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EJERCICIOS PROPUESTOS (Coordenadas rectangulares)

1. Representar en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos:

            A (–1, 3)

            B ( ½ , – 5)

            C (–1, 3)

            D (–p , 2p )

            E ( – ,  )

            F (  , – )

            G ( ,  )

2. Hallar la distancia entre los siguientes pares de puntos:

2.1 (6,0); (0,– 8) R: D = 10

2.2 (2, –3); (5, 4) R: D =   

2.3 (3, 1); (7, 4) R: D = 5

2.4 (5, –3); (–5, 3) R: D = 3

2.5 (6.4, –1.3); (5, .08) R: D =   

3. Demostrar que los puntos A(3, 8), B (–11, 3) y C (–8, –2), son los vértices de un triángulo isósceles.

R: Dado que los segmentos AC y AB son iguales entre sí (e iguales a  ), se concluye que los vértices forman un triángulo isósceles.

4. Demostrar que los puntos A(7, 5), B(2,3) y C (6,–7), son los vértices de un triángulo rectángulo.

R: Dado que los segmentos AB, BC y AC miden  ,  y  , respectivamente, se concluye que los vértices forman un triángulo rectángulo en virtud de que AB2 + BC2 = AC2

5. Verificar si los siguientes puntos son los vértices de un rectángulo (en un rectángulo, a diferencia de otros paralelogramos, la longitud de sus diagonales debe ser igual)

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  A (1,2); B(4, 7); C( –6, 13); y D(–9, 8) R: Rectángulo (BD = AC)

6. Hallar las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en cinco partes iguales.

  A (1, 1); B(11, 6) R : ( 3 ,2); (5, 3); (7, 4); (9, 5)

EJERCICIOS PROPUESTOS (Recta)

1. Determine la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (– 3, 2) y (7, –3)  

R: m =–  , q =153° 26’

2. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos  (2, – 1) y (4, 3)

R: m = 2, q = 63.43°

3. Una recta pasa por los puntos A(–3, –1) y B(2, – 6). Halle la ecuación en la forma simétrica y general.

R: –  –  ; x + y + 4 = 0

4. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 7x– 2y = 0 y 4x – y – 1= 0 y es perpendicular a la recta 3x + 8y – 10. Determine su ecuación.

R: 8x – 3y + 5 = 0

5. Encuentre la ecuación de la recta si la pendiente es 1/3 y el punto A(5,– 2).  

R: x – 3y–11= 0

6. Si se tiene un triángulo ABC, A(– 2,1), B(4,7 ) y C(6, –3). Halle las ecuaciones de las medianas y el baricentro.

R: 5x + y – 27 = 0;     x – 7y + 9 = 0;   4x – y – 9 = 0 Baricentro: ( 2, 11/4)

7. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 2) y (3,– 4).  

R: a= 5u2

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8. Dada la ecuación de la recta : y = 2x–5/4, encuentre : A) Forma general , B) Simétrica, C) b y a . D) m y f , E) gráfica.

R: A) 2x – 4y – 5 = 0, B) 2x/5 – 4y/5 =1, C) b = – 5/4 y a = 5/2

D) m=1/2, f = 26.56°  

EJERCICIOS PROPUESTOS (circunferencia)

I. Para cada uno de los siguientes ejercicios encuentra la ecuación general.

1) Centro (2, 3) y radio =       R: x2+y2 – 4x – 6y+10 = 0

2)  Centro (3, – 2) y radio =      R: 4x2 + 4y2 + 24x +16y +27 = 0

            3)   Centro (– 7, –13) y pasa por el origen   R: x2+y2+ 14x + 26y = 0

            4)   Los extremos de su diámetro son : A(– 1,1), B(4,– 6)     R: x2 + y2 – 3x + 5y – 4 = 0             5)   Centro en (6,–2), Tangente a la recta x = 3         R = x2+y2 – 12x + 4y + 31 = 0

            6)Una circunferencia tiene su centro en el punto C(0, – 2) y es tangente a la recta 5x – 12y + 2 = 0

R = x2 + y2 + 4y = 0

            7) Pasa por los puntos : (–1, 1), (3, 5) y (5,–3)

R = 5x2 + 5y2 – 32x – 8y –3 4 = 0

II. Dadas las siguientes ecuaciones determina el centro, radio y forma ordinaria.

8)   2X2 + 2Y2 – 6X + 10 +7 0      R: c(3/2,-5/2) ;  r= raíz de 5;   (x – 3/2)2 + (y+ 5/2)2 = 5

            9)    x2 + y2 +2x – 10y + 10 = 0        R: C (–1, 5) , r = 4; (x+1)2 + (y –5)2 = 16

            10)   x2 + y2– 6y + 5 = 0       R : C(0, 3), r = 2 ; x2 + (y–3)2 = 4  

EJERCICIOS PROPUESTOS (parábola)

1)   Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en ( –7/2, 0)

R : y2 + 14x = 0

2) Encuentra las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola 2y2 = – 7x  

R: f (–7/2, 0) , x = 7/2

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3) Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, su eje es el eje X y la  ecuación de su directriz es 3x – 1 = 0

R: 3y2 + 4x = 0

4)    Encuentra las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola  x2 + 2 y = 0

R: f (0, – ½ ) , y = ½

5)    Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y directriz y – 5 = 0

R: x2 + 20y = 0

6)    Hallar la ecuación general de la parábola con vértice en el punto V(1, – 4) y su foco se ubica en el punto f (1, –2)

R: x2 – 2x + 8y + 33 = 0

7)    Hallar las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es 5y2 – 20x – 20y – 60 = 0

R: V (2, – 4)

f ( 3, – 4)

x – 1 = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS (elipse)

1)   Hallar la ecuación general de la elipse con CENTRO EN EL ORIGEN, foco (0, 3) y su semieje mayor mide 10 unidades.

R: 25X2 + 16Y2 – 400 = 0

2) Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen, un vértice en (0,8) y un foco en (0, –2Ö ` 7)

R:     o    64X2 + 36Y2 – 2304 = 1

3)  Obtener la ecuación de la elipse cuyos vértices se localizan en (–5, 9) y (–5 ,1) y la longitud de su lado recto es igual a 3 unidades.

R: 15x2 + 6y2+160x – 60y + 454 = 0

4)  Encontrar la ecuación de la elipse con centro en C (3, 1), uno de sus vértices es el punto ( 3, – 2) y la longitud del lado recto es igual a 16/3

R: 9x2 + 8y2– 54x + 16y + 17 = 0

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5)Dada la ecuación 3x2 + 4y2 = 12, encontrar las coordenadas de sus elementos.

R: Dado que x2 y y2 tienen coeficientes positivos y diferentes entre sí, se trata de una elipse. Además, dado que no aparecen términos lineales en x o y, sabemos que tiene su centro en el origen. Sus elementos son:

a = 2 Longitud del semieje mayor

b =  Longitud del semieje menor

c = 1 Longitud del semieje focal

C ( 0, 0) Centro de la elipse

V1 ( 2, 0) Coordenadas del vértice 1

V2 (–2, 0) Coordenadas del vértice 2

f1 (1, 0) Coordenadas del foco 1

f2 (–1, 0) Coordenadas del foco 2

B1 (0,  ) Coordenadas de uno de los extremos del semieje menor

B2 (0, – ) Coordenadas del otro de los extremos del semieje menor  

EJERCICIOS PROPUESTOS (hipérbola)

Para  la siguiente ecuación determina: a) centro, b) vértices, c) focos, d) longitud del eje transverso, e) longitud del eje conjugado, f) excentricidad, g) longitud del lado recto, h) extremos del lado recto (4), y) puntos B, j) ecuaciones de las asíntotas, k) gráfica.

1)  4x2 – 4y2 + 20x – 16y +25 = 0  

Sol: c( –5/2, 2), F(–5/2, 2+2 Raíz 2) y (–5/2, 2–2 Raíz 2); v(–5/2, 4) y (–5/2, 0); L.e.t = 4; L.e.c = 4; e = Raíz2; L .L .r = 4; B y B’= (–1/2, 2) y (–9/2, 2); extremos = (–1/2, 2+2 Raíz2), ( –9/2, 2+2 Raíz 2) (–9/2, 2–2Raíz 2), (–1/2, 2–2 Raíz 2); Asíntotas: 2y–2x–9 = 0 y 2y + 2x + 1 = 0

2) Encuentra la ecuación general de la hipérbola que satisfaga las siguientes condiciones:

A) Un V1(0,5) y un extremo del eje conjugado en (3,0) R: 9 y2– 25 x2 – 225 = 0 B) V(0,4) y e= 2 R: 3 y2 – x2 – 48 = 0

C) V(3,0) y L.L.r = 24 R: 25 y2 – x2 – 144 = 0

D) V( –2, 0) y F(4,0) R: 3 x2 – y2 – 12 = 0

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E) C(1,4), longitud del eje transverso: 6, longitud del eje conjugado: 14; y el eje transverso paralelo al eje "x". R: 49 x2 – 9 y2 – 98 x + 72 y – 536 = 0

F) V(–5,0) y asíntotas: x–3y+2= y x + 3y +2 = 0 R: x2 – 9 y2 + 4 x – 5 = 0