ejercicios propuestos de mÉtodos simplex

7/22/2019 EJERCICIOS PROPUESTOS DE MTODOS SIMPLEX

1/41

Universidad Nacional

Santiago Antnez de Mayolo

Escuela Profesional de Administracin

Tema: desarrollo de ejercicios matemticos

Curso: matemtica I para administradores

Docente: GONZALES VEGA, Csar

Huaraz


2/41

DEDICATORIA

A todos los que luchan

Para arrancarle a la

Vida un regalo msPara su existencia.

FACULTAD DE ADMINISTRACIN Y TURISMO 2


3/41

PRESENTACIN

Los alumnos: Ynac Roco; Mallqui Vanesa; Candacho Erick; Gamarra Tefilo;

Hinostroza Benjamn, estudiantes de la especialidad de administracin; tenemos el

honor de presentarles un trabajo de desarrollo de ejercicios propuestos.

El objetivo principal del desarrollo del trabajo es llenar el vaco que existe en

los alumnos para su fcil y mejor entendimiento de cada uno de los ejercicios

propuestos, previamente desarrollado y analizado cada uno de ellos; lo cual permita a

nuestros compaeros estudiantes disponer de una herramienta de trabajo prctico y

comprensible.

Para la orientacin del estudiante el trabajo llevado a cabo por los alumnos;

tiene un lenguaje muy sencillo y desarrollado por los estudiantes para los estudiantes;

como un producto de anlisis.

Finalmente expresamos nuestra estima cada uno de los lectores y esperamos

que este humilde trabajo sea de su agrado.



4/41

INTRODUCCION

En el captulo I desarrollamos:

Grficas del conjunto de desigualdades

En el captulo II desarrollamos:

Graficas del conjunto de desigualdades aplicadas a problemas.

En el captulo II desarrollamos:

Ejercicios desarrollados por el mtodo geomtrico del valor Z sujeta a

restricciones dadas.

En el captulo IV desarrollamos:

Problemas aplicados; desarrollados con el mtodo geomtrico.

En el captulo V desarrollamos:

Definimos las variables de holgura de cada uno de los ejercicios y construimos

la tabla simplex.

En el captulo VI desarrollamos:

Ejercicios mediante el mtodo simplex.

En el captulo VII desarrollamos:

Problemas aplicados a la economa y administracin.



5/41

CAPTULO I

EJERCICIOS PROPUESTOS DE MTODOS SIMPLEX

I. Bosqueje las grficas de el conjunto de desigualdades siguientes:

1. 0 10 ; 0 15 ; 5 12x y x y +

Solucin:

En L1:0 ; 10

0 10

x x

x x

= =

En L2:

0 15

0 ; 15

0 15

y

y y

y y

= =

En L3:5 12

5 12

x y

x y x y

+

+ +

Tabulando:

5 x y + 12x y+



6/41

Y

10

L1

15L2

5

5

12

12

L3

L3

GRFICA:

2. 0 ; 0 ; 3 4 ; 2 6x y x y x y + +

Solucin:

3 4x y+ 2 6x y+

Tabulando: L1 Tabulando: L2

FACULTAD DE ADMINISTRACIN Y TURISMO

X 0 5Y 5 0

X 0 12Y 12 0

X 0 3Y 6 0

X 0 4Y 4/3 0

6

X


7/41

3

6

L2

1.3 L1

YGrfica:

3. 0 ; 0 ; 3 3 ; 3 3x y x y x y + +

Solucin:

En L1:

3 3

3 31

:

3

x y

yy

Hallando X

x

+

=

=

En L2:

3 3

3 3

x y

y x

+

Tabulando: L2

X 0 1Y 3 0

Grfica:


4 X


8/41

X

Y

3

1

L2

L11

3



9/41

X - 70

CAPITULO II

II. Bosqueje las grficas de el conjunto de desigualdades siguientes:

1. una compaa tiene 100 toneladas de lminas de aluminio

en cierta localidad y 120 toneladas en una segunda. Parte de este

material debe enviarse a dos obras en construccin. La primera requiere de

70 toneladas y la segunda 90. denotemos con X e Y deben satisfacer y

presente grficamente.

Solucin:

L1 70

yL2 90

0 ; 70

0 ; 90

x x

y y

100

40

x y

x y

+

+


Y - 90

X


10/41

40

40

90

90 100

100

X

Y

100.....(1)

70 90 120....(2)

160 ( ) 120

160 120

40

x y

x x

x y

x y

x y

+

+ +

+

+ +

+

GRFICA:

2. una compaa desea almacenar 120 televisores en una

bodega. Mantiene dos modelos almacenados, un modelo de mesa y otro de

patas. El nmero de modelos de mesa no debe ser menor que 40 y el

numero de modelos con patas no debe de ser menor que 30. represente en

forma grfica los nmeros posibles de los modelos que puedan

almacenarse.

Solucin:

40 ; 30x y

X = nmero de modelos de mesas

Y = nmero de modelos con patas

120x y+

Tabulando:

X 0 120Y 120 0


C

A

B

D

E

F


11/41

X

Y

120

40

30

120

Hallando Puntos:

(40;30)

(40;80)(90; 30)

A

BC

GRFICA:

3. La bodega de un departamento de qumica almacena al

menos, 300 vasos de un tamao y 400 de un segundo tamao. Se h

decidido que el nmero total de vasos almacenados no debe exceder a

1200. determine la cantidad posible de estos dos tipos de vasos que

pueden almacenarse. Y mustrelos con un grfico.

Solucin:

300 ; 400x y

X = nmero de vasos de 1 tamao

Y = nmero de vasos de 2 tamao


CA

B


12/41

X

Y

1200

300

400

1200

1200x y+

Tabulando:

X 0 1200Y 1200 0

Hallando puntos:

(300;400)

(300;900)

(800;400)

A

B

C

GRFICA:


CA

B


13/41

Y5

5

(0; 0)

A

BC

CAPITULO III

III. Calcule por el mtodo geomtrico el valor de Z sujeta a las restricciones

dadas.

1. max 3 2 ; 0 ; 0 ; 5Z x y x y x y= + +

Solucin:En: 5x y+

Tabulando:

(0; 5) Y (5; 0)

GRFICA:


X T0 5Y T5 T0

13X


14/41

2.3 3

3

2.5

5

L1

L2

L3

(0; 0)

B

A D

C

( ): 0;5 3(0) 2(5) 10

: (5;0) 3(5) 2(0) 15

: (0;0) 3(0) 2(0) 0

: (5;0)

15.

Para A Z

Para B Z

Para C Z

El punto mximo es en B

que es igual a

= + =

= + =

= + =

2. max 5 ; 0 ; 0 ; 3 7 ; 3 ; 2 5Z x y x y x y x y x y= + + + +

Solucin:

TABULANDO:

L1: 3 7x y+ L2: 3x y+ L3: 2 5x y+

GRFICA:


X 0 2.3Y 7 0

X 0 3Y 3 0

X 0 5Y 2.5 0

14

7

(1.8; 1.6)


15/41

Hallando el punto C:

3 7

3( 2 5)

3 7

3 6 15

5 8

1.6

" " :

3 1.6 7

3 5.4

1.8

x y

x y

x y

x y

y

y

Hallando x

x

x

x

+ =

+ =

+ =

=

=

=

+ =

=

=

( )

: max 5

: (0;0) 5(0) 0 0

: (0;2.5) 5(0) 2.5 2.5

: (1.6;1.8) 5(1.6) 1.8 10.6

: (2.3;0) 5(2.3) 0 11.5

: 2.3;0

11.5

En Z x y

para A

Para B

Para C

Para D

El punto mximo es en D

que es igual a

= +

= + =

= + =

= + =

= + =

3. min ; 0 ; 0 ; 3 6 ; 2 7Z x y x y x y x y= + + +

Solucin:

Tabulando:

L1: 3 6x y+ L2: 2 7x y+


X 0 6Y 2 0

X 0 3.5Y 7 0

15


16/41

Y

3.5 6

2

L1

L2

B

A D

C

GRFICA:

Hallando el punto C: (L1 y L2)

( )

2( 3 6)

2 7

2 6 12

2 7

5 5

1

:3(1) 6

3 6

3

: 3;1

x y

x y

x y

x y

y

y

Hallando xx

x

x

El punto C es

+ =

+ =

+ =

+ =

=

=

+ =

+ =

=


X

7


17/41

: min

: (0;0) 0

: (0;2) 0 2 2

: (3;1) 3 1 4

: (3.5;0) 3.5 0 3.5

(0;2) 2

En Z x y

Para A

Para B

Para C

Para D

el punto mnimo en B

= +

=

= + =

= + =

= + =

=

CAPITULO IV

IV. Resuelva los problemas por el mtodo geomtrico:

1. una compaa destiladora tiene dos grados de whisky en

bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La

maca regular contiene 50 % de cada uno de los grados de I y II, mientras

que la marca sper consta de dos terceras partes del grado I y una tercera

parte del grado II. La compaa dispone de 3000 galones del grado I y

200 galones del grado II. Para mezclar cada galn de la marca regular

produce una utilidad de 5 soles, mientras que cada galn del sper

produce una cantidad de 6 soles. Cuntos galones cada marca debera

producir la compaa a fin de maximizar sus utilidades?

Solucin:



18/41

4500

6000

Y

L1

L2B

Grado Regular Sper Total galonesI 1/2 2/3 3000

II 1/2 1/3 2000

X: nmero de galones de grado I.Y: nmero de galones de grado II.

5 6U x y= +

Para I:

1 23000

2 32 1

30003 2

x y

y x

+

Tabulando: en L1

X 0 500Y 4500 0

Para II:

1 12000

2 31 1

20003 2

x y

y x

+

Tabulando: en L2

X 0 4000Y 6000 0

GRFICA:



19/41

(0; 0)4000

A C

Hallando los puntos en: 5 6U x y= +

(0;0) 0

(0; 4500) 5(0) 6(4500) 27000

(500;0) 5(500) 6(0) 2500

max 27000

A

B

C

U

= =

= = + =

= = + =

=

Rpta: la mxima utilidad es 27000 luego que el nmero de galones de

grado II es 4500.

2. una compaa vende dos mezclas diferentes de nueces.

La mezcla mas barata contiene 80% de cacahuates y 20% de nueces,

mientras que la ms cara contiene 50% de cada tipo. Cada semana la

compaa puede obtener hasta 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de

nueces. De sus fuentes de suministros. Cuntos kilos de cada mezcla

debera producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son de

10 soles por cada kilo de la mezcla ms barata y de 15 soles por cada kilo

de la mezcla ms cara?

Solucin:

X= nmero de kilos de la mezcla barata.

Y= nmero de kilos de la mezcla cara.

10 15U x y= +


Barata cara totalCacahuate 80% 50% 1800Nuez 20% 50% 1200

19

500 X


20/41

2250

Y

3600

A

B

C

80% 50% 1800

50% 1800 80%

x y

y x

+

Tabulando:

X 0 2250Y 3600 0

GRFICA:

Hallando los puntos en:

10 15U x y= +

(0;0) 0

(0;3600) 10(0) 15(3600) 5400

(2250;0) 10(2250) 15(0) 22500

max 22500

A

B

C

U

= =

= = + =

= = + =

=

Rpta: la mxima utilidad es 5400 luego que el nmero de kilos de la

mezcla masa cara es de 3600.


X


21/41

3. una compaa produce dos productos, A y B. cada unidad

de A requiere 2 horas de una mquina y 5 en una segunda mquina. Cada

unidad de B demanda 4 horas en la primera mquina y 3 en la segunda

mquina. Se dispone de 100 a la semana en la primera mquina y de 110

en la segunda mquina. Si la compaa obtiene una cantidad de S/.70 por

unidad de A y S/. 50 por cada unidad de B, Cunto deber de producirse

de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?

Solucin:

X = nmero de productos A ;

Y = nmero de productos B

70 50U x y= +

(L1)2 4 100

4 100 2

x y

y x

+

Tabulando:


Producto Maquina I Maquina IIA 2 5B 4 3

Total 100 110

X 0 25Y 25 0

21


22/41

Y

22 50

36.7

L1

L2

A

CB

D

2250

(L2)5 3 110

3 110 5

x y

y x

+

Tabulando:

X 0 22Y 63.7 0

GRFICA:

Hallando puntos en: 70 50U x y= +

(0;0) 70(0) 50(0) 0

(0;25) 70(0) 50(25) 1250

:

2 4 100

5 3 110

5( 2 50)

5 3 110

5 10 250

5 3 110

7 140

20

A

B

hallando el punto C

x y

x y

x y

x y

x y

x y

y

y

= + =

= + =

+ =

+ =

+ =

+ =

=

+ =

=

=


X

25


23/41

( )

( )

:

5 3(20) 110

5 50

10 10;20

10; 20 70(10) 50(20) 1700

(22;0) 70(22) 50(0) 1

hallando x

x

x

x el punto C

C

D

+ =

=

= =

= + =

= + =

max 1540U = En el punto D.

Rpta: la mxima utilidad es de 1540 luego de que se produce 10

unidades de A y 20 unidades de B.

CAPITULO V

V. Defina las variables de holgura y la tabla simplex s:

1. 0 10 ; 0 15 ; 5 12x y x y +

Solucin:

10X0 ; 15Y0 ; 12YX5 + ;

010X

010X

+

t

t= 10X+

015Y

015Y

+

U

U = 15Y+

0YX5

0Y-X-5

++

;

V

V = YX5 ++

012Y-X

012-YX

+

+

W

W = - X Y +12



24/41

Xt+ = 10 U + Y = 15 - V +X + Y = 5 W + X + Y = 12

X Y t U V W

t 1 0 1 0 0 0 10

U 0 -1 0 1 0 0 15

V 1 1 0 0 -1 0 5

W 1 1 0 0 0 1 12

2. 0 ; 0 ; 3 4 ; 2 6x y x y x y + +

Solucin:

X 0 ; Y 0 ; X 3Y 4 ; 2X Y 6 ;

t X 3Y 4 ; U 2X Y 6

+ +

+ + = + + =

X Y t U

t 1 3 1 0 4

U 2 1 0 1 6

3.

0 ; 0 ; 3 3 ; 3 3 ; 2 3x y x y x y x y + + +

Solucin:

X 0 ; Y 0 ; X 3Y 3 ; 3X Y 3 ; X 2Y 3

X 3Y 3 ; 3X Y U 3 ; X 2Y V 3t

+ + +

+ + = + + = + + =

X Y t U V

T 1 3 1 0 0 3

U 3 1 0 1 0 3

V 1 2 0 0 1 3

4.

0 ; 0 ; 0 ; 4 ; 3 2 7 ; 2 4 9x y z x y z x y z x y z + + + + + +

Solucin:



25/41

X 0 ; Y 0 ; Z 0 ; X Y Z 4 ; 3X Y 2Z 7 ; X 2Y 4Z 9

X Y 4 ; 3X Y 2 U 7 ; X 2Y 4 V 9Z t Z Z

+ + + + + +

+ + + = + + + = + + + =

X Y Z t U Vt 1 1 1 1 0 0 4

U 3 1 2 0 1 0 7

V 1 2 4 0 0 1 9

CAPITULO VI

VI. Mediante el mtodo simplex encuentre:

1.

max 3 2 2 ; 0; 0; 0; 2 5; 2 4x y z sujeta a x y z x y z x y z= + + + + + + Z

Solucin:

1. Zmx = 3x + 2y + 2Z

Sujeto a:2x + y + z 5X + 2y + z 4

x 0y 0



26/41

z 0

2x + y + z + t = 5Z + 5x 2y 2z = 0

X + 2y + z + v = 4

Tabla Simplex:


2 1 1 1 0 5

1 2 1 0 1 4

-3 -2 -2 0 0 0

x y z t v

5/2 = 2.5

4/1 = 4

tv.s

V

Z

2 1 1 1 0 5

1 2 1 0 1 4

-3 -2 -2 0 0 0

x y z t v

5/2 = 2.5

4/1 = 4

tv.s

V

Z

2 1 1 1 0 5

1 2 1 0 1 4

-3 -2 -2 0 0 0

x y z t v

5/2 = 2.5

4/1 = 4

tv.s

V

Z

2 1 1 1 0 5

1 2 1 0 1 4

-3 -2 -2 0 0 0

x y z t v

5/2 = 2.5

4/1 = 4

tv.s

V

Z

1 1/2 1/2 1/2 0 5/2

1 2 1 0 1 4

-3 -2 -2 0 0 0

x y z t v

t F1

V

Z

1 1/2 1/2 1/2 0 5/2

1 2 1 0 1 4

-3 -2 -2 0 0 0

x y z t v

t F1

V

Z

1 1/2 1/2 1/2 0 5/2

0 3/2 1/2 -1/2 1 3/2

0 -1/2 -1/2 3/2 0 15/2

x y z t v

5/2 1/2 = 5

3/2 3/2 = 1

x-F1+F2

3F1 +F3 V

Zv.s

1 1/2 1/2 1/2 0 5/2

0 3/2 1/2 -1/2 1 3/2

0 -1/2 -1/2 3/2 0 15/2

x y z t v

5/2 1/2 = 5

3/2 3/2 = 1

x-F1+F2

3F1 +F3 V

Zv.s

1 1/2 1/2 1/2 0 5/2

0 1 1/3 -1/3 2/3 1

0 -1/2 -1/2 3/2 0 15/2

x

2/3 F2 y

z

1 1/2 1/2 1/2 0 5/2

0 1 1/3 -1/3 2/3 1

0 -1/2 -1/2 3/2 0 15/2

x

2/3 F2 y

z

1 0 1/3 2/3 -1/3 2

0 1 1/3 -1/3 2/3 1

0 0 -1/3 8 1/3 8

x y z t v

2 1/3 = 6

1 1/3 = 3

x-1/2 F2 + F1

1/2 F2 + F3y

zv.s

v.e

1 0 1/3 2/3 -1/3 2

0 1 1/3 -1/3 2/3 1

0 0 -1/3 8 1/3 8

x y z t v

2 1/3 = 6

1 1/3 = 3

x-1/2 F2 + F1

1/2 F2 + F3y

zv.s

v.e


27/41

Z max = 9

2.

max : 0; 0; 0; 4 2 11;2 2 3 15 ;

2 2 11

Z x y z sujeta a x y z x y z x y z

x y z

= + + + + + +

+ + S

olucin:

Zmx = x + y + z

Sujeto a: 4x + 2y + z 11

2x + 2y + 3z 15

X + 2y + 2z 11

x 0

y 0

z 0

4x + 2y + z + U = 11


x y z t v1 0 1/3 2/3 -1/3 2

0 3 1 -1 2 3

0 0 1/3 8 1/3 8

x

3 F2 z

z

x y z t v1 0 1/3 2/3 -1/3 2

0 3 1 -1 2 3

0 0 1/3 8 1/3 8

x

3 F2 z

z

x y z t v

1 -1 0 1 -1 1

0 3 1 -1 2 3

0 1 0 23/3 1 9

x

-1/3 F2 + F1

1/3 F2 + F3

z

z

x y z t v

1 -1 0 1 -1 1

0 3 1 -1 2 3

0 1 0 23/3 1 9

x

-1/3 F2 + F1

1/3 F2 + F3

z

z


28/41

Z x y z = 0

2x + 2y + 3z + w = 15

x + 2y + 2z + v = 11

Tabla Simplex:


4 2 1 1 0 0 11

2 2 3 0 1 0 15

1 2 2 0 0 1 11

1 1 1 0 0 0 0

x y z u w v

11 4 = 2.75vv.s

w

v

z

11 2 = 75

11 1 = 1

v.e

4 2 1 1 0 0 11

2 2 3 0 1 0 15

1 2 2 0 0 1 11

1 1 1 0 0 0 0

x y z u w v

11 4 = 2.75vv.s

w

v

z

11 2 = 75

11 1 = 1

v.e

1 1/2 1/4 1/4 0 0 11/4

0 1 5/2 1/2 1 0 19/2

0 3/2 7/4 1/4 0 1 33/4

0 1/2 3/4 1/4 0 0 11/4

x y z u w v

v-2F1 F2

-F1 F3

F1 F4w

v

z

v.e

11/4 1/4 = 11

19/2 5/2 = 19/5 3.8

33/4 7/4 = 33/7 4.7

1 1/2 1/4 1/4 0 0 11/4

0 1 5/2 1/2 1 0 19/2

0 3/2 7/4 1/4 0 1 33/4

0 1/2 3/4 1/4 0 0 11/4

x y z u w v

v-2F1 F2

-F1 F3

F1 F4w

v

z

v.e

11/4 1/4 = 11

19/2 5/2 = 19/5 3.8

33/4 7/4 = 33/7 4.7

1 1/2 1/4 1/4 0 0 11/4

2 2 3 0 1 0 15

1 2 2 0 0 1 11

-1 -1 -1 0 0 0 0

x y z u w v

v F1

w

v

z

1 1/2 1/4 1/4 0 0 11/4

2 2 3 0 1 0 15

1 2 2 0 0 1 11

-1 -1 -1 0 0 0 0

x y z u w v

v F1

w

v

z

1 1/2 1/4 1/4 0 0 11/4

0 2/5 1 -1/5 2/5 0 19/5

0 3/2 7/4 1/4 0 1 33/4

0 -1/2 -3/4 1/4 0 0 11/4

x y z u w v

x

2/5 F2z

v

z

1 1/2 1/4 1/4 0 0 11/4

0 2/5 1 -1/5 2/5 0 19/5

0 3/2 7/4 1/4 0 1 33/4

0 -1/2 -3/4 1/4 0 0 11/4

x y z u w v

x

2/5 F2z

v

z


29/41

Zmx = 6


x y z t v

1 -1 0 1 -1 1

0 3 1 -1 2 3

0 1 0 23/3 1 9

x

-1/3 F2 + F1

1/3 F2 + F3

z

z

x y z t v

1 -1 0 1 -1 1

0 3 1 -1 2 3

0 1 0 23/3 1 9

x

-1/3 F2 + F1

1/3 F2 + F3

z

z

1 2/5 0 1/5 -1/10 0 9/5

0 2/5 1 -1/5 2/5 0 19/5

0 4/5 0 2 -7/10 1 8/5

0 -1/5 0 -1/10 3/10 0 28/5

x y z u w v

v1/4 F2 F1

7/4 F2 F3

3/4 F2 F4w

v

z

v.e

9/5 2/5 = 9/2

19/5 2/5 = 19/2

8/5 4/5 = 2

v.s

1 2/5 0 1/5 -1/10 0 9/5

0 2/5 1 -1/5 2/5 0 19/5

0 4/5 0 2 -7/10 1 8/5

0 -1/5 0 -1/10 3/10 0 28/5

x y z u w v

v1/4 F2 F1

7/4 F2 F3

3/4 F2 F4w

v

z

v.e

9/5 2/5 = 9/2

19/5 2/5 = 19/2

8/5 4/5 = 2

v.s

1 2/5 0 1/5 -1/10 0 9/5

0 2/5 1 -1/5 2/5 0 19/5

0 1 0 -5/2 -7/8 5/4 20 -1/5 0 -1/10 3/10 0 28/5

x y z u w v

x

5/4 F3z

yz

1 2/5 0 1/5 -1/10 0 9/5

0 2/5 1 -1/5 2/5 0 19/5

0 1 0 -5/2 -7/8 5/4 20 -1/5 0 -1/10 3/10 0 28/5

x y z u w v

x

5/4 F3z

yz

1 0 0 6/5 1/4 -1/2 1

0 0 1 4/5 1/20 -1/2 30 1 0 -5/2 -7/8 5/4 2

0 0 0 -3/5 1/8 1/4 6

x y z u w v

x-2/5 F3 + F1-2/5 F3 + F2

zy

z

1/5 F3 + F4

1 0 0 6/5 1/4 -1/2 1

0 0 1 4/5 1/20 -1/2 30 1 0 -5/2 -7/8 5/4 2

0 0 0 -3/5 1/8 1/4 6

x y z u w v

x-2/5 F3 + F1-2/5 F3 + F2

zy

z

1/5 F3 + F4


30/41

CAPITULO VI

VII. Resolver el problema:

1. una compaa produce dos tipos de calculadora

electrnicas, un modelo estndar cuya utilidad es de 5 soles y un modelo

de lujo, cuya utilidad es de 8 soles. La compaa estimas que su red de

distribuidores a lo ms puede manejar 1000 calculadoras a la semana.

debido al rpido crecimiento de la industria de las calculadoras, existe unadisminucin tanto en las partes, como en la mano de obra calificada



31/41

necesaria a fin de ensamblar las calculadoras. La compaa puede tener

un suministro semanal regular de slo 5000 circuitos electrnicos (chips)

necesarios para las calculadoras. Cada calculadora regular necesita 3 de

estos chips y cada calculadora de lujo requiere 6. mas aun la compaa

dispone de 2500 horas hombre de mano de obra calificada a la semana;

cada calculadora regular demanda 3 horas- hombre y cada calculadora de

lujo necesita dos. cuantas calculadoras de cada tipo debern producirse

a la semana a fin de maximizar la utilidad total?

Solucin:

Calculadora Utilidad # de Calc. Chip # H - H

Electrnica 5 x 3 3Lujo 8 y 6 2Total Z 1000 5000 2500

Zmx = 5x + 8y

Sujeto a:

x + y 1000 x 0

3x + 6y 5000 y 0

3x + 2y 2500

Bordes:

L1 : x + y = 1000 L2 : 3x + y = 5000 L3 : 3x + 2y = 2500

x 0 100 x 0 100 x 0 100

y 1000 0 y 833.3 0 y 1250 0

A: (0: 835.3)

B: x + y = 1000 (-2)

3x + 2y = 2500



32/41

-2x 2y = -2000

3x + 2y = 2500

x = 5000

y = 5000

(500 ; 500)

C: x + y = 1000 (-3)

3x + 6y = 5000

-3x 3y = 3000

3x + 6y = 5000

3y = 2000

y = 666.6x = 333.3 E : (0; 0) D : (833.3; 0)

Grfica:

Reemplazando: Z = 5x + 8y

Z(A) = 5 (0) + 8 (833.3) = 6666.4

Z(B) = 5 (500) + 8 (500) = 6500

Z(C) = 5 (333.3) + 8 (666.6) = 6999.3

Z(D) = 5 (833.3) + 8 (0) = 4166.5

Z(E) = 5 (0) + 8 (0) = 0

Para maximizar la utilidad se debe producir 333 calculadoras electrnicas y666 calculadoras de lujo, obteniendo 69999.


1250

833.5

833.3 1000 1666.6

BC

A

D

L3 L1 L2

E

1250

833.5

833.3 1000 1666.6

BC

A

D

L3 L1 L2

E


33/41

2. una compaa vende tres diferentes tipos de fritura, el tipo

regular contiene 80% de cacahuates, 20% de nueces y no contiene

pistaches; la mezcla sper contiene 50% de cacahuates, 30 % de nueces

y 20% de pistaches y la mezcla de lujo contiene 30% de cacahuates, 30%

de nueces y 40% de pistaches. La empresa tiene asegurados suministros

por 4300 libras de cacahuates, 2500 de nueces y 2200 libras de pistaches

a la semana. Si la utilidad es de 10 soles por litros de cada mezcla.

cuantas libras de cada un debera venderse como objeto de maximizar la

utilidad total?

Solucin:

U = 0.5x + 0.6y

Sujeto a:

5x + 8y 200 x 0

10x + 8y 240 y 0

10x + 8y 240

Bordes:L1 : 5x + 8y = 200 L2 : 10x + 8y = 240

x 0 40 x 0 24y 25 0 y 30 0

A: (0; 25)


Objeto Contado Ensamblado Utilidad # obj.A 5 10 0.5 xB

8 8 0.6 yTotal 200 min 240 min ?

33


34/41

B: 5x + 8y = 200 (-2)

10x + 8y = 240

-10x 16y = -400

10x + 8y = 240

-8y = -160

y = 20

x = 8

(8 ; 20) C: (24; 0) D : (0;0)

Grfica:


50

25

24 40

L2

L1

A

B

CD

50

25

24 40

L2

L1

A

B

CD


35/41

Maximizando:

U = 0.5x + 0.6y

U(A) = 0.5 (0) + 0.6 (25) = 15

U(B) = 0.5 (8) + 0.6 (20) = 16

U(C) = 0.5 (24) + 0.6 (0) = 12

U(D) = 0.5 (0) + 0.6 (25) = 0

Se deber fabricar 08 objetos de la clase de objetos A y 20 objetos de la

clase B para maximizar su utilidad que ser igual a 16.

3. una compaa fabrica dos clases de objetos novedosos para regalo,

hechos de madera laminar. Los del tipo A requieren 5 min. Cada uno para

recortarlos, y 10 min. Para ensamblarlos; los del tipo B requieren 8 min.

Cada uno par su corte y 8 min. Para su ensamble. Se dispone de 3 h

20min. para las operaciones de corte y 4 horas para las operaciones de

ensamble. La utilidad es de 0.50 unidades monetarias (u.m) para cada

objeto del tipo A y de 0.60 u.m para cada artculo de B Cuntos objetos

de cada clase debe fabricar la compaa para maximizar sus utilidades?

Solucin:

Artculo Horas Botellas Utilidad # de Prod.Tipo A 4 1000 9 xTipo B 3 1000 7 yTotal 200 6000 ?

U = 9x + 7y

Sujeto a:

4x + 3y 200



36/41

1000x + 1000y 60 000

x 0

y 0

Bordes:L1 : 4x + 3y = 200 L2 : 1000x + 1000y = 60 000

x 0 50 x 0 60y 66.6 0 y 60 0

A: (0; 60)

B: 4x + 5y = 200 (-250)

1000x + 1000y = 60 000

-1000x 750y = -50 000

1000x + 1000y = 60 000

250y = 10 000

y = 40

x = 80

(80 ; 40)

C: (50; 0)

D : (0;0)

Grfica:


66.6

60

50 60

L1

L2

A

B

CD

66.6

60

50 60

L1

L2

A

B

CD


37/41

Maximizando:

U = 0.9x + 0.7y

U(A) = 0.9 (0) + 7 (60) = 420

U(B) = 0.9 (80) + 7 (40) = 352

U(C) = 0.9 (50) + 7 (0) = 45

U(D) = 0.9 (0) + 7 (0) = 0

Para maximizar las utilidades se deber slo producir 60 botellas del tipo

B, lo cual generar una utilidad de 420.

CONCLUSIN

PRIMERA CONCLUSIN: En el problema resuelto por el mtodo geomtrico se

requiere encontrar el valor mximo o mnimo de alguna expresin algebraica



38/41

cuando las variables de esta expresin estn sujetas a varias desigualdades

lineales.

SEGUNDA CONCLUSIN: El mtodo de inspeccin y el mtodo geomtrico

llegan hacer imprcticos como el mtodo de solucin de problemas de

programacin lineal cuando en las desigualdades; el nmero de variables es

mayor que 2 y en general el nmero de desigualdades es grande.

TERCERA CONCLUSIN: la tabla simplex es una matriz ampliada que se

obtiene tomando los coeficientes del sistema de desigualdades dada en suforma estndar.

RECOMENDACIN



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PRIMERA RECOMENDACIN: Es recomendable que cada ejercicio

planteado sea previamente analizado tericamente antes de resolverla

directamente por la variacin de metodologa de cada autor.

SEGUNDA RECOMENDACIN: Antes de resolver las desigualdades en

tipos de problemas previamente se saca cada uno de los datos necesarios

para el procedimiento de resolver el problema.

TERCERA RECOMENDACIN: al resolver por el mtodo geomtrico se

necesita datos esenciales para la grfica la cual se construye en eje x y eleje y del cual utilizamos slo los puntos positivos.



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AGRADECIMIENTOS

PRIMER AGRADECIMIENTO: Al profesor Cesar; quien con su empeo y

paciencia con cada uno de nosotros trata de forjar un mundo mejor cada

da.

SEGUNDO AGRADECIMIENTO: A la institucin por brindarnos e

incentivarnos a la investigacin y esfuerzo individual y grupal.



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BIBLIOGRAFIA

1. Anlisis Matemtico tomo I L.D Kudriavtsec

2. Anlisis Matemtico I ESPINOZA, Eduardo

3. Matemtica aplicada a la economa LARDNER, Arya.

4. Algebra lineal y programacin lineal SOLER, Francisco

ejercicios propuestos de mÉtodos simplex

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