el conjunto de los números reales es completo -supremo e Ínfimo
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8/17/2019 El Conjunto de Los Números Reales Es Completo -Supremo e Ínfimo
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El conjunto de losnúmeros reales esCompleto
Completitud de los Números RealesSupremo (Sup) e Ínfmo (In)Caracterización del Sup y del In
Los números reales/ Completitud de los números reales
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8/17/2019 El Conjunto de Los Números Reales Es Completo -Supremo e Ínfimo
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Cota Superior e Inerior
Todos los conjuntos que trataremos en estapresentación contienen algún elemento.
Un conjunto A puede no tener cota superior.
El conjunto A está acotado superiormente si A tiene una cota superior finita.
DefiniciónUn número M es una cota superior de un conjunto Asi, para todos los elementos a de A, a ≤ M.
Oser!ación
Los números reales/ Completitud de los números reales
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Cotas de Enteros Racionales y Reales
Oser!aciones
Todo conjunto no !ac"o de númerosreales, con un número finito deelementos, está acotado. Entre los
elementos de un conjunto finito e#istesiempre un elemento ma$or $ otro menorque todos los demás.
%
Todo conjunto no !ac"o de números
enteros, acotado superiormente, tienesiempre un elemento superior a los demásque es tami&n un entero. 'ste es lamenor cota de dic(o conjunto.
)
Los números reales/ Completitud de los números reales
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Cotas de Enteros Racionales y Reales
Oser!aciones
* +onsiderar el conjunto de números reales A = r - r ) ).
El conjunto de las cotas superiores racionales de loselementos de A no tiene un elemento inferior atodos los demás.
0Esto significa que el conjunto de los númerosracionales no es completo1
Este conjunto claramente está acotado superior einferiormente.
Esto es deido al (ec(o de que no es racional.
Los números reales/ Completitud de los números reales
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Supremo
Definición
La cota superior más peque2a del conjunto A se
llama el supremo del conjunto A.
3otación sup4 A5 6 el supremo del conjunto A.
7ea A un conjunto no !ac"o de números realesacotado superiormente.
El conjunto A tiene una cota superior menor a
las demás cotas superiores.
+ompletitud de los 3úmeros 8eales
Los números reales/ Completitud de los números reales
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Supremo
Ejemplo
sup 9%,%,),: 6 :.
7ea A = % 9 );n | n natural .
Entonces sup4 A5 6 %.
Los números reales/ Completitud de los números reales
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Ínfmo
Definición
La cota inferior ma$or del conjunto A se llama el
ínfimo del conjunto A.
3otación inf4 A5 6 el "nfimo del conjunto A.
7ea A un conjunto no !ac"o de números reales
acotado inferiormente.
El conjunto A tiene una cota inferior mayor a las
demás cotas inferiores.
+ompletitud de los 3úmeros 8eales
Los números reales/ Completitud de los números reales
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Ínfmo
Ejemplo
inf 9%,%,),: 6 9% .
7ea A = % < );n | n natural.
Entonces inf4 A5 6 %.
Los números reales/ Completitud de los números reales
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Caracterización del Supremo
Demostración 4continuación5
Teorema
>ara comproar que la condición ) tami&n se cumple,supongamos que es falsa. Entonces e#iste un númeropositi!o ε tal que no e#isten elementos a del conjunto
A con -s 9 a| ? ε .Entonces s 9 @ es tami&n una cota superior de A.Esto es imposile, $a que s es la cota superior máspeque2a del conjunto A.
s 6 sup4 A 5 s" $ sólo si=
%.
).
∀ ∈ ≥:a A s a
ε ε ∀ > ∃ ∈ −
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Caracterización del Supremo
Demostración 4continuación5
Teorema
7upongamos a(ora que s cumple las condiciones % $ ).
s 6 sup4 A 5 s" $ sólo si=
%.
).
Tenemos que demostrar que s es la cota superiormínima del conjunto A.
La condición % implica que s es una cota superior de A.
∀ ∈ ≥:a A s a
ε ε ∀ > ∃ ∈ −
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Caracterización del Supremo
Demostración 4continuación5
Teorema
>ara demostrar que s es la cota superior mínima,suponemos que no lo es.
s 6 sup4 A 5 s" $ sólo si=
%.
).
Entonces e#istir"a una cota superior t de A, t < s.
>or lo tanto s – t > A. >or tanto s no cumplir"a lacondición ) para ε = s – t.
∀ ∈ ≥:a A s a
ε ε ∀ > ∃ ∈ −
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Caracterización del Ínfmo
Teorema
r 6 Bnf4 A 5 s" $ sólo si= %.
).
∀ ∈ ≤:a A r a
ε ε ∀ > ∃ ∈ −
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!sando las Caracterizaciones
Definición
>ara un conjunto A, A " R, se define) A por
Enunciado
7uponiendo que sup4 A 5 ? C,
sup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.
{ }= ∈2 2 / A a a A
Los números reales/ Completitud de los números reales
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!sando las Caracterizaciones
Enunciadosup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.
Teorema s 6 sup4 A 5 s" $ sólo si= %.
%.).
Demostración usando=
∀ ∈ ≥:a A s a
ε ε ∀ > ∃ ∈ −
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!sando las Caracterizaciones
Enunciado sup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.
a ≤ sup4 A 5 de donde )a ≤ )sup4 A 5
>or tanto ) sup4 A 5 sup4 ) A 5.
Demostración
∀ ∈a A
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!sando las Caracterizaciones
Enunciado sup4 ) A 5 6 )sup4 A 5.
Demostración
ultiplicando por ) otenemos -)sup4 A 5 – )a - ? ε.
7ea ε F A. Tenemos que demostrar quetal que -)sup4 A 5 – )a - ? ε.
+omo ε /) F A, tal que
-sup4 A 5 – a - ? ε /).
'sto demuestra el enunciado.
Los números reales/ Completitud de los números reales
∃ ∈a A
∃ ∈a A
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C#lculo en una $aria%le
&utor' ia Sepp*l*
+raducción al espa,ol'-.li/ &lonso
0erardo Rodr12uez&2ust1n de la 3illa