Ejercicios de Cadenas de Markov Discretas Profesor Ivan Derpich Contreras

EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Considere la matriz de transición de una etapa, donde el espacio de estados es {1,2,3,4,5}.

0,75 0 0,25 0 0 0,25 0 0 0 0,750,75 0 0,25 0 0

0 0,8 0,2 0 0 P =

0 0,5 0,25 0,25 0

a) Clasifique los estados del sistema, justifique. (1 punto) b) Obtenga la distribución de probabilidades en el largo plazo si se sabe que

inicialmente el sistema se encuentra en los estados 3, 4 y 5 con igual probabilidad. (1 punto)

c) Calcule { }54;2;1;3 30457 ===== xxxxxP , si se sabe que el sistema inicialmente se encuentra en los estados 2, 4 y 5 con igual probabilidad. (2 puntos)

d) Obtenga la distribución de probabilidades del tiempo que demora volver al estado 2. (1 punto)

e) ¿Cuál es el tiempo medio que se demora en volver al estado 3? (1 punto) Desarrollo: .- Grafico de red : a) Se distinguen 2 clases { }3,11 =C y { }5,4,22 =C Análisis de Recurrencia y periodicidad Clase 1C : analizaremos el estado 1

( ) ( ) =+= ∑∞

=

−

2

225,0*75,0*25,075,01,1k

kF

1 3

2 4

5

0,25 0,75

0,75

0,25 0,25

0,5

0,75

0,25

0,8

0,2

0,25

Haciendo un cambio de variable 2−= kj

( ) ( ) 134*

43*

41

43

411

1*43*

41

4325,0*75,0*25,075,0,1,1

0=+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=+= ∑

∞

=j

jF

el estado 1 es recurrente , además la clase 1C es recurrente. Período: se puede volver al estado 1 en todas las etapas , es aperiódico. Clase 2C : analizaremos el estado 2

( ) ( ) ( ) ( )

525,04021

40615

203

83

108*

163

83

8,0*41*

43

21*

4302,22,22,22,2 321

==+

=+=+

=++=++= FFFF

El estado 2 es transientes y la clase 2C Período: se puede volver al estado 2 en etapas múltiplos de 2 y además se puede volver al estado 2 en múltiplos de 3. Luego se puede volver en todas las etapas, excepto en la etapa 1. Luego es aperiódico. b) Veamos primero si existe distribución estacionaria. Para ello aplicamos la proposición 2. Dado que existe una clase recurrente y que se cumple:

12

1 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∈∈

CXCXP

nn por lo tanto π∃

Además 0542 === πππ y lo otros valores deben calcularse

( ) ( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

41

43

41

43

3131 ππππ y 131 =+ππ

4143

3

1

=

=

π

π

c) ( )

( ) ==

======⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

=====

55;4;2;1;3

54;2;1;3

3

30457

30457

XPXXXXXP

XXXXXP

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )53

1

544/5;2;1;3

3

345

152

121

)2(13

3

003457

==

=======

XP

pppp

XPXPXXXXXP

( )4100

41

410

41

43

531543143313231213112

13 =++++=++++= ppppppppppp

( )411

12 =p ( )211

52 =p

( ) ( )( )5535453435332532153143

55254524352325221521423

45

ppppppppppppppppppppppp

++++

+++++=

( ) ( )( ) 00*0*0**00*

0*0*0**00*

353433253143

2524232521423

45

=++++

+++++=

ppppppppppppp

Luego 054;2;1;3

30457 =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

=====

XXXXXP

d) ( ) 02,21 =F

( )83

21*

432,22 ==F

( )1038,0*

41*

432,23 ==F

( ) 302,2 >∀= kFk

e) ( )( ) 413,33==

πTE

2.- Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria Xt como el número de automóviles disponibles en la agencia al empezar la semana t+1. Sea Dt una variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la semana t. La agencia utiliza una política de reorden (s,S) con s=1 y S=3. No se acepta demanda pendiente. Sea Xo = 3 y suponga que la variable aleatoria Dt tiene distribución de Poisson con λ =1. a) Obtenga los valores de la variable Xt b) Exprese a través de una fórmula de recurrencia la relación entre xt y Xt+1 c) Encuentre la matriz P (valores númericos) d) Suponga ahora que el costo incurrido es un valor fijo de $ 110.000 por orden más un

valor variable de $ 25.000 por automóvil. Encuentre el costo esperado de inventario. Desarrollo: a) { } { }3,2,1, ==Ω SstX

b)

⎩⎨⎧

≥−−<−=

=++

++ sDXsiDX

sDXsiSX

tttt

ttt

11

11

3

c)

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )212

101000

>==>==>=

=

ttt

ttt

tt

DPDPDPDPDPDPDPDP

P

d)

( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) [( ) ]2*110

3*25*1*1102*25*0*1101*25* 321

>

++>++>+=

t

nt

nt

n

DPfDPfDPfC

3.- Se quiere construir un modelo markoviano para estimar la dinámica de vida de un cultivo de ovas de salmón en la etapa de Maduración de la ova. En un estanque con agua dulce, se ponen N ovas fecundadas. Después de 8 días, las ovas que han sobrevivido se convierten en pequeños salmones, los cuales se traspasan a otros estanques para seguir su evolución. En este proceso de Maduración, algunas ovas se mueren. Se sabe que la distribución de probabilidades de una ova en esta etapa de desarrollo, es exponencial con media μ . Sea nX el número de ovas vivas al inicio del día n. Se pide: a) Diga cual es el rango de la variable (2 puntos) b) Obtenga la regla de transición (2 puntos) c) Obtenga la matriz P (2 puntos) Desarrollo Sea nX : número de ovas vivas al inicio del día n. Parten N ovas vivas, pero van muriendo día a día. a) { }NX n ,...,2,1,0= b) Sea p: probabilidad de que una ova que está viva al inicio del día n lo esté al inicio de día n+1. Sea Ti : duración o vida de la ova i-ésima.

( ) μ−−=>=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

>+>= eTPnT

nTPp ii

i 111 luego si hay j ovas vivas al día siguiente pueden haber

j o menos. Luego ( )pXBinomialX nn ,1 ≈+ c) Matriz P: 0 1 2 . N-1 N 0 1 1 ( )p−1 p 0 0 0 0

2 ( )21

02

p−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ( )11

12

pp −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2p 0 0 0

. N-1

( ) 1111 −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− Np

NN

( ) 2121 −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− Npp

NN

( ) 32 131 −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− Npp

NN

. 1−Np 0

N ( )Np−1 ( ) 111

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

NppNN

( ) 22 12

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

NppNN

( )p−1

p

4.- Juan y Pedro tienen 2 monedas cada uno. Se disponen a enfrentar un juego en que, en cada oportunidad, cada jugador lanza una moneda de sus monedas. Si ambas coinciden, gana Juan y se queda con la moneda de Pedro. En caso contrario, gana Pedro. El juego termina cuando uno de los jugadores gana las 4 monedas.

a) Obtenga la distribución de probabilidades del número de jugadas necesarias hasta que Juan logre tener 3 monedas por primera vez.

b) Explique como obtendría la distribución de probabilidades del número de jugadas hasta que el juego termina.

Desarrollo: 1.- Sea nX : nº de monedas de Juan. a.- Se debe encontrar ( )3,2kF que corresponde a la probabilidad de que se vaya por primera vez del estado 2 a estado 3 en un número k de etapas. Por lo tanto :

( ) ??3,2 =kF

Para obtener esta probabilidad se debe construir el modelo detalladamente, es decir encontrar el rango de nX , la matriz P y opcionalmente el gráfico de red. Rango de la variable de estado nX : { }4,3,2,1,0=Ω nX , Matriz P

P=

100002

102100

02102

10

002102

100001

Gráfico de red de la matriz P

Entonces volvamos de nuevo con ( )3,2kF

0 1 4 2 3 0,5

0,5 0,5 0,5 1 1

0,5 0,5

( )213,21 =F ; ( ) 03,22 =F ; ( )

81

21

21

213,2 2312213 === pppF ; ( ) 03,24 =F

( )21

21

21)(3,2

2

232

12215 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== pppF

Término general:

( ) ,...3,2,1;21

41

21

21

21)(3,2

112

2312

122112 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

−−−

− kpppFkk

kk

( ) ,...3,2,1;03,22 == kF k

b.- El juego termina cuando se llega a que Juan tiene 0 ó 4 monedas. Lo que se pregunta entonces, es la probabilidad de que ocurra alguno de estos dos eventos, que son excluyentes. Además Juan tiene al inicio del juego 2 monedas. Luego lo que se pregunta es:

( ) ( )4,20,22

kkk

FF +∑∞

=

Del estado 2 al estado 0 y al estado 4 se puede llegar en etapas múltiplos de 2 solamente. Luego :

( ) ,...3,2,1;41

21

210,2

22

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= kF

kk

k

( ) ,...3,2,1;41

21

214,2

22

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= kF

kk

k

( ) ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+ ∑∑∑∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

= 11

2

11

2

221 16

1161

41

414,20,2

k

k

k

kk

kk

k

kkk

FF

=−+−=−−

+−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑∑

∞

=

∞

=1

15161

15161

1611

11

1611

1161

161

161

161 0

00

0 k

kk

k

31,0152

151

151

==+

5.- Considere una Cadena de Markov con la siguiente matriza de probabilidades de transición:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

31

3200000

32

3100000

04104

1041

41

003203

100

00032003

1

00002102

16543210

P

a) Obtenga la distribución límite b) Obtenga la distribución estacionaria Desarrollo

a) Es necesario clasificar los estados y su periodicidad para determinar si existe distribución límite. Para ello realicemos el diagrama de red de la matriz P.

1 3

4

5

2

32

31

0,5

32

21

41

31

31

7 6

21

31 3

2

31

41

32

41

31

Se perciben 3 clases : { }5,3,11 =C , { }4,22 =C , { }7,63 =C Análisis clase 1C : dado que la clase no presenta flujos de probabilidad fuera de la clase, se puede afirmar que todos los estados de la clase son recurrentes. Además los estados de la clase son aperiodicos. Análisis clase 2C : dado que esta clase tiene flujos de salida y no de entrada es una clase transientes. Además los estados de esta clase son aperiódicos. Análisis clase 3C : igual que la clase 1C esta clase no presenta flujos de probabilidad fuera de la clase, por lo que se puede afirmar que todos los estados de la clase son recurrentes. Además los estados de la clase son aperiódicos. Dado que todos los estados son aperiódicos entonces existe distribución límite. Para los estados de la clase 1C se pueden encontrar las probabilidades de estado estacionarios.

P’=

31

31

31

32

310

021

21

TT P ππ ='

( ) ( )531531

31

31

31

32

310

021

21

ππππππ =

83;

83;

41

531 === πππ

( )( )[ ]1,1

1,2)(21lim TE

FP n

n=

∞→

se deben encontrar ambos términos

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+= 1,2*

31

31*

32

311,41,2 2421 FFppF ( ) ( )1,2

92

92

311,2 FF ++=

( )95

921*1,2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −F ( )

95

97*1,2 =F ( )

751,2 =F

Además

( )[ ] 411,11

==π

TE luego ( )( )[ ] 28

5475

1,11,2)(

21lim ===∞→ TE

FP n

n

( )( )[ ]1,1

1,4)(41lim TE

FP n

n=

∞→

se debe encontrar ( )1,4F

De la ecuación anterior ( ) ( )1,41,2 2421 FppF += ( ) ( )24

211,21,4

ppF

F−

=

( )73

2112

23*

218

32218

3221

715

32

31

75

1,4 ====

−

=−

=F luego ( )( )[ ] 7

1474

1,11,4)(

41lim ===∞→ TE

FP n

n

83

3)(

43)(

23 limlim ===∞→∞→

πn

n

n

nPP

83

5)(

45)(

25 limlim ===∞→∞→

πn

n

n

nPP

Para los estados de la Clase 3C

P’’=2

33

13

23

1 ( ) ( )

23

31

32

31

7676 ππππ = 21;2

176 == ππ

21

6)(

46)(

26 limlim ===∞→∞→

πn

n

n

nPP

21

7)(

47)(

27 limlim ===∞→∞→

πn

n

n

nPP

Para los estados de la clase 2C dado que los estados son transientes:

7,6,5,3,10)(4

)(2 limlim ===

∞→∞→iPP n

in

ni

n

6.- Considere un cultivo que contiene inicialmente un solo glóbulo rojo. Después de una cantidad de tiempo el glóbulo rojo muere y es reemplazado por dos nuevos glóbulos rojos o bien por dos glóbulos blancos. Las probabilidades de estos eventos son 4

1 y

43 respectivamente. Subsecuentemente, cada glóbulo rojo se reproduce de la misma forma.

Por otra parte, cada glóbulo blanco muere después de una unidad de tiempo sin reproducirse. Se desea calcular la probabilidad de que el cultivo se extinga en algún momento. Formule para tal efecto un modelo detallado e indique con precisión como lo utilizaría para obtener la probabilidad pedida. Desarrollo Sea nX : numero de glóbulos rojos presentes en la etapa n.

( )

( )2loglog;

411

411 jk

ki

iXjXP

kik

nn =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

==

−+

Esta Cadena de Markov es tal que existen dos clases:

{ }01 =C y { },...4,3,22 =C la clase 2C es infinita. La clase recurrente 1C es recurrente y la clase 2C es transiente. La clase 1C está compuesta por un estado aperiodico. Por lo tanto, por la Proposición 2 vista en clases, se puede asegurar que existe distribución estacionaria. Además por la misma proposición se puede asegurar que ,...2,10 =∀= jjπ es decir 20 Cjj ∈∀=π y 10 Cjj ∈∀≠π . Como la clase 1C tiene un solo elemento 10 =π . Entonces la probabilidad de que el cultivo se extinga alguna vez es uno.

1 2

0

4

8

6

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se tiene la siguiente matriz de probabilidades de transición en una etapa :

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0004141000210021004300415105152051

000010031210061

Se pide: a) Diga si los estados son transientes o recurrentes (positivos o nulos) y demuéstrelo.

(1,5 puntos) b) Diga si existe distribución límite y porqué. Si existe calcúlela. (1,5 puntos) c) Diga si existe distribución estacionaria y porqué. Si existe calcúlela. (1,5 puntos)

d) Calcule ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

21Pr

0

4X

X

2.- El Departamento de Marketing Cuantitativo de un prestigioso banco nacional está desarrollando un modelo basado en Cadenas de Markov discretas, para estimar el número de clientes en el estrato ABC1. El planteamiento es el siguiente: Sea nX el número de clientes pertenecientes al segmento ABC1 el primer día hábil del mes n. En el banco existen solamente dos segmentos para clasificar a los clientes ABC1 y C2. En total hay N clientes en el banco y que la probabilidad de que un cliente pase de ABC1 a C2 es 1p y de C2 a ABC1 es 2p . Suponga que los clientes no se retiran del banco, ni tampoco ingresan nuevos clientes. Si se sabe que el primer día hábil de un mes hay 1n personas en el segmento ABC1 : ¿ Cuál es la probabilidad de que en el primer día hábil del mes siguiente hayan 2n clientes en el mismo segmento ? 12 nnN ≥≥ (2 puntos) 3.- Sea nX el número de personas hospedadas en un cierto hotel al inicio del día n. Se sabe que pueden llegar 0,1,2 ó 3 clientes en un día, con igual probabilidad. Además se sabe que el tiempo de permanencia de un cliente en el hotel es exponencial con media μ . El hotel tiene capacidad solo para 4 personas y las que llegan cuando el hotel está lleno se van sin dejar reserva. Obtenga la matriz P. (2 puntos) Indicación: Puede usar la siguiente aproximación de d μμ −=− 1

4.- El ascensor de un edificio con tres pisos realiza viajes entre los pisos regularmente. Sea nX el piso en que para el ascensor en la etapa n. Se sabe que la mitad de los viajes que

parten del piso 1 se dirigen a uno de los otros pisos con igual probabilidad. Si el ascensor parte en el piso 2 el 25% de las veces termina en el piso 2. Por ultimo si su trayecto empieza en el tercer piso siempre termina en el primer piso.

a) Obtenga la matriz P y el rango de la variable.

b) Obtenga ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

====

23;1;2

1

024X

XXXP

c) Diga si existe distribución límite y si es así, calcúlela. d) Diga si existe distribución estacionaria y si es así calcúlela.

5.- Un agente comercial realiza su trabajo en tres ciudades A,B,C. Para evitar gastos trabaja durante un día en cada ciudad y alli se queda en la noche. Después de estar trabajando en la ciudad C la probabilidad de tener que seguir trabajando en ella al día siguiente es 0,4; la probabilidad de viajar a B es 0,4. Si el viajante duerme una noche en B con probabilidad 0,2 deberá seguir trabajando en la misma ciudad al día siguiente y en el 60% de los casos viajará a C. Por último, si el agente trabaja en A un día permanecerá en esa ciudad con probabilidad 0,1 o irá a la ciudad B con probabilidad 0,3.

a) Si hoy el viajante está en la ciudad C ¿Cual es la probabilidad de que tenga que estar en la misma ciudad en 4 días más?

b) ¿Cuáles son los porcentajes de días que el viajante se encuentra en cada ciudad? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un viajante vuelva a la ciudad A?

6.- Los consumidores de café en la VIII Región usan tres marcas A, B, C. En Marzo de 2008 se hizo una encuesta en lo que entrevistó a las 8450 personas que compran café y los resultados fueron: Compra actual Marca A Marca B Marca C Total Marca A = 1690 507 845 338 1690 Marca B = 3380 676 2028 676 3380 Marca C = 3380 845 845 1690 3380 TOTALES 2028 3718 2704 8450 a) Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en la VIII Región en el mes de junio? b) A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes de café? c) En junio, cual es la proporción de clientes leales a sus marcas de café? 7. En una gran empresa de investigación que ocupa varias hectáreas existe un sistema de correo interno, en el cual una persona recorre distintas oficinas llevando y retirando correspondencia. Al inicio del día la persona recorre en un cierto orden todas las oficinas recogiendo la correspondencia que debe ser despachada.

Al final de esto, la persona ordena la correspondencia e inicia un segundo ciclo en el cual recorre las oficinas, entregando la correspondencia previa y recolectando la nueva. Este ciclo

se repite durante el día. Suponga que las oficinas están uniformemente distribuidas a lo largo del recorrido y que cada una genera al azar correspondencia para ser despachada, de modo que el total de correspondencia generada por el sistema en un intervalo de largo t corresponde a un Proceso de Poisson a tasa λ .

8.- Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria Xt como el número de automóviles disponibles en la agencia al empezar la semana t+1. Sea Dt una variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la semana t. La agencia utiliza una política de reorden (s,S) con s=1 y S=3. No se acepta demanda pendiente. Sea Xo = 3 y suponga que la variable aleatoria Dt tiene distribución de Poisson con λ=1. e) Obtenga los valores de la variable Xt f) Exprese a través de una fórmula de recurrencia la relación entre xt y Xt+1 g) Encuentre la matriz P (valores númericos) h) Suponga ahora que el costo incurrido es un valor fijo de $ 110.000 por orden más un valor

variable de $ 25.000 por automóvil. Encuentre el costo esperado de inventario.

9.- Una empresa de transportes debe contratar un seguro para su flota de vehículos. Existen 4 posibles seguros con valores P1, P2, P3, y P4. De modo que : P1 > P2 > P3 > P4. El valor del seguro se paga al principio del año y depende del tipo de seguro contratado el año anterior y de los accidentes cobrados a la compañía de seguros durante el año. Si durante el año, el seguro contratado costó Pi y no se cobraron seguros, el seguro del año siguiente costará Pi + 1; en caso contrario (esto es si se cobraron seguros) el seguro costará P1. Si el año anterior el seguro costo P4 y no hubo daños cobrados, el seguro costará este año también P4. La empresa de transportes debe decidir, al final del año, si cobrará o no los daños acumulados por sus vehículos durante el año. Si la empresa decide cobrar los daños, la compañía de seguros se hace cargo de éstos, con excepción de un deducible, que vale Ri para el seguro i. El daño total de la flota durante un año cualquiera es una variable aleatoria con función de distribución F y función de densidad f. Defina Xn como el tipo de seguro contratado en el año n. a) Obtenga la matriz de P de este proceso. b) Obtenga una expresión explícita para el vector distribución estacionaria ∏ de este

proceso. c) Obtenga una expresión para el costo esperado anual de usar esta política en el largo

plazo. ¿Cómo podría encontrar la política óptima para este caso? 10.- En la etapa inicial un jugador tiene MM$ 2. En las etapas 1,2..... participa en un juego en el que apuesta MM$ 1. Gana el juego con probabilidad p, y lo pierde con probabilidad (1-p). Su meta es aumentar su capital a MM$ 4 y tan pronto como lo logre se retira. El juego también se suspende si el capital del jugador se reduce a $0 .

a) Formule la matriz de probabilidades de transición en una etapa. Si p=0.4 b) Calcule la probabilidad de que el jugador obtenga su objetivo de juntar MM$ 4 de

capital.

11.- Se tiene la siguiente Cadena de Markov : 1 0 0 0 P= p 0 1-p 0 0 0 p 1-p 0 0 1-p p a) Analice la recurrencia, periodicidad de cada estado. b) ¿Es la cadena irreducible? c) ¿ Existen distribuciones límite ? Si existen calcúlelas d) ¿ Existe distribución estacionaria ? ¿ Por qué ? Si existe calcúlela.