Tema 1: El Espacio Euclidiano n-dimensionalSGFGJanuary 28, 2015

Rn es el espacio euclidiano n-dimensional, y sus elementos son de la forma:x = (x1 , ..., xn ).Propiedades Bsicas:

x = y xi = yi x + y = (x1 + x2 , ..., xn + yn ) x = (x1 , ..., xn ) 0 = (0, ..., 0) x = (x1 , ..., xn )Propiedades Derivadas:

x+y =y+x x + (y + z) = (x + y) + z x+0=x x + (x) = 0 (x) = ()x ( + )x = x + x

La base cannica de Rn es {e1 , ..., e2 } donde:e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en =(0, ..., 0, 1).

El producto interno en Rn esta denido:hx, yi = x1 y1 + ... + xn ynPropiedades del Producto Interno:

hx, yi = hy, xi hx, y + zi = hx, yi + hx, zi hx, yi = hx, yi hx, xi > 0, si x 6= 0 hx, 0i = 0

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Si x e y son ortogonales, se denota xy y se dene:xy hx, yi = 0

La proyeccin ortogonal de x e y es:Proyx y =La norma de x es:|x| =

hx, yixhx, xi

phx, xi

Propiedades de la Norma:

xy |x + y|2 = |x|2 + |y|2 |hx, yi| |x||y| |x| 0 |x| = 0 x = 0 |x| = |||x| |x + y| |x| + |y| ||x| |y|| |x y|Otros Tipos de Norma:

Norma del Mximo: |x|M = mx{|x1 |, ..., |xn |} Norma de la Suma: |x|S = |x1 | + ... + |xn |

Se deduce que |x|M |x| |x|S n|x|MLa distancia entre x e y es:d(x, y) = |x y|Propiedades de la Distancia:

d(x, y) 0 d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, z) d(x, y) + d(y, z)

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