5TO AÑO

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APLICACIÓN COTIDIANA DE ÁLGEBRA

1. (3 puntos) En el distrito de Ate Vitarte el boom por la construcción inmoviliaria se vio muy marcada en la zona de Salamanca para lo cual la constructora Rischmoller que tiene 8 años en el mercado constructor, siempre a la vanguardia y complaciendo las más exigentes expectativas del consumidor, pidió a sus ingenieros lo siguiente:

Laconstruccióndeunabasecuadrangulardeunedificioestaenfunciónde un polinomio cúbico cuya variable “x” representa el número de obreros que laboran. Si las dimensiones de dicha base son divisibles

por ( x2 + 2x + 3) y también por (x + 1), hallar el área cuadrangular enfunciónde“x”ycuántosobrerostrabajansi: x = 3.

2. (3 puntos) Los ingresos de una tienda están dados por:

I(x) = P(x) Q(x) ; donde I(x): Ingreso, P(x): precio de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. Si el ingreso es I(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1, Hallar el precio de venta y la cantidad de artículos vendidos enfunciónde“x”.

2015

BLOQUE I

3. (3puntos)Pormotivosde lasfiestasPatrias,las compañías se ven en la necesidad de vender sus productos por la gran demanda que genera el mes de la Patria, donde mensualmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto articulo a “p” dólares cada uno, en donde la relación entre “p” y “x” ( precio y número de artículos vendidos ) está dado por la siguiente ecuación : p = 1400 – 40x.

¿Cuántos artículos debe vender para obtener unos ingresos de 12000 dólares?

4. (3 puntos) Melbert es un asesor de una empresa propietaria de un complejo de oficinas quecuenta con 50 suites. Se puede rentar casa una de estas en 4000 dólares mensuales.

Sin embargo, por cada $ 200 de aumento por mes habrá 2 de ellas desocupadas, sin posibilidad de rentarlas. La compañía desea obtener un total de $ 202400 dólares mensuales con la renta del totaldelcomplejo.Sepidedeterminarlarentaque debe cobrarse por cada suite.

5TO AÑO

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1. (3puntos)Enunagranjadepollossedaunadieta,para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia “A” y otras de 15 de una sustancia “B”.

En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 euros.

FunciónObjetivo:f(x,y)=10x+30y

Cuya representación de inecuaciones es la siguiente:

x≥0 y≥0 x+5y≥15 5x+y≥15

X Y Mínimo

A 1 5 15

B 5 1 15

¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con costo mínimo?

2. (3 puntos) Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior.Paraellolanzandosofertas,AyB.LaofertaA consiste en un lote de una camisa y un pantalón quesevendena30€;laofertaBconsisteenunlotede tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. Nosedeseaofrecermenosde20lotesdelaofertaAni menos de 10 de la B.

x = nº de lotes de Ay = nº de lotes de B

FunciónObjetivo:f(x,y)=30x+50y

Cuya representación de inecuaciones es la siguiente:

x≥20y≥10x+3y≤200x+y≤100

Tipo A B Mínimo

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100

¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

BLOQUE II

5TO AÑO

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3. (3 puntos) Estás en Indonesia y vigilas con mucho cuidado el valor del dólar estadounidense en el mercado cambiario, durante un periodo muy activo de 5 días. Supón que el valor del dólar se puede aproximar bien por la funciónR(t) = 7500 + 500t – 100t2 rupias (la rupia es la unidad monetaria de Indonesia), en la que t es el tiempo de días (t=0 representa el valor del dólar a mediodía del lunes)

¿Cuálfuelarazóndecambiodelvalordeldólarduranteelperiodode2díasquecomenzóamediodíadelmartes(elintervalo[1;3]enelejet)?

4. (3 puntos) Estás en Indonesia y vigilas con mucho cuidado el valor del dólar estadounidense en el mercado cambiario, durante un periodo muy activo de 5 días. Supón que el valor del dólar se puede aproximarbienpor la función R(t)=7500+500t– 100t2 rupias (la rupia es la unidad monetaria de Indonesia), en la que t es el tiempo de días (t=0 representa el valor del dólar a mediodía del lunes)

¿Cuálfuelarazóndecambiodelvalordeldólarduranteelperiodode2díasquecomenzóamediodíadeljueves(elintervalo[1;3]enelejet)?

5. (3 puntos) Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio deventaesmáximoelbeneficiodiarioqueobtieneelheladero?¿Cuálseráesebeneficio?

5TO AÑO

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1. (3 puntos) El club Sparza, ubicado en el caluroso distrito de Huachipa, en la construcción de una de sus piscinas se discutía en cuanto tiempo estaría llena la piscina si solo se cuenta con dos llaves industriales para dicho propósito de tal manera que al abrir las dosllavesjuntassellenabalapiscinaendoshoras,una sola llave lo hace por si solo en tres horas menos que la otra. ¿Cuántas horas tardara cada uno en llenar la piscina separadamente?

2016

BLOQUE I

2. (3 puntos) La edición número 65 del tradicional “ Mundialito de El Porvenir” se desarrolla en el distrito de la Victoria. Como es costumbre cada 1 de mayo, este colorido torneo, tiene de todo: goles, futbol,fiestay,paraevitarqueseden, conatosdebronca que empañan el espectáculo se determinó enconstruiruncampode futsalyunabarreraquepermita dar seguridad a los jugadores y al públicoque siempre están alrededor del campo, para la próxima edición número 65 del tradicional evento deportivo,élnuevocampode futsaldebetener lassiguientes características:

Un perímetro de 142 m y el área del campo debe ser de 840 m2,dondelosladosdelcampodefutsaldeben ser números enteros. ¿Cuál es el área de la región sombreada que bordea el campo de futsalsi se sabe que el largo y el ancho son 8m y 10 m respectivamente más que el largo y ancho del campo defutsal?

3. (3puntos)Latarifadetaxisenunaciudadestipulaque se cobre por cada kilómetro recorrido la misma cantidad más el impuesto, esto es, en el momento en que el taxista es contratado se añade un importe fijoalatarifa,independientementealoskilómetrosa recorrer. Un día, una persona contrato un taxi, recorrió 3 km y le cobro 15 soles. Otro día tomo otro taxi que le cobro 25 soles por una carrera de 8 km, si el recorrido es lineal, cuanto será el costo en soles por el recorrido de 37 km.

5TO AÑO

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FunciónObjetivo:f(x,y)=20x+40y

Las restricciones son:

x + 3y ≤ 92x + y ≤ 8x ≥ 0y ≥ 0

Determine la producción diaria de los artículosAyBquemaximizaelbeneficio.

1. (3puntos)Ciertofabricanteproducedosartículos,AyB,paraloquerequierelautilizacióndedosseccionesdeproducción:seccióndemontajeyseccióndepintura.

ElartículoArequiereunahoradetrabajoenlaseccióndemontajeydosenladepintura;yelartículoB,treshorasenlaseccióndemontajeyunahoraenladepintura.

Laseccióndemontajesolopuedeestarenfuncionamientonuevehorasdiarias,mientrasqueladepinturasoloochohorascadadía.ElbeneficioqueseobtieneproduciendoelartículoBesde 40 euros y el de A es de 20 euros. Entonces:

Llamamos x a la producción diaria de artículos “A” e y a la de artículos “B”. Resumimos los datos en una tabla:

CANTIDAD MONTAJE PINTURA BENEFICIO

A x x horas 2x horas 20x

B y 3y horas y horas 40y

TOTAL x + 3y 2x + y 20x + 40y

BLOQUE II

2. (3 puntos)Un quiosco vende bolígrafos a 20 céntimos de euro y cuadernos a 30 céntimosde euro. Llevamos 300 céntimos de euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos,porlomenos.Entonces:

Llamamosxalnúmerodebolígrafoseyalnúmerodecuadernos.

Tenemos que:

PIEZAS PRECIO

BOLÍGRAFOS x 20X

CUADERNOS y 30y

TOTAL 20x + 30y

Realicelasrestricciones,lafunciónobjetivo.¿Cuál será el número máximo de piezas que podemos comprar?

5TO AÑO

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3. (3 puntos) En la ciudad de Huaral situada a 2 horas del norte de Lima, encontramos un clima cálidoidealparalasiembradefrutasmuyenespecialdelasnaranjas.

Unahuertatieneactualmente25árboles,queproducen600frutoscadauno.Secalculaqueporcadaárboladicionalplantado,laproduccióndisminuyeen15frutos.

Calcular:

a) La producción actual de la huerta. b) La producción que se obtendría de cada árbol si se planta x árboles más. c) La primera derivada de la producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan

x árboles más.

4. (3 puntos) En la ciudad de Huaral situada a 2 horas del norte de Lima, encontramos un clima cálidoidealparalasiembradefrutasmuyenespecialdelasnaranjas.

Unahuertatieneactualmente35árboles,queproducen400frutoscadauno.Secalculaqueporcadaárboladicionalplantado,laproduccióndisminuyeen16frutos.

Calcular:

a) La producción actual de la huerta. b) La producción que se obtendría de cada árbol si se planta x árboles más. c) La primera derivada de la producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan

x árboles más.

5TO AÑO

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2017

BLOQUE I

1. (3 puntos) Si se desea construir un campo de futsal que reúne la seguridad de los participantes a un encuentro de futsal profesional, es necesario construir un perímetro alrededor del campo de juego que brinde seguridad y protección a los jugadores de los clubes que participen en el campeonato, entonces:

El campo de futsal debe tener las siguientescaracterísticas: Un perímetro de 142 m y el área del campo debe ser de 840 m2, donde los lados delcampodefutsaldebensernúmerosenteros.¿Cuál es el área de la región sombreada que bordeaelcampodefutsalsisesabequeellargoyel ancho son 8 m y 10 m respectivamente más que ellargoyanchodelcampodefutsal?

• • •

2. (3 puntos) Una liebre perseguida por un galgo se encuentra a 80 saltos de la liebre delante del galgo. La liebre da 4 saltos mientras que el galgo da 3.

Si 5 saltos del galgo equivalen a 7 saltos de la liebre. ¿Cuántos saltos dio la liebre antes de ser alcanzada por el galgo?

3. (3 puntos) En la clase de álgebra del 5to año del colegio Trilce, está conformada por 35alumnos y por obtener buenos resultados en sus simulacros, el colegio los quiere premiar por su buendesempeño3bolígrafosacadaalumnay2cuaderno a cada alumno. Si en total han sido 84 regalos.

a) (1.5 puntos) ¿Cómo plantearías una ecuación a esta situación?

b) (1.5 puntos) ¿Cuántos alumnos y alumnas están en la clase?

5TO AÑO

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1. Un herrero debe fabricar bicicletas de paseo y montañeras, para lo cual dispone de 90 kg de acero y 120 kg de aluminio, dichas bicicletas serán vendidas a 2 000 y 1 500 soles respectivamente. Se sabe además que para la fabricación de una bicicleta de paseo empleará 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para la montañera empleará 3 kg de acero y 2 kg de aluminio, para lo cual se desea obtener el máximo beneficio.

Incógnitas:

x = número de bicicletas de paseo y = número de bicicletas de montaña

FunciónObjetivo:f(x,y)=2000x+1500y

Cuya representación de inecuaciones es la siguiente:

Tipo de bicicleta Cantidad Kg de acero Kg de aluminio Beneficio

A x x 3x 2000x

B y 3y 2y 1500y

TOTAL 90 120 2000x + 1500y

b) (2 puntos) ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá el herrero para obtener el máximo beneficio?

a) (1 punto) Graficar las restricciones de las inecuaciones lineales.

x ≥ 0 y ≥ 0 x + 3y ≤ 90 3x + 2y ≤ 120

BLOQUE II

5TO AÑO

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2. La tarifa de taxis en una ciudad determina el costo de sus tarifas de la siguiente manera. Por cada kilómetro recorrido se cobre la misma cantidad más el impuesto, esto es, en el momento en que el taxista es contratado se añade un impuesto fijo a la tarifa, independientemente a los kilómetros a recorrer. Si se contrata un taxi por 3 km el costo es 15 soles, si se contratara por 8 km el costo sería de 25 soles, si el recorrido es lineal, entonces:

b) (2 puntos) ¿Cuánto será el costo en soles por el recorrido de 37 km?

a) (1 punto) Formular la función lineal.

3. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B.

x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B

FunciónObjetivo:f(x,y)=30x+50y

Cuya representación de inecuaciones es la siguiente:

Tipo A B Mínimo

Camisas 1 3 200

Pantalones 1 1 100

b) (2 puntos) ¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

a) (1 punto) Graficar las restricciones de las inecuaciones lineales.

x + 3y ≤ 200 x + y ≤ 100 x ≥ 20 y ≥ 10

5TO AÑO

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4. (3 puntos) Se quiere tender dos tuberías que salgan desde un mismo punto de la orilla de un lago y lleguen 10 km. Arriba, a dos puntos diferentesdeAyBdeunaciudad,loscualesestán5 km distantes uno del otro. Supongamos que la línea que une estos puntos corre paralela al lago. Determine los kilómetros totales de tubería aemplearcomo funciónde ladistanciaquehayentre la proyección de un punto A al otro extremo del lago y el punto desde el cual sale la tubería x.

Observación: (paraquelafuncióntengaunmáximooun

mínimo la derivada debe ser cero)

5 (3 puntos) La viruela de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función

f(t) = 40 + 15t + 9t 2 + t 3 donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde que comienza en estudio

(t = 0) indicar los instantes de máxima y mínima viruela en las 6 primeras horas.

6. (3 puntos) Un heladero ha comprobado que si vende su producto, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Pero, por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos helados menos al día. Si el costo por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de ventaesmáximoelbeneficiodiarioqueobtieneelheladero?¿Cuálseráesebeneficio?