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7/25/2019 Ejercicios Resueltos de Transformada de Laplace de Ecuaciones Diferenciales a _ Orlando Cabrales - Academia
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EJERCICIOS RESUELTOS DE
TRANSFORMADA DE
LAPLACE DE ECUACIONES
DIFERENCIALES A
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Orlando Cabrales
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UniversidadNacionalExperimentaldelTchira.
DepartamentodeIngenieraElectrnica.
NcleodeInstrumentacinyControl.
Profesor:TitoGonzlez.
SanCristbal,Jueves15deOctubredel2009.
EJERCICIOSRESUELTOSDETRANSFORMADADELAPLACEDEECUACIONESDIFERENCIALES
INTRODUCCION.
Acontinuacinseobtienelasolucindetresecuacionesdiferencialespormediodelautilizacin
detransformadadirectaeinversadeLaplaceconelobjetodeestablecerlastcnicasbsicasparalaaplicacindelaherramientaenestaclasedeproblemas.
Losejerciciosseinicianhallandolasolucincompletaorespuestatotal,yposteriormentese
desarrollanlosconceptosderespuestalibre,respuestaforzada,larespuestatotalcomosumaalgebraicade
la respuesta libre y la respuesta forzada, para finalmente desarrollar el concepto de funcin de
transferencia.
Porotraparte,cadaunodelosejerciciosseacompaadesusrespectivasgrficastantoenel
dominiodelafrecuenciacomplejaScomoeneldominiodeltiempo,paramostrarelsignificadoy
valorescaractersticosdelatransformacin,enparticularlarelacinquehayentrelaposicindelospolos
yelcomportamientoentiempo.
Estosgrficos, serealizaron pormediode scripts enMatlabversin5.3, los cuales estnadisposicindelpublicoenotroapartado,aobjetodequeelinteresadoenel reaexperimenteconla
modificacindelosparmetrosqueseencuentranidentificadosparatalfinaliniciodelscript.
Cadaejercicioseencuentraidentificadoensuinicioconunnombrecdigocomo:TLEDE01,el
cualsignifica: Transformadade Laplacede Ecuaciones Diferenciales Ejercicio 01,demanerataldeno
perderelenlaceentreelejercicioresueltoylacodificacinenMatlab.
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( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ) ( ) ( ){ } ( ){ }
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )( )
d gt
dtg t sen t con g y g
Solucin
Aplicando Transformada Directa de Laplace
D g t g t sen t
D g t g t sen t
S G s Sg g G s
S
S G s G sS
G s S
S
G s SS
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
4 4 0 0 0 1
5
4 4
4 4
0 0 44
4
0 1
5 4
4
4
4 1
5
4
4
44
4
1
5
20
+ = = =
+ =
+ =
+ =
+
+ =+
+ =
+
+ =+
+ =+
:
L L
L L L
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
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( )( )
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S
S
S
S
G sS
S SG s
S
S S
Aplicando Transformada Inversa de Laplace
G sS
S S
S
S S
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
2 2
2 2 2 2
1
2 2
2 2 2 2
4
5 4
36
5 4
6
5 2 4
15
6
2 4
15
6
2 4
15
0 6
0 2 0 4
+
+=
+
+
=+
+ +
=+
+ +
=+
+ +
=
+ +
+ + + +
L L L
Ejercicio: TLEDE01
ObtengalaecuacinqueessolucindelasiguienteecuacindiferencialporelmtododelaTransformadadeLaplace,haciendousodetablasypropiedades.
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( ){ }( )[ ] ( )[ ]
( ){ }
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L L
L L L
L
=
+ ++
+ +
=
+ +
+
+ +
= + + +
1 1 1 1
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1
2
12
1 2 2
2
2
22
1 1
1
1 1
2
2
2 2
0 2 0 4
1 2
G sM
S
M
S
G sM
S
M
S
G sM
sen tM
sen te et t forma de la
respuesta
( ) ( )[ ]{ } ( )
( )
( ) ( )[ ]{ } ( )
( )
( ){ } ( )
Hallando los coeficientes
M G s SS
SM
M G s S
S
S M
sustituyendo en la forma de la respuesta
G s g t sen
S j S j
S j S j
te
1 1 1
2
1
2
1 1
2
20 2
1 1
2 2 2
2
2
2
2
2
20 4
2 2
1 0
15
36
16
8
15 05333 0
15
36
4
1
3 03333
05333
2
2
= + + =+
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= + + =
+
+ = = =
= =
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= + = +
.
.
.L ( )
( )( )
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2 003333
4 4
02667 2 0 0834 4
0
1
t sen t
G s g t sen t sen t
e t+ +
+
= = + +
.
. .
L
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