1.8 EL CONJUNTO TERNARIO DE CANTOR 34

1.8 El conjunto ternario de CantorSi alguien nos pide un subconjunto de los nmeros reales, es probable que demos un in-tervalo o un conjunto finito. En realidad, qu tan raro puede ser un subconjunto de losnmeros reales? Bueno, para muestra basta un botn. Imagine que alguien le pide removerdel intervalo [0, 1] un subconjunto de longitud uno (la misma longitud que la del intervalo)con la condicin de que en el resto queden tantos puntos como en el intervalo original.Parafraseando podra decirse as: dar un subconjunto de la recta real que tenga longitudcero y que tenga tantos puntos como la recta real. El famossimo Conjunto de Cantor es talejemplo y ser un conjunto que encontremos a lo largo de varios captulos, pues es fuentede ejemplos y contraejemplos para una gran variedad de conceptos. La construccin delconjunto de Cantor es recursiva y se hace como sigue:

Sea F0 = [0, 1] el intervalo unitario. Removemos del intervalo [0, 1] el intervalo(1/3, 2/3) (el tercio medio) para obtener F1 = [0, 1/3] [2/3, 1]. Ahora, de cada unode los intervalos que conforman a F1 removemos el tercio medio, es decir, los intervalos(1/9, 2/9) y (7/9, 8/9). Obtenemos, F2 = [0, 1/9] [2/9, 3/9] [6/9, 7/9] [8/9, 1]. Enel siguiente paso removemos de cada uno de los intervalos de F2 el tercio medio y quedaF3 = [0, 1/27] [2/27, 1/9] [2/9, 6/27] [7/27, 1/3] [26/27, 1]. Continuamoseste proceso de eliminacin inductivamente. As, en el paso n tenemos un subconjunto Fndel intervalo [0, 1] que consiste de 2n intervalos de longitud 13n cada uno. El conjunto Fnse obtiene de Fn1 removiendo los tercios medios de cada uno de los 2n1 intervalos queconforman a Fn1. El conjunto de Cantor finalmente es:

C =

n=1Fn

Note que para obtener el conjunto de Cantor hemos quitado del intervalo [0, 1] interva-los con la siguiente longitud total:

13

+ 29

+ 427

+ 881

+

= 13

(1 + 2

3+(

23

)2+(

23

)3+

)= 1

3(1 23

) = 1.

1.9 LA HIPTESIS DEL CONTINUO 35

Luego la longitud de C es cero y sin embargo C = pues, por ejemplo, 0, 1/3, 2/9, 7/9y en general todo extremo de intervalo que conforma a cada Fn pertenece a C.

Se puede argumentar que C [0, 1]. La idea de la demostracin de este hecho es lasiguiente. Si x C entonces x tiene una expansin ternaria que slo usa los dgitos 0 y 2.Algunos elementos de C tienen dos expansiones ternarias (de hecho son aquellos nmerosen [0, 1] cuyo denominador es potencia de 3). Como hicimos en el caso de expansionesdecimales, podemos elegir, para tales elementos, la expansin ternaria que tiene cola de2. Inversamente cada expansin ternaria que slo usa los dgitos 0 y 2 corresponde a unelemento del conjunto de Cantor. El mtodo diagonal de Cantor puede usarse ahora paraconcluir la no-numerabilidad de C y como C [0, 1] entonces #(C) = #([0, 1]).

El lector avezado habr notado aqu un pequeo detalle tcnico: cmo sabemos queno hay infinitos no-numerables ms chicos que el cardinal infinito que corresponde a#([0, 1])? La respuesta es la llamada hiptesis del continuo que se discute brevemente enla siguiente seccin. Si se desea evitar la hiptesis del continuo, otra manera de mostrar laequivalencia entre C y el intervalo [0, 1] es establecer una correspondencia biunvoca entreC y [0, 1] usando la expansin ternaria de los elementos de C y la expansin binaria de loselementos de [0, 1] (la correspondencia sera dividir entre 2 cada dgito de la expansin.).

1.9 La hiptesis del continuoDe la no-numerabilidad de los nmeros reales tenemos que #(R) > #(N). En general,puede probarse que si A es un conjunto no vaco (quin es P()?) entonces, #(A) 0. Se define 1 = #(P(N)), 2 = #(P(P(N))), etctera. Una pregun-ta natural es corresponde #(R) a algn aleph? Est pregunta se la hizo Cantor durantesus estudios sobre cardinalidad y tambin apareci como el problema nmero uno en lalista de los ya famosos 23 problemas de Hilbert11 que ste anunci durante el Congreso

11David Hilbert, 1862-1943.

1.9 LA HIPTESIS DEL CONTINUO 36

Internacional de Matemticas en 1900.A #(R) se le conoce como el cardinal del continuo y se le denota usualmente por c. En

1963, Cohen12 demostr que el problema de decidir cual de los alephs es c es un problemainsoluble, en el sentido de que diferentes ubicaciones de c en la sucesin de alephs soncompatibles con los axiomas en los que se basa la teora de conjuntos. La demostracinle vali a Cohen la medalla Fields13 de matemticas en 1964. La hiptesis del continuo essuponer que no hay un conjunto infinito cuyo cardinal este entre 0 y c.

EJERCICIOS 1.35 En este ejercicio C denota al conjunto de Cantor.

a) Probar que cada elemento de C admite una expansin ternaria que slo usa los dgitos0 y 2.

b) Pruebe que 1/4 C.

c) Pruebe que C [0, 1].

12Paul Joseph Cohen, 1934-.13John Charles Fields, 1863-1932.