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11.1 El concepto de límite:

Un enfoque numérico y

gráfico

DEFINITION INFORMAL:

El límite de una función es el “valor esperada” de la función

para un valor de x específico.

Limites: Un enfoque numérico y gráfico

¿Cuál es el “valor

esperado” de f(x)

para x = a?

x = a

y = L

El “valor esperado” de

f(x) para x = a es L.

y = f(x)

¿Cómo determinamos el “valor esperada” de la

función para un valor de x específico?


1. Por inspección determinamos

que el valor de y que

corresponde a x = a es L.

x = a

y = L y = f(x)


¿Cuál es el valor “esperado” de f(x) para x = 1?

𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑓(𝑥) = 5

f(x)

DEFINICION:

A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L,

si todos los valores de f (x) están cercanos a L para valores

de x muy cercanos a, pero no iguales a a.

limxaf (x) L,


¿Cómo determinamos el “valor esperado” de la función

para un valor de x específico?


1. Por inspección determinamos

que el valor de y que

corresponde a x = a es L.

2. Observamos los valores

correspondientes a los valores

de x que están antes o después

de x = a.

x = a

y = L

TEOREMA:

A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L, si

• el límite por la izquierda existe

• el límite por la derecha existe y

• ambos límites son iguales a L.

Esto es, si

1)

2) entonces

limxa

f (x) L,

limxa

f (x) L, limxaf (x) L,



Práctica 1

Sea

a) ¿Cuánto es ?

b) ¿Cuál es el límite de a medida que se acerca a ?

2 9( )

3

xf x

x

(3)f

f x 3


Práctica 1: Solución parte a

1.) Como , sustituiremos por , que nos da

la nueva ecuación

2.) Resolvemos ,

Por lo tanto, no existe.

2 9( )

3

xf x

x

3x

23 9(3) .

3 3f

(3)f23 9 9 9 0

(3) .3 3 3 3 0

f

(3)f

2 9( )

3

xf x

x

Limites: Un enfoque numérico y gráfico Práctica 1: Solución parte b)

Primero se acerca a por la izquierda: (examinamos valores menores que 3)

Los valores de la tabla reflejan que es .

Luego dejamos que se acerque a por la derecha: (por valores mayores que 6).

Los valores de la tabla reflejan que es .

Por lo tanto, .

x 3

3x

( )f x

2.5 2.9 2.9992.99

5 5.5 5.9 5.99 5.999

3lim ( )x

f x

6

x 3

43x

( )f x

3.5 3.1 3.01 3.001

7 6.5 6.1 6.01 6.001

3lim ( )x

f x

6

3lim ( ) 6x

f x

2

¿ 𝑙𝑖𝑚𝑥→3𝑥2−9

𝑥−3 ?


Observemos la gráfica de

2 9( )

3

xf x

x

f(3) no existe, pero . 3

lim ( ) 6x

f x

Ejemplo 1: Considere la función H dada por

Grafique la función, y determine cada límite, si existe.

a)

limx1H (x) lim

x3H (x)


b)

a) Determinando el límite numéricamente

Primeramente, dejamos que x se acerque a 1 por la

izquierda (o sea por valores menores que -1):

De la tabla observamos que

0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999

H(x)

1x

limx1H (x) 4.


2 3 3.6 3.8 3.98 3.998

limx1H (x)Determinar el para

a) Determinar el límite numéricamente (cont.)

Ahora, dejamos que x se acerque a 1 por la derecha

(valores que son mayores que 1):

Observamos que, aparentemente,

2 1.8 1.1 1.01 1.001 1.0001

H(x)

1x

limx1H (x) 2.


0 –0.4 –1.8 –1.98 –1.998 –1.9998


a) Determinar el límite numéricamente (conclusión)

Como 1)

y

2)

Podemos concluir que , NO existe.

limx1H (x) 4

limx1H (x) 2

limx1H (x)



El Método de la “Pared” :

Si tenemos la gráfica de una función, una alternativa para determinar

el límite es, dibujar una “pared” atravesando el valor donde

queremos determinar el límite.

Luego, seguimos la curva de izquierda a derecha hasta que

choquemos con la pared y escribimos una marca en ese lugar.(×)

Luego, seguimos la curva de derecha a izquierda, marcando

nuevamente la localización donde chocamos con la pared. (×)

Si las localizaciones son iguales, tenemos el límite. De otro modo, el

límite NO existe.


a) Determinar el límite gráficamente

NO existe.

b) Determinar gráficamente: si

limx1H (x)


limx1H (x)

limx1H (x) 4

limx1H (x) 2

b) Determinar el límite numéricamente

Primeramente, dejamos que x se acerque a –3 por la

izquierda:

Observamos que, aparentemente,

–4 –3.5 –3.1 –3.01 –3.001

H(x)

3x

limx3

H (x) 4.


–6 –5 –4.2 –4.02 –4.002

limx3

H (x)Para determinar

b) Determinar el límite numéricamente (cont.)

Luego, dejamos que x se acerque a –3 por la derecha:

Observamos que, aparentemente

–2 –2.5 –2.9 –2.99 –2.999

H(x)

3x

limx3

H (x) 4.


–2 –3 –3.8 –3.98 –3.998

limx3



(conclusión)

Dado que 1)

y

2)

Concluímos que ,

limx3

H (x) 4

limx3

H (x) 4

limx3

H (x) 4.


limx3


Determinar gráficamente para

limx3

H (x) 4


limx3

H (x)

limx3

H (x) 4 limx3

H (x) 4

Ejemplo 2: Considerar la función f dada por

Trace la gráfica de f, y use la gráfica para

determinar si los siguientes límites existen o no.

a)

limx3f (x) lim

x2f (x)

f (x) 1

x 2 3


b)

a) Determinar el límite numéricamente:

Dejar que x se acerque a 3 por la izquierda y por la

derecha:

Por lo tanto,

2.1 2.5 2.9 2.99

f (x)

3x

3.5 3.2 3.1 3.01

f (x)

3x

4.11 4.01

3.66 3.83 3.9090 3.9900

limx3

f (x) 4

limx3

f (x) 4

limx3f (x) 4.


13 5

f (x) 1

x 2 3

limx3f (x)

a) Determinar el límite gráficamente

Observe en la gráfica que:

1)

y

2)

Por lo tanto,

limx3

f (x) 4

limx3

f (x) 4

limx3f (x) 4.


Dada determinar


Dejar que x se acerque a 2 por la derecha y la izquierda:

Por lo tanto, no existe.

1.5 1.9 1.99 1.999

f (x)

2x

2.5 2.1 2.01 2.001

f (x)

2x

limx2f (x)

limx2

f (x)

limx2

f (x)


1 –7 –97 –997

5 13 103 1003

f (x) 1

x 2 3 lim

x2f (x)

b) Determinar el límite graficamente

Se observa en la gráfica que

1)

2)

Por lo tanto,

no existe.

limx2

f (x)

limx2f (x)

limx2

f (x)


×

×

Ejemplo 3: Considerar, nuevamente, la función f

dada por

Determinar

limxf (x).

f (x) 1

x 2 3


Determinar el límite numéricamente

Note que acercarse a ∞ implica asignarle a x valores

cada vez mayores:

Por lo tanto,

5 10 100 1000

f (x)

x

3.3

limxf (x) 3.


3.125 3.0102 3.001

f (x) 1

x 2 3 lim

xf (x).Dada determinar

Determinar el límite graficamente

Se observa en la gráfica que

si x asume valores que

son cada vez mayores,

la gráfica se queda alrededor

de y = 3

Por lo tanto,

limxf (x) 3.



Prácticas Adicionales

Calcule los siguientes límites basado en la gráfica de

a.)

b.)

c.)

.f

2lim ( )x

f x

2lim ( )x

f x

2lim ( )x

f x


Práctica 2 Solución

2lim ( )x

f x

x

2lim ( )x

f x

2lim ( ) 3x

f x

2lim ( ) 3x

f x

2lim ( ) 3x

f x

a.) : Observando la gráfica, a

medida que se acerca a 2 por la

izquierda,

b.) : Observando la gráfica

observamos que a medida que x se

acerca a 2 por la derecha , .

c.) Basado en las soluciones a las partes

a.) y b.), sabemos que .


Práctica 3

Sea Determine los siguientes límites

numéricamente. Luego verifique, gráficamente:

a.)

b.)

c.)

1( ) 6.

1h x

x

lim ( )x

h x

1lim ( )x

h x

2lim ( )x

h x

Limites: Un enfoque numérico y gráfico Práctica 3 Solución

a.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 1:

Límite por la izquierda

Como the Left-Hand Limit por la izquierda se va para goes to y el límite por la derecha

se va para , el NO existe.

1lim ( )x

h x

1

1x ( )h x

0

0.5

0.9

0.99

0.999

( )h x

7

8

16

106

1006

1x

2

1.5

1.1

1.01

1.001

5

4

4

94

994

Límite por la dercha

1lim ( )x

h x


Práctica 3 Solución (cont.)

b.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 2:

.

Límite por la izquierda

Como ambos límites son iguales, tenemos que

2lim ( )x

h x

2x ( )h x

1.1

1.5

1.9

1.99

1.999

4

4

4.8

4.98

4.998

2x ( )h x

3

2.5

2.1

2.01

2.001

5.5

5.3

5.09

5.0099

5.000999

2lim ( ) 5.x

h x

Límite por la derecha

Limites: Un enfoque numérico y gráfico Práctica 3 Solución (conclusión)

c.) : Determinar el límite a medida que x se acerca a (se hace más grande.) :

Como ambos límites son iguales, tenemos que

lim ( )x

h x

x ( )h x

5

10

100

1000

5.75

5.8

5.98

5.998

lim ( ) 6.x

h x

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