Dr inż. Jacek Blicharski Wydział Wiertnictwa, Nafty i Gazu Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

EKSPLOATACJA I INŻYNIERIA ZŁÓŻ GAZU

1. Własności PVT gazu ziemnego Gaz ziemny – krzywa równowagi fazowej układu węglowodorowego

Gaz ziemny jest to mieszanina gazowa wydobywana ze złoża, składająca się z

węglowodorów nasyconych o wzorze ogólnym CnH2n+2, jak też innych domieszek gazowych

t.j.: CO2, H2S, N2, H2O (w postaci pary). Głównym składnikiem gazu ziemnego jest metan.

Węglowodory w złożu mogą występować w różnych stanach skupienia w zależności od

składu i warunków ciśnienia i temperatury jako ciecz, gaz lub mieszanina dwufazowa cieczy i

gazu. Na rysunku 1.1 przedstawiono wykres równowagi fazowej w układzie p - T.

Rys. 1.1. Diagram fazowy ropy i gazu.

1

Każdy układ węglowodorowy wieloskładnikowy posiada charakterystyczną dla siebie krzywą

równowagi fazowej będącą faktycznie złożeniem dwóch krzywych I i II schodzących się w

jednym punkcie krytycznym. Punkt krytyczny a właściwie obszar krytyczny to obszar w

którym zanika różnica między faza ciekłą a gazową (zanik menisku). Krzywa I zwana krzywą

punktu pęcherzyków oddziela obszar cieczy (nad krzywą) od obszaru dwufazowego (pod

krzywą). Krzywa II – zwana krzywą punktu rosy oddziela obszar gazu od (nad krzywą) od

obszaru dwufazowego (pod krzywą) Obszar cieczy od obszaru gazu oddzielony jest izotermą

krytyczną. Analizując obszar gazu nad krzywą równowagi można wyróżnić dwa

charakterystyczne podobszary:

1 - zawarty nad krzywą między izotermą krytyczną a izotermą cricodentermu,

2 – na prawo od izotermy cricodentermu.

Pierwszy z tych podobszarów charakteryzuje się tym, że układ węglowodorów może

początkowo znajdować się w fazie gazowej ale przy spadku ciśnienia „wchodzi” w układ

dwufazowy – część gazu wykrapla się w postaci kondensatu – jest to obszar złóż gazowo-

kondensatowych. W obszarze na prawo od izotermy cricodentermu układ węglowodorowy

przez cały czas eksploatacji złoża znajduje się w fazie gazowej – jest to obszar złóż czysto-

gazowych.

Równanie stanu gazu

Zachowanie się mieszanin gazów może być opisane równaniem stanu gazu rzeczywistego

(równanie Clapeyrona) w postaci:

TMRnzVp ⋅⋅⋅=⋅ (1.1)

gdzie:

p – ciśnienie,

V – objętość,

z - stosunek ściśliwości gazu jest miarą odstępstwa zachowania się gazu

rzeczywistego od gazu doskonałego,

n – liczba moli gazu,

MR – uniwersalna stała gazowa (MR = 8314 J/kmol K),

T – temperatura.

Korzystając z zależności:

Mmn = (1.2)

gdzie:

m – masa gazu,

2

M – masa molekularna gazu

równanie stanu gazu rzeczywistego można wtedy zapisać:

TRmzVp ⋅⋅⋅=⋅ (1.3)

gdzie: R – indywidualna stała gazowa (R = MR/M)

Korzystając z równania definicyjnego gęstości V/m=ρ równanie stanu można zapisać jako:

TRz

p⋅⋅

=ρ (1.4)

Stosunek ściśliwości „z”

Występujący w równaniu stosunek ściśliwości „z” można wyznaczyć z wykresu Standing’a –

Katz’a (rys. 1.2) w oparciu o wyznaczone wcześniej parametry zredukowane ciśnienia i

temperatury wg następujących zależności:

pcpr p

pp = pc

pr TTT =

(1.5)

gdzie:

ppc – ciśnienie pseudokrytyczne mieszaniny gazów,

Tpc – temperatura pseudokrytyczna mieszaniny gazów.

Parametry psuedokrytyczne mieszanin gazów określane są dla znanego składu gazu wg

zależności:

∑ ⋅=i

ciipc pyp ∑ ⋅=i

ciipc TyT (1.6)

gdzie:

y – udział składnika gazu w mieszaninie gazów,

pci, Tci – parametry krytyczne ciśnienia i temperatury poszczególnych

składników mieszaniny gazów.

3

Rys. 1.2. Wykres Standing’a- Katz’a dla wyznaczani stosunku ściśliwości „z”.

Współczynnik objętościowy gazu „Bg”

Współczynnik objętościowy gazu wyraża stosunek objętości tej samej ilości gazu w danych

warunkach p, T do objętości w warunkach normalnych:

n

T,pg V

VB = (1.7)

4

na podstawie równania stanu gazu rzeczywistego można zatem napisać:

nnn

g p/TMRnzp/TMRnzB

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= (1.8)

dla tej samej ilości gazu n⋅MR się upraszcza oraz przyjmując zn ≈ 1otrzymuje się:

n

ng Tp

TzpB⋅⋅⋅

= (1.9)

Klasyfikacja płynów złożowych

Płyny złożowe ze względu na ich ściśliwość można podzielić na:

• nieściśliwe,

• słabościśliwe (ciecze)

• ściśliwe (gazy)

Płyny ściśliwe dzielą się na płyny słabościśliwe (ciecze) i silnie ściśliwe (gazy).

Ściśliwość płynów charakteryzowana jest współczynnikiem ściśliwości izotermicznej „c”,

wyrażona zależnością:

pV

V1c∂∂

−= (1.10)

Współczynnik ten można zapisać za pomocą gęstości płynu jako:

p1c∂ρ∂

ρ=

(1.11)

Płyn nieściśliwy definiowany jest jako płyn nie zmieniający swej objętości lub gęstości z

ciśnieniem lub . W rzeczywistości płyny takie nie występują jednakże

mogą być używane w celu uproszczenia rozwiązań równań różniczkowych przepływu.

0p/V =∂∂ 0p/ =∂ρ∂

Płyn słabościśliwy, to płyn charakteryzujący się małą zmianą objętości czy też gęstości z

ciśnieniem.

W przypadku gazów (płyn ściśliwy) istnieje silna zależność współczynnika ściśliwości „c” od

ciśnienia. Współczynnik ściśliwości gazu „cg” opisywany jest zależnością:

Z równania stanu dla gazów rzeczywistych można napisać:

p

TMRnzV ⋅⋅⋅= (1.12)

Różniczkując powyższe równanie względem ciśnienia „p” przy stałej temperaturze T

uzyskuje się:

5

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

2T p

zpz

p1TMRn

pV (1.13)

Wstawiając do równania definicyjnego na współczynnik ściśliwości gazu „cg” uzyskuje się

zależność:

T

g pz

z1

p1c ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅−= (1.14)

Dla gazu doskonałego, z = 1 oraz ( ) 0p/z T =∂∂ , zatem:

p1cg = (1.15)

2. Charakterystyka podstawowych parametrów złożowych Złoże węglowodorów traktowane jest jako warstwa skalna charakteryzująca się

wieloma parametrami, z których główne znaczenie dla opisu przepływu i potrzeb eksploatacji

płynu złożowego mają:

1. Przepuszczalność

2. Porowatość

3. Miąższość złoża

4. Nasycenie wodą

Przepuszczalność jest to zdolność skały do przepuszczania przez siebie płynów pod wpływem

różnicy ciśnień. Wyróżniamy trzy rodzaje przepuszczalności:

a) absolutną (k) – przepuszczalność dla danej fazy przy nasyceniu ośrodka porowatego tą

fazą. Warunkiem jest to aby płyn był płynem jednorodnym oraz skała była jednorodna k jest

funkcją rodzaju skały

b) efektywną (fazową – kf) jest to przepuszczalność dla danej fazy, jeżeli skała jest nasycona

co najmniej dwoma fazami. kf jest funkcją rodzaju skały oraz nasycenia skały daną fazą (Sf)

c) względną kr definiowana zależnością ( ff

r Sfkkk == ) (rys. 2.1)

Przepuszczalność fazowa wzrasta ze wzrostem nasycenia ośrodka daną fazą. W przypadku

gdy nasycenie wodą Sw jest równe nasyceniu wodą związaną Swc wówczas nie ma przepływu

wody, zatem przepuszczalność fazowa dla wody jest wówczas równa zeru. Podobnie, gdy

nasycenie ropą jest równe nasyceniu residualnemu Sor (szczątkowemu) wówczas nie ma

przepływu ropy i przepuszczalność efektywna dla ropy jest równa zeru.

Jednostką współczynnika przepuszczalności używaną szeroko w praktyce przemysłowej jest

1 Darcy (10-12 m2).

6

Rys. 2.1. Przepuszczalności względne w układzie ropa-woda w funkcji nasycenia wodą.

Porowatość skały jest to obecność wolnych przestrzeni w skale (porów). Porowatość skały

charakteryzowana jest współczynnikiem porowatości φ. Współczynnik porowatości jest to

stosunek objętości porów Vp do objętości całej skały Vb.

b

p

VV

=φ (2.1)

Tak zdefiniowana porowatość jest porowatością całkowitą. Porowatość całkowitą należy

odróżnić od porowatości efektywnej definiowanej jako stosunek objętości porów łączących

się ze sobą, którymi może przepływać płyn do całkowitej objętości skały. W inżynierii

złożowej używając pojęcia porowatości rozumie się porowatość efektywną ośrodka.

Porowatość określana jest metodami geofizycznymi lub w oparciu o badania laboratoryjne na

rdzeniach wiertniczych. Wartość porowatości uśrednia się dla całego złoża lub też złoże

można podzielić na bloki o wyraźnie różniących się porowatościach.

Miąższość złoża jest to odległość pomiędzy stropem a spągiem złoża mierzona prostopadle do

upadu warstw. Do obliczeń przyjmuje się tzw. miąższość efektywną tj. sumę miąższości

wkładek przepuszczalnych w warstwie złożowej. W przypadku złóż z wodą podścielającą

miąższość średnią dla całego złoża można wyznaczyć na podstawie mapy strukturalnej z

7

naniesionym aktualnym położeniem konturu woda-gaz jako tzw. średnią miąższość ważoną

względem powierzchni wg zależności:

∑∑ ⋅

=

ii

iii

sr A

hAh

(2.2)

gdzie:

Ai – powierzchnie pomiędzy poszczególnymi poziomicami,

hi – średnie miąższości w poszczególnych interwałach.

Nasycenie wodą. Strefa zajęta przez gaz w różnym stopniu jest nasycona pewną ilością wody.

Część tej wody jest wodą związaną siłami adhezji na powierzchni skały, pozostała część jest

wodą ruchomą biorącą udział w przepływie. Ze wzrostem nasycenia ośrodka porowatego

wodą wzrasta przepuszczalność względna dla wody. Nasycenie wodą określane jest metodami

geofizyki w odwiercie niezarurowanym. Problemem jest śledzenie zmian nasycenia wodą po

zarurowaniu odwiertu.

3. Określenie zasobów gazu ziemnego w złożu W inżynierii złożowej istnieje kilka metod obliczania zasobów złoża gazu ziemnego z

których dwie główne to:

metoda objętościowa,

metoda bilansu masowego,

Wybór odpowiedniej metody uzależniony jest znajomości parametrów wchodzących do

wzorów obliczeniowych. Metodę objętościową stosuje się zazwyczaj po rozpoznaniu budowy

geologicznej złoża i określeniu podstawowych parametrów złożowych takich: powierzchnia

złoża, miąższość, porowatość, nasycenie wodą jak również skład płynów złożowych i

parametrów PVT ciśnienia i temperatury.

Pozostałe dwie metody znajdują zastosowanie po pewnym okresie eksploatacji złoża w

oparciu o dane z przebiegu eksploatacji.

Metoda objętościowa – metoda ta polega na wyznaczeniu objętości porowej dostępnej dla

węglowodorów w złożu. Zasoby gazu wyznacza się wówczas na podstawie określonej

objętości porowej dostępnej dla węglowodorów, składu gazu oraz warunków ciśnienia i

temperatury w złożu.

Obliczenie objętości przestrzeni porowej dostępnej dla węglowodorów (VpHC).

8

( )wpHC S1hAV −⋅φ⋅⋅= (3.1)

A – powierzchnia złoża,

h – miąższość,

φ – współczynnik porowatości,

Sw – współczynnik nasycenia wodą.

Powierzchnię złoża wyznacza się w oparciu o mapę strukturalną stropu złoża z

uwzględnieniem upadu warstwy i granic złoża. Granicami złoża mogą być: kontur woda –

gaz, uskok, wyklinowanie litologiczne.

Mapa strukturalna jest odwzorowaniem powierzchni złoża wraz z jego granicą na poziomą

płaszczyznę. Na tej mapie naniesione są linie o stałej wysokości (poziomice) wyznaczone

względem poziomu morza, jak również naniesiony jest kontur gaz-woda.

Na rys. 3.1. pokazano mapę strukturalną złoża gazu z wodą podścielającą.

Rys. 3.1 Mapa strukturalna stropu przykładowego złoża.

Wyznaczenie zasobów gazu w złożu metodą objętościową

Na podstawie równania stanu gazu rzeczywistego można zapisać:

9

(3.2) ⎩⎨⎧

⋅⋅⋅=⋅

⋅⋅⋅=

nnn

pHC

TRzmGp

TRzmpV

stąd

TzTz

VpGp nn

pHC

n

⋅⋅

=⋅⋅

, zatem 1zn ≈

Tzp

TpVGn

npHC ⋅⋅

⋅= (3.3)

Podstawiając zależność (3.1) do równania (3.3) uzyskuje się równanie pozwalające

wyznaczyć zasoby gazu w złożu metodą objętościową.

( )Tzp

TpS1hAGn

nw.śr.śr ⋅⋅

⋅−⋅φ⋅⋅= (3.4)

Parametrem zasadniczo wpływającym na wielkość zasobów gazu w złożu jest ciśnienie

złożowe. Brak jest bezpośredniej metody pomiaru ciśnienia złożowego. W praktyce jako

miarę ciśnienia złożowego przyjmuje się cieśninie denne statyczne w odwiercie (zmierzone

po pewnym okresie stabilizacji). Jeżeli wartości ciśnień dennych są zbliżone do siebie

wówczas możemy zastosować średnią arytmetyczną. W przypadku większych różnic

ciśnienie średnie wyznacza się licząc średnią ważoną, względem powierzchni lub średnią

ważoną względem objętości w strefach oddziaływania poszczególnych odwiertów (rys. 3.2),

wg następujących zależności:

średnia ważona względem powierzchni:

∑∑ ⋅

=

ii

iii

A A

App (3.5)

średnia ważona względem objętości:

∑∑ ⋅

=

ii

iii

V V

Vpp (3.6)

10

Rys. 3.2. Metoda wyznaczania średniego ciśnienia złożowego po objętości.

Drugim parametrem termodynamicznym wpływającym na zasoby gazu w złożu jest

temperatura. Jej wartość wyznacza się z pomiarów na dnie odwiertu lub też określa w oparciu

o stopień geotermiczny. Na ogół przyjmuje się, że temperatura jest jednakowa w całym złożu

a sam proces eksploatacji przebiega izotermicznie.

Metoda bilansu masowego

Metoda bilansu masy jest jednym z podstawowych narzędzi inżynierii złożowej

pozwalającym analizować i prognozować charakter przebiegu eksploatacji złóż ropy i gazu.

Technika ta pozwala na oszacowanie m.in.: zasobów początkowych gazu w złożu, ciśnienia

początkowego, zasobów gazu w złożu w dowolnym okresie jego eksploatacji, aktualnego

średniego ciśnienia złożowego. Istotą metody jest zastosowanie zasady zachowania masy w

odniesieniu do złoża traktowanego jako zbiornik o jednorodnym ciśnieniu i temperaturze.

Zasada bilansu masowego w inżynierii złożowej nosi nazwę modelu zerowymiarowego.

Metoda ta opiera się na założeniu: ilość gazu pierwotnie znajdującego się w złożu G jest sumą

ilości gazu wydobytego ze złoża Gp oraz ilości gazu pozostałego w złożu Gz. Jest to

podstawowa zasada bilansu masowego.

pz GGG += (3.7)

Mimo oczywistości tego równania w praktyce występują problemy ze spełnieniem tej

zależności. Wynikają one z faktu, że w równaniu tym dokładnie znana jest jedynie ilość

11

wydobytego gazu. Nie są znane dokładnie ani pierwotne zasoby ani ilość gazu pozostałego w

złożu. Dodatkowym problemem jest możliwa zmiana objętości przestrzeni porowej, bądź

wskutek dopływu wody, bądź wskutek zaciskania się por skał.

Równanie bilansu złożowego dla złoża z uwzględnieniem dopływu wody, wydobycia wody

wraz z gazem, ściśliwości wody w strefie gazu oraz ściśliwości matrycy skalnej przyjmuje

postać:

( ) ( ) ( epwgpfwww

gigig WWBBG∆pCCS

S1BG

BBG −⋅+⋅=⋅+⋅−

⋅+−⋅ ) (3.8)

lub

( )( ) pCSC

S1B

BB

BWWBGG

fwww

gigig

wepgp

∆⋅+⋅⋅−

+−

⋅−+⋅= (3.9)

gdzie:

Bg – współczynnik objętościowy gazu odniesiony do ciśnienia bieżącego,

Bgi – współczynnik objętościowy gazu odniesiony do ciśnienia początkowego,

Cw – współczynnik ściśliwości wody,

Cf – współczynnik ściśliwości przestrzeni porowej skały,

∆p – spadek ciśnienia wywołany wydobyciem gazu w ilości Gp,

Wp – ilość wydobytej wody wraz z gazem,

We – ilość wody dopływającej z zewnątrz do strefy gazowej.

Lewą stronę równania (3.8) stanowią człony zmian objętości płynów złożowych i złoża.

Człony prawej strona równania (3.8) wyrażają objętości wydobytego gazu i wody oraz

dopływu wody do złoża spoza konturu.

Równanie (3.9) może być wykorzystywane do obliczeń zasobów gazu jednakże w przypadku

złóż z aktywną wodą złożową (podścielającą czy też okalającą) problemem jest określenie

ilości wody dopływającej do złoża We, w wyniku powstałej różnicy ciśnień, między

ciśnieniem złożowym a ciśnieniem w strefie wodonośnej (aquiferze). Dopływająca do złoża

woda powoduje podtrzymanie ciśnienia złożowego. Intensywność dopływu wody zależy od

wzajemnej wielkości złoża gazu i strefy wodonośnej (aquifera) oraz tempa odbioru gazu.

Zazwyczaj ściśliwość skały i wody związanej w porównaniu ze ściśliwością gazu jest

niewielka i w rezultacie zaniedbywana, wówczas równanie (3.9) po przekształceniach

przyjmuje postać:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅

−−−=

gi

wpe

g

gip

BGB)WW(

1BB

1G

G (3.10)

12

Wykorzystując zależności na współczynniki objętościowe gazu przy ciśnieniu początkowym

oraz aktualnym ciśnieniu złożowym, odpowiednio:

ni

ingi Tp

TzpB = , n

ng Tp

TzpB =

oraz zakładając izotermiczny charakter procesu eksploatacji (T = const) równanie (3.10)

upraszcza się do postaci:

gi

wpe

p

i

i

BGB)WW(

1

GG

1

zp

zp

⋅

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= (3.11)

Człon (We–Wp)Bw/(G⋅Bgi) oznacza część przestrzeni porowej zajętej przez dopływającą do

złoża wodę. W rezultacie, im więcej wody dopływa do złoża, tym mniejszy spadek ciśnienia

obserwuje się dla określonego strumienia odbieranego gazu. W przypadku braku dopływu

wody, gdy złoże jest typu wolumetrycznego, równanie (3.11) upraszcza się do postaci:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

GG

1zp

zp p

i

i

(3.12)

Jest to liniowa zależność p/z vs Gp, co przedstawia rys. 3.3.

W przypadku dopływu wody do złoża, wykres p/z vs Gp będzie przebiegać nieliniowo. Im

większa aktywność „aquifera”, tym większe odchylenie krzywej ku górze.

Rys. 3.3. Graficzna postać równania bilansu masowego dla złóż gazu ziemnego o charakterze

wolumetrycznym i wodnonaporowym.

13

Technika interpretacji „p/z” wydaje się być prostą metodą, ale główne niebezpieczeństwo

leży w interpretacji wykresu p/z vs Gp i rozstrzygnięciu o jego liniowym lub nieliniowym

charakterze. Często dla złóż gazu z ruchomą wodą wykres p/z wydaje się być pozornie linią

prostą, gdy w rzeczywistości nią nie jest (dotyczy to szczególnie złóż w początkowym

stadium eksploatacji, gdzie zaczyna się ujawniać oddziaływanie aquifera). Popełnia się

wówczas podwójny błąd: interpretuje się złoże jako wolumetryczne, wyniki ekstrapolacji dają

zawyżone wartości początkowych zasobów złożowych (rys. 3.4). W wielu przypadkach

można uniknąć tego błędu powiększając skalę wykresu. Na podstawie wykresów p/z vs Gp

można szacować początkowe zasoby złożowe ekstrapolując tylko początkową część wykresu

jeszcze przed rozpoczęciem ruchu wody złożowej, gdyż dopływ wody zaczyna mieć

zasadniczy wpływ na przebieg eksploatacji dopiero po pewnym okresie czasu. Zatem przez

pewien czas złoże zachowuje się tak jakby tego dopływu nie było.

Rys. 3.4. Błędne szacowanie zasobów gazu dla złoża z aktywną wodą złożową.

Metodyka Havlena-Odeh interpretacji bilansu masowego

Równanie bilansu masowego opisane zależnością (3.8) używając adnotacji Havlena-Odeh

można zapisać w następującej formie:

( ) wefwg BWEEGF ⋅++⋅= (3.13)

gdzie:

wpgp BWBGF ⋅+⋅= – całkowite wydobycie gazu i wody,

14

– współczynnik ekspansji gazu, gigg BBE −=

( pCCSS1

BE fww

w

gifw ∆⋅+⋅⋅

−= ) – współczynnik ekspansji wody i skały.

W praktyce w większości przypadków ekspansja wody i skały jest dużo mniejsza od ekspansji

gazu (Efw << Eg), zatem może być pominięta. Równanie (3.13) upraszcza się wtedy do

postaci:

weg BWEGF ⋅+⋅= (3.14)

Dzieląc obie strony równania przez współczynnik ekspansji gazu uzyskuje się:

g

we

g EBW

GEF ⋅

+= (3.15)

Równanie (3.15) stanowi podstawę do określenia mechanizmu pracy złoża w oparciu o dane z

przebiegu eksploatacji tj. wydobycia płynów złożowych, ciśnień złożowych oraz własności

PVT płynów złożowych. Naniesienie na wykres wartości ilorazu F/Eg w funkcji ilości

wydobytego gazu Gp pozwala zaobserwować zmiany tego ilorazu w trakcie eksploatacji

złoża, a tym samym określić charakter jego pracy.

Na rys. 3.5. przedstawiono wykres diagnostyczny pozwalający określić charakter pracy złoża

gazu oraz wyznaczyć początkowe zasoby gazu w złożu.

Rys. 3.5. Wykres diagnostyczny bilansu masowego dla oceny mechanizmu pracy złoża.

Sporządzony wykres może mieć jeden z trzech przebiegów. Jeżeli złoże jest typu

wolumetrycznego (We = 0), wówczas wartości ilorazu F/Eg vs Gp układają się wzdłuż linii

prostej równoległej do osi odciętych. Z kolei, gdy następuje dopływ wody do złoża, wtedy

wykres przyjmuje kształt łuku wypukłego ku górze. Jego charakter zależy od wielkości i

15

aktywności aquifera jak również od wielkości wydajności odbioru gazu ze złoża. Im

aktywniejszy aquifer, tym krzywa szybciej narasta ku górze.

Główną zaletą metody Havlena-Odeh jest to, że jest ona znacznie bardziej czuła na

intensywność ruchu wody w złożu w stosunku do innych metod i dzięki temu jest

powszechnie stosowana do oceny warunków energetycznych złoża.

4. Model matematyczny filtracji płynu w ośrodku porowatym Model matematyczny filtracji płynu w ośrodku porowatym stanowią następujące równania:

1. Równanie ciągłości.

2. Równanie filtracji.

3. Równanie stanu.

Równanie ciągłości przepływu

Równanie ciągłości zwane także równaniem zachowania masy można zapisać jako:

t)u(

z)u(

y)u(

x zyx ∂∂ρ

φ−=ρ∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

(4.1) równanie to można zapisać w krótszej postaci:

t)u(div

∂∂ρ

φ−=ρr

(4.2)

Lewa strona tego równania to zmiany substancjonalne (tego co wpłynęło z tym co

wypłynęło), prawa to zmiany lokalne (wynikającymi ze zmiany gęstości płynu).

Dla płynu nieściśliwego 0t=

∂ρ∂ , zatem równanie ciągłości ma postać:

( ) 0udiv =ρr

(4.3)

Równanie filtracji

Podstawowym równaniem opisującym przepływ płynu w ośrodku porowatym jest

równanie Darcy. Darcy na podstawie badań przepływu wody (lub) przez piasek wprowadził

pojęcie prędkości filtracji, która wyraża stosunek wydatku „q” do pola przekroju całkowitego

skały „A”.

Prędkość filtracji

Aqu

.def=

(4.4)

pgradku

µ−=

(4.5)

16

gdzie:

µ – lepkość płynu,

u – prędkość filtracji.

Z zależności tej wynika, że prędkość filtracji jest proporcjonalna do gradientu

ciśnienia, a współczynnikiem proporcjonalności jest iloraz przepuszczalności skały „k” i

lepkości „µ”.

Równanie stanu – podaje zależności własności płynu od ciśnienia i temperatury.

Dla płynu słabościśliwego wychodząc z definicji współczynnika ściśliwości równanie stanu

przyjmuje postać:

(4.6) )pp(c

00e −ρ=ρ

gdzie:

ρ – gęstość płynu przy ciśnieniu odniesienia p,

ρ0 – gęstość płynu przy ciśnieniu p0,

c – współczynnik ściśliwości płynu.

Funkcja ekspotencjalna może być rozwinięta w szereg w postaci:

!nx...

!3x

!2xx1e

n32x +++++=

(4.7)

ponieważ wykładnik funkcji ekspotencjalnej „x” reprezentujący człon ( )0ppc − jest bardzo

mały zatem funkcja ta może być aproksymowana zależnością:

(4.8) x1e x +=

zatem równanie stanu płynu słabościśliwego przyjmie ostatecznie postać:

( )[ ]00 ppc1 −+ρ=ρ (4.9)

Równanie przepływu płynu w ośrodku porowatym

Na podstawie trzech równań ciągłości, filtracji i stanu, po ich przekształceniu

otrzymuje się równanie różniczkowe rzędu drugiego będące matematycznym opisem

przepływu płynu słabościśliwego w ośrodku porowatym. Równanie to ma postać:

tp

kc

rp

r1

rp

rpr

rr1

2

2

∂∂φµ

=∂∂

+∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

(4.10)

Równania przepływu płynu zapisane są w geometrii radialnej. W geometrii tej

zmienną jest promień „r” będący odległością od odwiertu oraz czas „t”. W geometrii radialnej

zakłada się, że głównym kierunkiem przepływu jest kierunek poziomy, a własności skały

wokół odwiertu są uśrednione i stałe.

17

Rozwiązania równania przepływu płynu w ośrodku porowatym

Równanie (4.10) jest równaniem, w których niewiadomą jest funkcja rozkładu ciśnienia.

Równanie różniczkowe rozwiązuje się poprzez kolejne całkowania. Aby obliczyć wartości

stałych całkowania należy zadać tzw. warunki brzegowo-początkowe, tzn. zadać wartości

funkcji lub wartość pochodnej funkcji w chwili t = 0 oraz na brzegach obszaru.

Rozwiązanie dla stałej wydajności w odwiercie

Warunek początkowy:

dla t = 0 p = pi = const (stałe ciśnienie w całym obszarze).

Warunki brzegowe:

dla r = rw i t > 0 q = const (stała wydajność w odwiercie)

dla r = ∞ i t > 0 p = pi = const

Dla tak zdefiniowanych warunkach brzegowo-początkowych równanie dopływu płynu do

odwiertu dla płynu słabościśliwego będące rozwiązaniem równania różniczkowego (4.10) ma

postać:

)t(Pkh2

qp DD⋅πµ

=∆ (4.11)

gdzie:

∆p – różnica ciśnień między ciśnieniem w obszarze, którego odbywa się

wypływ płynu, a ciśnieniem w obszarze, do którego odbywa się dopływ płynu,

q – wydatek założenia stały dla r = rw,

µ – lepkość dynamiczna,

k – współczynnik przepuszczalności,

h – miąższość złoża,

PD(td) – bezwymiarowa funkcja ciśnienia, której argumentem jest

bezwymiarowy czas (tD) wyrażony równaniem 2D crtkt

φµ⋅

= , gdzie t – czas

bezwzględny. Bezwymiarowa funkcja ciśnienia wyraża fizykę zmian ciśnienia funkcji promienia i

czasu. Sposób jej wyznaczania zależy od stanu hydrodynamicznego w jakim znajduje się

złoże.

Rozwiązanie dla stałej różnicy ciśnień

Warunek początkowy:

18

° dla t = 0 p = pi = const.

dla r = rw i t > 0 ∆p = const

dla r = ∞ i t > 0 p = pi = const.

Dla tak zadanych warunków brzegowo-początkowych rozwiązanie równania

różniczkowego (4.10) ma postać:

(4.12) )t(Qpfchr2Q DD2

0 ⋅∆⋅⋅⋅φ⋅⋅π=

gdzie:

Q – wydatek kumulacyjny płynu (sumaryczny) jaki dopłynął do wybranego

promienia r0 w tym przypadku promienia odwiertu,

f – współczynnik niepełnej geometrii radialnej. Jeżeli dopływ odbywa się z

pełnej geometrii radialnej f = 1. Jeżeli strefę dopływów można przybliżyć

wycinkiem o kącie α to , o360/f α=

QD(tD) – bezwymiarowa funkcja wydatku wyrażająca charakter zmian wydatku

funkcji promienia i czasu.

Z punktu widzenia teorii i poprawności rozwiązania, oba rozwiązania (wzory) mogą

być użyte do opisu rzeczywistego dopływu płynu do odwiertu. Z uwagi jednak na fakt, że

eksploatację odwiertu łatwiej jest technicznie prowadzić przy założeniu stałego wydatku,

dlatego też rozwiązanie (4.10) znalazło szersze zastosowanie.

Stany hydrodynamiczne złoża

Złoże w trakcie eksploatacji może znajdować się w różnych stanach fizycznych tzw.

stanach hydrodynamicznych. Wyróżnia się trzy stany hydrodynamiczne:

1. Stan nieustalony.

2. Stan semiustalony.

3. Stan ustalony.

Stan nieustalony

Jest to stan charakteryzujący początkowy okres eksploatacji złoża. Stan nieustalony panuje

w złożu przez pewien czas od momentu rozpoczęcia eksploatacji ze stałym wydatkiem

q = const. przy ciśnieniu początkowym złoża p = pi do momentu wyraźnego spadku ciśnienia,

czyli do przepływu ze stałej objętości. Fizycznie czas ten odpowiada czasowi dojścia impulsu

ciśnienia do granicy złoża. Przyjmuje się, że złoże jest nieograniczone. Stan przepływu

nieustalonego utrzymuje się przez czas zwany czasem stabilizacji.

19

Założenia matematyczne dla stanu nieustalonego są następujące:

dla t = 0, p = pi = const.,

dtdp = f(r,t)

q = const.

Przyjmując, że warstwa o miąższości „h” nasycona jest płynem o ciśnieniu

początkowym „pi” jednakowym we wszystkich punktach. Rozpoczynając eksploatację

ustalany wydatek q na ścianie odwiertu. W wyniku otwarcia odwiertu ciśnienie na dnie

odwiertu obniża się poniżej ciśnienia początkowego płynu w złożu. W wyniku różnicy ciśnień

między ciśnieniem początkowym „pi”, a ciśnieniem w odwiercie „pw” następuje rozprężenie

się płynu i jego dopływ do odwiertu z wydajnością q. Proces rozprężania się płynu ze

względu na obecność ośrodka porowatego nie obejmuje całego złoża, lecz stopniowo coraz

większe strefy. W każdej ze stref przebieg ciśnienia można przedstawić krzywą. Każda z tych

krzywych posiada inne nachylenie. Początkowe są bardziej strome, w miarę upływu czasu

stają się coraz bardziej płaskie. Powiększeniu się stref rozprężenia się płynu towarzyszy

niewielka obniżka ciśnienia na dnie odwiertu (rys. 4.1.).

Rys. 4.1. Wykres zmian ciśnienia w funkcji odległości od odwiertu dla stanu nieustalonego

Fala zaburzonego ciśnienia będąca falą typu akustycznego teoretycznie będzie

przemieszcza się w kierunku złoża, aż do osiągnięcia jego naturalnych granic. W praktyce

przemysłowej okazuje się jednak, że rozszerzanie się stref zaburzonego ciśnienia w miarę

upływu czasu staje się coraz bardziej wolniejsze lub zanika. Uzasadnianiem tego jest prawie

20

poziomy przebieg krzywej rozkładu ciśnienia w dalekiej odległości od odwiertu. W takim

przypadku można przyjąć, że w pewnej odległości od odwiertu gradient ciśnienia staje się

bliski zera, co świadczy, że płyn znajdujący się poza tą strefą „nie jest osiągalny” przez

odwiert. Tak zdefiniowana strefa zerowego gradientu nosi nazwę strefy oddziaływania

odwiertu i jest charakteryzowana nie tylko dla złoża, lecz i dla każdego odwiertu.

Stan hydrodynamiczny w jakim znajduje się złoże od momentu rozpoczęcia

eksploatacji do momentu osiągnięcia przez fale zaburzonego ciśnienia strefy oddziaływania

odwiertu to stan nieustalony. Czas trwania tego stanu nosi nazwę czasu stabilizacji i wyraża

się zależnością:

k4cr

t2

es

φµ=

(4.13)

Wielkość strefy oddziaływania odwiertu nie zależy od wydatku z jakim prowadzona jest eksploatacja.

Stan semiustalony

Z chwilą osiągnięcia przez fale zaburzonego ciśnienia strefy oddziaływania odwiertu

dalsza eksploatacja trwająca nieprzerwanie odbywa się ze skończonej objętości złoża.

Zaburzenie ciśnienia objęło całą strefę oddziaływania, zatem można założyć, że w

jednakowych odstępach czasu następuje jednakowa obniżka ciśnienia zarówno przy odwiercie

jaki i przy strefie oddziaływania odwiertu i dlatego też można założyć, że krzywe przebiegu

ciśnienia zaczną układać się do siebie równolegle (rys. 4.2). Stan hydrauliczny, w którym

znajduje się złoże od chwili zakończenia stanu nieustalonego to stan semiustalony. Stan ten

trwa tak długo, jak długo jest możliwa eksploatacja z założonym wydatkiem na dnie odwiertu.

Zatem stan semiustalony jest głównym stanem hydrodynamicznym, w jakim znajduje się

złoże w trakcie swojej eksploatacji.

Założenia matematyczne dla tego stanu są następujące:

dla t > ts,

q = const

dtdp

= const

drdp

=0|r=re

21

Rys. 4.2. Przebieg zmian ciśnienia w stanie semiustalonym

Stan ustalony

Stan ustalony dotyczy przypadku przepływu płynu ze stałym wydatkiem przez cały

element ośrodka porowatego o z góry określonych wymiarach. Aby taki przepływ był

możliwy do realizacji na końcach elementu porowatego przyłożona jest różnica ciśnień, która

przez cały czas jest stała. Graficzne przepływ w stanie ustalonym przedstawia rys. 4.3.

Rys. 4.3. Przebieg zmian ciśnienia dla stanu ustalonego

Założenia stanu ustalonego:

q = const dla wszystkich r i t,

re = const,

dtdp = 0

22

Porównując założenia stanu ustalonego ze stanem nieustalonym i stanem

semiustalonym widać zasadniczą różnicę, która polega na założeniu stałego wydatku w całym

obszarze przepływu. W stanie nieustalonym i semiustalonym stały wydatek był założony

tylko na ściance odwiertu, w samym ośrodku porowatym wydatek ulegał zmianie.

W stanie ustalonym w ośrodku porowatym odbywa się „czysty” przepływ płynu bez

rozprężania. Biorąc pod uwagę tak zdefiniowane założenie stanu ustalonego można

stwierdzić, że w rzeczywistym złożu węglowodorów nigdy w praktyce nie ma całkowicie

spełnionych warunków tego stanu. Przyjmuje się, że zachodzą trzy przypadki, które są zbliżone

do stanu ustalonego złoża, jednak nie spełniają one wszystkich założeń stanu ustalonego. Stan

taki ma miejsce w przypadku przepływów:

w warunkach intensywnego naporu wód złożowych,

przy stosowaniu wtórnych metod eksploatacji,

w bezpośredniej strefie przyodwiertowej.

Uszkodzenie strefy przyodwiertowej - hydrodynamiczna niedoskonałość odwiertu.

W dotychczasowych rozważaniach dotyczących analizy dopływu płynu ze złoża do

odwiertu przyjmowane było, że kontakt odwiertu ze złożem odbywa się na całej pobocznicy

walca. W praktyce przemysłowej takie wykonanie odwiertu jest praktycznie niemożliwe,

gdyż w trakcie wiercenia i udostępniania złoża a także później w trakcie jego eksploatacji

następuje uszkodzenie strefy przyodwiertowej.

Uszkodzenie strefy przyodwiertowej powodowane jest przez szereg czynników takich jak:

naruszenie złoża procesem wiercenia,

kolmatacja płuczki (infiltracja płuczki w skałę złożową i osadzanie się cząstek stałych

w skale),

rurowanie odwiertu i jego perforowanie,

cementowanie odwiertu,

piaszczenie złoża (migracja cząstek stałych wraz z wydobywanym płynem w kierunku

odwiertu).

Wszystkie powyższe czynniki powodują, że kontakt rzeczywistego odwiertu ze złożem jest

silnie zaburzony.

Analizowanie uszkodzeń w strefie przyodwiertowej w teorii przepływu można

rozważyć wprowadzając pojęcie: odwiertu hydrodynamicznie doskonałego i niedoskonałego.

23

Odwiert hydrodynamicznie doskonały to taki odwiert, który przewierca całą miąższość złoża,

nie jest zarurowany na wysokości złoża (kontakt ze złożem odbywa się na całej pobocznicy

walca). Schemat odwiertu hydrodynamicznie doskonałego pokazano na rys. 4.4.

Rys. 4.4. Schemat odwiertu hydrodynamicznie doskonałego.

Odwiert hydrodynamicznie niedoskonały to odwiert rzeczywisty. Taki odwiert albo nie

przewierca całej miąższości złoża, albo kontakt odwiertu ze złożem odbywa się przez

perforację w kolumnie rur, dopływ płynu nie jest regularny, strefa przyodwiertowa jest

blokowana cząstkami skały niesionymi przez dopływający płyn lub cząstkami iłu wskutek

kolmatacji płuczki (rys. 4.5).

Rys. 4.5 Schemat odwiertu hydrodynamicznie niedoskonałego.

24

Przebieg ciśnienia wokół odwiertu hydrodynamicznie doskonałego i niedoskonałego

pokazano na rys. 4.6.

r

∆pskin

teoretyczna krzywa rozkładu ciśnienia w złożu (przepuszczalność w całym złożu jest stała, jej współczynnik wynosi k) rzeczywista krzywa rozkładu ciśnienia w strefie przyodwiertowej (przepuszczalność strefy przyodwiertowej jest mniejsza od przepuszczalności złoża, ks< k)

r1

p

ks

k

Rys. 4.6 Rozkład ciśnienia w strefie przyodwiertowej.

pi – ciśnienie początkowe w złożu,

k – współczynnik przepuszczalności skały zbiornikowej,

ks- współczynnik przepuszczalności skały zbiornikowej w strefie przyodwiertowej,

∆pskin – dodatkowy spadek ciśnienia, wynikający ze zmniejszenia przepuszczalności,

r1 – zasięg strefy przyodwiertowej.

W odwiercie rzeczywistym w pewnej strefie blisko niego leżącej pojawia się

dodatkowy spadek ciśnienia oznaczony symbolem ∆pskin, który może być co do znaku dodatni

lub ujemny. Dodatni – gdy przepuszczalność w strefie blisko odwiertu ks jest mniejsza od

przepuszczalności calizny, ujemny – kiedy ks jest większy od przepuszczalności calizny.

Dodatkowy spadek ciśnienia ∆pskin wywołany zmiennością własności strefy

przyodwiertowej w stosunku do calizny złoża jest definiowany następującą zależnością:

S

kh2Bqpskin ⋅

πµ

=∆ ( 4.14)

Wielkość S występująca po prawej stronie równania nosi nazwę współczynnika

efektów brzegowych (skin efekt). Współczynnik S może być dodatni S > 0 i odpowiada

sytuacji ks < k. S jest współczynnikiem bezwymiarowym.

S = 0 gdy ks = k

25

S < 0 gdy ks > k

Korzystając z równania definicyjnego „skin efektu” równanie dopływu do

odwiertu hydrodynamicznie niedoskonałego przyjmuje postać:

( )S)t(P

kh2Bqp DD +

πµ

=∆ (4.15)

Wartość „skin efektu” określamy na podstawie testów hydrodynamicznych. Brak jest

wiarygodnych zależności matematycznych pozwalających obliczyć ten współczynnik.

Analizując opory przepływu w ośrodku porowatym można wyróżnić dwa jego

składniki. Są to: opory mechaniczne wywołane samą strukturą ośrodka porowatego, jego

niejednorodnością, zmianą własności itp. Drugim składnikiem są opory wywołane turbulencją

przepływu , która zależy w pewnym stopniu od struktury przestrzeni porowej, zaś zasadniczo

od własności płynu. Mniejsza turbulencja jest dla cieczy, większa dla gazów.

Całkowity skin efekt dla danego odwiertu można zatem wyrazić jako sumę skin efektu

mechanicznego Sm oraz skin efektu turbulencyjnego wyrażonego iloczynem współczynnika

turbulencji Dt oraz wydatku q.

qDSS tm ⋅+= ( 4.16)

Równanie dopływu gazu do odwiertu

Równaniem wyjściowym równania dopływu gazu do odwiertu jest równanie dopływu płynu

słabościśliwego (4.10). W przypadku dopływu gazu ze złoża do odwiertu ze względu na jego

dużą ściśliwość należy uwzględnić zmianę objętości gazu. Na podstawie równania stanu gazu

można napisać:

TRzmqpo

⋅⋅⋅=⋅ (4.17)

gdzie:

p – ciśnienie zdefiniowane zależnością 2

ppp 21.def +

≈

p1, p2 – ciśnienia graniczne,

om – strumień masowy gazu.

Odnosząc strumień masowy gazu do warunków normalnych można napisać:

(4.18) nno

nn TRzmqp ⋅⋅⋅=⋅

Dzieląc stronami równania (4.17) i (4.18) oraz przyjmując, że zn jest bliskie 1 wówczas

wydajność w danych warunkach ciśnienia i temperatury można wyrazić jako:

26

n

nn

nnn TpTpzqq

TTz

qpqp

⋅⋅⋅⋅

=⇒⋅

=⋅⋅ (4.19)

Wstawiając wyrażenie (4.19) oraz zależność na ciśnienie średnie p do równania dopływu

płynu słabościśliwego (4.10) otrzymuje się:

( ) )t(PThkpp

Tpzqp DD

n21

nn ⋅⋅⋅⋅π⋅+

⋅⋅⋅µ⋅=∆ (4.20)

)t(PThk

Tpzqp DDn

nn2 ⋅⋅⋅⋅π

⋅⋅⋅µ⋅=∆ (4.21)

(4.22) 22

21

2 ppp −=∆

Równanie (4.21) umożliwia odliczanie dopływu gazu do odwiertu w przypadku

odwiertu hydrodynamicznie doskonałego.

W przypadku odwiertu hydrodynamicznego niedoskonałego dodatkowy spadek ciśnienia

wywołany skin efektem definiowany jest zależnością:

( ntmn

nn.def

2skin qDS

ThkTpzqp ⋅+⋅

⋅⋅⋅π⋅⋅⋅µ⋅

=∆ ) (4.23)

Zatem pełne równanie dopływu gazu ze złoża do odwiertu hydrodynamicznego

niedoskonałego na podstawie równań (4.21) i (4.23) przyjmuje postać:

[ ntmDDn

nn2 qDS)t(PThk

Tpzqp ⋅++⋅⋅⋅⋅π

⋅⋅⋅µ⋅=∆ ] (4.24)

ww

nt rh2

kD⋅µ⋅⋅π⋅

⋅ρ⋅β=

gdzie:

β – współczynnik odstępstwa od przepływu Darcy,

ρn – gęstość gazu w warunkach normalnych,

µw – współczynnik lepkości gazu w warunkach panujących na dnie odwiertu.

W przepływach mających miejsce w eksploatacji złóż gazu najczęstszym stanem

hydrodynamicznym jest stan semiustalony, który trwa przez większość czasu eksploatacji

złoża. Wartość bezwymiarowej funkcji ciśnienia w stanie semiustalonym przy znanej różnicy

ciśnień między ciśnieniem średnim w złożu a ciśnieniem dennym w odwiercie

wyraża równanie: wz ppp −=∆

43

rr

ln)t(Pw

eDD −= (4.25)

Wstawiając zależność (4.25) do równania (4.24), uzyskuje się:

27

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++−⋅

⋅⋅⋅π⋅⋅⋅µ⋅

=−=∆ qDS43

rr

lnThk

Tpzqppp tmw

e

n

nn2w

2z

2 (4.26)

pz – średnie ciśnienie złożowe.

Uzyskane równanie (4.26) pozwala obliczyć dopływ gazu ze złoża do odwiertu, przy czym w

równaniu tym dokonano uśrednień własności gazu takich t.j: µ, z dla zdefiniowanego

wcześniej ciśnienia średniego reprezentującego średnie warunki w strefie dopływu gazu do

odwiertu. W praktyce znane jest zazwyczaj ciśnienie złożowe dla którego wyznacza się te

własności gazu.

Równanie (4.26) można zapisać w prostszej postaci, poprzez wprowadzenie współczynników

„a” i „b”.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅

⋅⋅⋅π⋅⋅⋅µ

= mw

e

n

n S43

rrln

ThkTpza (4.27)

tn

n DThk

Tpzb ⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅µ

= (4.28)

Równanie (4.26) można wówczas zapisać jako:

(4.29) 2nn

2 qbqap ⋅+⋅=∆

Otrzymane równanie (4.29) nosi nazwę formuły dwuczłonowej. Pomimo, że

współczynniki „a” i „b” tej formuły posiadają efektywne wzory, ich wartości określamy na

podstawie testów hydrodynamicznych wykonywanych okresowo na każdym odwiercie.

Wyznaczenie współczynnika „a” i „b” z testów hydrodynamicznych wynika z faktu, że złoże

zmienia w sposób znaczący swoje własności fizyczne w czasie całego okresu eksploatacji, co

powoduje to, że wzory teoretyczne nie w pełni opisują zmienną rzeczywistość.

Drugą formułą opisującą dopływ płynu do odwiertu jest formuła jednoczłonowa, która

dla przepływu gazu przyjmuje postać:

( )n2pJq ∆⋅= (4.30)

gdzie:

J – indeks wydajności odwiertu,

n – wykładnik wyrażający odchyłkę od przepływu Darcy.

Jeżeli n = 1 wówczas przepływ jest zgodny z prawem Darcy.

Równanie (4.26) jest równaniem empirycznym uzyskanym na podstawie interpretacji

wyników kilkuset testów hydrodynamicznych.

Wartości współczynników formuły jednoczłonowej „J” i „n” oraz „a” i „b” formuły

dwuczłonowej określane są na podstawie wyników testów hydrodynamicznych.

28

Krzywa wydajności złoża – wydajność potencjalna odwiertu

Wydajność z jaką gaz dopływa do odwiertu jest funkcją różnicy ciśnień pomiędzy

ciśnieniem złożowym a ciśnieniem na dnie odwiertu i zależy zarówno od własności

eksploatowanego gazu jak również od własności ośrodka w którym ma miejsce przepływ.

Krzywą IPR wyznacza się w oparciu o równanie dopływu gazu do odwiertu, które na

podstawie formuły dwuczłonowej przyjmuje postać:

22zw qbqapp ⋅−⋅−= (4.31)

W oparciu o równanie (4.31) wyznacza się krzywą dopływu gazu do odwiertu (IPR) jako

zależność między ciśnieniem dennym a wydajnością. Przebieg tej krzywej przedstawiony jest

na rys.4.7. Z wykresu przedstawionego na rys. 4.7 wynika, że dla wydatku zerowego ciśnienie

denne równe jest średniemu ciśnieniu złożowemu. W miarę obniżania ciśnienia dennego w

odwiercie następuje wzrost wydajności aż do wartości maksymalnej (wydajność potencjalna

odwiertu „AOF”) przy minimalnym ciśnieniu dennym równym ciśnieniu atmosferycznemu.

Wydajność potencjalną odwiertu na podstawie równania formuły dwuczłonowej wyznacza się

wg zależności:

( )

b2ppb4aa

q2

atm2

z2

pot ⋅

−⋅⋅++−= (4.32)

Jak wynika z zależności opisującej krzywą IPR, nachylenie jej jest odwrotnie proporcjonalne

do iloczynu miąższości i przepuszczalności złoża. Dla większych wartości iloczynu kh

krzywa IPR jest bardziej płaska, zatem przy danej różnicy ciśnień wydajność dopływu gazu

do odwiertu jest większa.

29

Rys. 4.7. Krzywe dopływu płynu do odwiertu (IPR)

5. Przepływ gazu w odwiercie - równanie przepustowości odwiertu Przepływ gazu w odwiercie można rozpatrywać jako przepływ gazu w pionowym

rurociągu pomiędzy ciśnieniami dennym a ciśnieniem głowicowym. Z przepływem gazu w

odwiercie wiąże się strata ciśnienia na wskutek oporów przepływu, zależna od konfiguracji

odwiertu, własności transportowanego płynu oraz warunków ciśnienia i temperatury w

odwiercie. Rozpatrując jednofazowy przepływ gazu w odwiercie pionowym o stałych:

przekroju poprzecznym rur wydobywczych, temperaturze, stosunku ściśliwości „z” i

współczynniku oporów przepływu „λ” równanie przepustowości odwiertu przyjmuje postać:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⋅⋅⋅π

λ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅= ⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

1egTD

Tzpq8epp TRzHg2

2n

52

222n

2nTRz

Hg22

g2

w (5.1)

Równanie (5.1) umożliwia obliczenie ciśnienia dennego dynamicznego przy znanym

ciśnieniu głowicowym lub odwrotnie. Prawa strona tego równania stanowi sumę dwóch

ciśnień: ciśnienia statycznego (ciśnienie słupa gazu) oraz ciśnienia potrzebnego na pokonanie

oporów przepływów (II człon).

Przy braku przepływu w odwiercie (qn = 0) równanie przepustowości upraszcza się do

zależności pomiędzy ciśnieniem głowicowym a dennym w warunkach statycznych:

TRzHg

gw epp ⋅⋅⋅

⋅= (5.2)

30

Krzywa przepustowości odwiertu

Krzywą VLP jako zależność między ciśnieniem na dnie odwiertu a wydajnością

konstruuje się w oparciu o równanie przepustowości odwiertu (5.1) zapisane w postaci:

gDT

q1eTzp8

epp52

n2

2n

TRzHg2

222n

TRzHg2

2gw

⋅⋅⋅π

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅⋅⋅⋅λ⋅

+⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

(5.3)

Na rys. 5.1 przedstawiono krzywe przepływu płynu w odwiercie VLP dla różnych średnic rur

wydobywczych (D2 > D1) przy założonym ciśnieniu głowicowym. Ze wzrostem wydajności

odwiertu następuje odchylenie krzywych ku górze, co jest związane ze wzrostem oporów

przepływu. W przypadku rur o mniejszej średnicy opory przepływu są wyższe, zatem dla

uzyskania tej samej wydajności przepływu ciśnienie głowicowe musi być odpowiednio

niższe. Przecięcie krzywej VLP z osią pionową ma miejsce przy braku przepływu, zatem

ciśnienie na dnie odwiertu jest ciśnieniem statycznym.

Rys. 5.1. Krzywe przepływu płynu w odwiercie (VLP)

31

6. Testy hydrodynamiczne

Testy hydrodynamiczne są to pomiary wydatku i ciśnienia przy zamkniętej lub otwartej

głowicy odwiertu w funkcji czasu. Ze względu na cel wykonywanych testów dzieli się je na:

1. Testy odwiertowe.

2. Testy złożowe.

Celem testów odwiertowych jest uzyskanie informacji o zdolnościach wydobywczych

odwiertów. W praktyce oznacza to określenie wartości współczynników formuły jedno i

dwuczłonowej.

Celem testów złożowych jest wyznaczenie parametrów charakteryzujących ośrodek

porowaty t.j.: współczynnik przepuszczalności, skin effect, współczynnik turbulencji

przepływu w strefie przyodwiertowej.

Testy odwiertowe

Wśród testów odwiertowych wyróżnia się trzy testy, są to:

1. Klasyczny test wielocyklowy.

2. Klasyczny test izochoralny.

3. Zmodyfikowany test izochoralny.

Klasyczny test wielocyklowy

Test ten polega na wykonaniu próbnej eksploatacji z kilkoma wydatkami przez okres

czasu zapewniający stabilizację ciśnienia w odwiercie (rys. 6.1). Moment stabilizacji

ciśnienia na końcu każdego okresu eksploatacji oznacza pojawienie się wokół odwiertu

warunków stanu semiustalonego. Czas pojawienia się stabilizacji jest tym krótszy im złoże

ma lepsze własności filtracyjne. W złożach słabo-przepuszczalnych, trudno jest uzyskać taką

stabilizację w odpowiednio krótkim czasie. Test ten poprzedza okres zamknięcia odwiertu

celem ustabilizowania się ciśnienia złożowego.

32

Rys. 6.1. Klasyczny test wielocyklowy

Wynikiem klasycznego testu wielocyklowego są wydajności oraz ciśnienia denne zmierzone

pod koniec każdego cyklu próbnej eksploatacji.

Interpretację testu przeprowadza się za pomocą formuł jedno lub dwuczłonowej.

Opracowanie wyników z użyciem formuły dwuczłonowej wykonuje się nanosząc punkty

pomiarowe na wykres w układzie qp2∆ vs q (rys. 6.2), a następnie wyznaczenie nachylenia

prostej „b” i rzędnej „a”.

(6.1) q:/bqaqp 22 +=∆

bqaqp2

+=∆ (6.2)

Rys. 6.2. Opracowanie wyników testu wielocyklowego za pomocą formuły dwuczłonowej.

33

Opracowanie wyników za pomocą formuły jednoczłonowej polega na naniesieniu punktów

pomiarowych na wykres w układzie log (q) vs log (∆p2) (rys. 6.3) i wyznaczeniu indeksu

wydajności odwiertu „J” (rzędna) i wykładnika „n” (nachylenie) wyrażającego odchyłkę od

przepływu Darcy.

PomiarDopasowanie

log

(q)

nachylenie = n

rzędna = J

log (∆p2)

Rys. 6.3. Opracowanie wyników testu wielocyklowego za pomocą formuły jednoczłonowej.

( )n2pJq ∆⋅= (6.3)

(6.4) 2plognJlogqlog ∆⋅+=

Ze względu na długi czas wykonywania klasycznego testu wielocyklowego w chwili obecnej

nie jest on przeprowadzany. Analizując klasyczny test wielocyklowy należy zwrócić uwagę ,

że popełnia się w nim błąd ze względu na fakt, że kolejny wydatek nie rozpoczyna się od tego

samego ciśnienia złożowego.

W celu zmniejszenia strat gazu oraz kosztów prowadzenia testu wprowadzono znacznie

krótsze testy izochronalne. Wśród testów izochoralnych (stałoczasowych) wyróżnia się:

klasyczny test izochoralny i zmodyfikowany test izochoralny.

Klasyczny test izochoralny

Test ten polega na wykonaniu próbnej eksploatacji odwiertu z kilkoma różnymi

wydatkami trwającymi ten sam krótki okres czasu, bez względu na to czy zostały uzyskane

warunki stanu semiustalonego. Po każdym okresie eksploatacji następuje zamknięcie

odwiertu celem odbudowy ciśnienia do wartości początkowej. Test kończony jest

eksploatacją o przedłużonym okresie trwania aż do uzyskania stabilizacji ciśnienia w

odwiercie (rys. 6.4). Przyjęcie krótkiego czasu eksploatacji dla poszczególnych wydatków

powoduje, że testem objęta jest jedynie pewna ograniczona strefa wokół odwiertu (przepływ

34

w stanie nieustalonym). Końcowa eksploatacja pozwala natomiast na rozszerzenie

uzyskanych wyników do pełnej strefy oddziaływania odwiertu, co odpowiada warunkom

przepływu semiustalonego.

Wyniki testu uzyskane dla krótkich czasów eksploatacji pozwalają określić charakter

dopływu płynu do odwiertu i na ich podstawie określany jest parametr „b” t.j nachylenie

prostej pomocniczej na wykresie w układzie qp2∆ vs q (rys.6.5). Końcowa eksploatacja aż do

uzyskania stabilizacji ciśnienia w odwiercie pozwala schara ełną strefę

oddziaływania odwiertu i na jej podstawie wyznaczany jest parametr „a” (rzędna na wykresie

w układzie qp2∆ vs q).

pwf1

pwf2

Rys. 6.4. Test izochronalny

Interpretację wyników klasycznego te

uzyskane wyniki pomiarowe na wykres w

Dla każdego wydatku q określa się różn

odwiercie pod koniec każdego okresu eks

q1 2

1wf2

i2

1 ppp −=∆

q2 22wf

2i

22 ppp −=∆

pwf3

stu izochronalnego prz

układzie qp2∆ vs q.

icę kwadratów ciśnień, p

ploatacji.

kteryzować p

pwf4 pw5

eprowadza się nanosząc

oczątkowego i dennego w

35

q3 23wf

2i

23 ppp −=∆

q4 24wf

2i

24 ppp −=∆

qst 2

5wf2

i2

st ppp −=∆

Dla krótkich okresów eksploatacji wyznacza się prostą pomocniczą na podstawie której

określa się nachylenie (współczynnik „b”). Następnie wykorzystując wyniki z końcowej

eksploatacji wyznacza się tzw. „punkt stabilizacji” przez który przeprowadza się prostą

równoległą do prostej pomocniczej. W oparciu o tak wyznaczoną prostą określa się

współczynnik „a” (rys. 6.5).

∆p2/q

nachylenie = b

rzędna = a

q

Rys. 6.5. Opracowan

Zmodyfikowany test

Mimo, że kla

jednak okresy odb

określenia. Celem d

izochronalnego pol

eksploatacji jak i od

ciśnienia wywołane

(nie popełnia się zby

bowiem w zasadnic

klasycznym teście iz

eksploatację przez d

ie wyników tes

izochoralny

syczny test izo

udowy ciśnien

alszego skróce

egającej na w

budowy ciśnie

eksploatacją ob

t dużego błędu

zej części złoż

ochoralnym po

łuższy okres cz

tu izochronalneg pomocą formuły uczłonowej.

choralny wyraźn

ia często są zb

nia czasu trwani

prowadzeniu tyc

nia. Uzasadnienie

ejmują niewielką

) odbudowy ciśni

a panuje ciągle

okresach stałocz

asu aż do uzyskan

o za

ie skrócił czas prowa

yt długie i trudne

a pomiarów dokonan

h samych okresów

m tej modyfikacji j

część złoża, zatem

enia od wartości ciśn

ciśnienie początkow

asowej eksploatacji p

ia stabilizacji ciśnie

dw

dzenia pomiarów

do jednoznaczn

o modyfikacji t

czasu dla okre

est to, że zaburz

nie ma konieczn

ienia początkow

e. Podobnie ja

rowadzi się osta

nia w odwiercie.

, to

ego

estu

sów

enia

ości

ego,

k w

tnią

36

Przebieg zmodyfikowanego testu izochronalnego przedstawiono na rys. 6.6.

Interpretację wyników zmodyfikowanego testu izochronalnego przeprowadza się podobnie

jak w przypadku klasycznego testu izochronalnego w oparciu o dane pomiarowe t.j.

wydajności oraz ciśnienia na początku i końcu każdego okresu eksploatacji. Różnica polega

jednak na tym, że w przypadku zmodyfikowanego testu izochronalnego ciśnienie na początku

każdego okresu eksploatacji jest niższe od ciśnienia początkowego, gdyż po okresach

eksploatacji nie następuje odbudowa ciśnienia do wartości początkowej.

Dla każdego wydatku q określa się zatem różnicę kwadratów ciśnień, na początku i końcu

każdego okresu eksploatacji jako:

q 22

21

2 ppp −=∆

Rys. 6.6. Zmodyfikowany test izochronalny.

37

Literatura 1. Rybicki C.: Niepublikowane materiały z wykładów: „Mechanika i hydromechanika

złóż ropy i gazu”, „Inżynieria złożowa”, „Eksploatacja złóż gazu”.

2. Dake L. P.: „Fundamentals of Reservoir Engineering”. Elsevier, New York – London – Amsterdam – Tokyo 1978.

3. Dake L. P.: „The Practice of Reservoir Engineering (Revised Edition)”. Elsevier, Amsterdam – London – New York – Oxford – Paris – Shannon – Tokyo, 2001.

4. Hagoort J., „Fundamentals of Gas Reservoir Engineering”. Elsevier-Amsterdam-Oxford, 1988.

5. Ikoku Chi U ., „Natural Gas Production Engineering”. John Willey & Sons, New York – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapore, 1984.

6. Ikoku Chi. U.: „Natural Gas Reservoir Engineering”. John Willey & Sons, New York – Chichester – Brisbane – Toronto – Singapore, 1984.

7. Slider H.C.: „Worldwide Practical Petroleum Reservoir Engineering Methods”. PennWell Publishing Company, Tulsa, Oklahoma, 1983.

8. Tarek Ahmed: „Reservoir Engineering Handbook”, Gulf Professional Publishing,

Houston, Texas, 2000.

9. Economides M.J., Hill A.D.: „Petroleum Production Systems”, Prentice-Hall PTR,

New Jersey 1994.

38