Calculo I. (DESARROLLO)

1. A continuacion se entrega el grafico de la funcion y = g(x):

Notacion: x a x a y x a+ x a

Por inspeccion del grafico y = f(x), encontrara) lm

x7f(x) = 4 b) lm

x7+f(x) = 4 c) lm

x7f(x) = 4

d) lmx0

f(x) = 1 e) lmx0+

f(x) 1 f) lmx0

f(x) no existe

g) lmx3

f(x) = h) lmx3+

f(x) = + i) lmx3

f(x) =j) lm

x f(x) 3 k) lmx+ f(x) = + l) lmx f(x) no existem) Abscisas de puntos donde f es discontinua: 6, 3, 0 y 7 . Razones:6: Aqu la funcion no esta definida, es decir, no existe f(6). Como existe lm

x6f(x) (es igual

a 2) esta discontinuidad es reparable.3: Aqu no existe lm

x3f(x), luego f es discontinua en 3 y esta discontinuidad es irreparable.

0: Aqu no existe lmx0

f(x) (parte (f) precedente). Luego f es discontinua en 0 y esta discontinuidades irreparable.

7: Aqu f es discontinua pues lmx7

f(x) 6= f(7) (parte (c) precedente).

n) Abscisas de puntos donde f no es derivable: 6, 3, 0, 2, 4 y 7 . De estos puntos solamente tienerecta tangente en el punto de abscisa x = 2.

2. (2 ptos.) Dada la funcion f(x) =x3 + 2x2 5x 6x3 + 3x2 2x .

Sin usar tabla de valores, determinar el valor de

a) lmx2

f(x) = lmx2

x3 + 2x2 5x 6x3 + 3x2 2x =

00

(indeterminado);

luego:

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Calculo I. (DESARROLLO)

lmx2

x3 + 2x2 5x 6x3 + 3x2 2x = lmx2

(x + 1)(x 2)(x + 3)x(1 x)(x 2) = lmx2

(x + 1)(x + 3)x(1 x) =

152

b) lmx+ f(x) = lmx+

x3 + 2x2 5x 6x3 + 3x2 2x = lmx+

x3(1 + 2x 5x2 6x3 )x3(1 3x + 2x2 )

= lmx+

1 + 2x 5x2 6x31 3x + 2x2

=

1

3. Calcular, sin usar tabla de valores, cada uno de los siguientes lmites:Respuestas:

a) lmx

x2 + 4x2x + 1

= lmx

x2(1 + 4x )

2x + 1= lm

x

|x|

1 + 4x2x + 1

= lmx

x

1 + 4x2x + 1

= lmx

1 + 4x2 + 1x

=

1 + 02 + 0

= 12

.

b) lmu0

2u sinuu + tanu

= lmu0

u(2 sinuu )u(1 + tanuu )

= lm0

2 sinuu1 + 1cosu sinuu

=2 1

1 + 11 1=

12

c) lmt0

2 sinh tt

= lmt0

et ett

= lmt0

et et 1 + 1t

= lmt0

(et 1

t+

et 1t

)= 2

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