ejercicios de sistemas lineales

Laboratorio: Sistemas Lineales

Lic. Luis Roca

Universidad Nacional Tecnologica de Lima Sur

20/06/2015

Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 1 / 21

1 Reacciones qumicas

2 Corrientes y voltajes en un circuito

3 Mnimos cuadrados


Resolveremos el sistema:

2x1 2x2 x3 = 24x1 + x2 2x3 = 12x1 + x2 x3 = 3

En el editor de Matlab escriba el siguiente codigo

1 function x=EliminacionGauss(a,b)

2 n=size(a,1);

3 for j = 1:n-1

4 if abs(a(j,j))

13 x=zeros(n,1);

14 for i = n:-1:1

15 for j = i+1:n

16 b(i) = b(i) - a(i,j)*x(j) ;

17 end

18 x(i) = b(i) / a(i,i) ;

19 end

Guarde el archivo con el nombre EliminacionGauss.m en su carpeta detrabajo. Luego en la ventana de comandos de Matlab defina a y b:

1 a=[2 -2 -1;4 1 -2; -2 1 -1];

2 b=[ -2;1; -3];

Finalmente ejecutamos el script EliminacionGauss.m1 x=EliminacionGauss(a,b)


Reacciones qumicas

Reacciones qumicas I

En un recipiente entran flujos de una sustancia a 2m3/min con unaconcentracion de 25mg/m3 y 1.5m3/min con una concentracion de10mg/m3, si sale un unico flujo a una velocidad de 3.5m3/min, cual serala concentracion de salida?.


Reacciones qumicas

Como la masa se conserva entonces

Q1c1 + Q2c2 = Q3c3

es decir c3 = 18.6mg/m3.

Analicemos el siguiente esquema de mezclas


Reacciones qumicas

por la conservacion de masa tenemos

Q01c01 + Q31c31 = Q15c15 + Q12c12

Q12c12 = Q25c25 + Q24c24 + Q23c23

Q03c03 + Q23c23 = Q31c31 + Q34c34

Q24c24 + Q54c54 + Q34c34 = Q44c44

Q15c15 + Q25c25 = Q54c54 + Q55c55

asumiendo que la concentraciones en el flujo salida son uniformes entonces

c15 = c12 = c1

c24 = c25 = c23 = c2

c31 = c34 = c3

c44 = c4

c54 = c55 = c5


Reacciones qumicas

obtenemos el sistema de ecuaciones

(Q15 + Q12)c1 Q31c3 = Q01c01Q12c1 (Q25c2 + Q24c2 + Q23)c2 = 0

Q23c2 + (Q31 + Q34)c3 = Q03c03Q24c2 + Q34c3 Q44c4 + Q54c5 = 0Q15c1 + Q25c2 (Q54 + Q55)c5 = 0

o en forma matricialQ12+Q15 0 Q31 0 0Q12 (Q25+Q24+Q23) 0 0 00 Q23 Q31+Q34 0 00 Q24 Q34 0 Q54

Q15 Q25 0 0 Q54

[ c1c2c3c4c5

]=

Q01c010Q03c03Q44c44Q55c55

reemplazamos los datos 6 0 1 0 03 3 0 0 00 1 9 0 0

0 1 8 11 23 1 0 0 4

[ c1c2c3c4c5

]=

[500

16000

]

y la solucion es ......................................................Lic. Luis Roca (UNTELS) Laboratorio: Sistemas Lineales 20/06/2015 8 / 21

Corrientes y voltajes en un circuito

Corrientes y voltajes en un circuito I

Resolver el siguiente circuito


Corrientes y voltajes en un circuito

de acuerdo a la ley de Kirchhoff (conservacion de la energa) tenemos encada nodo

i = 0 y en cada circuito cerrado

E iR = 0, es decir

i12 + i52 + i32 = 0

i65 i52 i54 = 0i43 i32 = 0i54 i43 = 0

y

i54R54 i43R43 i32R32 + i52R52 = 0i65R65 i52R52 + i12R12 200 = 0

remplazando los datos obtenemos 1 1 1 0 0 00 1 0 1 1 00 0 1 0 0 10 0 0 0 1 10 10 10 0 15 55 10 0 20 0 0

i12i52i32i65i54i43

= 000

00

200

y la solucion es ......................................................


Mnimos cuadrados

Mnimos cuadrados I

Copiar el siguiente codigo con el nombre minimoscuadrados.m

1 function x=minimoscuadrados(A,b)

2 n = size(A,2); m = size(A,1);

3 P = eye(m,m); R = A;

4 for i=1:n

5 A1=R(i:m,i); // columna 1 de la matriz a transformar

6 r11 = -sign(A1(1))* norm(A1);

7 v = A1-r11*eye(m-i+1 ,1);

8 v=v./norm(v);// vector de rotacion de la columna 1

9 P1=eye(m,m);

10 P1(i:m,i:m)=eye(m-i+1,m-i+1)-2*v*v;// matriz de rotacion

11 R = P1*R;// rotamos la columna 1

12 P = P1*P;// almacenamos P

13 end

14 Q=P; //fin de la factorizacion QR, ahora A=QR

15 // resolvemos la ecuacion AA=Ab, solucion de minimos cuadrados

16 x= (R*R)\(R*Q*b);


Mnimos cuadrados

Mnimos cuadrados II

Ejemplo

Ajustar la data mediante un polinomio de grado 2, y = ax2 + bx + c

xi yi0 2.11 7.72 13.63 27.24 40.95 61.1

formamos el sistema

c = 2.1

a + b + c = 7.7

4a + 2b + c = 13.6

9a + 3b + c = 27.2

16a + 4b + c = 40.9

25a + 5b + c = 61.1


Mnimos cuadrados

Mnimos cuadrados III

Ejemplo

obtenemos

0 0 11 1 14 2 19 3 1

16 4 125 5 1

abc

=

2.17.7

13.627.240.961.1

y aplicando el metodo de mnimos cuadrados obtenemos la solucion.....................................

Codigo para graficar la solucion:


Mnimos cuadrados

Mnimos cuadrados IV

1 % datos de entrada

2 DATOS = zeros (6,2)

3 DATOS (1,:) = [0 2.1];

4 DATOS (2,:) = [1 7.7];

5 DATOS (3,:) = [2 13.6];

6 DATOS (4,:) = [3 27.2];

7 DATOS (5,:) = [4 40.9];

8 DATOS (6,:) = [5 61.1];

9 % definimos la matriz A

10 MatrizA=zeros (6,3);

11 MatrizA (1 ,:)=[0 0 1];

12 MatrizA (2 ,:)=[1 1 1];

13 MatrizA (3 ,:)=[4 2 1];

14 MatrizA (4 ,:)=[9 3 1];

15 MatrizA (5 ,:)=[16 4 1];

16 MatrizA (6 ,:)=[25 5 1];

17 % la segunda columna de DATOS es


Mnimos cuadrados

Mnimos cuadrados V18 % la matriz B

19 MatrizB=DATOS (:,2);

20

21 % Resolvemos Ax=B

22 % sol = [a; b; c]

23 sol=MatrizA\MatrizB;

24

25 % el dominio del grafico

26 x=[0:0.1:5] ;

27

28 % calculamos la curva de minimos cuadrados

29 % y = a*x^2 + b*x + c

30 y=[x.^2 , x , ones(size(x)) ]*sol;

31

32 % graficamos

33 plot(x,y,DATOS (:,1),DATOS (:,2),o)


Mnimos cuadrados

Ejemplo

En 1601 el astronomo aleman Johannes Kepler formulo la tercera ley demovimiento planetario, T = Cx3/2, donde x es la distancia al sol medidaen millones de kilometros, T es el periodo orbital en das, y C es unaconstante. Los datos (x ,T ) para los cuatro primeros planetas son (58, 88),(108, 225), (150, 365), (228, 687).

Como ln(T ) = ln(C ) +3

2ln(x) podemos hacer un ajuste con los siguientes

datos Y = ln(T ), X =3

2ln(x)

Y X4.4773368 6.09066455.4161004 7.02319685.8998974 7.51595296.5323343 8.1440184


Mnimos cuadrados

Ejemplo

para realizar un ajuste de la recta Y = a + X en base al siguiente sistema

a + 6.0906645 = 4.4773368

a + 7.0231968 = 5.4161004

a + 7.5159529 = 5.8998974

a + 8.1440184 = 6.5323343

obtenemos 1111

[a] =1.61332771.60709641.61605561.6116842

encontramos la solucion de mnimos cuadrados: la solucion esxsol = 1.612041 = a = ln(C ) = C = 0.1994801


Mnimos cuadrados

Ejemplo

Los comandos para graficar la data y el ajuste

1 T=[88 ,225 ,365 ,687] ;

2 X=[58 ,108 ,150 ,228] ;

3 interv=linspace (50 ,250 ,100);

4 C=0.1994801;

5 T_aju=C*interv .^(1.5);

6 plot(X,T,o,interv ,T_aju );

7 xlabel(x (km x 10^6))

8 ylabel(T (dias))


Mnimos cuadrados

Ejemplo


Mnimos cuadrados

Ejercicios I

Aplique el metodo de mnimos cuadrados para el ajuste de curvas

1 Encuentre un polinomio de grado 3 que ajuste

x 0 2 4 6 9 11 12 15 17 19

y 5 6 7 6 9 8 7 10 12 12


x 6 7 11 15 17 21 23 29 29 37 39

y 29 21 29 14 21 15 7 7 13 0 3


x 2 4 6 7 10 11 14 17 20

y 1 2 5 2 8 7 6 9 12


x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 1 1.5 2 3 4 5 8 10 13



Mnimos cuadrados

Ejercicios IIx 0.75 2 3 4 6 8 8.5

y 1.2 1.95 2 2.4 2.4 2.7 2.6

6 Encuentre una funcion potencia y = axn que ajuste

x 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20

y 13 11 8.5 8.2 7 6.2 5.2 4.8 4.6 4.3

7 Encuentre una funcion exponencial y = aebx que ajuste

x 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.3

y 800 975 1500 1950 2900 3600

8 Encuentre una funcion y = axebx que ajuste

x 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 1.3 1.5 1.7 1.8

y 0.75 1.25 1.45 1.25 0.85 0.55 0.35 0.28 0.18

9 Encuentre una funcion k =ac2

b + c2que ajuste

c 0.5 0.8 1.5 2.5 4

k 1.1 2.4 5.3 7.6 8.9


Mnimos cuadrados

Ejercicios III10 Encuentre una funcion x = e

yba que ajuste

x 1 2 3 4 5

y 0.5 2 2.9 3.5 4

11 Encuentre una funcion potencia y = axn que ajuste

x 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

y 3 3.5 3.6 3.7 3.8 3.85 3.8 4 3.95 4.1

12 Encuentre una funcion exponencial y = aebx que ajuste

x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y 1.21 0.94 0.74 0.57 0.45 0.35 0.27 0.21 0.16

13 Encuentre una funcion y = axebx que ajuste

x 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y 1.65 1.83 1.81 1.67 1.49 1.29 1.09 0.91 0.75

14 Encuentre una funcion k =ac2

b + c2que ajuste


Mnimos cuadrados

Ejercicios IV

c 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

k 0.14 0.52 1.07 1.7 2.33 2.93

15 Encuentre una funcion x = eyba que ajuste

x 1 2 3 4 5 6

y 1.62 1.32 1.08 0.89 0.73 0.59


Reacciones qumicasCorrientes y voltajes en un circuitoMnimos cuadrados

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