Ekspansi Kofaktor dan Aturan Cramer

Dwi Khoerul Wildan 152151074

Zulfatul Karomah 152151073

Kelas 2015-A

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor entriaij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan menjadideterminan submatriks yang tetap setelah baris ke-idan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entriaij.

Definisi Ekspansi Kofaktor

+ −− +

+ …− …

+ −… …

+ …… …

Cara mencari kofaktor adalah denganmengalikan masing-masing nilai minor diatas dengan tanda tempat masing-masingelemen. Adapun tanda tempatnya dapatdilihat pada gambar berikut:

Determinan matriks A yang berukuran n × n dapatdihitung dengan mengalikan entri-entri dalam suatubaris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya danmenambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan; yakni,untuk setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

dan

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

Teorema Ekspansi Kofaktor

Misalkan kita punya matriks A =3 1 −421

54

68

Tentukan minor entri a11, a12, dan a13. Tentukan juga kofaktor entri M11, M12 dan M13 !

minor entri a11 adalah

𝑀11 =3 1 −42 5 61 4 8

=5 64 8

= 16

kofaktor a11 adalah C11 = (-1)1+1M11 = (-1)2(16) = 16

minor entri a12 adalah

𝑀12 =3 1 −42 5 61 4 8

=2 61 8

= 10

kofaktor a12 adalah C12 = (-1)1+2M12 = (-1)3(10) = -10

Contoh

minor entri a13 adalah

𝑀13 =3 1 −42 5 61 4 8

=2 51 4

= 3

kofaktor a13 adalah C13 = (-1)1+3M13 = (-1)4(3) = 3

Dari Contoh 1 diatas, tentukan determinan matriks A

Penyelesaian :

Menggunakan yang diberikan pada Teorema diatas dengan mengambil i = 1 dan j = 1, 2, dan 3, maka diperoleh.

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= 3(16) + 1(-10) + (-4)(3)

= 48 – 10 – 12

= 26

Jika A adalah sebarang matriks n × n dan 𝐶ij adalah kofaktor 𝑎𝑖𝑗 maka matriks

𝐶11 𝐶12𝐶21 𝐶22

… 𝐶1𝑛… 𝐶2𝑛… …

𝐶𝑛1 𝐶𝑛2

… …… 𝐶𝑛𝑛

Dinammakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(A).

TeoremaJika A adalah matriks yang dapat dibalik maka

𝑎−1 =1

det 𝐴𝑎𝑑𝑗(𝐴)

Definisi adjoin

Jika 𝐴𝑋 = 𝐵 adalah sistem yang terdiri dari 𝑛 persamaan linierdalam 𝑛 bilangan tak diketahui sehingga det 𝐴 = 0, maka sistemtersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah

𝑋1 =det(𝐴1)

det(𝐴),X2 =

det(𝐴2)

det(𝐴), … ,Xn =

det(𝐴𝑛)

det(𝐴)

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

𝐵 =

𝑏1𝑏2…𝑏3

Teorema(Aturan Cramer)

Carilah solusi dari persamaan dibawah ini menggunakan aturan cramer.

𝑥1 + 2𝑥3 = 6−3𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 = 30−𝑥1 – 2𝑥2 + 3𝑥3 = 8

ubah terlebih dahulu kedalam bentuk matriks

𝐴 =1 0 2−3 4 6−1 −2 3

𝐴1 =6 0 230 4 68 −2 3

𝐴2 =1 6 2−3 30 6−1 8 3

𝐴3 =1 0 6−3 4 30−1 −2 8

Contoh

Maka,

𝑋1 =det(𝐴1)

det(𝐴)=−40

44=−10

11

𝑋2 =det(𝐴2)

det(𝐴)=72

44=18

11

𝑋3 =det(𝐴3)

det(𝐴)=152

44=38

11