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Ejercicios del tema 6En este documento encontrara como se puede emplear el programa Maxima pararesolver o apoyar algunos pasos de la resolucion de varios de los ejercicios deltema. Debe tener en cuenta que:
• En esencia se utilizan los comandos que aparecen en la bibliografıa basicade la asignatura. Pero aparecen algunos mas que pueden resultarle intere-santes para resolver ejercicios y apoyar sus calculos actuales y futuros.
• En muchas ocasiones existe mas de una forma de llegar al mismo resultado,es decir, se pueden utilizar distintos comandos o los comandos en ordendiferente.
• Le animamos a experimentar con el programa. Tiene los comandos escritosy solamente debe ejecutarlos para comprobar la salida. Pero ¿que ocurresi cambia los datos? ¿Obtiene lo que esperaba?
• La forma ideal de trabajar con este documento es.
– Primero leer el enunciado del ejercicio y tratar de resolverlo sin ayudade Maxima.
– Si encontramos dificultades en las que creemos que Maxima nos puedeayudar o queremos verificar el resultado, intentar utilizar el programapara realizar esas tareas.
– Finalmente recurrir a la informacion de este documento para compro-bar la solucion y ver que sugerencias de resolucion o apoyo aparecen.
1 Ejercicio 231
Con Maxima podemos calcular las derivadas parciales de f, el gradiente (conjacobian; el nombre se debe a que el gradiente es un caso particular que noestudiamos, que es la matriz matriz jacobiana). Si utilizamos define, podemoscalcular directamente el valor del gradiente en (0,0):
(%i1) f(x,y):=cos(y)-y*x^2;
define(parcial1f(x,y),diff(f(x,y),x,1));
define(parcial2f(x,y),diff(f(x,y),y,1));
jacobian([f(x,y)],[x,y]);
define(gradf(x,y),jacobian([f(x,y)],[x,y]));
gradf(0,0);
(%o1) f (x, y) := cos (y)− y x2
(%o2) parcial1f (x, y) := −2x y
1
(%o3) parcial2f (x, y) := −sin (y)− x2
(%o4)(−2x y −sin (y)− x2
)(%o5) gradf (x, y) :=
(−2x y −sin (y)− x2
)(%o6)
(0 0
)Tambien se puede hacer con gradef y se pueden mostrar con printprops (pruebea ejecutar la siguiente celda sin esta ultima sentencia:
(%i7) f(x,y):=cos(y)-y*x^2;
gradef(f(x,y),parcial1f(x,y),parcial2f(x,y));
printprops ([f],gradef);
(%o7) f (x, y) := cos (y)− y x2
(%o8) f (x, y)d
d xf (x, y) = (−2) x y
d
d yf (x, y) = (−1) x2 + (−1) sin (y)
(%o9) done
Ası tenemos la ecuacion del plano tangente, que asignamos con define (¡comodeberıamos haber esperado!).
(%i10) define(pltan(x,y),f(0,0)+parcial1f(0,0)*(x-0)
+parcial2f(0,0)*(y-0));
(%o10) pltan (x, y) := 1
Con Maxima podemos representar f(x,y)=cos(y)-y*x^2 y su plano tangente en(0,0):
(%i11) load(draw)$
draw3d(key= "f", color=blue, explicit(f(x,y),x,-1,1,y,-1,1),
color= red, key="Df(1,0)",
explicit(pltan(x,y),x,-1,1,y,-1,1), surface_hide= true);
(%o12) [gr3d (explicit, explicit)]
Para dibujar las graficas de las funciones f y pltan(x,y) introducimos en Maximael siguiente comando que deducimos del dado en el enunciado.
>> draw3d(key= ”f”, color=blue, explicit(f(x,y),x,-1,1,y,-1,1), color=red,
key=”Df(0,0)”, explicit(pltan(x,y),x,-1,1,y,-1,1), surface hide= true);
Observara en azul la grafica de f y en rojo el plano definido por la grafica depltan(x,y). Girando las graficas con el raton observamos que son tangentes.
2
2 Ejercicio 232
Representamos la funcion y su plano tangente, como en el ejemplo anterior:
(%i15) kill(all);
f(x,y):=x^2+y^3+exp(x+y);
define(parcial1f(x,y),diff(f(x,y),x,1));
define(parcial2f(x,y),diff(f(x,y),y,1));
jacobian([f(x,y)],[x,y]);
define(gradf(x,y),jacobian([f(x,y)],[x,y]));
gradf(1,-1);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x2 + y3 + exp (x+ y)
(%o2) parcial1f (x, y) := ey+x + 2x
(%o3) parcial2f (x, y) := ey+x + 3 y2
(%o4)(ey+x + 2x ey+x + 3 y2
)(%o5) gradf (x, y) :=
(ey+x + 2x ey+x + 3 y2
)(%o6)
(3 4
)Ası tenemos la ecuacion del plano tangente, que asignamos de nuevo con definey simplificamos con factor:
(%i7) define(pltan(x,y),f(1,-1)+parcial1f(1,-1)*(x-1)
+parcial2f(1,-1)*(y+1));
factor(%);
(%o7) pltan (x, y) := 4 (y + 1) + 3 (x− 1) + 1
(%o8) pltan (x, y) := 4 y + 3x+ 2
Con Maxima podemos representar f(x,y)=x^2+y^3+exp(x+y) y su plano tan-gente:
(%i9) load(draw)$
draw3d(key= "f", color=blue, explicit(f(x,y),x,-1,1,y,-1,1),
color= red, key="Df(1,-1)",
explicit(pltan(x,y),x,-1,1,y,-1,1), surface_hide= true);
(%o10) [gr3d (explicit, explicit)]
3 Ejercicio 234
La diferencial de una funcion es una aplicacion lineal y se puede determinara partir del gradiente si las derivadas parciales son continuas. En Maxima se
3
calcula con la sentencia jacobian, como hemos visto.
(%i11) kill(all);
f(x,y):=x*exp(y)+y*(cos(x*y))^2;
jacobian([f(x,y)],[x,y]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x exp (y) + y cos (x y)2
(%o2)(ey − 2 y2 cos (x y) sin (x y) −2x y cos (x y) sin (x y) + cos (x y)
2+ x ey
)4 Ejercicio 235
Calculamos las derivadas parciales como un lımite, a partir de la definicion:
(%i3) kill(all);
f(x,y):=(x^2+y^2)*sin((x^2+y^2)^(-1));
limit((f(h,0)-0)/h,h,0);
limit((f(0,h)-0)/h,h,0);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) :=(x2 + y2
)sin((x2 + y2
)−1)
(%o2) 0
(%o3) 0
Maxima no calcula lımites de dos variables, pero sı puede ayudarnos para cal-cular el lımite en coordenadas polares:
(%i4) limit(2*r*cos(t)*(sin(r^(-2))-(r^(-2))*cos(r^(-2))), r, 0);
(%o4) und
Es indeterminado, por lo que sabemos que no tiene lımite.
5 Ejercicio 236
Vamos a determinar las derivadas parciales en (0,0) como en el ejercicio anterior:
(%i5) kill(all);
f(x,y):=(x*abs(y));
limit((f(h,0)-0)/h,h,0);
limit((f(0,h)-0)/h,h,0);
(%o0) done
4
(%o1) f (x, y) := x |y|(%o2) 0
(%o3) 0
Tambien calculamos el lımite en coordenadas polares:
(%i4) limit(r*cos(t)*abs(sin(t)), r, 0);
(%o4) 0
Como es 0, la funcion es diferenciable.
6 Ejercicio 237
Vamos a obtener las derivadas parciales y la diferencial, aunque no se ha hechoen el libro:
(%i5) kill(all);
f(x,y):=(4*x^3)/(x^2+y^2);
define(parcial1f(x,y),diff(f(x,y),x,1));
define(parcial2f(x,y),diff(f(x,y),y,1));
jacobian([f(x,y)],[x,y]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) :=4x3
x2 + y2
(%o2) parcial1f (x, y) :=12x2
y2 + x2− 8x4
(y2 + x2)2
(%o3) parcial2f (x, y) := − 8x3 y
(y2 + x2)2
(%o4)(
12 x2
y2+x2 − 8 x4
(y2+x2)2− 8 x3 y
(y2+x2)2
)La continuidad en (0,0), aunque es sencilla, la estudiamos con el lımite en coor-denadas polares:
(%i5) limit(4*cos(t)*(sin(t))^2, r, 0);
(%o5) 4 cos (t) sin (t)2
Ahora utilizamos la definicion de derivada parcial para obtenerlas en (0,0):
(%i6) limit((f(h,0)-0)/h,h,0);
limit((f(0,h)-0)/h,h,0);
(%o6) 4
5
(%o7) 0
Finalmente, estudiamos al diferenciabilidad en este punto con el lımite en coor-denadas polares:
(%i8) limit(4*r*(cos(t))^3, r, 0);
(%o8) 0
7 Ejercicio 239
En este ejercicio, hay calculos en los que Maxima nos resulta de gran utilidad.Uno de ellos es el calculo del lımite con el que se estudia la continuidad:
(%i9) kill(all);
F(r):=(r^2)/log(1-r^2);
limit(F(r),r,0);
(%o0) done
(%o1) F (r) :=r2
log (1− r2)
(%o2) − 1
Tambien nos ayuda con el calculo de las derivadas parciales en (0,0):
(%i3) f(x,y):=(x^2+y^2)/(log(1-x^2-y^2));
define(l1(h),(f(h,0)+1)/h);
define(l2(h),(f(0,h)+1)/h);
limit(l1(h),h,0);
limit(l2(h),h,0);
(%o3) f (x, y) :=x2 + y2
log (1− x2 − y2)
(%o4) l1 (h) :=
h2
log(1−h2) + 1
h
(%o5) l2 (h) :=
h2
log(1−h2) + 1
h
(%o6) 0
(%o7) 0
6
8 Ejercicio 241
Primero vamos a definir la funcion g con Maxima y a calcular las derivadasparciales si (x,y) es distinto de (0,0):
(%i8) kill(all);
f(x,y):=x^2-x*y+y^2;
g(x,y):=if x=0 and y=0 then 0
else (f(x,y)+x*y)/sqrt(x^2+y^2);
diff(g(x,y),x,1);
diff(g(x,y),y,1);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x2 − x y + y2
(%o2) g (x, y) := ifx = 0andy = 0then0elsef (x, y) + x y√
x2 + y2
(%o3)x√
y2 + x2
(%o4)y√
y2 + x2
Si intentamos calcular las derivadas parciales en (0,0) llegamos a un resultadoque Maxima no puede resolver:
(%i5) define(parcial1g(x,y),diff(g(x,y),x,1));
define(parcial2g(x,y),diff(g(x,y),y,1));
limit((g(h,0)-0)/h,h,0);
(%o5) parcial1g (x, y) :=x√
y2 + x2
(%o6) parcial2g (x, y) :=y√
y2 + x2
(%o7) und
Observamos que el ultimo lımite nos da indefinido, porque no existe.
9 Ejercicio 242
Vamos a derivar F respecto a t. Primero definimos x, y, f:
7
(%i8) kill(all);
x:exp(2*t);
y:1/t;
f:x*(1-y^2)-y;
(%o0) done
(%o1) e2 t
(%o2)1
t
(%o3)
(1− 1
t2
)e2 t − 1
t
Luego derivamos respecto a t:
(%i4) diff(f,t,1);
(%o4) 2
(1− 1
t2
)e2 t +
2 e2 t
t3+
1
t2
10 Ejercicio 243
Aplicamos la regla de la cadena a las funciones de este ejercicio:
(%i5) kill(all);
f:x^2+cos(y);
y:exp(-x);
diff(f,x);
(%o0) done
(%o1) cos (y) + x2
(%o2) e−x
(%o3) 2x
11 Ejercicio 245
Vamos a calcular con maxima el valor de la diferencial de f(g,h). Primerolimpiamos la memoria con kill(all). Luego asignamos a g,h sus expresiones,luego a f y finalmente, pedimos que determine el gradiente de f:
8
(%i4) kill(all);
g(u,v):=u+u*v;
h(u,v):=tan(u);
f(x,y):=x-y^2;
jacobian([f(g(u,v),h(u,v))],[u,v]);
(%o0) done
(%o1) g (u, v) := u+ u v
(%o2) h (u, v) := tan (u)
(%o3) f (x, y) := x− y2
(%o4)(v − 2 sec (u)
2tan (u) + 1 u
)Ahora asignamos el gradiente a una funcion y detemrinamos su valor en (0,0):
(%i5) define(gradiente(u,v),jacobian([f(g(u,v),h(u,v))],[u,v]));
gradiente(0,0);
(%o5) gradiente (u, v) :=(v − 2 sec (u)
2tan (u) + 1 u
)(%o6)
(1 0
)
12 Ejercicio 246
Primero definimos las funciones y calculamos su gradiente:
(%i7) kill(all);
g(u,v):=u*v;
h(u,v):=sin(u);
k(u,v):=exp(u);
f(x,y,z):=3*x+y+z^2;
jacobian([f(g(u,v),h(u,v),k(u,v))],[u,v]);
(%o0) done
(%o1) g (u, v) := u v
(%o2) h (u, v) := sin (u)
(%o3) k (u, v) := exp (u)
(%o4) f (x, y, z) := 3x+ y + z2
(%o5)(3 v + cos (u) + 2 e2u 3u
)Como tenemos el gradiente, le asignamos una funcion, que llamamos gradiente,y la evaluamos en (1,0):
9
(%i6) define(gradiente(u,v),jacobian([f(g(u,v),h(u,v),k(u,v))],
[u,v]));
gradiente(1,0);
(%o6) gradiente (u, v) :=(3 v + cos (u) + 2 e2u 3u
)(%o7)
(cos (1) + 2 e2 3
)
13 Ejercicio 249
Vamos a comprobar que la funcion cumple las condiciones del teorema de lafuncion implıcita. Comenzamos reiniciando Maxima con kill(all) y luego defi-nimos la ecuacion y comprobamos que en (1,1) se verifica:
(%i8) kill(all);
ec:x^4+x^2*y^3-y^2-1;
ec,x=1,y=1;
(%o0) done
(%o1) x2 y3 − y2 + x4 − 1
(%o2) 0
A continuacion, comprobamos que no se anula la derivada con respecto a x enese punto:
(%i3) diff(ec,x);
%,x=1,y=1;
(%o3) 2x y3 + 4x3
(%o4) 6
Ya sabemos que podemos poner que x depende de y:
(%i5) depends(x,y);
(%o5) [x (y)]
Ahora vamos a encontrar g’(1). Derivamos implıcitamente y despejamos
dx/dy=g’(1).
Llamamos solucion a este valor:
10
(%i6) diff(ec,y);
solve(%,diff(x,y));
soluc:solve(%,diff(x,y));
(%o6) 2x
(d
d yx
)y3 + 3x2 y2 − 2 y + 4x3
(d
d yx
)(%o7) [
d
d yx = −3x2 y2 − 2 y
2x y3 + 4x3]
(%o8) [d
d yx = −3x2 y2 − 2 y
2x y3 + 4x3]
Para hacer referencia a esta solucion utilizamos al sentencia rhs: En este caso,como solo hay una solucion, bastarıa con utilizar la sentencia
(%i9) rhs(part(soluc,1));
(%o9) − 3x2 y2 − 2 y
2x y3 + 4x3
Podemos definir esta funcion y evaluarla en x=1,y=1 y obtenemos
(%i10) define(dxdy(x,y),rhs(part(soluc,1)));
dxdy(1,1);
(%o10) dxdy (x, y) := −3x2 y2 − 2 y
2x y3 + 4x3
(%o11) − 1
6
14 Ejercicio 250
Hacemos como en el ejercicio anterior:
(%i18) kill(all);
ec:3*x*y-x^3+cos(%pi*y)-1;
ec,x=1,y=1;
diff(ec,y);
%,x=1,y=1;
(%o0) done
(%o1) cos (π y) + 3x y − x3 − 1
(%o2) 0
(%o3) 3x− π sin (π y)
11
(%o4) 3
Y comprobamos que se puede despejar y en funcion de x. Sin embargo, no sepuede asegurar que ocurra al reves, porque la derivada de la ecuacion respectode x es 0:
(%i5) diff(ec,x);
%,x=1,y=1;
(%o5) 3 y − 3x2
(%o6) 0
15 Ejercicio 252
Observamos que la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel es el opuestode la primera componente del gradiente entre la segunda. Por eso calculamos elgradiente y particularizamos en el punto (0,1):
(%i7) kill(all);
F(x,y):=y*exp(x)-x^2-1;
jacobian([F(x,y)],[x,y]);
%,x=0,y=1;
(%o0) done
(%o1) F (x, y) := y exp (x)− x2 − 1
(%o2)(ex y − 2x ex
)(%o3)
(1 1
)El gradiente es una matriz y por eso, para calcular el opuesto de la primeracomponente del gradiente entre la segunda hacemos:
(%i4) -col(jacobian([F(x,y)],[x,y]),1)/col(jacobian([F(x,y)],
[x,y]),2);
%,x=0,y=1;
(%o4)(e−x (2x− ex y)
)(%o5)
(−1)
Tambien podıamos haber hecho:
(%i6) j:jacobian([F(x,y)],[x,y]);
-j[1,1]/j[1,2];
%,x=0,y=1;
(%o6)(ex y − 2x ex
)12
(%o7) e−x (2x− ex y)
(%o8) − 1
Porque j[1,1] es la primera componente de j y j[1,2] es la segunda. Finalmente,calculamos su valor en x=0,y=1:
(%i9) %,x=0,y=1;
(%o9) − 1
16 Ejercicio 253
Procedemos como habitualmente, y ası encontramos el valor de a:
(%i10) kill(all);
ec:1-exp(x^7+y^2-x*z-1);
ec,x=1,y=0,z=a;
solve(%,a);
(%o0) done
(%o1) 1− e−x z+y2+x7−1
(%o2) 1− e−a
(%o3) [a = 0]
Ahora comprobamos que se cumple la otra hipotesis del teorema de la funcionimplıcita:
(%i4) diff(ec,z);
%,x=1,y=0,z=0;
(%o4) x e−x z+y2+x7−1
(%o5) 1
Ya sabemos que z depende de x e y:
(%i6) depends(z,[x,y]);
(%o6) [z (x, y)]
Ahora derivamos la ecuacion respecto a x e y y particularizamos en x=1,y=0:
13
(%i7) ec1:diff(ec,x);
ec2:diff(ec,y);
soluc1:solve(ec1,diff(z,x));
rhs(part(soluc1,1));
define(dzdx(x,y,z),rhs(part(soluc1,1)));
dzdx(1,0,0);
soluc2:solve(ec2,diff(z,y));
rhs(part(soluc2,1));
define(dzdy(x,y,z),rhs(part(soluc2,1)));
dzdy(1,0,0);
(%o7) − e−x z+y2+x7−1
(−x
(d
d xz
)− z + 7x6
)(%o8) − e−x z+y2+x7−1
(2 y − x
(d
d yz
))(%o9) [
d
d xz = −z − 7x6
x]
(%o10) − z − 7x6
x
(%o11) dzdx (x, y, z) := −z − 7x6
x
(%o12) 7
(%o13) [d
d yz =
2 y
x]
(%o14)2 y
x
(%o15) dzdy (x, y, z) :=2 y
x
(%o16) 0
17 Ejercicio 257
Repetimos los mismos pasos que en el ejercicio anterior:
(%i17) kill(all);
f(x,y):=x^3+y^3+x*y;
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);
(%o0) done
14
(%o1) f (x, y) := x3 + y3 + x y
(%o2)(y + 3x2 3 y2 + x
)(%o3) [[x = −1
3, y = −1
3], [x = −
√3 i− 1
6, y =
√3 i+ 1
6], [x =
√3 i+ 1
6, y =
−√
3 i− 1
6], [x = 0, y = 0]]
18 Ejercicio 258
No deberıa sorprendernos que los primeros pasos sean definir la funcion y cal-cular su gradiente:
(%i4) kill(all);
f(x,y):=x*y*(x^2+y^2);
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x y(x2 + y2
)(%o2)
(y(y2 + x2
)+ 2x2 y x
(y2 + x2
)+ 2x y2
)Determinamos los puntos crıticos resolviendo el sistema resultante de igualarlas derivadas parciales a 0:
(%i3) puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);
(%o3) [[x = 0, y = 0]]
19 Ejercicio 259
Calculamos el gradiente de f y lo evaluamos en los puntos dados:
(%i4) kill(all);
f(x,y):=x^3+y^2-x*y;
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
gradiente,x=0,y=0;
gradiente,x=1,y=-1;
gradiente,x=1/6,y=1/12;
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x3 + y2 + (−x) y
(%o2)(3x2 − y 2 y − x
)15
(%o3)(0 0
)(%o4)
(4 −3
)(%o5)
(0 0
)Observamos que los posibles extremos se alcanzan en el primer y tercer pun-tos. Ahora obtenemos la matriz hessiana, la evaluamos en los puntos dados ycalculamos su determinante:
(%i6) mh:hessian(f(x,y),[x,y]);
mh,x=0,y=0;
determinant(%);
mh,x=1/6,y=1/12;
determinant(%);
(%o6)
(6x −1−1 2
)(%o7)
(0 −1−1 2
)(%o8) − 1
(%o9)
(1 −1−1 2
)(%o10) 1
Los resultados coinciden con los del libro.
20 Ejercicio 260
Procedemos como anteriormente:
(%i11) kill(all);
f(x,y):=y+x^2*y^2-x^2+y^2;
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := y + x2 y2 − x2 + y2
(%o2)(2x y2 − 2x 2x2 y + 2 y + 1
)(%o3) [[x = 0, y = −1
2], [x = −
√3 i√2, y = 1], [x =
√3 i√2, y = 1], [x = − i√
2, y =
−1], [x =i√2, y = −1]]
16
Obtenemos, como en el libro, un unico punto crıtico. Estudiamos la matrizhessiana en este punto:
(%i4) mh:hessian(f(x,y),[x,y]);
mh,x=0,y=-1/2;
determinant(%);
(%o4)
(2 y2 − 2 4x y
4x y 2x2 + 2
)(%o5)
(− 3
2 00 2
)(%o6) − 3
Los resultados coinciden con los del libro.
21 Ejercicio 261
Repetimos el procedimiento seguido:
(%i7) kill(all);
f(x,y):=x^2*(sin(y))^2;
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
%,x=0,y=0;
mh:hessian(f(x,y),[x,y]);
mh,x=0,y=0;
determinant(%);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x2 sin (y)2
(%o2)(2x sin (y)
22x2 cos (y) sin (y)
)(%o3)
(0 0
)(%o4)
(2 sin (y)
24x cos (y) sin (y)
4x cos (y) sin (y) 2x2 cos (y)2 − 2x2 sin (y)
2
)(%o5)
(0 00 0
)(%o6) 0
Los resultados coinciden con los del libro.
17
22 Ejercicio 262
Repetimos el mismo procedimiento que en ejercicios anteriores:
(%i7) kill(all);
f(x,y):=15.1*x-4*x^2+4*x*y-25.5+21*y-10*y^2;
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);
mh:hessian(f(x,y),[x,y]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := 15.1x− 4x2 + 4x y − 25.5 + 21 y + (−10) y2
(%o2)(4 y − 8x+ 15.1 −20 y + 4x+ 21
)(%o3) [[x =
193
72, y =
571
360]]
(%o4)
(−8 44 −20
)Ahora obtenemos la matriz hessiana y su determinante en el punto crıtico:
(%i5) mh,x=193/72,y=571/360;
determinant(mh);
(%o5)
(−8 44 −20
)(%o6) 144
Los resultados coinciden con los del libro.
23 Ejercicio 263
Definimos f y determinamos donde tiene puntos crıticos:
(%i7) kill(all);
f(x,y):=3*x^2+3*y^2-10*x+26-6*y;
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);
mh:hessian(f(x,y),[x,y]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := 3x2 + 3 y2 + (−10) x+ 26 + (−6) y
(%o2)(6x− 10 6 y − 6
)18
(%o3) [[x =5
3, y = 1]]
(%o4)
(6 00 6
)Coincide con los resultados del libro.
24 Ejercicio 265
Es un problema de extremos condicionados. Definimos la funcion f, la condiciong y la funcion auxiliar de Lagrange F:
(%i5) kill(all);
f(x,y):=x^2-y^2;
g(x,y):=x+y;
F(x,y,a):=f(x,y)+a*g(x,y);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x2 − y2
(%o2) g (x, y) := x+ y
(%o3) F (x, y, a) := f (x, y) + a g (x, y)
Definimos el gradiente y resolvemos el sistema que resulta de igualarlo a 0. Lospuntos crıticos se almacenan en una lista, llamada puntoscriticos:
(%i4) gradiente:jacobian([F(x,y,a)],[x,y,a]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2],
gradiente[1,3]],[x,y,a]);
(%o4)(2x+ a a− 2 y y + x
)(%o5) [[x = %r1, y = −%r1, a = −2 %r1]]
Coinciden con los del libro. Comprobamos que (1,-1) es un punto crıtico.
(%i6) gradiente,x=1,y=-1,a=-2;
(%o6)(0 0 0
)
25 Ejercicio 266
Hacemos como en el ejercicio anterior:
19
(%i7) kill(all);
f(r,h):=2*%pi*r^2+2*%pi*r*h;
g(r,h):=%pi*r^2*h-300;
F(r,h,a):=f(r,h)+a*g(r,h);
gradiente:jacobian([F(r,h,a)],[r,h,a]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2],
gradiente[1,3]],[r,h,a]);
(%o0) done
(%o1) f (r, h) := 2π r2 + 2π r h
(%o2) g (r, h) := π r2 h− 300
(%o3) F (r, h, a) := f (r, h) + a g (r, h)
(%o4)(2π ah r + 4π r + 2π h π a r2 + 2π r π h r2 − 300
)(%o5) [[r =
213 3
13 5
23
π13
, h =2
43 3
13 5
23
π13
, a = −413 π
13
7513
], [r = − 4 313 5
23
223
√3π
13 i+ 2
23 π
13
, h =
− 8 313 5
23
223
√3π
13 i+ 2
23 π
13
, a =
√3 4
13 π
13 i+ 4
13 π
13
2 7513
], [r =4 3
13 5
23
223
√3π
13 i− 2
23 π
13
, h =
8 313 5
23
223
√3π
13 i− 2
23 π
13
, a = −√
3 413 π
13 i− 4
13 π
13
2 7513
]]
La unica solucion real es la primera y coincide con la del libro.
26 Ejercicio 267
Determinamos los posibles extremos como en el ejercicio anterior:
(%i6) kill(all);
f(x,y):=x-y;
g(x,y):=x^2+y^2-1;
F(x,y,a):=f(x,y)+a*g(x,y);
gradiente:jacobian([F(x,y,a)],[x,y,a]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2],
gradiente[1,3]],[x,y,a]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x− y
(%o2) g (x, y) := x2 + y2 − 1
(%o3) F (x, y, a) := f (x, y) + a g (x, y)
(%o4)(2 a x+ 1 2 a y − 1 y2 + x2 − 1
)20
(%o5) [[x = − 1√2, y =
1√2, a =
1√2
], [x =1√2, y = − 1√
2, a = − 1√
2]]
Ahora evaluamos f en estos puntos:
(%i6) ev(f(x,y),puntoscriticos[1]);
ev(f(x,y),puntoscriticos[2]);
(%o6) −√
2
(%o7)√
2
Y podemos afirmar que el mınimo se alcanza en el primer punto y el maximoen el segundo.
27 Ejercicio 269
Definimos la temperatura y determinamos donde se pueden alcanzar los ex-tremos relativos en el interior del disco:
(%i8) kill(all);
T(x,y):=exp(x^2)+exp(y^2);
gradiente:jacobian([T(x,y)],[x,y]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],
gradiente[1,2]],[x,y]);
(%o0) done
(%o1) T (x, y) := exp(x2)
+ exp(y2)
(%o2)(
2x ex2
2 y ey2)
(%o3) [[x = 0, y = 0]]
Ahora estudiamos la frontera del disco con los multiplicadores de Lagrange.Como no son ecuaciones algebraicas, utilizamos la sentencia solve:
(%i4) g(x,y):=x^2+y^2-4;
F(x,y,a):=T(x,y)+a*g(x,y);
gradiente:jacobian([F(x,y,a)],[x,y,a]);
puntoscriticos:solve([gradiente[1,1],gradiente[1,2],
gradiente[1,3]],[x,y,a]);
(%o4) g (x, y) := x2 + y2 − 4
(%o5) F (x, y, a) := T (x, y) + a g (x, y)
(%o6)(
2x ex2
+ 2 a x 2 y ey2
+ 2 a y y2 + x2 − 4)
21
(%o7) [[x = −2, y = 0, a = −e4], [x = 2, y = 0, a = −e4], [x = 0, y = 2, a =−e4], [x = 0, y = −2, a = −e4]]
Observe que faltan posibles puntos crıticos, que sı han sido detectados en elejercicio. De hecho, si evaluamos gradiente en estos puntos el resultado es elesperado:
(%i8) ev(gradiente,[x=sqrt(2),y=sqrt(2),a=-exp(2)]);
(%o8)(0 0 0
)Finalmente, evaluamos T en los 5 puntos detectados:
(%i9) ev(T(x,y),[x=0,y=0]);
ev(T(x,y),puntoscriticos[1]);
ev(T(x,y),puntoscriticos[2]);
ev(T(x,y),puntoscriticos[3]);
ev(T(x,y),puntoscriticos[4]);
(%o9) 2
(%o10) e4 + 1
(%o11) e4 + 1
(%o12) e4 + 1
(%o13) e4 + 1
Y en los que hemos obtenido en el libro adicionalmente:
(%i14) ev(T(x,y),[x=sqrt(2),y=sqrt(2)]);
ev(T(x,y),[x=-sqrt(2),y=sqrt(2)]);
ev(T(x,y),[x=sqrt(2),y=-sqrt(2)]);
ev(T(x,y),[x=-sqrt(2),y=-sqrt(2)]);
(%o14) 2 e2
(%o15) 2 e2
(%o16) 2 e2
(%o17) 2 e2
28 Ejercicio 270
Procedemos como en ejercicios anteriores:
22
(%i18) kill(all);
f(x,y):=x^2+y;
g(x,y):=2*x-y;
F(x,y,a):=f(x,y)+a*g(x,y);
gradiente:jacobian([F(x,y,a)],[x,y,a]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2],
gradiente[1,3]],[x,y,a]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x2 + y
(%o2) g (x, y) := 2x− y
(%o3) F (x, y, a) := f (x, y) + a g (x, y)
(%o4)(2x+ 2 a 1− a 2x− y
)(%o5) [[x = −1, y = −2, a = 1]]
29 Ejercicio 271
Estudiamos los extremos de la funcion de una variable:
(%i6) kill(all);
h(x):=300-x+3*sqrt(x^2+100^2);
diff(h(x),x);
define(d1h(x),diff(h(x),x));
solve(d1h(x),x);
%^2;
puntoscriticos:solve(%);
(%o0) done
(%o1) h (x) := 300− x+ 3√x2 + 1002
(%o2)3x√
x2 + 10000− 1
(%o3) d1h (x) :=3x√
x2 + 10000− 1
(%o4) [x =
√x2 + 10000
3]
(%o5) [x2 =x2 + 10000
9]
(%o6) [x = −25√
2, x = 25√
2]
23
Observe que para que Maxima nos resuelva la ecuacion, hemos tenido que re-currir a elevarla al cuadrado. Como se dice en el libro, la unica posible soluciones al segunda.
Ahora calculamos la derivada segunda y la evaluamos en el punto crıtico:
(%i7) diff(h(x),x,2);
ev(h(x),puntoscriticos[2]);
float(%);
(%o7)3√
x2 + 10000− 3x2
(x2 + 10000)32
(%o8) 25 272 + 300
(%o9) 582.8427124746193
Ademas evaluamos h en x=0,x=300:
(%i10) ev(h(x),x=0);
float(%);
ev(h(x),x=300);
float(%);
(%o10) 600
(%o11) 600.0
(%o12) 3 1052
(%o13) 948.6832980505141
Estos resultados confirman la resolucion del libro.
30 Ejercicio 272
Procedemos como en ejercicios anteriores:
(%i14) kill(all);
f(x,y,z):=x+y+z;
g(x,y,z):=x^2+2*y^2+3*z^2-1;
F(x,y,z,a):=f(x,y,z)+a*g(x,y,z);
gradiente:jacobian([F(x,y,z,a)],[x,y,z,a]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2],
gradiente[1,3],gradiente[1,4]],[x,y,z,a]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y, z) := x+ y + z
24
(%o2) g (x, y, z) := x2 + 2 y2 + 3 z2 − 1
(%o3) F (x, y, z, a) := f (x, y, z) + a g (x, y, z)
(%o4)(2 a x+ 1 4 a y + 1 6 a z + 1 3 z2 + 2 y2 + x2 − 1
)(%o5) [[x =
√2√
3√11
, y =
√3√
2√
11, z =
√2√
3√
11, a = −
√11
2√
6], [x = −
√2√
3√11
, y =
−√
3√2√
11, z = −
√2√
3√
11, a =
√11
2√
6]]
Tiene 2 soluciones. Evaluamos f en estos dos puntos:
(%i6) ev(f(x,y,z),puntoscriticos[1]);
ev(f(x,y,z),puntoscriticos[2]);
(%o6)
√2√
3√11
+
√3√
2√
11+
√2√
3√
11
(%o7) −√
2√
3√11−
√3√
2√
11−
√2√
3√
11
Coincide con el resultado del libro.
31 Ejercicio 273
Hacemos, como en otros ejercicios:
(%i8) kill(all);
f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2;
g(x,y,z):=x*y+4-z;
F(x,y,z,t):=f(x,y,z)+t*g(x,y,z);
gradiente:jacobian([F(x,y,z,t)],[x,y,z,t]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2],
gradiente[1,3],gradiente[1,4]],[x,y,z,t]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y, z) := x2 + y2 + z2
(%o2) g (x, y, z) := x y + 4− z
(%o3) F (x, y, z, t) := f (x, y, z) + t g (x, y, z)
(%o4)(t y + 2x 2 y + t x 2 z − t −z + x y + 4
)(%o5) [[x =
√3, y = −
√3, z = 1, t = 2], [x = −
√3, y =
√3, z = 1, t = 2], [x =
−√
5 i, y = −√
5 i, z = −1, t = −2], [x =√
5 i, y =√
5 i, z = −1, t = −2], [x =0, y = 0, z = 4, t = 8]]
25
Evaluamos f en las soluciones reales:
(%i6) ev(f(x,y,z),puntoscriticos[1]);
ev(f(x,y,z),puntoscriticos[2]);
ev(f(x,y,z),puntoscriticos[5]);
(%o6) 7
(%o7) 7
(%o8) 16
Los resultados coinciden con los del libro.
32 Ejercicio 274
Primero determinamos los puntos crıticos:
(%i9) kill(all);
f(x,y):=x^2-x*y+y^2;
gradiente:jacobian([f(x,y)],[x,y]);
puntoscriticos:algsys([gradiente[1,1],gradiente[1,2]],[x,y]);
(%o0) done
(%o1) f (x, y) := x2 − x y + y2
(%o2)(2x− y 2 y − x
)(%o3) [[x = 0, y = 0]]
El unico extremos posible se alcanza en (0,0). Estudiamos ahora los extremosen los lados de los segmentos:
(%i4) pcrit:[solve(diff(f(1,y),y),[y]),solve(diff(f(-1,y),y),[y]),
solve(diff(f(x,1),x),[x]),solve(diff(f(x,-1),x),[x])];
(%o4) [[y =1
2], [y = −1
2], [x =
1
2], [x = −1
2]]
Estos valores dan lugar a los puntos (1,1/2),(-1,-1/2),(1/2,1),(-1/2,-1). Evalua-mos f en todos los extremos posibles (los anteriores mas los cuatro vertices):
26