Ricardo Alejos Electrónica de Radiofrecuencia

Ejercicios de repaso 1

Teoría de líneas de transmisión

Ejercicio 1

Enunciado Una línea de transmisión tiene los siguientes

parámetros por unidad de longitud:

Por simplicidad, se asume que estos cuatro

parámetros son independientes a la

frecuencia de operación. (a) Calcule la

impedancia característica de la línea a

y a . (b) Haga tres gráficas

en función de la frecuencia, desde

hasta , de , (constante de

atenuación) y (constante de propagación).

Solución (a) Comenzaremos calculando la impedancia

característica de la línea utilizando la

expresión

√

Así bien, sustituyendo los valores de cada

una de las impedancias de los componentes

a , la impedancia característica es:

√ ( )( )

( ) ( )( )

( )

O lo que es lo mismo

( )

Ahora, ésta misma impedancia característica

pero para una frecuencia de operación de

:

√ ( )( )

( ) ( )( )

( )

O lo que es lo mismo

( )

(b) Ahora, antes de hacer las gráficas de los

parámetros requeridos, recordemos que

están definidos como la parte real e

imaginaria de la constante de propagación

compleja :

√( )( )

Donde es la constante de atenuación y la

de propagación (como se mencionó en el

enunciado del problema).

Así bien, las gráficas pedidas en el enunciado

es presentan a continuación.

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Ejercicio 2

Enunciado La línea de transmisión con pérdidas

ilustrada a continuación tiene los mismos

parámetros por unidad de longitud que el

problema anterior. La impedancia de carga

consiste de un resistor de en serie

con un inductor de . Calcule la

impedancia de entrada a , a las

siguientes distancias de la carga: (a)

, (b) y (c) .

Solución La impedancia de entrada a lo largo de la

línea es

( )

En este caso, la constante de propagación

compleja es

√[ ( )( )] [( ) ( )( )]

La impedancia de carga para una

Resistencia en serie con un inductor es

, así bien, la impedancia de carga

para la frecuencia pedida es:

( )( )

( )

La impedancia característica para esta

línea de transmisión fue obtenida en el

ejercicio anterior:

( )

Así bien, al emplear estos datos sobre la

expresión para calcular la impedancia de

entrada, obtenemos:

107

108

109

1010

46.5

47

47.5

48

48.5

49

49.5

50

50.5

Frequency [Hz]

abs(Z

0)

[ ]

Characteristic Impedance of an Ideal Lossy Transmission Line

107

108

109

1010

0.1855

0.186

0.1865

0.187

0.1875

0.188

0.1885

0.189

Frequency [Hz]

[

rad/m

]

Attenuation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line

107

108

109

1010

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Frequency [Hz]

[

rad/m

]

Propagation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line

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a) ( ) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

Ejercicio 3

Enunciado Para el siguiente circuito con línea de

transmisión, calcule el coeficiente de

reflexión en la carga, , el en la línea, la

impedancia de entrada en la entrada de

la línea. Asuma que ,

( ) y (a) ; (b) .

Solución El coeficiente de reflexión en la carga se

puede calcular utilizando la expresión

Sustituyendo los datos dados en el

enunciado, encontramos el valor de

Podemos aprovechar que tenemos el

coeficiente de reflexión para calcular el

de a siguiente forma:

| |

| |

La impedancia de entrada se calcula:

( )

Así bien, para

( ) ( )( ) (

)

( ) ( )

( )

Y para

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

Ejercicio 4

Enunciado Una línea de transmisión sin pérdidas está

conectada a . (a) Si se mide un

de en la carga, encuentre los dos

valores posibles para . (b) ¿Cuál es el valor

del SWR cuando se mide a una distancia

desde la carga?

Solución (a) Sabemos que la relación de onda

estacionaria está definida así:

| |

| |

Y en este caso su valor es , de forma que

el módulo de sería:

| |

Pero a su vez, el coeficiente de reflexión en

la carga debe corresponder a:

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Para ambos valores .

Resolviendo la igualdad anterior para estos

dos valores encontramos los dos posibles

valores de la impedancia característica, que

son:

(b) El valor de la impedancia de entrada

medida a una distancia de es el

mismo que en el resto de la línea de

transmisión, pues es éste no depende de la

longitud.

Ejercicio 5

Enunciado Una línea coaxial tiene una impedancia

característica , una longitud física

de , y está rellena con un dieléctrico

cuyo . Si su frecuencia de

operación es y está conectada a una

impedancia , calcule el

coeficiente de reflexión en la carga, , el

coeficiente de reflexión en la entrada,

, el SWR en la línea, y la impedancia

en la entrada de la línea coaxial, .

Solución Calculamos primero el coeficiente de

reflexión en la carga :

Posteriormente, lo calculamos per ahora a

una distancia de desde la carga:

( )

Para poder hacer éste cálculo expresaremos

la longitud en términos de lambda para así

poder cancelar los términos .

( ) ( )

( ) ( )

Note que la magnitud no cambia, ya que

estamos en un caso de una línea de

transmisión sin pérdidas.

El cálculo del se realiza de la siguiente

forma:

| |

| |

Finalmente, calculamos la impedancia de

entrada al final de la línea ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

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Ejercicio 6

Enunciado El siguiente circuito con líneas de transmisión

tiene , , ,

. Calcule la potencia

promedio entregada a la carga si: (a)

; (b) .

Solución El procedimiento a seguir será primero

obtener el voltaje a la entrada de la línea de

transmisión, para así poder trabajar el

circuito como en los ejercicios anteriores. El

voltaje a una distancia de la carga se puede

obtener mediante la expresión que

corresponde al divisor de voltaje:

Para el primer caso (a) donde , la

impedancia de entrada es:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Así bien, al ejecutar el divisor de voltaje,

obtenemos el voltaje en el nodo de entrada

de la línea de transmisión

( √ )( )

( )

Ya teniendo el voltaje de entrada en la línea,

obtendremos ahora el voltaje incidente en la

carga (ya que la potencia entregada

corresponde únicamente a la parte incidente

del voltaje). Sabemos que si el voltaje a lo

largo de la línea es:

( ) ( )

Entonces podemos escribir el voltaje

incidente en función del voltaje en la

línea:

( )

( )

Para el caso descrito en el inciso (a):

( )

( )

( )

Una vez habiendo obtenido el voltaje

incidente, es posible ahora calcular la

potencia entregada a la carga:

( | | )

Para la longitud del inciso (b) se entregará la

misma potencia a la carga, ya que estamos

tratando con una línea sin pérdidas.

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Ejercicio 7

Enunciado Un radio transmisor de se conecta a

una antena a través de una línea coaxial de

. La antena puede ser representada por

un resistor de en serie con un

inductor cuando se opera a

. Si el transmisor puede entregar

cuando está conectada a una carga acoplada.

(a) ¿Cuál es el valor equivalente de la fuente

de voltaje ?; (b) ¿Cuánta potencia es

entregada a la antena a ?

Solución Para encontrar el valor equivalente de la

fuente, hagamos el supuesto entonces de

que la carga está completamente acoplada a

la línea de transmisión, es decir:

Así bien, podemos utilizar la expresión de

potencia promedio para obtener el voltaje de

entrada de la línea de transmisión y la carga

:

( | | )

√

( | | )

Dado que la línea está correctamente

acoplada, la impedancia de entrada de la

línea será también de , de modo

que para encontrar el valor de la fuente

equivalente del transmisor podemos utilizar

el divisor de voltaje conformado por la

impedancia de entrada y la impedancia de

salida de la fuente:

( )

Donde es el voltaje en el nodo de entrada

de la línea de transmisión. Así bien:

Ya conociendo el voltaje de la fuente, ahora

podemos calcular la potencia entregada a la

carga. Para facilitar los cálculos hagamos que

la longitud de la línea de transmisión tenga

un valor de (podemos hacer esta

suposición ya que la potencia entregada es

independiente de la longitud de la línea para

el caso sin pérdidas), así bien, podemos

seguir el mismo procedimiento que el

ejercicio anterior.

Primero obtengamos la impedancia de

entrada de la línea, que después utilizaremos

como parte del divisor de voltaje.

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Recordemos ahora que la tangente de

tiende a infinito, de modo que podemos

simplificar la expresión a

( ) ( )

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( ) ( )

Ahora ejecutamos el divisor de voltaje

( ( ))

( )

( )

También necesitaremos calcular el

coeficiente de reflexión en la carga :

( )

Y ahora podemos calcular el voltaje incidente

en la carga :

( )

( )

( ( ) )

( )

Por lo tanto, la potencia entregada a la carga

es:

( | | )

( )