ek-11 sonuç raporu - ankara Üniversitesiacikarsiv.ankara.edu.tr/browse/31171/proje raporu.pdf ·...

EK-11 Sonuç Raporu

ANKARA ÜNİVERSİTESİ

BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJELERİ

KOORDİNASYON BİRİMİ KOORDİNATÖRLÜĞÜNE

Proje Türü : Lisansüstü Tez Projesi (Doktora )

Proje No : 15L0430010

Proje Yöneticisi : Prof. Dr. Ertan İBİKLİ

Proje Başlığı : Üç Parametreye Bağlı İki Katlı Radyal Çekirdekli Singüler İntegrallerin Sınırsız Bölgede

Yakınsaklığı

Yukarıda bilgileri yazılı olan projemin sonuç raporunun e-kütüphanede yayınlanmasını;

İSTİYORUM

İSTEMİYORUM GEREKÇESİ:

04.01.2017

Proje Yöneticisi

İmza

EK-11 Sonuç Raporu

ANKARA ÜNİVERSİTESİ

BİLİMSEL ARAŞTIRMA PROJESİ

SONUÇ RAPORU

Üç Parametreye Bağlı İki Katlı Radyal Çekirdekli Singüler İntegrallerin Sınırsız Bölgede Yakınsaklığı

Prof. Dr. Ertan İBİKLİ

Gümrah UYSAL

Proje Numarası: 15L0430010

Başlama Tarihi: 28.07.2015

Bitiş Tarihi: 28.07.2016

Rapor Tarihi: 13.10.2016

Ankara Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri

Ankara - "2016"

EK-11 Sonuç Raporu

I. Projenin Türkçe ve İngilizce Adı ve Özetleri

ÜÇ PARAMETREYE BAĞLI İKİ KATLI RADYAL ÇEKİRDEKLİ SİNGÜLER

İNTEGRALLERİN SINIRSIZ BÖLGEDE YAKINSAKLIĞI

Bu proje üç bölümden oluşmaktadır. Projenin ilk bölümünde radyal çekirdekli singüler integral

operatörlerin, yakınsaklığı araştırılacak olan fonksiyonun sadece Lebesgue anlamında ölçülebilme

durumda, belirli şartları ihtiva eden bir ağırlık fonksiyonu yardımıyla hangi koşullar altında

fonksiyona karakteristik noktalarında yakınsadığı araştırılacaktır. Bulunan sonuçlar, belirlenen yurt

dışı veya yurt içi uluslararası sempozyumda sunulacak olup akabinde uygun bir bilimsel dergiye

gönderilecektir. Ayrıca bu sonuçlar 2015 yılının temmuz ayında tez izleme komitesine sunulacaktır.

Projenin ikinci bölümünde singüler integral operatörün karakteristik noktalarında fonksiyona

yakınsaklık hızı araştırılacaktır. Bulunan sonuçlar uygun bir bilimsel dergiye gönderilecektir.

Projenin üçüncü ve son bölümü ise bulunan sonuçların elektronik ve yazılı ortamlarda derlenmesine

ayrılmıştır. Tez yazıldıktan sonra savunması yapılacaktır.

THE CONVERGENCE OF DOUBLE SINGULAR INTEGRALS DEPENDING ON THREE

PARAMETERS WITH A RADIAL KERNEL IN UNBOUNDED REGION

This project consists of three parts. In the first part of this project, under what conditions the singular

integral operators depending on three parameters converge to a measurable function at its

characteristic points will be investigated. The obtained results will be sent to an appropriate journal

after presenting in some international or national symposium. In addition, these results will be

presented in the the thesis committee gathering in July of 2015. In the second part of the project, the

rate of weighted pointwise convergence will be computed. Found results will be submitted to an

appropriate scientific journal. The final part of the project is dedicated to compiling the electronic

and written data. The thesis will be defended after writing process is completed.

EK-11 Sonuç Raporu

II. Amaç ve Kapsam

Karl Weierstrass 1885 yılında iki önemli teorem ispatlamıştır. Bu teoremlerden ilkinde kapalı ve

sınırlı bir aralık üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyonun polinomlar dizisinin limiti olarak

gösterilebileceğini ispatlamıştır. Diğer teoremde ise 2π periyotlu sürekli bir fonksiyonun

trigonometrik polinom dizisinin limiti olarak gösterilebileceğini ispatlamıştır. Bu iki teorem daha

sonra ortaya çıkan yaklaşımlar teorisinin temelini oluşturmuştur. Başlangıçta, sürekli fonksiyonlar

ele alındığından dolayı bu tip fonksiyonlara toplam biçiminde polinomlarla yaklaşmanının uygun

olduğu görülmüştür.

Yaklaşım problemi, Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar sınıfında ele alındığında, bu sınıftan

alınan bir fonksiyona yakınsayan ve iyi özellikleri olan fonksiyonların oluşturduğu aileleri, integral

ailesi olarak almanın uygun olduğu görülmüştür.

İntegrallenebilen fonksiyonlar sınıfı üzerinde lineer bir integral operatör

( ; ) ( ) ( , ) , (1)D

L f x f t K t x dt x D

biçiminde verilebilir.

(1) denkleminde, indis kümesi olmak üzere iken ( , , ) ( , ) K t x H t x seçilmesi ile

( ; ) ( ) ( , ) , (2)D

L f x f t H t x dt x D

biçiminde konvolüsyon tipli integral operatör ailesi elde edilir.

Taberski (1964), Lebesgue integrallenebilen fonksiyonların sınıfı üzerindeki yaklaşım problemini

( ; , ) ( , ) ( , ; ) , , , ; , (3)L f x y f t s K t x s y dsdt x y

şeklinde üç parametreye bağlı iki katlı singüler integral operatör ailesi yardımı ile vermiştir. Bu

çalışmadan sonra Siudut (1988), Taberski (1964)’de göz önüne alınan (3) tipindeki integral

operatör ailesi için yakınsaklık teoremlerini periyodik olmayan durumda incelemiştir. Ayrıca Siudut

(1989) yine Taberski (1964)’de göz önüne alınan (3) tipindeki integral operatör ailesi için çeşitli

teoremler ispatlamıştır.

EK-11 Sonuç Raporu

Bu proje çalışmasında,

(3) tipinde verilen özel olarak radyal çekirdekli singüler integral operatör ailesinin iki boyutlu Öklid

uzayında Lebesgue anlamında ölçülebilen fonksiyon sınıfından olan bir fonksiyona, bu fonksiyonun

süreklilik noktası, Lebesgue noktası ve genelleştirilmiş Lebesgue noktası gibi karakteristik

noktalarındaki yakınsaklığı araştırılacaktır.

Burada ifade edilen ölçülebilen fonksiyon kavramı ağırlıklı yaklaşıma gönderme yapar. Öyle ki

yakınsaklığın elde edilmesi anlamında önceki çalışmalardan faydalanılarak uygun bir yöntem

geliştirilecektir. Bir çok çekirdek üzerinde gerekli hesaplamalar yapıldıktan sonra yöntemin lineer

ve lineer olmayan farklı operatörlerde de uygulanabilirliği araştırılacaktır.

Bu tip bir çalışma daha önce yapılmadığı için projenin orijinal kısmını oluşturacaktır.

EK-11 Sonuç Raporu

III. Materyal ve Yöntem

Yaklaşımlar teorisinde, integral tipindeki operatörleri ilk kullanan matematikçiler Fatou (1906),

Lebesgue (1909) ve Fejer (1911) olarak verilebilir. Bu matematikçiler D kümesini, I indis kümesini ve

çekirdek fonksiyonunu özel olarak seçerek integral operatörleri birer integral olarak göz önüne alıp hem

integrallerin özelliklerini incelemişler hem de bazı yaklaşım problemlerinin çözümleri için yeter

koşulları elde etmişlerdir. Sonra, Faddeev (1936), Butzer (1960), Mamedov (1963, 1967), Sikkema

(1983) ve Bardaro (1984) ile devam eden süreçte çekirdek fonksiyonunun bazı şartları sağlayan bir dizi

olarak ele alınması ile teorinin uygulama alanı genişlemiştir. Taberski (1962a), integrallenebilen

fonksiyonlar sınıfındaki yaklaşım problemini iki parametreye bağlı aileye genişlettikten sonra Gadjiev

(1963, 1968) ve Rydzewska (1973) iki parametreye bağlı singüler integraller konusunda çalışılmış ve

integral operatör aileleri ile Lebesgue anlamında integrallenebilen fonksiyonlara ve türevlerine özel

noktalarda yaklaşımla ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Gadjiev (1968)’de yaklaşımın hızıyla ilgili de

sonuçlar mevcuttur. Taberski (1962b, 1964) integrallenebilen fonksiyonlar sınıfı üzerindeki yaklaşım

problemini üç parametreye bağlı iki katlı bir singüler integral operatör ailesi yardımıyla vermiştir.

Ayrıca, Siudut (1988, 1989), Taberski (1964)’de göz önüne alınan tipteki integral operatör ailesi için

çeşitli teoremler ispatlamıştır. Bu çalışmadan sonra Siudut (1989), Taberski (1964)’de göz önüne alınan

integral operatör ailesi için çeşitli teoremler ispatlamıştır. Bu takdirde Kaynaklar bölümündeki yayınlar

projenin ana materyallerini oluşturmaktadır.

Ayrıca, proje sonucunun bu kısmının daha detaylı bilgileri için "Sonuç raporunda proje sonuçlarını

içeren, ISI’ nın SCI veya SSCI veya AHCI dizinleri kapsamında ve diğer uluslararası dizinlerce taranan

hakemli dergilerde yayınlanmış makaleler, III. Materyal ve Yöntem ve IV. Analiz ve Bulgular bölümleri

yerine kabul edilir" ibaresinden dolayı aşağıdaki yayınlar ve erişim linkleri verilmiştir:

1. Uysal, G. ve Ibikli E., Results on convergence of three-parameter family of singular integral

operators with radial kernels, (presented in ICANAS 2016, Antalya, Turkey, 21-23 April 2016)

AIP Conf. Proc. 1726, 020052 (2016); http://dx.doi.org/10.1063/1.4945878

Erişim Adresi: http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4945878 Bu çalışma için yardımcı araştırmacı Gümrah UYSAL’ın konferansa katılımı Tübitak tarafından

2224-B Yurt İçi Bilimsel Etkinliklere Katılım Desteği 2016\Nisan ile desteklenmiştir. Bu

çalışma Scopus ve Web of Science indekslerince taranmıştır. Bu çalışmanın konferans özeti

eklerde mevcuttur ancak açık erişim değildir. Bu durum yayının elektronik adresinden de

görülebilmektedir.

2. Uysal, G. ve Ibikli E., Convergence of double singular integrals in weighted Lp spaces, New

Trends Math. Sci., 4 (3), 2016, 151-161.

Erişim Adresi: http://dx.doi.org/10.20852/ntmsci.2016318839

Bu çalışma MathSciNet indeksinde taranmıştır. Ayrıca açık erişimdir.

3. Uysal, G. ve Ibikli E., Weighted approximation by double singular integral operators with

radially defined kernels, Math. Sci. (Springer), 10 (4), 2016, 149-157. Erişim Adresi: http://link.springer.com/article/10.1007/s40096-016-0189-6/fulltext.html

Bu çalışmanın yayınlandığı dergi E-SCI ve MathSciNet indekslerince taranmaktadır.

http://dx.doi.org/10.1063/1.4945878

http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4945878

http://dx.doi.org/10.20852/ntmsci.2016318839

http://link.springer.com/article/10.1007/s40096-016-0189-6


http://link.springer.com/article/10.1007/s40096-016-0189-6/fulltext.html

EK-11 Sonuç Raporu

IV. Analiz ve Bulgular

Proje sonucunun bu kısmının daha detaylı bilgileri için "Sonuç raporunda proje sonuçlarını

içeren, ISI’ nın SCI veya SSCI veya AHCI dizinleri kapsamında ve diğer uluslararası dizinlerce

taranan hakemli dergilerde yayınlanmış makaleler, III. Materyal ve Yöntem ve IV. Analiz ve

Bulgular bölümleri yerine kabul edilir" ibaresinden dolayı aşağıdaki yayınlar ve erişim linkleri

verilmiştir:


operators with radial kernels, (presented in ICANAS 2016, Antalya, Turkey, 21-23 April 2016)

AIP Conf. Proc. 1726, 020052 (2016); http://dx.doi.org/10.1063/1.4945878

Erişim Adresi: http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4945878

Bu çalışma için Gümrah Uysal’ın konferansa katılımı Tübitak tarafından 2224-B Yurt İçi

Bilimsel Etkinliklere Katılım Desteği 2016\Nisan ile desteklenmiştir. Bu çalışma Scopus ve

Web of Science indekslerince taranmıştır. Bu çalışmanın özeti eklerde mevcuttur ancak açık

erişim değildir. Bu durum yayının elektronik adresinden de görülebilmektedir.


Trends Math. Sci., 4 (3), 2016, 151-161.




radially defined kernels, Math. Sci. (Springer), 10 (4), 2016, 149-157. Erişim Adresi: http://link.springer.com/article/10.1007/s40096-016-0189-6/fulltext.html Bu çalışmanın yayınlandığı dergi E-SCI ve MathSciNet indekslerince taranmaktadır.

http://dx.doi.org/10.1063/1.4945878






EK-11 Sonuç Raporu

V. Sonuç ve Öneriler

Matematik, fizik, matematiksel fizik ve bilgisayar biliminde önemli uygulama alanlarına

sahip olan yaklaşımlar teorisi geçen yüzyılın sonlarında (Weierstrass, 1885) fonksiyonlara

polinomlar yardımıyla yaklaşım çalışmaları ile başlamıştır. 1953 yılında Korovkin lineer

pozitif operatörler dizisi yardımıyla sürekli bir f fonksiyonuna yaklaşım yapılabileceğini

göstermesi yaklaşımlar teorisinde önemli bir literatürün ortaya çıkmasını sağlamıştır. Ayrıca,

ağırlıklı anlamda Lebesgue integrallenebilen fonksiyonlara singüler integrallerle yaklaşımda

ön plana çıkan çalışmalar Alexits (1960), Mamedov (1963) ve Taberski (1976) tarafından

verilmiştir. Bu çalışmalardan Taberski (1976), Alexits (1960)’ın iki katlı bir genellemesi

niteliğindedir. Mamedov (1963) ise tek katlı bir singüler integral ailesinin ağırlıklandırılmış

yaklaşımına çalışmasında bu çalışmalardan farklı bir bakış açısıyla yaklaşmıştır. Bu

çalışmada Mamedov, Inozemtsev (1953) tarafından kullanılan ağırlık fonksiyonundan

yararlanmıştır. Bu fonksiyonun özel bir supremum fonksiyonunda alt-çarpımsallık ön

plandadır. Fonksiyonlarda alt-çarpımsallık özelliğinin kullanıldığı bazı çalışmalar Beurling

(1938) ve Gripenberg vd. (1998) tarafından verilmiştir. Bu projede bu çalışmaların

bazılarından değişik şekillerde yararlanarak ve üzerinde çalışılan ağırlık fonksiyonunun

üzerindeki farklı kabuller ile üretilmiş bir yöntemle ağırlıklı yaklaşım çalışması yapılmıştır.

Ayrıca, ikinci bir metod olarak Esen (2002) tarafından verilen yaklaşım metodunun iki katlı

bir genellemesi ile çeşitli yaklaşım sonuçları elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar Wolfram

Mathematica 7 programı yardımıyla çizilen grafiklerle desteklenmiştir. Bu çalışmadan çıkan

sonuçlar uluslararası indekslerce taranan dergilerde yayınlanmıştır.

EK-11 Sonuç Raporu

VI. Geleceğe İlişkin Öngörülen Katkılar

Son yıllarda singüler integraller konusu ile ilgili yapılan çalışmalar lineer ve lineer olmayan

operatörlerle yaklaşımın ne kadar önemli olduğunu gösterir niteliktedir. Singüler integral

operatörler matematik, fizik, mühendislik ve tıp gibi alanlarda geniş uygulama alanına sahiptir.

Ayrıca, iki katlı konvolüsyon tipli singüler integral operatörler Fourier analiziyle dolayısıyla da

tıpta çok kullanılan manyetik rezonans görüntüleme (MRI) cihazlarının çalışma prensibi ile

yakından ilgilidir. Bu nedenle tanımlanacak yeni operatör dizileri ve aileleri yardımıyla elde

edilen yaklaşım sonuçlarının uygulama alanlarında da önemli bazı gelişmeler ortaya çıkaracağı

beklenmektedir. Ayrıca, bu çalışmada üretilen ağırlıklı yaklaşım yönteminin lineer olmayan

operatörlere uygulanabileceği yapılan hesaplamalar sonucu öngörülmektedir.

EK-11 Sonuç Raporu

VII. Kaynaklar

Alexits, G. 1960. Konvergenzprobleme der Orthogonalreihen. Verlag der Ungarischen

Akademie der Wissenschaften, 307 p., Budapest.

Bardaro, C. 1984. On approximation properties for some classes of linear operators of

convolution type. Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 33; 329-356.

Beurling, A. 1938. Sur les integrales de Fourier absolument convergentes et leur application

μa une transformation fonctionnelle, Ninth Scandinavian Mathematical Congress; 345-366.

Bochner, S. and Chandrasekharan, K. 1949. Fourier Transforms. Vol. 19, Annals of

Mathematics Studies. Princeton University Press, 219 p., Princeton.

Butzer, P.L. 1960. Representation and approximation of functions by general singular

integrals I-alpha and I-beta, Indag. Math., 22; 1-24.

Butzer, P.L. and Nessel, R.J. 1971. Fourier Analysis and Approximation. Vol. 1, Academic

Press, 553 p., New York, London.

Clarkson, J.A. 1933. On double Riemann-Stieltjes integrals. Bull. Amer. Math. Soc., 39 (12);

929-936.

Clarkson, J.A. and Adams, C. R. 1933. On definitions of bounded variation for functions of

two variables. Trans. Amer. Math. Soc., 35 (4); 824-854.

Dirac, P.A.M. 1958. The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.). Oxford Univ. Press,

314 p., London.

Esen, S. 2002. Konvolüsyon tipinde olmayan integral operatörler ailesinin karakteristik

noktalarda yakınsaklığı ve yakınsaklık hızı. Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri

Enstitüsü, Ankara, Türkiye.

Faddeev, D.K. 1936. On the representation of summable functions by means of singular

integrals at Lebesgue points. Mat. Sbornik, 1 (43), no. 3. 351-368.

Fatou, P. 1906. Séries trigonométriques et séries de Taylor. Acta Math., 30 (1); 335-400.

Fejer, L. 1911. Sur les singularités de la série de Fourier des fonctions continues. Annales

Scientifiques de l’École Normale Supérieure, 28; 63-104.

Fichtenholz, G.M. 1918. Theory of depending on parameter primary definite integrals (in

Russian). Ph. D. Thesis, St. Petersburg State Univ., Research Institute of Mathematics and

Mechanics, St. Petersburg.

Fréchet, M.R. 1910. Extension au cas des intégrals multiples d’une définition de l’intégrale

due à Stieltjes. Nouvelles Annales de Mathématiques, 10 (4); 241-256.

Gadjiev, A.D. 1963. On the speed of convergence of a class of singular integrals (in

Russian). Izv. Akad. Nauk Azerbaidzan. SSR Ser. Fiz.-Mat. Tehn. Nauk, no. 6; 27-31.

Gadjiev, A.D. 1968. The order of convergence of singular integrals which depend on two

parameters. In: Special Problems of Functional Analysis and Their Applications to the

Theory of Differential Equations and the Theory of Functions. Izdat. Akad. Nauk

Azerbaidzan. SSR., 40-44, Bakü.

Gahariya, K.K. 1951. The representation of a function of two variables at Lebesgue points by

singular double integrals. Soobsceniya Akad. Nauk Gruzin SSR. (in Russian), 12; 257-264.

Ghorpade, S.R. and Limaye, B.V. 2010. A Course in Multivariable Calculus and Analysis.

Springer, 475 p., New York.

EK-11 Sonuç Raporu

Gripenberg, G., Londen, S.O and Staffans, O. 1990. Volterra integral and functional

equations, Encyclopedia of Mathematics and its Applications. no. 34, Cambridge University

Press, Cambridge.

Havin, V.P. and Nikolski, N.K. 1998. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 25:

Commutative Harmonic Analysis II: Group Methods in Commutative Harmonic Analysis (1

ed.). Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Hobson, E.W. 1921. The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier

Series. Vol. 1, Cambridge University Press, 671 p., England.

Inozemtsev, O.I. 1953. The theory of best approximation of functions of several variables

using the entire functions of Önite degree. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 91, no.1; 15-18.

Jawarneh, Y. and Noorani, M.S.M. 2011. Inequalities of Ostrowski and Simpson type for

mappings of two variables with bounded variation and applications. Transylv. J. Math.

Mech., 3 (2): 81-94.

Labsker, L.G. and Gadjiev, A.D. 1962. On some classes of double singular integrals (in

Russian). Izv. Akad. Nauk Azerbaidzan. SSR Ser. Fiz.-Mat. Tehn. Nauk, no. 4; 37-54.

Lebesgue, H. 1904. Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives.

Gauthier Villars, 138 p., Paris.

Lebesgue, H. 1909. Sur les intégrales singulières. Annales de la faculté des sciences de

Toulouse Sér. 3, 1; 25-117.

Lebesgue, H. 1910. Sur l’intégration des fonctions discontinues. Annales Scientifique de

l’École Normale Supérieure, 27; 361-450.

Lenze, B. 1989. On multidimensional Lebesgue-Stieltjes convolution operators. In:

Multivariate approximation theory, IV (Oberwolfach, 1989), Internat. Ser. Numer. Math., 90,

Birkhäuser, 225-232, Basel.

Lu, S. 1966. Double singular integrals and linear summation of Fourier series. Acta Math.

Sinica 16; 314-327 (in Chinese); translated as Chinese Math. Acta, 8; 334-347.

Mamedov, R.G. 1955. Weighted approximation in the space Lp (in Russian). Trudy

Azerbaidzan. Gos. Ped. Inst. Lenin., 2; 154-158.

Mamedov, R.G. 1963. On the order of convergence of m-singular integrals at generalized

Lebesgue points and in the space Lp(-∞;,∞) (in Russian). Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat.,

27 (2); 287-304.

Mamedov, R.G. 1965. A generalization of an inequality of I. P. Natanson and the order of

convergence of singular integrals (in Russian). Azerbaidzan. Gos. Univ. Uscen. Zap. Ser.

Fiz.-Mat. Nauk, no. 5; 24-33.

Mamedov, R.G. 1965. A study of orders of convergence of one-dimensional and

multidimensional singular integrals. In: Studies in Theory of Differential Equations and

Theory of Functions (in Russian). Izdat. Akad. Nauk Azerbaidzan. SSR, 92-108, Bakü.

Mamedov, R.G. 1967. Fonksiyonların Lineer Operatörlerle Yaklaşması. Azerbaycan Devlet

Neşriyatı, 216 s., Bakü.

Murray, J.D. 1984. Asymptotic Analysis (2nd ed.). Applied Mathematical Sciences 48.

Springer-Verlag, 164 p., New York.

Natanson, I.P. 1940. Sur un procédé de sommation des intégrales de Fourier. Rec. Math.

[Mat. Sbornik] N. S., 7 (49); 313-320.

Natanson, I.P. 1960. Theory of Functions of a Real Variable. Vol. 2. Translated from the

Russian by Leo F. Boron. Frederick Ungar Pub. Co., 265 p., New York.

EK-11 Sonuç Raporu

Neri, U. 1971. Singular Integrals. Notes for a course given at the Univ. of Maryland, College

ParkMd., 1967. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 200. Springer-Verlag, 272 p., Berlin,

New York.

Nessel, R.J. 1966. Contributions to the theory of saturation for singular integrals in several

variables, III, radial kernels. Indag. Math., 29. Ser. A., 65-73.

Romanovski, P.I. 1932. Quelques considérations sur la théorie des intégrales singulières.

Math. Zeitschrift, 34; 35-49.

Rydzewska, B. 1973. Approximation des fonctions par des intégrales singulières ordinaires.

Fasc. Math., 7; 71-81.

Rydzewska, B. 1974. Approximation des fonctions de deux variables par des intégrales

singulières doubles. Fasc. Math., 8; 35-45.

Sikkema, P.C. 1983. Approximation with convolution operators depending on two

parameters. In: Approximation Theory, IV (College St., Tex.). Academic Press, 679-684,

New York.

Siudut, S. 1988. On the convergence of double singular integrals. Comment. Math., 28; 143-

146.

Siudut, S. 1989. A theorem of Romanovski type for double singular integrals. Comment.

Math., 28; 355-359.

Siudut, S. 1990. Generalizations of Natanson’s lemma. Comment. Math. Prace Mat., 29 (2);

277-286.

Siudut, S. 1994. Some remarks on double singular integrals. Comment. Math. Prace Mat.,

34; 173-181.

Stein, E.M. 1970. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton

University Press, 287 p., New Jersey.

Stein, E.M. and Weiss, G. 1971. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces.

Princeton University Press, 334 p., New Jersey.

Taberski, R. 1962a. Singular integrals depending on two parameters. Prace Math., 7; 173-

179.

Taberski, R. 1962b. Some theorems on double integrals over rectangles. Ann. Polon.Math.,

11; 209-216.

Taberski, R. 1964. On double integrals and Fourier series. Ann. Polon. Math., 15; 97-115.

Taberski, R. 1976. On double singular integrals. Comment. Math. Prace Mat., 19 (1); 155-

160.

Tandori, K. 1954. Über die konvergenz singularer integrale. Acta Sci. Math., 15; 223-230.

Weierstrass, K. 1885. Über die analytische Darstellbarkeit sogenonnter willkrlicher

Functionen einer reellen vernderlichen. Sitzungsberichte der Kniglich Previschen Akademie

der Wissenschaften zu Berlin, 633-639 and 789-805.

Yılmaz, M.M. 2011. Üç parametreye bağlı iki katlı singüler integrallerin yakınsaklığı,

Doktora Tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 78 s., Ankara.

Zygmund, A. 1959. Trigonometric Series, I. Cambridge University Press, 747 p., London.

EK-11 Sonuç Raporu

VIII. Ekler

a. Mali Bilanço ve Açıklamaları

b. Makine ve Teçhizatın Konumu ve İlerideki Kullanımına Dair Açıklamalar

1. Dizüstü Bilgisayar: Yeni araştırmalar ve bu araştırmaların düzenlenip elektronik

ortama aktarılmasında kullanılacaktır.

2. Notebook: Yeni araştırmalar ve bu araştırmaların düzenlenip elektronik ortama

aktarılmasında kullanılacaktır.

c. Sunumlar (bildiriler ve teknik raporlar)


operators with radial kernels, (presented in ICANAS 2016, Antalya, Turkey, 21-23 April

2016) AIP Conf. Proc. 1726, 020052 (2016); http://dx.doi.org/10.1063/1.4945878

Erişim Adresi: http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4945878

Bu çalışma için Gümrah Uysal’ın konferansa katılımı Tübitak tarafından 2224-B Yurt İçi

Bilimsel Etkinliklere Katılım Desteği 2016\Nisan ile desteklenmiştir. Bu çalışma Scopus ve

Web of Science indekslerince taranmıştır. Bu çalışma konferans kitabındaki özet haliyle

eklerde mevcuttur ancak açık erişim değildir. Bu durum yayının elektronik adresinden de

görülebilmektedir.

d. Yayınlar (hakemli bilimsel dergiler)


Trends Math. Sci., 4 (3), 2016, 151-161.




radially defined kernels, Math. Sci. (Springer), 10 (4), 2016, 149-157. Bu çalışmanın yayınlandığı dergi E-SCI ve MathSciNet indekslerince taranmaktadır.

Erişim Adresi: http://link.springer.com/article/10.1007/s40096-016-0189-6/fulltext.html

http://dx.doi.org/10.1063/1.4945878






NTMSCI 4, No. 3, 151-161 (2016) 151New Trends in Mathematical Sciences


Convergence of double singular integrals in weighted LpspacesGumrah Uysal1 and Ertan Ibikli21Department of Mathematics, Karabuk University, Karabuk,Turkey2Department of Mathematics, Ankara University, Ankara, TurkeyReceived: 23 January 2016, Accepted: 9 March 2016Published online: 22 June 2016.

Abstract: The paper is devoted to the study of pointwise approximation of functions f Lp D by double singular integral operatorswith radial kernels at p generalized Lebesgue points. Here, 0 is a weight function satisfying some sharp conditions and Lp Dis the collection of all measurable and non-integrable functions for which f p is integrable on D where D a b;c d is an arbitrarybounded open, semi open or closed region or D 2

Keywords: p generalized Lebesgue point, double singular integral, radial kernel, weighted pointwise approximation.

1 IntroductionIn Taberski’s famous paper [18], the pointwise approximation of 2 periodic Lebesgue integrable functions wasinvestigated by the convolution type, linear singular integral operators of the form:

L f ;x f t K t x dt x 0 (1)

where K t is the kernel fulfilling appropriate conditions.The papers [6] and [16], which are based on Taberski’s study [18], are devoted to the study of pointwise convergence ofthe operators of type (1) on some planar sets consist of characteristic points x0 y0 of various types. Besides, Bardaro[2] presented significant results about the rate of pointwise convergence of some classes of the linear singular integraloperators. Distinctively, Esen [4,5] obtained some approximation results concerning the pointwise convergence and therate of pointwise convergence of non-convolution type linear singular integral operators at p Lebesgue points.Moreover, Karsli and Ibikli [8] extended the results in the articles [18], [6] and [16] by considering the more generalintegral operators of the form:

T f ;xb

af t K t x dt x a b 0 (2)

where f L1 a b and a b denotes an arbitrary interval in such as a b a b a b or a b For some studiesconcerning approximation of functions by linear positive operators in several settings, the reader may see also e.g.Corresponding author e-mail: [email protected] c 2016 BISKA Bilisim Technology

152 G. Uysal and E. Ibikli: Convergence of double singular integrals in weighted Lp spaces

[9]-[14].In [19], Taberski studied the pointwise approximation of functions f L1 Q by the three parameter family ofconvolution type double singular integral operators of the form:

V f ;x yQ

f t s K t x s y dsdt x y Q (3)

where 0 and Q denotes a given rectangle.In [22], Yilmaz et al. investigated the pointwise convergence of double singular integral operators with radial kernels inthe following setting:

L f ;x yD

f t s H t x s y dsdt x y D (4)

where D a b;c d is an arbitrary bounded closed, semi-closed or open region or D 2 and f Lp D provided1 p Besides, the region D was particularly chosen as ; in this article.It was natural to consider pointwise approximation in weighted Lebesgue spaces, as well as Lebesgue spaces. Therefore,Alexits [1], Mamedov [11] and Esen [4] presented necessary conditions satisfied by kernel functions in order to obtain adesired convergence, separately. Also, Taberski [20] studied the weighted pointwise convergence of double singularintegral operators of type (3) using two dimensional counterparts of the conditions obtained by Alexits [1]. Later on,some weighted pointwise approximation results for the operator of type (4) were obtained in [21] using two dimensionalcounterpart of the approximation method presented by Esen [4].This paper may be seen as a continuation and further generalization of [21]. In this paper, our main concern is to provethat the operators of type (4) converge to the function f Lp D at p generalized Lebesgue point of it as x ytends to x0 y0 0 . Here, 0 is a weight function satisfying some sharp conditions and Lp D is the collection ofall measurable and non-integrable functions for which f p is integrable on D (1 p ) where D a b;c d isopen, semi open or closed bounded region or D 2

The paper is organized as follows: In Section 2, we give some preliminary concepts. In Section 3, the existence of theoperators of type (4) is explored. In Section 4, main results are presented. In Section 5, the rate of pointwise convergenceof the operators of type (4) is established.

2 PreliminariesDefinition 1. A function H L1 2 is said to be radial, if there exists a function K : 0 such that H t sK t2 s2 a.e. [3].Definition 2. Class A Let H : 2 be a radial function i.e., there exists a function K : 0 suchthat the following equality holds for t s 2 a.e.: H t s : K t2 s2 where is a given set of non-negativenumbers with accumulation point 0 In addition, let t s sup

x y Dt x s y

x y for every t s D and : 2

H t s belongs to class A , if the following conditions are satisfied:(a) H t s K t2 s2 is non-negative and integrable as a function of t s on 2 for each fixed(b) For fixed x0 y0 D K x20 y20 tends to infinity as tends to 0

c 2016 BISKA Bilisim Technology

NTMSCI 4, No. 3, 151-161 (2016) / www.ntmsci.com 153

(c) lim 0 2 K t2 s2 dsdt 1 0(d) lim 0 sup t2 s2 K t2 s2 0 0(e) lim 0 t2 s2 K t2 s2 dsdt 0 0(f) K 2 2

L1 2M

(g) K t x 2 s y 2 is non-increasing as a function of t on x0 b and non-decreasing on a x0 . Similarly,K t x 2 s y 2 is non-increasing as a function of s on y0 d and non-decreasing on c y0 for each fixed

and for fixed x0 y0 D As a function of t s K t x 2 s y 2 is bimonotonically increasing onx0 b;y0 d and a x0;c y0 . Similarly, K t x 2 s y 2 is bimonotonically decreasing on a x0;y0 d andx0 b;c y0

Throughout this paper we suppose that the kernel function H t s belongs to class ARemark. For more information about the concept of bimonotonicity, the reader may see also e.g. [7].

3 Existence of the operatorsMain results in this work are based on the following theorem.Theorem 1. Let 1 p If f Lp D then L f ;x y defines a continuous transformation acting on Lp DProof. Let D a b;c d is an arbitrary bounded closed, semi-closed or open region and 1 p By the linearity ofthe operator L f ;x y it is sufficient to show that the following expression:

L supf 0

L f ;x y Lp Df Lp D

remains uniformly bounded.We define a function such that

g t s f t s t s D0 t s 2 D (5)

The expression D f x yx y

p dydx1p defines the norm in the space Lp D ; see, for example, [20]. The following

equality is obtained for the norm of the operator of type (4) i.e.:L f ;x y Lp D L g;x y Lp D

D1x y p

2g t s K t x 2 s y 2 dsdt

pdydx

1p

By using the generalized Minkowski inequality (see, e.g., [17]) and condition f of class A we obtainL f ;x y Lp D M f Lp D

Note that the proof of the case p 1 is quite similar to the above one. In addition, one may prove the assertion for thecase D 2 analogous to the above proof. Thus the proof is completed.



4 Pointwise convergence

Theorem 2. Suppose that D a b;c d is an arbitrary bounded closed, semi-closed or open region. If x0 y0 D is acommon p generalized Lebesgue point of the functions f Lp D and Lp D , then

limx y x0 y0 0L f ;x y f x0 y0

under the conditionsK t x 2 s y 2

tt st 0 for each fixed x y D (6)

K t x 2 s y 2

st ss 0 for each fixed x y D (7)

and2K t x 2 s y 2

t s2 t st s 0 for each fixed x y D (8)

providing that first and second order (mixed) partial derivatives of K t x 2 s y 2 and t s w.r.t. t s exista.e. on 2, on any set Z on which the function

x0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d x0 t 1 s y0 1

where d x0 t 1 s y0 1 is the Lebesgue-Stieltjes measure with respect to x0 t 1 s y0 1 isbounded as x y tends to x0 y0 0

Proof. Let x0 y0 D be a common p generalized Lebesgue point of the functions f Lp D and Lp D Letx x0 2 and y y0 2 for a given 0 The proof will be given for the case 0 x0 x 2 and 0 y0 y 2for all 0 satisfying x0 b, x0 a, y0 d and y0 c For the remaining cases, the proof follows asimilar line. Also, for the simplicity, the proof will be stated for the case 1 p The proof of the case p 1 may begiven using similar strategy.According to the definition of p generalized Lebesgue point given in [22], for all given 0, there exists a 0 suchthat for all h k satisfying 0 h k the inequality

x0

x0

y0

y0

f t st s

f x0 y0x0 y0

pdsdt p hk 1 (9)

holds.



Set I x y : L f ;x y f x0 y0 . We may easily write

I x yD

f t s H t x s y dsdt f x0 y0D

f t s K t x 2 s y 2 dsdt f x0 y0

Df t st s

f x0 y0x0 y0 t s K t x 2 s y 2 dsdt

f x0 y0x0 y0 D

t s K t x 2 s y 2 dsdt x0 y0

Since wheneverm n being positive numbers the inequality m n p 2p mp np holds (see, e.g., [15]), we have

I x y p 2pD B B

f t st s

f x0 y0x0 y0 t s K t x 2 s y 2 dsdt

p

2p f x0 y0x0 y0

p

Dt s K t x 2 s y 2 dsdt x0 y0

p

I1 I2where B : t s : t x0 2 s y0 2 2 x0 y0 D .From Theorem 4.1 in [22], we see that I2 0 as x y tends to x0 y0 0 Now, applying Holder’s inequality (forHolder’s inequality, see [15]) to the integral I1 and then using the inequality given as m n p 2p mp np we obtain

I1 c x y 22p K 2 supD B

t s f pLp D

f x0 y0x0 y0

pb a c d

c x y 2pB

f t st s

f x0 y0x0 y0

pt s K t x 2 s y 2 dsdt

c x y 22pI11 2pI21

where c x y :D

t s K t x 2 s y 2 dsdtpq .

From Theorem 4.1 in [22], c x y x0 y0 pq as x y tends to x0 y0 0 and by condition e of class AI11 0 as x y tends to x0 y0 0

The following inequality holds for the integral I21:

I21x0

x0

y0

y0

x0

x0

y0

y0

f t st s

f x0 y0x0 y0


x0

x0

y0

y0

x0

x0

y0

y0

f t st s

f x0 y0x0 y0


I211 I212 I213 I214



SinceI21 I211 I212 I213 I214

it is sufficient to show that the terms on the right hand side of the last inequality tends to zero as x y x0 y0 0 onZ Let us consider the integral I211For this aim, we define the new function as follows:

F t s :x0

t

y0

sf u vu v

f x0 y0x0 y0

pdvdu

From (9), for all t and s satisfying 0 x0 t and 0 y0 s we haveF t s p x0 t 1 y0 s 1 (10)

Now, we can concentrate the integral I211 From Theorem 2.5 in [19], we have the following equality:

I211x0

x0

y0

y0

f t st s

f x0 y0x0 y0


LSx0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 dF t s

where LS denotes Lebesgue-Stieltjes integral.Two-dimensional integration by parts (see Theorem 2.2, p.100 in [19]) gives us

x0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 dF t s

x0

x0

y0

y0F t s d t s K t x 2 s y 2

x0

x0F t y0 dt t y0 K t x 2 y0 y 2

y0

y0F x0 s ds x0 s K x0 x 2 s y 2

F x0 y0 x0 y0 K x0 x 2 y0 y 2



From (10), we can write

I211 px0

x0

y0

y0x0 t 1 y0 s 1 d t s K s x 2 t y 2

p 1x0

x0x0 t 1 dt t y0 K t x 2 y0 y 2

p 1y0

y0y0 s 1 ds x0 s K x0 x 2 s y 2

p 2 1 x0 y0 K x0 x 2 y0 y 2

From 6 8 , we see that the monotonicity properties of

K t x 2 s y 2 and t s K t x 2 s y 2

coincide for each fixed x y D Applying two-dimensional integration by parts to the last inequality, we get thefollowing inequality:

I211 px0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d x0 t 1 y0 s 1

For the integrals I212, I213 and I214 the proof is similar to the above one. Thus we obtain following inequalities:

I212 px0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d t x0 1 y0 s 1

I213 px0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d x0 t 1 s y0 1

I214 px0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d t x0 1 s y0 1

Collecting the estimates I212, I213 and I214, we have

I21 px0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d x0 t 1 s y0 1

Therefore, if the points x y are sufficiently close to x0 y0 0 , we haveI21 pC



where

C supx0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d x0 t 1 s y0 1 : x y Z

From Theorem 4.1 in [22], c x y x0 y0 pq as x y tends to x0 y0 0 This completes the proof.

Theorem 3. Suppose that D 2 and the hypotheses (6)-(8) of Theorem 2 are satisfied. If x0 y0 2 is a commonp generalized Lebesgue point of the functions f Lp 2 and Lp 2 then

limx y x0 y0 0L f ;x y f x0 y0

on any set Z on which the functionx0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 d x0 t 1 s y0 1

where d x0 t 1 s y0 1 is the Lebesgue-Stieltjes measure with respect to x0 t 1 s y0 1 isbounded as x y tends to x0 y0 0

Proof. The proof of this theorem is quite similar to the proof of Theorem 2, and it is omitted.

5 Rate of convergenceIn this section, two theorems concerning the rate of pointwise convergence of the operators of type (4) will be given.

Theorem 4. Suppose that the hypotheses of Theorem 2 are satisfied. Let

x yx0

x0

y0

y0x0 t s y0 t s K t x 2 s y 2 dsdt

where 0 0 for a fixed (and finite!) positive number 0, and the following conditions are satisfied:(i) x y 0 as x y tends to x0 y0 0 for some 0(ii) 0 and 0 1 we have K o x y as x y tends to x0 y0 0(iii) 0 1

Dt s K t x 2 s y 2 dsdt x0 y0 o x y as x y tends to

x0 y0 0

Then, at each common p generalized Lebesgue point of f Lp D and Lp D we haveL f ;x y f x0 y0 o x y p

as x y tends to x0 y0 0 .c 2016 BISKA Bilisim Technology


Proof. By the hypotheses of Theorem 2, the following inequality holds:

L f ;x y f x0 y0 p 22pK 2 supD B

t s f pLp D

Dt s K t x 2 s y 2 dsdt

pq

22pK 2f x0 y0

x0 y0pb a c d


pq

2p 1 2 px0

x0

y0



pq

2p f x0 y0x0 y0

p

Dt s K t x 2 s y 2 dsdt x0 y0

p

SetA x y :

x0

x0

y0


Now, we can apply the proof method used by Mamedov [12] to the remaining part. Since 0 1 we have 1 1 andthe conjugate of 1 is 11 . Applying Holder’s inequality to the term A x y we have

A x yx0

x0

y0

y0x0 t s y0 t s K t x 2 s y 2

t s K t x 2 s y 2 1dsdt

x0

x0

y0

y0x0 t s y0 t s K t x 2 s y 2

1dsdt

x0

x0

y0

y0t s K t x 2 s y 2 1 11

dsdt1

x yD

t s K t x 2 s y 2 dsdt1

SinceD

t s K t x 2 s y 2 dsdt x0 y0 as x y tends to x0 y0 0 , the rest of the proof is clearby the conditions (i)-(iii). Thus the proof is completed.



Theorem 5. Suppose that the hypotheses of Theorem 3 are satisfied. Let

x yx0

x0

y0


where 0 0 for a fixed (and finite!) positive number 0, and the following conditions are satisfied:(i) x y 0 as x y tends to x0 y0 0 for some 0(ii) 0 and 0 1 we have K o x y as x y tends to x0 y0 0(iii) 0 and 0 1 we have t2 s2 K t2 s2 dsdt o x y as x y tends to

x0 y0 0(iv) 0 1

2t s K t x 2 s y 2 dsdt x0 y0 o x y as x y tends to

x0 y0 0Then, at each common p generalized Lebesgue point of f Lp 2 and Lp 2 we have

L f ;x y f x0 y0 o x y p

as x y tends to x0 y0 0 .Proof. The proof of this theorem is analogous to the proof of Theorem 4, and it is omitted.

6 ConclusionIn this paper, the weighted pointwise convergence of the convolution type double singular integral operators dependingon three parameters is investigated. Since the approximation results and the character of the kernel functions are related,a special class of kernel functions has been defined. Therefore, the main results are presented as Theorem 1 and Theorem2. By using main results, the rate of pointwise convergence of the indicated type operators is computed.

AcknowledgmentsThe reported study was partially supported by Ankara University within the scientific research project No.15L0430010during the preparation stage. The authors would like to thank Ankara University.

References[1] G. Alexits, Konvergenzprobleme der Orthogonalreihen, Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften, Budapest, 1960.[2] C. Bardaro, On approximation properties for some classes of linear operators of convolution type, Atti Sem. Mat. Fis. Univ.

Modena 33 (1984), 329-356.[3] S. Bochner and K. Chandrasekharan, Fourier Transforms, Annals of Mathematics Studies, no. 19, Princeton Univ. Press, Princeton,

N. J. Oxford Univ. Press, London, 1949.[4] S. Esen, Convergence and the order of convergence of family of nonconvolution type integral operators at characteristic points,

Ph. D. Thesis, Ankara University, Graduate School of Applied Science, Ankara, 2002.[5] S. Esen, Approximation of functions by the family of integral operators with positive kernels, Trans. Acad. Sci. Azerb. Ser. Phys.

Tech. Math. Sci. 22 (2002), no. 1, Math. Mech., 56–61, 253.[6] A. D. Gadjiev, The order of convergence of singular integrals which depend on two parameters, In: Special Problems of Functional

Analysis and their Appl. to the Theory of Diff. Eq. and the Theory of Func., Izdat. Akad. Nauk Azerbaidzan. SSR, (1968), 40–44.c 2016 BISKA Bilisim Technology


[7] S. R. Ghorpade and B. V. Limaye, A Course in Multivariable Calculus and Analysis, Springer, New York, 2010.[8] H. Karsli and E. Ibikli, On convergence of convolution type singular integral operators depending on two parameters, Fasc. Math.

38 (2007), 25-39.[9] R. G.Mamedov, A study of the orders of convergence of higher-dimensional singular integrals, (Russian) Akad. Nauk Azerbaıdzan.

SSR Dokl. 18 (1962), no. 11, 9–13.[10] R. G. Mamedov, A generalization of some results on the order of convergence of singular integrals, (Russian) Akad. Nauk

Azerbaıdzan. SSR Dokl. 18 (1962), no. 3, 3–7.[11] R. G. Mamedov, On the order of convergence of m-singular integrals at generalized Lebesgue points and in the space Lp

Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 27 (1963), no. 2, 287-304.[12] R. G. Mamedov, A study of orders of convergence of one-dimensional and multidimensional singular integrals, (Russian), In:

Studies in Theory of Differential Equations and Theory of Functions (Russian), Izdat. Akad. Nauk Azerbaıdzan. SSR, (1965),92-108.

[13] V. N. Mishra and L. N. Mishra, Trigonometric approximation of signals (functions) in Lp-norm, Int. J. Contemp. Math. Sci. 7(2012), no. 17-20, 909–918.

[14] P. Patel and V. N. Mishra, Approximation properties of certain summation integral type operators, Demonstr. Math. 48 (2015), no.1, 77–90.

[15] W. Rudin, Real and Complex Analysis. Mc-Graw Hill Book Co., London, 1987.[16] B. Rydzewska, Approximation des fonctions par des integrales singulieres ordinaires, Fasc. Math. 7 (1973), 71-81.[17] E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability of Functions, Princeton Univ. Press, New Jersey, 1970.[18] R. Taberski, Singular integrals depending on two parameters, Prace Mat. 7 (1962), 173-179.[19] R. Taberski, On double integrals and Fourier Series, Ann. Polon. Math. 15 (1964), 97–115.[20] R. Taberski, On double singular integrals, Comment. Math. Prace Mat. 19 (1976), no.1, 155-160.[21] G. Uysal and M. M. Yilmaz, Some theorems on the approximation of non-integrable functions via singular integral operators,

Proc. Jangjeon Math. Soc. 18 (2015), no. 2, 241-251.[22] M. M. Yilmaz, G. Uysal and E. Ibikli, A note on rate of convergence of double singular integral operators, Adv. Difference Equ.

(2014), no. 287, 1-13.


ek-11 sonuç raporu - ankara Üniversitesiacikarsiv.ankara.edu.tr/browse/31171/proje raporu.pdf ·...

Documents