EJERCICIOS PARCIAL 3

MONICA LUCET ALVAREZ TORRES Cd. 215554EDWIN FERNANDO LPEZ CAMACHO Cd. EDWAR ANDRS RODRGUEZ RODRGUEZ Cd. 215455

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFACULTAD DE INGENIERADEPARTAMENTO DE INGENIERA CIVIL Y AGRCOLAGEOTECNIABOGOTJUNIO 2015Contenido1.PERFIL GEOTCNICO PARA EL ESTUDIO DE SUELOS DE UNA CIMENTACIN CIRCULAR DE UN TANQUE DE ALMACENAMIENTO DE HIDROCARBUROS21.1.ENUNCIADO DEL PROBLEMA21.2.METODOLOGA31.3.DESARROLLO31.4.CONCLUSIONES72.EJERCICIO DIFERENCIAS FINITAS72.1.ENUNCIADO DEL PROBLEMA72.2.METODOLOGA72.3.DESARROLLO72.4.CONCLUSIONES7

1. PERFIL GEOTCNICO PARA EL ESTUDIO DE SUELOS DE UNA CIMENTACIN CIRCULAR DE UN TANQUE DE ALMACENAMIENTO DE HIDROCARBUROS

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Se cuenta con un tanque para almacenamiento de hidrocarburos con un dimetro de 12m con un esfuerzo de cimentacin sobre el terreno de . La cimentacin se encuentra ubicada bajo la superficie del terreno. Se cuenta con las siguientes propiedades del terreno:

De acuerdo a la informacin previamente nombrada, calcular el asentamiento de cada una de las capas.

METODOLOGAPara la solucin de este ejercicio se seguirn los siguientes pasos:1. Considerar que el suelo tiene un peso propio y discretizar el dominio; para este caso, se tiene un total de 4 capas.2. Calcular los incrementos de esfuerzos totales producidos por la cimentacin.3. Calcular incrementos de esfuerzos efectivos.Las ecuaciones correspondientes a esta situacin que corresponde a cargas circular y uniformemente distribuidas se toman en base al teto Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics de Poulos & Davis.

DESARROLLOSe muestra a continuacin el procedimiento realizado para la solucin del ejercicio:a. Coeficiente : De acuerdo a la siguiente expresin:

b. Esfuerzo neto de cimentacin Donde:

Se obtiene por tanto:

c. Para el peso unitario y mdulo de elasticidad de cada estrato, se determina la relacin que tiene un comportamiento de tipo lineal y se determina el valor para cada una de las capas ubicadas a cierta profundidad.d. Esfuerzos inicialesA fin de obtener los valores de los esfuerzos iniciales se utilizan las siguientes expresiones:

e. Parmetros s y tSe determinan mediante la expresin:

f. Incrementos de esfuerzosPara la solucin de este ejercicio se aplican las frmulas presentadas a continuacin

Los datos necesarios son los siguientes:

A continuacin se presenta la tabla de resultados obtenida al realizar cada una de las operaciones ya descritas y de igual forma se presenta una grfica del incremento de esfuerzos en profundidad.CARGA AREA CIRCULAR

c (KN/m2)150

Df1,5

suelo (KN/m3)18

radio (m)6

p

122,66

DATOS GENERALES:MDULO DE ELASTICIDAD

E sup ( MPa )8

E inf ( MPa )13

PESO UNITARIO

sup (KN/m3)18

inf (KN/m3)23

w (KN/m3)9,81

N. Fretico (m)3,5

0,32

Ko0,3073

' ()32

(KN/m3)ECAPA (m) Espesor capa (m)(m)(KN/m2)(KN/m2)s't' (KN/m2) (KN/m2)

188Superficie0,00,000,000,000,00

18,238,230,75213,584,178,884,7113,644,19122,4380,62283,660,00136,07

18,458,451,527,348,4017,879,47

18,768,7612,5245,9414,1130,0315,9134,5910,63115,6841,80199,270,00150,27

19,069,06NF3,50,030,509,3719,9410,57

19,529,5225,031,559,4218,2638,8420,5859,6418,3290,4813,02116,5214,72135,40

19,979,96976,53,089,0027,3558,1730,83

20,5810,57638,545,0129,5039,7984,6544,86129,9039,9155,781,7559,2749,05136,63

21,1811,18210,57,0171,2052,60111,9059,30

22,0912,091413,5610,0236,0072,51154,2681,74236,9072,7929,06-0,5827,9198,10167,86

231316,513,0303,5093,25198,38105,12

Teniendo los anteriores resultados, se procede a calcular los asentamientos; los clculos realizados, se presentan en la siguiente tabla:

A continuacin se presentan los resultados obtenidos al calcular el asentamiento de cada una de las capas, teniendo al final un asentamiento de

Estrato

01,508227,270,0090,0131,29

12,008757,580,010,0202,03

23,009515,150,0090,0262,59

34,0010575,760,0050,0212,07

46,0012090,910,0020,0151,46

0,09449,44

CONCLUSIONES

a. A medida que aumenta la profundidad, los incrementos de esfuerzos se hacen ms pequeos; sin embargo, los esfuerzos efectivos si aumentan en profundidad.

b. Es importante que en cualquier obra de ingeniera que se desarrolle, se tengan presentes los asentamientos que pueden llegar a ocurrir en la estructura ya que eventualmente si no se controlan pueden representar una falla en la estructura que es de las situaciones ms indeseables para cualquier obra.

2. EJERCICIO DIFERENCIAS FINITAS

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Teniendo en cuenta las temticas vistas en clase acerca de los incrementos de esfuerzos que sufre el suelo producto de la carga adicional impuesta por una obra civil o por el mismo efecto natural de la consolidacin, se producen asentamientos en el mismo. En el siguiente trabajo se evaluaran aquellos asentamientos que son producidos netamente por el proceso de consolidacin, haciendo uso de las teoras y tcnicas vistas para dar solucin al problema que se presenta a continuacin. Es por eso que en un primer momento se pide el clculo de los incrementos corrientes de esfuerzos para posteriormente usarlos en las ecuaciones de la consolidacin. De esta forma se podr conocer el asentamiento que sufrir la cimentacin para determinados periodos de tiempo. Por supuesto deben tenerse en cuenta las correcciones pertinentes al mtodo aqu usado para el clculo de la consolidacin, como la correccin por elasticidad, por tiempo de ejecucin y por el espacio tridimensional en el que realmente se trabaja.Para tal fin se piden adems de ellos construir las grficas de asentamiento contra tiempo, as como la grfica de incremento en la presin de poros, contra tiempo y profundidad o grafica de iscronas del esquema que se presenta a continuacin:

METODOLOGA

Para dar solucin al problema anteriormente planteado se recurre en un primer momento a la teora de la consolidacin, en donde se sabe que el incremento de la presin de poros con el tiempo est dado por la siguiente ecuacin diferencial

La cual como es evidente no puede ser solucionada analticamente sino que se requiere dar solucin a ello, haciendo uso de mtodos numricos como el de las diferencias finitas, el cual consiste bsicamente en lo siguiente:

Resolviendo la ecuacin de consolidacin por el mtodo de diferencias finitas, se tiene la siguiente expresin

Usando el Esquema implcito de Crack-Nicolson, se tiene que , fijamos un valor de Reescribiendo lo anterior en forma matricial:

En donde el vector columna F representa un valor conocido mientras el vector U representa las incgnitas del problema, luego despejando , se tiene:

Adems de ello se deben realizar los clculos de incrementos de esfuerzo en el suelo producidos por la obra, los cuales se tienen en cuenta de acuerdo con las frmulas de pollus y Davis, en donde se calculan unos incrementos basados en un factor de influencia.Posteriormente a ello se procede al dibujo de la grfica de las iscronas, con el fin de ilustrar el comportamiento de la presin de poros en el tiempo y la distancia. Finalmente al anterior procedimiento se le realizan las correcciones que corresponden al hecho de estar considerando el asentamiento unidimensional, debido a tres importantes supuestos que se hacen para poder dar solucin al problema, la primera correccin la cual hace referencia al asentamiento que inmediato o no drenado, pues mucha veces se cae en el error que este es poco representativo, la segunda correccin se hace por el tiempo de construccin que resulta ser un tiempo considerable en el tiempo de vida til de la obra sobre el suelo y finalmente la tercera correccin que se hace por el hecho de solo considerarse el asentamiento en 1 dimensin y no en 3 dimensiones como realmente ocurre.

DESARROLLO

Se pretende calcular la evolucin temporal de los asentamientos de una capa de arcilla 10 metros de espesor bajo la accin de una cimentacin rectangular, bajo el eje de la misma. Se asume que el comportamiento de la misma puede asemejarse a un caso de consolidacin unidimensional, realizando las correcciones respectivas. Para la aplicacin prctica de este ejercicio se determin que la desratizacin de la masa de suelo se har en 10 capas de igual espesor, adems de asumir que las deformaciones tanto de la grava ubicada en la parte superior y las de el estrato inferior son despreciables.En primer lugar resulta indispensable la caracterizacin de la masa de suelo en sus propiedades, gran parte de esta es entregada a partir de los datos iniciales, sin embargo es importante determinar y asignar estados de esfuerzos iniciales as como los incrementos recibidos por cada una de estas capas, mediante la aplicacin de promedios. Como la porcin de suelo que se asentara esta limitada al estrato de arcilla esta caracterizacin se realiza nicamente para este estrato, entendiendo y manejando las diferentes profundidades segn la variable que desee calcularse.Inicialmente calculamos los esfuerzos iniciales verticales , estps se calculan teniendo en cuenta los pesos unitarios efectivos de los materiales y multiplicndolos adecuadamente por la profundidad. Para el estrato de arcilla estos estarn dados por:

Teniendo en cuenta que el nivel fretico coincide con el techo del estrato de arcilla y que .Estos se calculan para las fronteras inferior y superior de las capas y se promedian mediante la siguiente ecuacin:

Adicionalmente se calcula el esfuerzo efectivo de preconsolidacin en cada capa, mediante la siguiente ecuacin:

Para el calculo de los incrementos de esfuerzos en los tres planos x, y y z (que en el caso de estudio son principales por estar bajo el eje de cimentacin), sabemos que estos estan determinados en cada caso por:

El esfuerzo neto de cimentacin se determina fcilmente mediante la siguiente ecuacin:

Para los factores de influencia, se generaliza la siguiente ecuacin:

Donde uu puede ser bien xx, yy o zz. Para el caso de estudio las magnitudes de estos valores son:

Segn cada uu, cada factor de la expresin se calcula segn la siguiente expresin.

Donde

En todos los casos los factores de influencia respectivos se multiplican por el esfuerzo neto de consolidacin y se determinan los calores de los incrementos.Estos incrementos se calculan para las fronteras superior inferior y media de cada cada capa y se promedian de la misma manera que los esfuerzos iniciales, los resultados para cada una de las capas pueden consultarse en las siguientes tablas.:

Capaz promx promy prom

188,6300854,2302465,27448

286,6796442,8065256,42862

383,8361133,4629748,44521

480,2818926,0578241,37896

576,2540520,3050135,21800

671,9760515,8835829,90736

767,6270512,4986425,36852

863,336529,9051021,51348

959,190857,9101718,25372

1055,243176,3668015,50554

A continuacin se calculan las presiones de poros para diferentes tiempos desde 0 hasta 20 aos, lo cual implica resolver la ecuacin de la consolidacin unidimensional de Terzaghi, debido a la complejidad de las condiciones de frontera esta ecuacin carece de solucin analtica por lo que se emplea en su solucin un esquema de diferencias finitas.Basndonos en un esquema de Crank-Nicolson para la solucin la ecuacin queda expresada de la siguiente manera:

Dnde:

Esto representa un sistema de ecuaciones, que puede asemejarse a lo que se ha trabajado anteriormente en estructuras, de la siguiente manera:

Descomponiendo un poco ms y asignando nombres a algunas variables tendremos:

Donde es una matriz que transforma el vector de presiones en un tiempo conocido a un vector de fuerzas, corresponde al ensamblaje de la parte derecha de la ecuacin para cada punto. es la matriz de rigidez del sistema que debe invertirse, corresponde al ensambkaje de la parte izquierda de la ecuacin para cada punto.A partir de experiencia se conoce que para evitar problemas de consistencia y oscilacin en los clculos el parmetro debe tener un valor cercano a por lo que se determina que Lo cual arroja un valor exacto de . Esto corresponde a una divisin en 75 desratizaciones.Como las condiciones de frontera del estrato de arcilla son doblemente drenadas, sabemos entonces que en las fronteras la presin de poros se disipara inmediatamente. Por lo tanto la matriz tendra dimencion 9x9 en donde se acomodaran los terminos de los vectores en sentido de la diagonal vertical. El resultado numerico de este ensamblaje se presenta a continuacin.-1,166670,083330000000

0,08333-1,166670,08333000000

00,08333-1,166670,0833300000

000,08333-1,166670,083330000

0000,08333-1,166670,08333000

00000,08333-1,166670,0833300

000000,08333-1,166670,083330

0000000,08333-1,166670,08333

00000000,08333-1,16667

Para la matriz ensamblamos de manera similar, como las condiciones de frontera son doblemente abiertas podemos despreciar la primera y la ultima fila de la matriz original de 11x11, sin embargo en este caso no pueden despreciarse la primera y ltima columna pues estas tienen una incidencia en los valores de la primera aproximacin de esta manera, una expresin general para la matriz de 9x11 ser:

-0,08333-0,83333-0,0833300000000

0-0,08333-0,83333-0,083330000000

00-0,08333-0,83333-0,08333000000

000-0,08333-0,83333-0,0833300000

0000-0,08333-0,83333-0,083330000

00000-0,08333-0,83333-0,08333000

000000-0,08333-0,83333-0,0833300

0000000-0,08333-0,83333-0,083330

00000000-0,08333-0,83333-0,08333

Una vez definidas estas matrices se aplica el siguiente procedimiento iniciando con una presin en tiempo cero igual al incremento de esfuerzo vertical.Se toma el vector de presiones conocidas y se multiplica por la matriz , para determinar el vetor de fuerzas, este se multiplica por y se obtiene el vectot de presiones en un tiempo t+1. Este procedimiento se repite 360 veces hasta encontrar la presin en un tiempo de 20 aos.Esto nos arroja los vectores de presin cada 2/3 de ao, debido a la cantidad de valores se presentan las presiones cada ao:

Adicionalmente se grafican las iscronas para cada 4 aos, estas se muestran a continuacin:

La informacin antes recolectada corresponde a las fronteras de las capas con el fin de trabajar en funcin de los asentamientos es necesario promediar los valores extremos de cada capa para asignar un valor a la misma, como se tienen solo dos valores se utiliz el promedio aritmtico.Con la informacin de la presin de poros por capa en cada tiempo es posible determinar el esfuerzo efectivo vertical que actuara sobre la masa de suelo en ese momento, este quedara descrito en cada capa por la siguiente ecuacin.

A continuacin se presentan las tablas para los esfuerzos efectivos por capa en cada tiempo, dada la cantidad de datos se presentan nicamente los valores cada ao.

Tiempo (aos)Capa012345678

10,000057,701265,377569,553872,202674,062175,460876,566777,4750

20,000015,557827,850736,056441,906946,317149,794852,639355,0365

30,00002,96269,124715,309220,761225,447129,490033,022036,1512

40,00000,58922,55215,56379,013412,550216,010719,326222,4726

50,00000,17500,73281,97303,85936,21148,846111,621214,4380

60,00000,07210,42091,30772,75924,66356,87919,281911,7778

70,00000,18851,22012,93054,98957,20879,493711,794014,0796

80,00001,50214,95478,467611,598114,336016,761518,955420,9786

90,00008,986116,101420,829624,193826,737828,765730,457931,9258

100,000034,319438,805241,227842,756143,827444,637345,286145,8312

Tiempo (aos)Capa91011121314151617

178,243778,910379,499480,028280,508480,948781,355581,733482,0861

257,106658,930060,561862,040463,393764,642065,800366,880367,8910

338,959941,508743,843045,996347,994349,856951,599653,234954,7731

425,445828,250530,895033,389235,742937,965740,066442,053343,9339

517,232019,963022,607225,151527,589629,919832,143034,261636,2792

614,299916,802919,257021,643423,950726,172628,306130,350732,3070

716,330518,532920,677222,756724,767226,706028,572030,364932,0853

822,873424,667326,377928,016029,588531,099432,551733,947035,2871

933,239534,443535,566436,626237,634138,597339,520440,406141,2565

1046,306946,734947,128747,496947,844948,176348,493148,796849,0882

Con estos valores se calcula el asentamiento para cada una de las capas en cada tiempo, esto se realiza segn las ecuaciones de asentamientos por consolidacin, para el caso de estudios los esfuerzos iniciales sumados a los incrementos no superan los esfuerzos de preconsolidacin, como lo muestra la siguiente grfica.

Teniendo en cuenta esto la ecuacin a utilizar en todos los casos es la siguiente:

Se suman los asentamientos de cada una de las capas y se determina el asentamiento total de la cimentacin en cada tiempo.A continuacin se muestran los valores calculados para los asentamientos as como la suma de los mismos, presentados cada ao.Tiempo (aos)Capa012345678

10,000000,007190,007950,008350,008600,008770,008890,008990,00908

20,000000,002110,003600,004530,005150,005610,005970,006250,00648

30,000000,000390,001180,001940,002570,003100,003550,003920,00425

40,000000,000070,000320,000680,001090,001500,001890,002260,00260

50,000000,000020,000090,000230,000450,000710,001010,001310,00161

60,000000,000010,000050,000140,000300,000510,000740,001000,00125

70,000000,000020,000130,000300,000510,000740,000960,001190,00141

80,000000,000150,000480,000820,001110,001360,001580,001780,00195

90,000000,000820,001450,001850,002130,002340,002500,002640,00276

100,000000,002820,003150,003330,003440,003520,003580,003620,00366

Suma0,000000,013600,018390,022160,025360,028160,030670,032960,03505

Tiempo (aos)Capa91011121314151617

10,009150,009200,009260,009300,009350,009390,009420,009450,00949

20,006680,006860,007010,007150,007280,007390,007500,007600,00769

30,004540,004800,005030,005240,005430,005610,005780,005930,00607

40,002910,003200,003470,003730,003960,004180,004380,004570,00475

50,001910,002190,002460,002720,002960,003180,003400,003600,00379

60,001510,001760,002000,002230,002450,002660,002860,003050,00323

70,001620,001830,002030,002220,002400,002580,002740,002900,00305

80,002120,002270,002420,002560,002690,002820,002940,003050,00316

90,002860,002950,003040,003120,003200,003280,003350,003420,00348

100,003690,003730,003750,003780,003800,003830,003850,003870,00389

Suma0,037000,038800,040480,042050,043530,044910,046220,047440,04860

Adicionalmente se calculan los asentamientos a tiempo infinito, en donde los valores de esfuerzo efectivo sern los incrementos de esfuerzos aplicados. Estos asentamientos constituyen un valor ltimo y a su vez la asntota hacia la que tiende la curva. Para cada capa tendremos:CapaAsentamiento Final

10,010050

20,009303

30,008564

40,007840

50,007144

60,006485

70,005871

80,005305

90,004789

100,004321

Suma0,069671

Graficando los asentamientos totales contra el tiempo tenemos la siguiente curva, para asentamientos unidimensionales. Donde se muestra el valor del asentamiento infinito.

Estos valores son correctos para un proceso de consolidacin netamente unidimensional, en donde la carga se aplica monotonica e instantneamente. Los valores deben ser corregidos por efectos tridimensionales, por tiempo de construccin y por asentamiento inmediato.

CONCLUSIONES.

Del ejercicio realizado pueden derivarse una serie de conclusiones, en primer lugar del anlisis de las iscronas, podemos ver como evoluciona y se disipa la presin de poros dentro del estrato y la tendencia de esta asemejarse inicialmente a los incrementos de esfuerzos. Es adems apreciable que transcurridos los 50 aos de consolidacin an existe una considerable presin de poros dentro del estrato de arcilla, lo que evidencia lo largo de este proceso.Por otro lado puede hacerse un anlisis de la grafica de asentamientos y sus diferentes correcciones, en primer lugar vemos como la correccin por tiempo de obra nos retrasa los asentamientos en el tiempo sin embargo no tiene un impacto en la magnitud de los mismos.Por otro lado la correccin por efectos tridimensionales arroja asentamientos que tienen una magnitud menor que los ocurridos en condiciones unidimensionales. Esto resulta contrario a lo que intuitivamente se esperara, sin embargo la diferencia en magnitudes es compensada con creses con el asentamiento inmediato. Este no ocurre en condiciones unidimensionales, mientras que en condiciones tridimensionales este se presenta y tiene una magnitud considerablemente alta. Por lo tanto es importante que este se calcule y se tenga en cuenta en los procesos de diseo y contrario a lo que tradicionalmente se dice, la magnitud del mismo no es despreciable.