El Argumento Diagonal de Lawvere, el Teoremade Cantor y el Teorema de Incompletitud de Gödel

Lina María Orozco Izquierdo

Director del Trabajo Schweitzer Rocuts PabónMatemático Universidad Nacional de Colombia

M. Sc. de la Universidad Nacional

Fundación Universitaria Konrad LorenzFacultad de Matemáticas

Trabajo Presentado como Requisito para Optarpor el Título de Matemático

9 de julio de 2003

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Resumen

A través del teorema Diagonal de F William Lawvere se muestrauna brillante versión sintética, en el lenguaje de la teoría de cate-gorías, del teorema de George Cantor y del teorema de Incompletitudde Gödel.

Through the F William Lawvere Diagonal theorem a brilliant syn-thetic version, using the language of category theory is used to showGeorge Cantor theorem and Gödel Incompleteness theorem.

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Índice General

Introducción 4

1 Capítulo 1Preliminares 51.1 El Teorema de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 El Teorema de Incompletitud de Gödel . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Generalidades Acerca del Trabajo de Gödel . . . . . . 61.2.2 Pasos de la Demostración de Gödel del Teorema de

Incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Capítulo 2Introducción a las Categorías 112.1 Definición y Ejemplos de Categorías . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Algunos Objetos Especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Capítulo 3Argumentos Diagonales 223.1 El Teorema Diagonal de Lawvere . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Demostración del Teorema de Cantor Utilizando el Argumen-

to Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Demostración del Teorema de Incompletitud de Gödel Uti-

lizando el Argumento Diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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Introducción

La teoría de categorías surge en medio de la escuela estructuralista francesaalrededor de 1945 como resultado de los trabajos de Eilenberg y Mac Laneen topología algebraica, pero rápidamente se expande a distintas partes dela matemática, la lógica y sus aplicaciones, donde en primera instancia, seintuye y consolida como un ambiente matemático adecuado para generalizar,unificar y simplificar conceptos en muy variados tópicos, en los cuales losdiagramas de flechas y sus propiedades, extraen sintéticamente las relacionesentre algunos objetos internos de una teoría o la relación entre objetos dedistintas teorías; pero en segunda instancia, es un objeto central de estudioy una rama genuina de la matemática, que ha motivado la aparición deteoremas en algunas partes de la matemática, cuya prueba se desconoce porotros métodos en estos contextos.

En este trabajo se explican algunas nociones básicas de teoría de cate-gorías y se muestra un ejemplo de su enorme poder de síntesis: el teoremadiagonal de Lawvere, con el que se logra extraer parte de la esencia de al-gunas demostraciones clásicas en las que se ve involucrado un argumentodiagonal, a decir, el teorema de Cantor en teoría de conjuntos y el teoremade incompletitud de Gödel en teoría de la demostración.

El trabajo contiene tres capítulos, en el primer capítulo, como preli-minares, se prueban las demostraciones clásicas del teorema de Cantor y elteorema de incompletitud de Gödel, las generalidades del trabajo que realizoGödel y los pasos de la demostración de este teorema; en el segundo capítu-lo, se hace una introducción a la teoría de las categorías, se dan ejemplos yse estudian algunos objetos especiales de las mismas y en el último capítulo,se explican las demostraciones del teorema diagonal de George Cantor y elteorema de incompletitud de Gödel, utilizando el argumento diagonal el cuales una generalización obtenida mediante la teoría de categorías y permiteuna demostración clara, como ya se dijo, de teoremas clásicos como lo sonel teorema de Cantor y el teorema de Gödel, sobre los cuales se desarrollóel presente trabajo.

Se trató de seguir al máximo las normas AMS, pero, en algunos casos, fuenecesario desviarse de la norma, por la importancia que tienen las gráficaspara la representación y demostración de los teoremas.

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1 Capítulo 1Preliminares

1.1 El Teorema de Cantor

El desarrollo de la teoría de conjuntos ha girado en gran medida alrededor dela noción de cardinal y su aritmética, el cuál, en sus principios, se debe en suintuición, presentación y ampliación a los trabajos de Bolzano y Cantor. Enestos trabajos se caracteriza el cardinal de un conjunto y su comportamientorespecto de los demás, en términos de los conceptos de equipotencia ' ydominación ¹, los cuales se fundamentan en la noción de función biyectiva,inyectiva o sobreyectiva.

Definición 1.1 Para T y S conjuntos, se dice que S domina a T o que Tes dominado por S, si existe una función inyectiva de T en S, o de formaequivalente, si existe una función sobreyectiva de S en T , lo cual se escribeT ¹ S. Se dice que T es equipotente con S y se escribe T ' S, si existeuna función biyectiva de T en S, o lo que es lo mismo, si T ¹ S y S ¹ T(teorema de Cantor - Bernstein). En particular, si T es equipotente con elconjunto N de números naturales, se dice que T es enumerable.

Observe que por composición de funciones inyectivas y el teorema deCantor - Bernstein se sigue que T ' S y T ¹ X ¹ S implican T ' X ' S,o de manera equivalente, si T ¹ X ¹ S y no es cierto T ' X o no es ciertoX ' S entonces no es cierto T ' S.

El teorema de Cantor afirma que un conjunto T es dominado estricta-mente por P (T ), su conjunto de partes o conjunto potencia, es decir, queexisten funciones inyectivas de T en P (T ) pero que ninguna de ellas resultabiyectiva, lo cual se escribe T ≺ P (T ). La prueba clásica recurrre al métodode reducción al absurdo (con lo cual se supone la consistencia de la teoría)y a un argumento diagonal, idea que fue explotada en la demostración deotros teoremas como la no enumerabilidad de los números reales.

Teorema 1 (Cantor) Sea T un conjunto. Entonces T ≺ P (T ).

Demostración La función f de T en P (T ) definida por f(t) = tes una función inyectiva, con lo cuál T ¹ P (T ). Suponga que existe unafunción h de T en P (T ) sobreyectiva, con lo cual P (T ) sería dominado porT , y tome X = x ∈ T/x /∈ h(x). Como h es sobreyectiva existe t ∈ T talque h(t) = X, y por la definición de X, t ∈ h(t) si y solo si t /∈ h(t). Portanto, no existe ninguna función sobreyectiva de T en P (T ).

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Para dos conjuntos T y S, si T ⊂ S entonces T ¹ S pues la función deimersión de T en S, i(x) = x, es inyectiva. Se sigue en particular que losnúmeros naturales son dominados por los números reales.

Teorema 2 El conjunto R de los números reales no es enumerable.

Demostración El conjunto N de los números naturales es dominadopor el intervalo (0, 1) ⊂ R pues la función f(n) = 1/(n+ 1) es una funcióninyectiva de N en (0, 1). Suponga que tal intervalo es un conjunto enu-merable, con lo cual existe una lista exhaustiva de sus elementos, a decir,(0, 1) = a1, a2, .., an, ... y sea ai = 0, a1ia2ia3i... la escritura decimal máscorta del i-ésimo número de la lista, en donde aki es la k-ésima cifra deci-mal de ai. Defina el número x = 0, x1x2x3...xn... donde xi ∈ 0, 1, ..., 9 yxi 6= aii. Entonces x ∈ (0, 1) y para cada i ∈ N se tiene que x 6= ai, puesdifieren en la cifra i-ésima. Por tanto, x ∈ (0, 1) pero x /∈ a1, a2, .., an, ...con lo cual la lista no es exhaustiva, contradicción. Entonces (0, 1) no esenumerable, con lo cual no es cierto que N ' (0, 1), pero N ¹ (0, 1) ¹ R,de donde R no es enumerable.

1.2 El Teorema de Incompletitud de Gödel

1.2.1 Generalidades Acerca del Trabajo de Gödel

El intentar entender y explicar el contexto en el que se está inmerso (fenó-menos sociales, físicos, económicos), ha llevado al ser humano por muy va-riadas rutas en las que se deposita esperanza de encontrar respuestas, lascuales en muchos casos han sido consideradas definitivas a lo largo de es-pacios temporales muy largos. Una de tales rutas de aproximación es lamatematización del fenómeno, con lo cual el fenómeno se “libera” de am-bigüedades pero se restringe a cierto tipo de combinatoria simbólica y a uninstrumentario que funciona como versión local del mismo. Este proceso hallevado a aplicaciones muy concretas de la matemática, tales como algunosapartes de la geometría y el cálculo, con lo que surge de manera naturalla esperanza de que un instrumentario con tan amplia gama de modelos,contextualizado adecuadamente, fuera capaz de descifrar todas las verdadesdel objeto de estudio o, por lo menos, del modelo que se propone paraaproximarlo, y de hacer evidente al investigador la veracidad o no de susafirmaciones, lo cual llevaría el proceso de generación de conocimiento ala consecución del modelo preciso para el fenómeno y, con algún métodoefectivo, decidir acerca de las verdades del fenómeno o del modelo.

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El teorema de incompletitud de Gödel es uno de los teoremas crucialesen el desarrollo de la lógica moderna, pues rompe con la esperanza de quebajo el marco de una cierta combinatoria finita de enumerables símbolos, selogren atrapar todas las verdades de cualquier estructura en la que se puedaformalizar la aritmética. De esto se sigue que, en los modelos que contenganla aritmética formalizada, existen verdades que dentro de tal modelo sonindecidibles, es decir, no se pueden probar ni refutar, lo que indica la inex-istencia de modelos totales y la imposibilidad de decidir en todos los casosacerca de las verdades de un modelo dado.

Este teorema tiene profundas repercusiones en la matemática y la lógica,y en particular en teoría de la demostración. Este teorema implica la im-posibilidad de pruebas internas de consistencia para una teoría formalizadacapaz de soportar la aritmética, con lo cual, es imposible en este tipo demarco, probar la consistencia de gran parte de la matemática. Además sepuede probar que la noción de verdad del sistema es externa al sistema, osea, que un sistema de este tipo no puede dar cuenta de la verdad o no deafirmaciones internas a él.

Debido a la aparición de paradojas en varias regiones de la matemática,surgieron distintas propuestas para su manejo o erradicación (Paraconsis-tencia, Intuicionismo, Formalismo y Logicismo). La idea que tomó másfuerza fue la tarea de conseguir versiones depuradas de estos apartes dela matemática para después probar de forma directa la consistencia de losmismos. Se pretendía alcanzar versiones que fueran consistentes (libres decontradicciones) y completas (deduzcan todas las verdades).

El teorema de incompletitud surge en medio del contexto formalistapropuesto por David Hilbert, en el cual se recurre a la noción de sistemaformal, donde se gravita alrededor del concepto de pruebas finitarias. Unsistema formal que contiene la aritmética es una extensión consistente delcálculo de predicados formalizado que contiene símbolos, axiomas y reglaspara describir la aritmética. El camino de la demostración del teorema deGödel recorre la aritmetización del sistema formal, para luego, en el lenguajede las funciones y predicados recursivos, conseguir una afirmación aritméticacierta que no puede ser demostrada dentro del sistema.

Teorema 3 (Incompletitud de Gödel) En cualquier sistema formal queabarque toda la aritmética, existen proposiciones que se saben que son ver-daderas, pero no se pueden demostrar.

Es decir : ² α, pero no ` α (1)

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1.2.2 Pasos de la Demostración de Gödel del Teorema de Incom-pletitud

El proceso de enumeración de Gödel consiste en asignar un número único acada signo elemental, fórmula (secuencia de signos) y cada prueba (secuenciafinita de fórmulas en la que cada renglón es un teorema, un axioma o viene deaplicarse alguna regla deductiva entre renglones anteriores). Este númerosirve como rótulo distintivo, se llama “Número de Gödel”. Con estose consigue que el sistema formal que describe por lo menos la aritméticasea descrito por la misma aritmética. Para obtener estos números, primerodividió los signos elementales del vocabulario en dos clases: constantes yvariables.

• Las constantes son:Signos constantes Número de Gödel∼ 1

∨ 2

⊃ 3

∃ 4

= 5

0 6

s 7

( 8

) 9

, 10

• Las variables a su vez pueden ser:

1. Numéricas: Numerales y expresiones numerales. Se asocian aellas, números primos sucesivos mayores que 10.

Variables numéricas Número de Gödelx 11

y 13

z 17

2. Proposicionales: Fórmulas, proposiciones, frases. Se asocian aellas los cuadrados de números primos sucesivos mayores que 10.

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Variables proposicionales Número de Gödelp 112

q 132

r 172

3. Predicativas: Predicados. Se asocian a ellas los cubos de nú-meros primos sucesivos mayores que 10.

Variables predicativas Número de GödelP 113

Q 133

R 173

Ejemplo 1.1 (Numeración de Gödel) A la fórmula (p∧p) ⊃ p se le cal-cula en número único de Gödel tomando los valores de las tablas anteriores,así:

( p ∧ p ) ⊃ p↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓8 112 2 112 9 3 112

Como se desea asignar un único número a la fórmula, se asocian núme-ros primos sucesivos a cada signo que aparece en ella, elevando este númeroa la potencia igual al número de Gödel de los signos elementales correspon-dientes. Por tanto, el número de Gödel asociado a la fórmula es:

28× 3112× 52× 711

2× 119× 133× 17112

= 2. 474× 10325

Despues de definir funciones y predicados recursivos y recursivos primi-tivos, los pasos que siguió Gödel para la demostración de este teorema son:

1. Construir una fórmula aritmética G que representa el enunciado “Gno es demostrable”. A esta frase le calculó el número de Gödel h, yenunció aritméticamente la frase “La fórmula con número de Gödel hno es demostrable”.

2. Probar que si G es demostrable, ˜G también es demostrable y entoncesla aritmética es inconsistente. Pero aritmética es consistente: no sepuede deducir G y ˜G.

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3. Luego se concluye que la fórmula aritmética G es indecidible: G noes demostrable formalmente, pero al mismo tiempo G es verdadera,con lo cual se concluye que en un sistema formal consistente que con-tenga la aritmética, ningún conjunto consistente recursivo deaxiomas para la aritmética es completo. Este argumento mues-tra que la aritmética es esencialmente incompleta, ya que aún si seadicionaran nuevos axiomas de tal manera que la fórmula G pudieraser demostrada, siempre será posible construir otra fórmula verdadera,pero formalmente indecidible.

4. Adicionalmente, Gödel describió como construir otra fórmula A, querepresenta el enunciado: “La aritmética es consistente”, y probó quela fórmula A ⊃ G es demostrable, probando finalmente que la fórmulaA no es demostrable.

Los detalles de este procedimiento seguido por Gödel se puede encontraren [NAGEL] y [CAICEDO].

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2 Capítulo 2Introducción a las Categorías

2.1 Definición y Ejemplos de Categorías

Una categoria es una colección de objetos y morfismos entre dichos objetospara los que está definida una composición asociativa con módulo a izquierday a derecha. Formalmente:

Definición 2.1 (Categoría) Una categoría C es un par (Ob(C), Hom(C))donde:

1. Ob(C) es una clase cuyos elementos X,Y, ... son llamados objetos deC o C-objetos.

2. Hom(C) es una clase cuyos elementos f, g, ... llamados flechas omor-fismos de C o C-flechas, donde:

a. A cada flecha f de Hom(C) le corresponde un par de C-objetosllamados el dominio y codominio de f , Dom(f) y Cod(f). SiA = Dom(f) y B = Cod(f) entonces se dice que f es una flecha

que va de A a B y se escribe f : A −→ B o Af−→ B.

A Bf

Dominio y codominio

b. A cada par de flechas f : A −→ B y g : B −→ C de C, dondeCod(f) = Dom(g), se le asigna otra flecha g f : A −→ Cllamada la composición o compuesta de f y g, lo cual tambiénse puede escribir gf .

A C

B

f g

g o f

Composición

Dom(g f) = Dom(f) y Cod(g f) = Cod(g) (2)

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c. Asociatividad de la composición. Si f : X −→ Y , g : Y −→ Z,h : Z −→W , entonces h(gf) = (hg)f . Esto permite omitirlos paréntesis y solo escribir h g f o X −→ Y −→ Z −→W .

X

Y

Z

W

g o f

f g h

h o g o fh o g

Ley asociativa

d. Ley de identidad. Si f : A −→ B, entonces 1B f = f yf 1A = f .

BA

B

BA

A

f

f

1B f

f

1A

Ley de identidad

e. Para cada objeto A de Ob(C) existe una única flecha 1A : A −→ A,llamada la flecha identidad de A, donde g1A = g y 1A f = fpara cualesquiera morfismos f y g, donde Cod(f) = A = Dom(g).Entonces, si f : A −→ B, tenemos 1B f = f y f 1A = f .

AA 1A

Flecha identidad

Las identidades son un tipo especial de flecha, las cuales dicenque un objeto se relaciona con el mismo y tienen la propiedad deser módulo para la composición. Se puede demostrar fácilmenteque para cada objeto A, la flecha identidad es única.

Una categoría es pequeña si para cualquier par de objetos X, Y de C, lacolección Hom_C(X,Y ) de flechas de X a Y es un conjunto. Esto quieredecir que su clase de objetos y por lo tanto su clase de flechas, es un conjunto.

Algunos ejemplos importantes de categorías (pequeñas) son: Set, Vect,Top, Cat.

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Ejemplo 2.1 (Set) Es la categoría de los conjuntos, donde la clase de “ob-jetos” es la clase V de todos los conjuntos y la clase de “flechas” paraX,Y ∈ V , Set(X,Y ) es el conjunto de todas las funciones de X en Y .Entonces los objetos en Set son todos los conjuntos y los morfismos sontodas las funciones entre esos conjuntos.

Ejemplo 2.2 (Vect) Es la categoría con espacios vectoriales como objetosy funciones lineales como morfismos.

Ejemplo 2.3 (Top) Es la categoría de los espacios topológicos como obje-tos y las funciones continuas como morfismos.

Ejemplo 2.4 (Cat) Es la categoría de todas las categorías, con categoríascomo objetos y functores como morfismos.

Para una categoría C, la categoría opuesta o dual Cop, es la que se obtienedevolviendo todas las flechas de la categoría C, intercambiando el dominioy codominio, es decir, Ob(C) = Ob(Cop), f ∈ Hom(C) con A f−→ B si y solo

si fop ∈ Hom(Cop) con B fop−→ A, y (g f)op = fop gop para f, g ∈ Hom(C).Algunas nociones en categorías son mutuamente duales, como por ejemplola noción de objeto inicial y terminal, monomorfismo y epimorfismo, comose verá más adelante.

2.2 Algunos Objetos Especiales

Algunas de las siguientes definiciones son simétricas o duales, como se habíaadvertido anteriormente.

Definición 2.2 (Objeto Terminal) Un objeto terminal, es un objeto P ,tal que cada objeto X de C tiene exactamente una única flecha hacia P .Esto es, existe un único morfismo X −→ P , para todo X de C.

P

A

B

C

Objeto terminal

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Esta definición dice que un objeto terminal es aquel que recibe solo unaflecha de cada objeto de la categoría y como el propio objeto terminal esun objeto de la categoría, debe recibir una flecha de sí mismo, la cual es laflecha identidad.

En la mayor parte de las categorías es útil ver el objeto terminal comoun punto.

Definición 2.3 (Objeto Inicial) Un objeto inicial es un objeto S, tal quecada objeto X de C tiene exactamente una única flecha desde S. Esto es,existe un único morfismo S −→ X, para todo X de C.

S

A

B

C

Objeto inicial

Esto quiere decir que un objeto inicial es aquel que manda una y solouna flecha a cada objeto de la categoría y como el propio objeto inicial esun objeto de la categoría, debe enviarse una flecha a sí mismo, la cual es laflecha identidad.

Usualmente se usa el “1” para nombrar un objeto terminal y “0” paranombrar un objeto inicial. Una categoría puede tener cualquier número deobjetos terminales e iniciales o ninguno. Sin importar cuantos tenga estosson determinados por un único isomorfismo.

Teorema 4 Si P es un objeto terminal y hay un isomorfismo f : Q −→ Pentonces Q es también un objeto terminal [MC].

Demostración Cualquier objeto T tiene una única u : T −→ P , asíhay por lo menos f−1 u : T −→ Q. Dado cualquier v : T −→ Q tenemosf v : T −→ P . Debido a la unicidad, u = f v y así v = f−1 u. Por lotanto f−1 u tiene una única flecha de T a Q.Teorema 5 Si P y Q son ambos objetos terminales en la categoría C, en-tonces hay exactamente una única flecha de P a Q y esa flecha es un iso-morfismo de C (con una única flecha de Q a P como inverso) [MC].

Demostración Suponga que P y Q son ambos objetos terminales, conlas únicas flechas f : P −→ Q y g : Q −→ P . Entonces g f va de P aP , pero 1P es la única flecha de P a P . Así que g f = 1P . Similarmente,f g = 1Q.

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P

A

B

C

Q

f g

1P

1Q

Para los objetos iniciales se pueden repetir las pruebas de estos dos teo-remas pero leyendo “flecha desde S” cada vez que se diga “flecha hacia P”.

Un objeto cero es un objeto que es a la vez objeto terminal e inicial.Igualmente una categoría puede no tener objeto cero o cualquier cantidad deellos. Si una categoría tiene objeto cero entonces todos los objetos inicialeso terminales en la categoría son objeto cero.

Ejemplo 2.5 En la categoría Vect, el punto en el espacio 0 es a la vezobjeto terminal e inicial, porque para cualquier vector en el espacio las si-guientes funciones son lineales: V −→ 0, 0 −→ V , las cuales son lasúnicas funciones lineales desde o hacia 0. Entonces en la categoría Vectlos objetos inicial y terminal coinciden, y por lo tanto Vect tiene objeto cero.

En la categoría Set, el conjunto vacío es el único objeto inicial, mientrasque cualquier conjunto unitario es un objeto terminal. Esto quiere decir queSet tiene objetos terminales e iniciales distintos.

Definición 2.4 (Producto) Dados dos objetos A1 y A2 de la categoría C,entonces un “producto de A1 y A2” en C, es:

• Un objeto P en C.• Un par de flechas p1 y p2 hacia objetos A1 y A2 en la categoría, lla-madas proyecciones canónicas, así:

A1 ←− P −→ A2 (3)

y cumplen que para cada objeto T y cada par de flechas f1 y f2 de Thacia A1 y A2

A1 ←− T −→ A2 (4)

existe exactamente una única flecha u! : T −→ P que hace que eldiagrama conmute, es decir que f1 = p1 u y f2 = p2 u.

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T

A1 P A2

f1

p1

f2

p2

u!

Producto

Se escribe A1×A2 para el producto de A1 y A2, cuando existe y (f1, f2)para la flecha u. Por lo tanto el producto no solamente es un objeto, sinoun objeto con dos morfismos.

En una categoría cualquier par de objetos en ella pueden no tener pro-ducto o cualquier cantidad de ellos, pero son únicos salvo isomorfismo.

Teorema 6 Si P , p1 y p2 es un diagrama producto para A y B. Y existe unisomorfismo f : Q −→ P entonces, Q, p1 f , p2 f es también un diagramaproducto para A y B [MC].

Demostración Para cualquier objeto T y flechas T h−→ A, T k−→ Bexiste una única u : T −→ P con p1 u = h y p2 u = k, así que existe almenos f−1 u : T −→ Q con p1 f

¡f−1 u¢ = h, y p2 f ¡f−1 u¢ = k.

Dada cualquier v : T −→ Q con p1 f v = h y p2 f v = k, uno puedever que f v : T −→ P es la composición con p1 para h y con p2 para k, asíque por unisidad f v = u. Por lo tanto v = f−1 u es la única flecha desdeT hacia Q componiendo con p1 f para h, y con p2 f para k.

PA

T

B

u!h k

p1 p2

Q

f v!f'

Teorema 7 Si P , p1 y p2 es un diagrama producto para A y B. Y si Q,q1 y q2 es otro, entonces la única flecha u : Q −→ P con p1 u = q1 yp2 u = q2 es un isomorfismo [MC].

Demostración Se toman los dos diagramas producto, u : Q −→ P yel morfismo v : P −→ Q. Entonces p1 u v = q1 v = p1. Similarmente,p2 u v = q2 v = p2. Pero 1p es la única flecha de P a P con esacomposición para p1 y p2, así que u v = 1p. Por el mismo razonamiento setiene que, v u = 1q.

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T

A P Bp1 p2

u!

QA

T

Bq1 q2

PA

Q

Bp1 p2

q1 q2u!v!

Definición 2.5 (Producto Binario) Una categoría C tiene producto bi-nario, o simplemente es una categoría con productos, si para cada par deobjetos en C, digamos A1 y A2, existe A1 ×A2.

Definición 2.6 (Suma) Dualmente, la suma o “coproducto” de A1 y A2en una categoría C, es:

• Un objeto Q.• Un par de flechas q1 y q2 desde A1 y A2, llamadas inyecciones, talesque para cada objeto B y cada par de flechas desde A1 y A2 en B,existe exactamente una única flecha h! : Q −→ B que hace que eldiagrama conmute.

QA1

B

A2

h!f1 f2

q1 q2

Coproducto

Se escribe A1 + A2 para el coproducto de A1 y A2, cuando existe y(f1, f2)0 para la flecha h.

Definición 2.7 (Coproducto Binario) Una categoría C tiene coproductobinario, o simplemente es una categoría con coproductos, si para cada parde objetos en C, digamos A1 y A2, existe A1 +A2.

En Set y Top el producto es el producto cartesiano y el coproducto esla unión disyunta, respectivamente, de conjuntos y de espacios topológicos.

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Algunos morfismos especiales.Un endomorfismo f es un morfismo en el cual el dominio y el codo-

minio son el mismo objeto. Esto es, f : A −→ A. Un caso particular deendomorfismo, es la flecha identidad en el cual, para todo a del dominio,a = f(a).

Definición 2.8 (Monomorfismo) Una flecha f : A −→ B es un monomor-fismo, si para cualquier par de flechas g1, g2 : C −→ A, en las cuales secumple que el dominio de f es igual al codominio de g1 y g2, la igualdadf g1 = f g2 implica que g1 = g2. Se puede decir que f es cancelable porla izquierda.

BfACg1

g2

Monomorfismo

Definición 2.9 (Epimorfismo) Una flecha f : A −→ B es un epimor-fismo, si para cualquier par de flechas g1, g2 : B −→ C, en las cuales secumple que el codominio de f es igual al dominio de g1 y g2, la igualdadg1 f = g2 f implica que g1 = g2. Se puede decir que f es cancelable porla derecha.

CBAg1

g2

f

Epimorfismo

Definición 2.10 (Isomorfismo) Una flecha f : A −→ B es isomorfismoo flecha invertible, si existe otra flecha g : B −→ A tal que g f = 1A yf g = 1B. Entonces g es llamada el inverso de f y denotada por g−1.

AA

B BB

A1A

gfg f

1B

Isomorfismo

En la categoría Set los isomorfismos son las biyecciones uno a uno ysobre, los monomorfismos son las funciones uno a uno y los epimorfismos

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son las funciones sobre. Pero no todo monomorfismo es inyectivo y no todoepimorfismo es sobreyectivo. Observe que las nociones de monomorfismo yepimorfismo son duales, mientras que la noción de isomorfismo es ella mismasu dual.

Un diagrama D es un arreglo de objetos y flechas, donde los objetosocupan los vértices y las flechas los bordes. Un camino en un diagrama Des una sucesión finita de flechas de D tales que Cod(fi) = Dom(fi+1) parai = 1, ...n − 1, donde el n es la longitud del camino. Por tanto, un caminoes una sucesión finita de flechas que cumplen que el codominio de la flechaanterior es igual al dominio de la siguiente.

Definición 2.11 (Diagrama Conmutativo) Un diagrama D se dice con-mutativo o que conmuta si cumple que tomando cualquier par de vértices, lacomposición de las flechas a lo largo de cualquier camino de longitud ≥ 2,desde el primer vértice hasta el segundo, es igual a la composición a lo largode cualquier otro camino desde el primer vértice hasta el segundo.

C

A

D

Bf

g h i

j

Diagrama conmutativo

a. Conmuta si y solo si g = h f y se llama triángulo conmutativo y laflecha f y la flecha h son una factorización de g.

CB

A

h

gf

b. Es conmutativo si y solo si f h = g h.

CBAf

gh

f o h

g o h

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Un diagrama con un solo vértice conmuta si y solo si todas las flechasen el son 1A.

Para verificar que un diagrama conmuta, es suficiente con probar quecada una de sus partes conmutan, esto quiere decir que el diagrama sedescompone geométricamente.

Definición 2.12 (Cono sobre un Diagrama) Sea D un diagrama en unacategoría C con vértices Di. Entonces un cono sobre D es una familia deflechas desde un objeto A hacia los objetos en D, es decir los Di, talesque para cualquier flecha entre dos objetos de D, el diagrama conmuta. Elobjeto A se llama el vértice del cono.

A

Di Dj

fi

d

fj

Cono sobre un diagrama

Definición 2.13 (Límite) Un límite para un diagrama D es un cono ter-minal. Luego un límite para D es un cono A0 −→ Di tal que para todoslos conos A −→ Di existe una única flecha de A a A0 que hacen que eldiagrama conmute.

A

Di

fi

g! A'

f'i

Límite

Por dualidad, se puede definir un cono bajo un diagrama.

Definición 2.14 (Colímite) Un colímite para un diagrama D es un conoinicial en la categoría de los conos.

Observe que los productos y coproductos son casos especiales de lasnociones más generales de límites y colímites.

Una acción de un objetoA en un objetoX es un morfismoA×X f−→ X.Gráficamente una acción es:

20

X

1

a

fA x X

X

1a

f(a,_)

X

Morfismoconstante Endomorfismo

a

A x X

Dibujando el gráfico anterior de manera simplificada:

X

a

f(a,_)

X

a

A x X

Donde f(a,_) es la familia de morfismos parametrizados por A.Una operación binaria en un objeto A es un morfismo A × A −→ A.

Entonces las operaciones binarias son acciones de un objeto sobre si mismo.

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3 Capítulo 3Argumentos Diagonales

3.1 El Teorema Diagonal de Lawvere

Teorema 8 Si Y es un objeto tal que existe un objeto T con suficientespuntos para parametrizar todos los morfismos de T −→ Y por medio de unmorfismo f : T × T −→ Y , entonces Y tiene la “propiedad de puntofijo”: cada endomorfismo α : Y −→ Y de Y tiene al menos un puntoy : 1 −→ Y para el cual αy = y [LAW].

Yf

T

T x T

Y

af(t,_)

g

Propiedad depunto fijo

Diagonal

Demostración Como se llama argumanto diagonal, se debe involucraruna diagonal definida como el morfismo∆ : T −→ T×T tal que∆(t) = (t, t),entonces:

Yf

T

T x T

Y

af(t,_)

g

1

t

∆

Luego g se definió de tal manera que hiciera conmutar el diagrama, esdecir:

g = α(f(∆)) = α f ∆g t = α f ∆ tg(t) = α(f(∆(t)))Se tiene para: α(f(t, t))g(t0) = f(t0,_) = f(t0, t) = f(t0, t0) = α(f(t0, t0)) = f(t0, t0)Entonces f(t0, t0) es un punto fijo.Argumento Diagonal de Cantor.Sea f : T×X −→ Y un morfismo en el cual los tres objetos son diferentes,

se puede pensar en X como el objeto con el cual se va a parametrizar lafamilia de morfismos T −→ Y .

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Esta familia de morfismos tiene tamaño: |Y ||T |.Para que X pueda parametrizar todos los morfismos de T −→ Y el

tamaño mínimo de X debe ser |Y ||T |.Cada punto de x : 1 −→ X nos genera uno de los morfismos: T

f(_,x)−→ Y .

Corolario 3.1 (Contrapositivo de Cantor) Si Y es un objeto conocidoque tiene al menos un endomorfismo α que no tiene puntos fijos, entoncespara cada objeto T y para cada intento f : T × T −→ Y de parametrizarmorfismos de T −→ Y por puntos de T , debe existir al menos un morfismoT −→ Y el cual queda fuera de la familia parametrizada.

Yf

T

T x T

Y

af(t,_)

g

Al menos un endomorfismosin propiedad de punto fijo

En g hay más morfismos que en f(t,_).

3.2 Demostración del Teorema de Cantor Utilizando el Ar-gumento Diagonal

Si tenemos en Set un conjunto Ω de dos puntos, llamados V y F , el endo-morfismo Negación Lógica no tiene propiedad de punto fijo:

NOT (V ) = F, NOT (F ) = V. (5)

Luego para una familia de morfismos T ×T −→ Ω, por el Corolario Contra-positivo de Cantor se tiene que no existe parametrización alguna de todoslos morfismos de T −→ Ω, los cuales son 2|T | morfismos con |T | elementos.Es decir, vale el teorema de Cantor.

3.3 Demostración del Teorema de Incompletitud de GödelUtilizando el Argumento Diagonal

La demostración del teorema de incompletitud de Gödel mediante la teoríade categorías se reduce a la existencia de un punto fijo. Si se tiene elobjeto T que contiene todas las proposiciones del sistema. Sea g : T −→ Ωel morfismo que asigna a cada proposición un valor de verdad, V o F . Siexiste una parametrización T × T −→ Ω de todos los morfismos T −→ Ω,así:

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Ωf

T

T x T

Ω

af(t,_)

g

tendriamos que g = f(t,_) y esto implicaría que α tiene la propiedadde punto fijo. Pero sabemos que existe un endomorfismo α que no tienepropiedad de punto fijo, el cual es NOT . Luego se llega a una contradic-ción, ya que por el Corolario Contrapositivo de Cantor, como existe un endo-morfismo que no tiene propiedad de punto fijo, entonces existe al menos unmorfismo T −→ Ω que no puede expresarse como f(t,_). En otras palabras,existe al menos una proposición en T que no es demostrable.

Para analizar cómo T × T −→ Ω es una demostración.

Ωf

T

T x T

Ω

af(t,_)

g

Se debe tener claro que una demostración es una sucesión finita de fór-mulas α1,α2, ,αk tal que cada αi es un axioma, una premisa o fórmula queresulta de las anteriores por aplicación de alguna regla deductiva, por ejem-plo Modus Ponens, y a cada una de las fórmulas le corresponde un úniconúmero de Gödel, es entonces posible asignarle un único número de Gödela la demostración:

α1 ∧ α2∧, ...,∧αk tiene número de Gödel Z (6)

A la última línea de una demostración, que es αk, se le llama teorema,y sea Y el número de Gödel que le corresponde.

Por tanto α1 ∧ α2∧, ...,∧αk−1 es la sucesión de pasos que permiten con-cluir αk, a esta sucesión de pasos se le asigna el número de Gödel X.

El número de Gödel Z de la demostración tiene a X como parte inicialo factor, y se escribe Z = Dem(X,Y ) indicando que la sucesión de fórmulascon número de Gödel X es una prueba de la fórmula con número de GödelY .

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Ωf

T

T x T

Ω

af(t,_)

g

#Z x #Y

Ω

V

Luego si se tiene una expresión con número de Gödel Y que se deseademostrar, se debe aplicar el morfismo T −→ T × T que seleccione unnúmero Z de T el cual contenga a X como parte inicial, y a Y como factorrestante.

Si tal Z existe, entonces se puede tener el morfismo T × T −→ Ω quele asigna el valor de verdad correspondiente a T y que en particular esf(Z, Y ) −→ Ω. También se expresa diciendo que Y tiene la propiedad Zy que el morfismo de T × T −→ Ω describe las propiedades de T −→ Ω.Retomando el argumento diagonal, existe al menos una proposición en Tque no es demostrable.

La teoría de las categorías es un desarrollo nuevo en matemáticas queproporciona una visión sintética de muchos campos de la matemática. Conella, no solo se aporta su fundamentación sino que también ofrece un lengua-je adecuado para expresar resultados en áreas tan variadas como la teoría deconjuntos, el álgebra abstracta, la geometría algebraica, la topología, la lógi-ca y sus aplicaciones, como ya se había mencionado antes. Además, la teoríade las categorías provee herramientas para la unificación y simplificación delas matemáticas, suministrando un lenguaje a partir del cual se presentan yobtienen resultados de una manera general. Su enorme poder de síntesis semuestra a través del teorema diagonal de F William Lawvere, el cual es unageneralización obtenida mediante el lenguaje de la teoría de las categorías ycon el que se muestra una brillante visión de algunas demostraciones clásicascomo lo son las del teorema de George Cantor y el teorema de incompleti-tud de Gödel, en los que se ve involucrado un argumento diagonal, como semuestra en este trabajo.

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Referencias

[LAW] F. W. Lawvere & S. H. Schanuel, Conceptual Mathematics: Afirst introduction to categories, Cambridge: Cambridge Universi-ty Press (1997).

[BELL] J. Bell, Toposes and Local Set Theories: An Introduction, Oxford:Oxford University Press (1988).

[MAC] S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, NewYork: Springer Verlag (1971).

[MC] C. McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, Ox-ford: Oxford University Press (1992).

[ARBIB] M. A. Arbib & E. G. Manes, Arrows, Structuresm, and Functors:The Categorical Imperative, New York: San Francisco AcademicPress (1975).

[NAGEL] E. Nagel & J. R. Newman, La Prueba de Gödel, Mexico: Univer-sidad Nacional Autónoma de Mexico. (1959).

[GOLD] R. Goldblatt, Topoi: The Categorial Analysis of Logic, Amster-dam: Elsevier Science Publishers. B. V. (1984).

[MUÑOZ] J. M. Muñoz, Introducción a la Teoría de Conjuntos, Bogotá:Universidad Nacional de Colombia. (2002).

[CAICEDO] X. Caicedo, La Paradoja de Berry Revisitada, o la Indefinibi-lidad de la Definibilidad y las Limitaciones de los Formalismos,Bogotá: Universidad de los Andes y Universidad Nacional deColombia.

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