 0, la función tiene que ser continua en este punto, que lo es, y sus derivadas

laterales en dicho punto tienen que coincidir. Calculemos las derivadas laterales en x = 0 y veamos si coinciden:

0

0 0

0 0

'(0 ) lim '( ) lim 1

'(0 ) 3 '(0 ) 0

'(0 ) lim '( ) lim 2 2.0 0

x

x x

x x

f f x e e

f f

f f x x

La función f(x) NO es derivable en x = 0.

La función tampoco es derivableen x = 1 por que no es continua.

CONCLUSIÓN: La función es derivable en R – {0, 1} y su función derivada es:

2

0

'( ) 2 0 1

21

( 1)

xe si x

f x x si x

si xx

Ejercicio 39º.- Dada la función f : R R definida por 22 3 1f x x x

a) [0,5 puntos] Prueba que las rectas y = - x + 1 e y = 3x – 1 son tangentes a su

gráfica.

b) [2 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y las rectas mencionadas

en el apartado anterior.

SOLUC: a) La recta y = - x + 1 es tangente a la gráfica de f en el punto (1, 0).

La recta y = 3x - 1 es tangente a la gráfica de f en el punto (0, -1).

b) A = 1/12 + 1/12 = 1/6 u2

Ejercicio 40º.- (2,5 puntos) Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 cm y

de área máxima.

SOLUC: Relación entre variables: 2 24 8 16y x ( x ) x (siendo x la longitud de cada uno de los lados iguales e y la altura del

triángulo)

Función a optimizar: Superficie del triángulo: 8 24 8 16

2

( x ).yS( x,y ) S( x ) ( x ) x

La base del triángulo es 8/3 cm

La altura del triángulo vale 4 4 3

33y cm

Observación: en realidad sale un triángulo equilátero.

Ejercicio 41º.- (2,5 puntos) Determina la función 0f : , R sabiendo que 1

f '' xx

y

que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P = (1,1)

SOLUC: 2f ( x ) x.Ln| x| x

Ejercicio 42º.- (2,5 puntos) Dada la función f : R R definida por f(x) = ax3 + bx

2 + cx,

determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0) y que la recta

tangente en ese punto tiene de ecuación y = - 3x + 3.

SOLUC: a = 3 b =- 9 c = 6

Ejercicio 43º.- Dada la función f : R R definida por ( ) xf x x e

a) (0,75 puntos) Estudia y calcula las asíntotas de f.

b) (0,75 puntos) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, y los

extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) (0,5 puntos) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de la gráfica de f.

d) (0,5 puntos) Haz un esbozo de la gráfica de f.

SOLUC: a) AV: NO hay ; AH: NO hay; AO: Hay una a la derecha de ecuación y = x

b) Crece: (- ,0 ) Decrece: (0, )

Mínimo absoluto: (0, 1)

c) Siempre es convexa: (-∞, ∞)

Ejercicio 44º.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por:

4 3f x x y 2g x x

d) [1,25 puntos] Esboza las gráficas de f y g. Determina sus puntos de corte.

e) [1,25 puntos] Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.

SOLUC: a) Dos puntos de corte: (-1, 1) y (1, 1) b) A = A1 + A2 = 2A1 = 2A2 = 2.13/6 = 13/3 u2

Ejercicio 45º.- Calcula:

a) (1 punto) 2

3 4

1

xdx

x

.

b) (1,5 puntos) 4

0

2x cos( x )dx

.

SOLUC: a) 2

2

3 4 31 4

21

xdx Ln( x ) arctg( x ) C

x

b) 4 4

00

1 12 2 2

2 4 4 4

xxcos( x )dx sen( x ) cos( x )

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