Universidad Fermín Toro.

Decanato de Ingeniería.

Departamento SAIA

EJERCICIOS II

Integrante:Jose Alchaer

CI: 18430572

1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.

a . ) y=3 sen2 x+e−x ; y ,,+4 y=5e− x

b . ) y=12senx−

12cos x+10e− x ; y ,+ y=senx

c ) y=C1e− x+C2e

x+C3e−2 x+C4 e

2 x ; y (4 )−5 y ,,+4 y=0

2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.

a . ) e y sen2 xdx+cos x (e2 y− y )dy=0b . ) (xy+ y2+ x2)dx−x2dy=0c ) ( y2cos x )dx+(4+5 ysenx )dy=0

d ) y ,−2xy=x2cos x

;

3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.

a . ) y ,,−3 y ,+2 y=3e− x−10cos3 xb . ) y (6 )−5 y (4 )+16 y ,,,+36 y ,,−16 y ,−32 y=0

1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.

a . ) y=3 sen2 x+e−x ; y ,,+4 y=5e− x

Primero se procede a derivar la función de la siguiente manera:

y '=3∗2∗cos2x−e−x

y '=6cos 2x−e−x

y ' '=−12 sen2 x+e−x

Ahora se procede a Sustituir en la siguiente función y ' '+4 y=5 e−x de la siguiente manera:

−12 sen2 x+e−x+4 (3 sen 2x+e− x)=−12 sen2 x+e−x+12 sen2 x+4 e−x=5e−x

Por lo tanto se dice que y=3 sen2 x+e−x es solución de la ecuación dada.

b . ) y=12senx−1

2cos x+10e− x ; y ,+ y=senx

Primero se procede a derivar la función de la siguiente manera:

y '=12cosx+ 1

2senx−10e− x

Ahora se procede a sustituir las y en la siguiente función:

y '+ y=senx12cosx+ 1

2senx−10e− x+ 1

2senx−1

2cosx+10e−x=senx

Eliminando valores quedaría de la siguiente manera:

y=12senx−1

2cosx+10e−x

Por lo tanto es solución de la siguiente función: y '+ y=senx

c ) y=C1e− x+C2e

x+C3e−2 x+C4 e

2 x ; y (4 )−5 y ,,+4 y=0Primero se procede a derivar la función de la siguiente manera:

y '=−c1 e−x+c2 e

x−2c3e−2 x+2c xe

2x

y ' '=c1e− x+c2e

x+4c3 e−2 x+4c4 e

2x

y ' ' '=−c1e− x+c2 e

x−8c3 e−2x+8c4 e

2x

y ' v=c1 e−x+c2 e

x+16 c3 e−2x+16c4 e

2x

Sustituyendo en la función:

y ' v=c1 e−x+c2 e

x+16 c3 e−2x+16c4 e

2x−5 (c1e− x+c2 ex+4 c3e−2 x+4c4 e2x )+4 (c1 e−x+c2 ex+c3e−2x+c4 e2x )¿c1 e

−x+c2 ex+16 c3 e

−2x+16c4 e2x−5c1 e

−x−5c2 ex−20c3 e

−2 x−20c4 e2x+4c1 e

−x+4 c2ex+4c3 e

−2 x+4c4 e2x

Se eliminan todos los valores y queda la función igual a cero.

Por lo tanto es solución de la siguiente ecuación: y(4 )−5 y ,,+4 y=0

2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método correspondiente.

a . ) e y sen2 xdx+cos x (e2 y− y )dy=0

¿cosx (e2 y− y )dy=−e y∗2 senx∗cosx∗dx

Dividiendo ambos términos por e y cosx quedaría de la siguiente forma:

e2 y− ydye y

=−2 senx∗dx

(e y− ye− y )dy=−2 senx∗dx

Integrando los términos obtenemos

∫ (e y− y e− y )dy=−2∫ senx∗dx

∫ ey∗dy−∫ y e− y∗dy=−2∫ senx∗dx

e y−∫ y e− y∗dy=−2 (−cosx )+c

e y−∫ y e− y∗dy=2c osx+c

Determinando por integración por partes ∫ y e− y∗dy

Llamando u= y→du=dy

dv=e− y∗dy→v=−e− y

Así que ∫ y e− y∗dy=− y e− y−∫ e− y∗dy

∫ y e− y∗dy=− y e− y−e− y+c

Donde sustituimos

e y−( ye− y−e− y )=2cosx+c

e y− y e− y+e− y=2cosx+c

b . ) (xy+ y2+ x2)dx−x2dy=0

Se verifica si la función es homogénea.

M ( tn x ,t n y )=t nM ( xy )

Sea M (xy )=(xy+ y2+x2)

M ( tn x+ tn y )=tn x∗t n y+t 2n¿ y2+t 2n∗x2=xy t2n+t 2n y2+t 2n x2

M ( tx+ty )=t2n (xy+ y2+x2)=t 2nM (x , y )

Además N ( x , y )=x2

N (t n x )=t2n x2=t2n∗N ( x , y )

Por lo tanto es homogénea de grado 2.

Realizando un cambio de variable y=ux N= yx

dy=xdu+udx

Ahora sustituyendo la ecuación nos queda de la siguiente manera:

(x∗ux+u2 x2+x2 )dx−x2 ( xdu+udx )=0

x2u∗dx+u2 x2∗dx+x2∗dx−x3∗du−x2u∗dx=0

(u2+1 ) x2dx=x3∗du

Dividiendo por x3

u2+1xdx=du→ dx

x= duu2+1

Ahora integramos la función

∫ dxx =∫ du

u2+1→ ln (x )+c=tan−1u

Solución de (xy+ y2+x2 )dx−x2dy=0

Por lo tanto queda de la siguiente manera: ln ( x )+c=tan−1( yx )c ) ( y2cos x )dx+(4+5 ysenx )dy=0

Como M (x , y )= y2 cosx y N ( x , y )=4+5 senx

Se busca un factor integrante apropiado

Se toma M ( y )=e∫ Nx−M y

Mdy

Se obtiene M ( y )=e∫ 5 ycosx−2 ycosx

y2cosxdy

M ( y )=e∫ 3 ycosxy2cosx

dy

M ( y )=e∫ 3ydy

M ( y )=e3∫ 1y dy=e3 ln( y)=e ln y

3

= y3

M ( y )= y3

Multiplicando por y3 toda la ecuación tenemos:

y3 ( y2 cosx )dx+ y3 (4+5 ysenx )dy=0

( y5 cosx )dx+(4 y3+5 y4 senx )dy=0

Se verifica que dicha ecuación es exacta:

dMdy

=5 y4∗cosx dNdy

=5 y4∗cosx

Se procede a usarla como una exacta.

dfdx

( x , y )= y5∗cosx

Integrando afecta a X. (A1)

f ( x , y )= y5 senx+g( x)

Derivando afecta a Y.

dfdy

( x , y )=5 y4∗senx+g' ( y )

Insertando dfdy

( x , y )=N (x , y )

Tenemos 5 y4∗senx+g ' ( y )=4 y3+5 y4∗senx

g' ( y )=4 y3

Integrando afecta a Y.

g ( y )=∫ 4 y3∗dy=4 y4

4+c

g ( y )= y 4+c

Sustituyendo en la ecuación A1.

f ( x , y )= y5 senx+ y 4+c Es solución de la ecuación dada.

d) y ,−2

xy=x2cos x

Reconociendo la ecuación se observa que es del tipo dydx

+ f ( x ) y=g (x) Lineal.

Llamando M=e−∫ 2x dx=e−2Lnx=eln x

−2

=x−2

M (x )= 1

x2

Ahora ddx

¿

ddx

( 1x2y )= 1

x2¿ x2 cosx

ddx ( 1x2 y )=cosx Procedemos a Integrar la función.

∫ ddx ( 1x2 y )dx=∫cosx∗dx

1

x2y=senx+c

y=x2 senx+c x2

3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N según el método correspondiente.

a . ) y ,,−3 y ,+2 y=3e− x−10cos3 x

Ecuación homogénea.

m2−3m+2=0

(m−2 ) (m−1 )=0

Son raíces de diferente función.

yh=c1 e2x+c2e

x

Se usa el método de V. de parámetros.

Se usa las ecuaciones siguientes:

M 1'=w1w

w2'=w2w

Ahora tenemos

w1=| 0 y2

f ( x ) y2'|w2=|y1 0

y1' f ( x )|

W=|y1 y2y1' y2

' |Calculando

w1=| 0 e x

3 e−x−10cos3 x e x|w1=−ex (3e−x−10cos 3x )=−(3−10ex∗cos3 x )=−3+10ex∗cos 3x

w2=| e2 x 0

2e2 x 3ex−10 cos3 x|=e2 x(3ex−10 cos3 x)

w2=3e3x−10e2x∗cos 3x

W=| e2x ex

2e2x ex|M 1

'=−3+10ex∗cos 3x−e3 x

→u'=3e−3 x−10e−2x∗cos 3x

u1(x )=∫ (3e−3x−10e−2 x∗cos3 x )dx

u1(x )=3∫ e−3x∗dx−10∫ e−2x∗cos 3x∗¿dx¿

u1 ( x )=−e−3x−10∫ e−2 x∗cos3 x∗¿ dx¿

Integrando por parte a ∫ e−2 x∗cos3 x∗¿dx¿

z=cos 3x→dz=−3 sen3 x∗dx

dv=e−2x∗dx→v=−12e−2 x

∫ e−2 x∗cos3 x∗¿dx=−12cos3 x∗e−2 x−1

2∫ e−2x (−3 sen3 x )dx ¿

∫ e−2 x∗cos3 x∗¿dx=−12cos3 x∗e−2 x+ 3

2∫ e−2 x∗sen 3x dx ¿

∫ e−2 x∗cos3 x∗¿dx=−12cos3 x∗e−2 x−3

2 [ sen3x (−12 e−2 x)+ 12∫e−2x∗3cos3x∗dx ]¿∫ e−2 x∗cos3 x∗¿dx=−1

2cos3 x∗e−2 x−3

2e−2x∗sen3 x−3

2∫e−2x∗cos3 x∗dx ¿

72∫e

−2 x∗cos3 x∗¿dx=−12e−2x∗cos 3x+ 3

2e−2 x∗sen3 x ¿

u1=−e−3x− 117e−2 x∗cos3 x+ 3

17e−2x∗sen3 x+c

Calculemos u2

u2'=w2w

=3e3x−10e2x∗cos3 x

−e3 x

∫u2'=∫−3+10e−x∗cos3 x∗dx

u2=∫−3+10e−x∗cos 3x∗dx

u2=−3+10∫ e−x∗cos 3x∗dx

Integrando por partes ∫ e−x∗cos 3x∗dx

z=cos 3x→dz=−3 sen3 x∗dx

dv=e−x∗dx→v=−e−x

∫ e−x∗cos 3x∗dx=−e− x∗cos3 x−3∫e− x∗sen3x∗dx

∫ e−x∗cos 3x∗dx=−e− x∗cos3 x−3 [e−x∗sen3 x+∫ e−x∗(sen3 x )∗dx ]

∫ e−x∗cos 3x∗dx=−e− x∗cos3 x+3e−x∗sen3 x−9∫ e−x∗(cos 3x )∗dx

10∫ e−x∗cos3 x∗dx=−¿e−x∗cos3 x+3 e− x∗sen3 x¿

u2=[−12 e−x∗cos3 x+ 310 e−x sen3 x ]+3 x

Por lo tanto la solución de la ecuación es:

yh+ y p→y h+u1 y1+u2 y2

c1 e2 x+c2 e

x+(−e−3x− 117e−2 x∗cos3 x+ 3

17e−2x∗sen3 x )e2x+ex

b . ) y (6 )−5 y (4 )+16 y ,,,+36 y ,,−16 y ,−32 y=0

Hallamos la solución homogénea

m6−5m4+16m3+36m2−16m−32=0

Se complementa el polinomio

m6+0m5−5m4+16m3+36m2−16m−32=0

Se aplica ruffini

1 0 -5 16 36 -16 -321 1 1 -7 12 48 32

1 1 -4 12 48 32 0-2 -2 2 4 -32 -32

1 -1 -2 16 16 0-2 -2 6 -8 -16

1 -3 4 8 0-1 -1 4 -8

1 -4 8 0

La factorización es

(m−1)(m+2)(m+2)(m+1)(m2−4m+8)

Sacando a m2−4m+8 por la ecuación

x=−b±√b2−4ac2a

=4±√16−322

=¿

m1=4+√162

=4+4 i2

m2=4−4 i2

Así tenemos dos raíces imaginarias, por lo tanto queda la factorización de esta forma.

(m−1 ) (m+2 ) (m+2 ) (m+1 ) (m−2+2 i ) (m−2−2i )

Donde la solución es:

yh=c1 e− x+c2 e

−2x+c3 x e−2x+c4 e

x+c5 e2+2 i

yh=c1 e− x+c2 e

−2x+c3 e−2 x+c4 e

x+c5∗2 (cos2 x+senxi )+c6∗2(cos2 x−sen2 xi)