Controladores y Filtros Digitales

Programación en Serie

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

ESCUELA DE INGENIERÍA

Jhonatan Rodriguez CI 17307775

Fraymar Sarmiento CI 17867630

Claudia Zammarrelli CI 17034432

Teoría de Control II

Intensivo

SAIA

Cabudare, Marzo 2011

Controladores y Filtros Digitales

Programación en Serie

1. Considere el filtro digital definido mediante:

G (Z )= 2+2,2Z−1+0,2Z−2

1+0,4 Z−1– 0,12Z−2

Realice el diseño del filtro digital utilizando Programación Serie

G (Z )= 2+2,2Z−1+0,2Z−2

1+0,4 Z−1– 0,12Z−2 ∙Z2

Z2

G (Z )= 2Z2+2,2Z+0,2

Z2+0,4Z−0,12

G (Z )=2(Z2+1,1Z+0,1)

(Z+0,6 )(Z−0,2)

G (Z )=2 (Z+1 )(Z+0,1)

(Z+0,6 )(Z−0,2)

G (Z )=2 (Z+1 )(Z+0,6 )

∙(Z+0,1 )(Z – 0,2 )

SeaG1 (Z )=2 :

G2 (Z )= Z+1Z+0,6

∙Z−1

Z−1=1+Z−1

1+0,6 Z−1

G3 (Z )= Z+0 ,1Z−0,2

∙Z−1

Z−1=1+0,1Z−1

1−0,2Z−1

El diagrama de bloques de G1 (Z ) es:

2

El diagrama de bloques de G2 (Z ) es:

G2 (Z )=Y 2(Z )X2(Z)

=Y 2(Z )H 2(Z)

∙H 2(Z )X 2(Z )

=(1+Z−1 ) ∙ 11+0,6 Z−1

Y 2(Z)H 2(Z )

=1+Z−1

Y 2 (Z )=H 2 (Z )(1+Z−1)

Y 2 (Z )=H 2 (Z )+Z−1H 2 (Z )

H 2(Z )X2(Z )

= 11+0,6 Z−1

(1+0,6 Z−1)H 2 (Z )=X2 (Z )

H 2 (Z )+0,6 Z−1H 2(Z)=X2 (Z )

H 2 (Z )=X2 (Z )−0,6 Z−1H 2(Z)

+ -

+

Así diagrama de bloques de G2 (Z ) es:

Para G3 (Z ) :

G3 (Z )=Y 3(Z )X3(Z )

=Y 3(Z )H 3(Z)

∙H 3(Z )X3(Z )

=(1+0,1Z−1 ) ∙ 11−0,2Z−1

Donde:

Y 3(Z)H 3(Z )

=1+0,1Z−1

Y 3 (Z )= (1+0,1Z−1 )H 3(Z )

Y 3 (Z )=H 3 (Z )+0,1Z−1(Z)

El diagrama de bloques de G3 (Z ) es:

H 3(Z )X3(Z)

= 11−0,2Z−1

(1+0,2Z−1)H 3 (Z )=X3 (Z )

H 3 (Z )−0,2Z−1H 3(Z )=X3 (Z )

0,2

0,1 + }

0,6 0,2

+2 + 0,1 +

H 3 (Z )=X3 (Z )+0,2Z−1H 3(Z )

Luego, el diagrama de bloques es:

Así, uniendo estos dos últimos diagramas de bloques nos queda:

Así, la Programación Serie de G(Z) será:

H 3(t)

+¿

−¿

2. Suponga que un filtro digital está definido mediante la expresión:

Y (Z )X (Z)

= 3+5,5Z−1−6,8 Z−3

1+1,8Z−1 –8,5 Z−2+Z−3−Z−4

Realice el diseño del filtro digital utilizando Programación Serie

Y (Z )X (Z)

= 3+5,5Z−1−6,8 Z−3

1+1,8Z−1 –8,5 Z−2+Z−3−Z−4 ∙Z4

Z4

Y (Z )X (Z)

= 3Z4+5,5 Z3−6,8ZZ4+1,8Z3−8,5 Z2+Z−1

Y (Z )X (Z)

=Z (3Z3+5,5 Z2−6,8)

Z4+1,8Z3−8,5 Z2+Z−1

Y (Z )X (Z)

=Z (Z−0,909 )(3Z2+8,23Z+7,48)

(Z+4 ) (Z−2,11)(Z2−0,09Z+0,1101)

Y (Z )X (Z)

= Z+0Z+4

∙Z−0,909Z−2,11

∙3Z2+8,23 Z+7,48Z2−0,09Z+0,1101

Sea:

G1(Z)=Z+0Z+4

∙Z−1

Z−1=1

1+4 Z−1

G1(Z)=Z−0,909Z−2,11

∙Z−1

Z−1=1−0,909Z−1

1−2,11Z−1

G1(Z)=3Z2+8,23Z+7,48Z2+0,09 Z+0,1101

∙Z−2

Z−2=3+8,23Z−1+7,48Z−2

1−0,09Z−1+0,1101Z−2

El diagrama de bloques de G1(Z):

Y 1(Z)X1(Z)

= 11+4 Z−1

Y 1(Z)H 1(Z )

∙H 1(Z)X1(Z)

=1 ∙ 11+4 Z−1

Donde

Y 1(Z)H 1(Z )

=1

Y 1(Z)=H 1(Z )

El diagrama de bloques es:

H 1(Z )X1(Z )

= 11+4Z−1

H 1 (Z )(1+4Z−1)=X 1(Z )

H 1 (Z )=X1(Z )−4Z−1H 1(Z )

El diagrama de bloques es:

De estos dos últimos diagramas de bloques se tiene:

Diagrama de bloques de G2(Z):

G2 (Z )=Y 2(Z )X2(Z)

=1−0,909 Z−1

1−2,11Z−1

Y 2(Z)H 2(Z )

∙H 2(Z)X2(Z)

=(1−0,909 Z−1) 11−2,11Z−1

De donde:

Y 2(Z)H 2(Z )

=1−0,909 Z−1

Y 2 (Z )=(1−0,909 Z−1)H 2 (Z )

Y 2 (Z )=H 2 (Z )−0,909Z−1H 2(Z )

El diagrama de bloques es:

H 2(Z )X2(Z )

= 11−2,11Z−1

H 2 (Z )(1−2,11Z−1)=X2 (Z )

H 2 (Z )=X2 (Z )+2,11Z−1H 2(Z)

Luego el diagrama de bloques es:

Uniendo estos dos últimos diagramas de bloques tenemos:

Para G3 (Z ) :

G3 (Z )= 3+8,23Z−1+7,48 Z−2

1−0,09Z−1+0,1101Z−2

G3 (Z )=Y 3(Z )X3(Z )

=Y 3(Z )H 3(Z)

∙H 3(Z )X3(Z )

Y 3(Z)H 3(Z )

∙H 3(Z)X3(Z )

=(3+8,23Z−1+7,48Z−2) ∙ 11−0,09Z−1+0,1101 Z−2

Y 3(Z)H 3(Z )

=3+8,23Z−1+7,48 Z−2

Y 3 (Z )=(3+8,23 Z−1+7,48Z−2)H 3 (Z )

Y 3 (Z )=3H3(Z )+8,23Z−1H 3(Z )+7,48Z−2H 3 (Z )

Luego el diagrama de bloques es:

H 3(Z )X3(Z)

= 11−0,09Z−1+0,1101 Z−2

H 3 (Z ) ¿

H 3 (Z )=X3(Z)+0,09Z−1H 3(Z)−0,1101Z

−2H 3(Z)

Luego el diagrama de bloques es:

Uniendo estos dos últimos diagramas de bloques nos queda:

Uniendo los diagramas de bloques de G1 (Z ) ,G2 (Z ) y G3 (Z ) en serie nos queda: