el lenguaje simbólico y natural en la clase de matemática

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EL LENGUAJE SIMBÓLICO Y NATURAL EN LA CLASE DE MATEMÁTICA M ABEL R ODRÍGUEZ JORNADA DE MATEMATICA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA: UN DESAFÍO CONSTANTE

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EL LENGUAJE SIMBÓLICO

Y NATURAL EN LA

CLASE DE MATEMÁTICA

MABEL RODRÍGUEZ

JORNADA DE MATEMATICA

ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA:

UN DESAFÍO CONSTANTE

Organización de la presentación

Ejemplos de falta de comprensión matemática

Elementos teóricos de Didáctica de la

Matemática

Análisis de los ejemplos a la luz de los

elementos teóricos

Explicaciones e implicancias en la enseñanza

Ejemplos de falta de

comprensión matemática

en estudiantes

Ejemplo 1

• Profesor: Seguimos trabajando con

números naturales. Vamos a probar que el

cuadrado de cualquier número par, es

siempre par.

• Escribe en el pizarrón:

n N, si n es par n2 es par

Dem: sea n = 2.k (k N), n2 = (2.k)2 =

4. k2 = 2.(2 k2). Listo.

• El profesor dice: “Prueben que si el

cuadrado de un número es impar es

porque dicho número es también impar”

• Distintos alumnos…

- Da ejemplos (49, 25, 9…) y responde V

- Da solo un ejemplo “raro” y si vale en ese

caso, afirma que vale siempre

(13995081 = 37412)

¿Por qué el alumnono se guía del

ejercicio resueltoanterior?

• Explicación oral del profesor: “Comenzamos a

trabajar con la noción de límite de sucesiones.

La clase que viene profundizaremos sobre esto,

pero ahora quiero presentarles el concepto para

que vayan teniendo idea de qué se trata. El

límite de una sucesión a sub n es un cierto valor

L si los términos de la sucesión están

arbitrariamente cercanos a L con tal de

considerar n lo suficientemente grande”.

• Pizarrón:

Ejemplo 2

Límite de una sucesión

Definición: Dada una sucesión {an} , el límite

de esa sucesión es L y se nota an →L sii:

∀ Ɛ > 0, n0 N / si n > n0,

∣an – L ∣ < Ɛ

• El estudiante toma apuntes del

pizarrón

• El profesor, la clase siguiente,

pregunta a la clase “¿podría alguno

recordar la idea de límite de

sucesiones?”los alumnosno pueden

responder….

• El docente explica el siguiente ejercicio a la

clase:

• Tenemos que probar

Explica oralmente: consideramos la definición. Ella

nos exige, para un épsilon arbitrario, positivo,

encontrar un valor natural a partir del cual los

términos de la sucesión se encuentran a una

distancia del supuesto valor del límite, 0 para

este caso, menor que el épsilon.

01

lim3

nn

Ejemplo 3

Entonces tomamos un épsilon arbitrario y

exploramos cómo deberíamos tomar los

valores de n para que el módulo de 1/n3

sea menor que tal épsilon. Intentaremos ir

acotando la expresión dada hasta que

podamos despejar n, ahora les muestro

en el ejemplo.

Mientras tanto en el pizarrón…

• Ejercicio:

• Sea Ɛ > 0,

Sigue la explicación oral: Llegado a este punto,hemos impuesto la condición que necesitamosque ocurra, sólo que nos resta conocer a partirde qué valor de n esto pasa. Es aquí dondeintentamos despejar n.

01

lim3

nn

33

11

nn

• En el pizarrón sigue:

de donde,

Sigue la explicación oral: Por el Principio deArquímedes sabemos que dado un número realcualquiera, siempre existe un natural mayor queél, de modo que cualquiera sea el épsilonsiempre existe un natural mayor que estaexpresión a la que llegamos, con lo quepodemos probar el límite si reconstruimos lohecho partiendo de este n

31n

n3

1

• El docente le plantea al alumno: probar

que

La resolución del alumno en su carpeta:

0)1(

lim2

n

n

n

(*)

0)1(

lim2

n

n

n

22

1)1(

nn

n

21n

n

1

Vale el límite

El profesor le pregunta al alumno, luego de ver su resolución:

• ¿qué rol juega épsilon en esta resolución?

• Partiendo de un épsilon dado, ¿qué tenés que hallar para asegurarte que el límite sea el valor propuesto?

• ¿qué harías si el enunciado no te propone el valor 0 como posible límite?

• ¿aplicaste algún resultado conocido en esta resolución?

• ¿No estás usando

lo que querés probar en (*)?

Elementos teóricos

ESCUELA

ANGLOSAJONA

(Polya – Schoenfeld)

ENFOQUE

COGNITIVISTA

Pensamiento

Matemático

Avanzado

(Tall – Vinner)

Teoría de los Campos

Conceptuales

(Vergnaud)

Teoría APOS

(Dubinsky)

Teoría Antropológica

de lo Didáctico

(Chevallard)

ESCUELA

FRANCESA

Teoría de Situaciones

(Brousseau)

Ingeniería Didáctica

(Artigue)

CONSTRUCTIVISMO

RADICAL(Von Glasersfeld)

SOCIOEPISTEMOLOGÍA

(Cantoral – Farfán)

EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

CRÍTICA

(Skovsmose)

EDUCACIÓN

MATEMÁTICA

REALISTA

(Freudenthal)

ENFOQUE

ONTOSEMIÓTICO

(Godino- Batanero - Font)

ETNOMATEMÁTICA

(D’Ambrosio)

SOCIO-

CONSTRUCTIVISMO

(Ernest)

EPISTEMOLOGÍA

GENÉTICA

(Ortiz Hurtado)

¿Cómo entendemos la noción de lenguaje simbólico?

• Pensemos en el lenguaje natural…

• Existe una intención de comunicación(función comunicacional)

• Se da/usa entre partes

• Hay mensajes a transmitir y recibir.

• Hay palabras y acuerdos, en unacomunidad, de sus significados según elcontexto de uso

Esto se da en todo lenguaje, con el

lenguaje matemático también ocurre.

Definición

“El lenguaje simbólico o matemático

incluye una colección de significantes

(símbolos) con sus significados aceptados

por la comunidad académica para cada

contexto comunicacional en el que sean

utilizados”

Ante un “mensaje” (matemático) expresado en símbolos un sujeto podría:

– Mostrar conocimiento de los nombres asociados a los significantes, pronunciarlos y hacer una lectura “de izquierda a derecha”

• Decodifica y no recupera o no comprende el mensaje. (Nivel local).

– Mostrar conocimiento de lo que ese mensaje expresa, al hablar podría cambiar el orden de la escritura simbólica favoreciendo la comunicación.

• No decodifica (aunque debe conocer el significado de cada símbolo) y recupera el mensaje. (Nivel global). Solo en este caso usa lenguaje simbólico.

Observaciones y cuestiones a enfatizar:

• El lenguaje matemático no se constituye sólo con

símbolos (¿qué dice esto?: “manejar símbolos no

basta”)

Retomamos la idea de contexto comunicacional de

la definición para dar un ejemplo.

• Cada símbolo cobra significado en el contexto

comunicacional en el que se esté trabajando

Ejemplo de “significado de símbolos según

el contexto comunicacional”

Con el significante (1,2) podemos querer representar:

• En el contexto de “resolución de inecuaciones reales”: un intervalo real

• En el contexto de “intersección de curvas planas”: un par ordenado del plano

• En el contexto de “direcciones de movimientos de móviles”: un vector

• En el contexto de “operaciones en C”: un número complejo

Algunas cosas que hoy entendemos…

Ejemplos:

• -2-3 = -5

• Hallar la expresión lineal y graficar la recta

que contiene a los puntos (1,3) y (2,3)

• x.x = 2x

Un momento para pensar…

¿Qué me llevo para pensar

en la enseñanza? (concepto

de “lenguaje simbólico”)

Lenguaje o lengua natural

Registros (Halliday)

• Vulgar

• Coloquial o informal

• Formal

Observación: noción diferente a la de Duval

Medios (Lyons)

• Canales elegidos para establecer la

comunicación

- Medio oral

- Medio escrito

Análisis de los ejemplos

a la luz de los elementos

teóricos

Análisis del ejemplo 1

• Profesor: Seguimos trabajando con

números naturales. Vamos a probar que el

cuadrado de cualquier número par, es

siempre par.

• Escribe en el pizarrón:

n N, si n es par n2 es par

Dem: sea n = 2.k (k N), n2 = (2.k)2 =

4. k2 = 2.(2 k2). Listo.

Lenguaje natural, medio oralse invierte el orden en la

escritura

Lenguaje simbólico, medio escrito

sin explicación del pasaje de un lenguaje

al otro

• Prueben que si el cuadrado de un número

es impar es porque dicho número es

también impar

• Alumno: no responde lo esperado por el

docente

- Da ejemplos o da un ejemplo “raro”

El alumno debe: asignar significado, pasar al lenguaje

simbólico, se invierte la implicación,

cambia la representación de par a impar…Recurre a lo que sabe previo

• Explicación oral del profesor: “Comenzamos a

trabajar con la noción de límite de sucesiones.

La clase que viene profundizaremos sobre esto,

pero ahora quiero presentarles el concepto para

que vayan teniendo idea de qué se trata. El

límite de una sucesión a sub n es un cierto valor

L si los términos de la sucesión están

arbitrariamente cercanos a L con tal de

considerar n lo suficientemente grande”.

• Pizarrón:

Análisis del ejemplo 2

Límite de una sucesión

Definición: Dada una sucesión {an} , el límite

de esa sucesión es L y se nota an →L sii:

∀ Ɛ > 0, n0 N / si n > n0,

∣an – L ∣ < Ɛ

La claridad de la explicación en lenguaje

natural en le medio oral no se advierte

inmediatamente a partir de la lectura de

los símbolos

• El alumno no puede extraer significado de

los símbolos y

• no entiende cómo no comprende lo que

creyó haber entendido en la clase

• El docente no deja registro de lo dicho en

medio oral en lengua natural

Análisis del ejemplo 3

• Probar

Explica oralmente con toda precisión. Deja

resuelto simbólicamente

• Sea Ɛ > 0, operando

De donde

33

11

nn

01

lim3

nn

31n

n31

• El docente le plantea al alumno: probar

No puede responder ninguna pregunta del

profesor: ni del rol del épsilon, ni si aplicó

algún resultado, ni qué hubiera hecho si el

resultado del límite no hubiera estado

propuesto, etc.

0)1(

lim2

n

n

n

(*)

0)1(

lim2

n

n

n

22

1)1(

nn

n

21n

n

1

Vale el límite

En su carpeta:

• El alumno registró lo que quedó en medio

escrito

• Probablemente comprende la explicación

oral y por eso sólo registra lo escrito

• No extrae información de los símbolos

• Perdió parte del mensaje dado oralmente

• No reconstruye el mensaje a partir de los

símbolos

• Solo aprende “una rutina” simbólica sin

significados

Explicaciones

e implicancias

para la enseñanza

Atendiendo a los lenguajes a la hora de

enseñar…

Lenguaje

simbólico

Lengua natural

Medio escrito

Medio oral

Registro ¿coloquial? ¿formal?

¿Se usa?

¿Qué elegir?-Cuidar el uso

simultáneo de los

dos lenguajes

-Enseñar

conversión/extraer

y asignar

significado

Lenguaje naturalMedio oral

Lenguaje simb.Medio escrito

PIZARRON

MENSAJECLARO

Para pensar…

• Si solo queda plasmada una definición ensímbolos, el estudiante deberá extraersignificado, ¿podrá…?

• El lenguaje natural usado en la clase pasadesapercibido, excepto que el alumno tomeapuntes. ¿Y si se registra por escrito?

• Lo importante ¿siempre queda plasmado en elpizarrón?

• El docente ¿utiliza de un modo preciso enambos lenguajes dentro de una mismaclase o tema?

• ¿Se debería enseñar cómo usar amboslenguajes y pasar de uno a otro?

• La elección de los lenguajes y los medios¿podría dificultar la comprensión posteriora la clase del alumno?

• Si el docente “ve escritos simbólicos

correctos”, ¿está seguro de que el alumno

comprendió?, ¿el significado que le asigna

a los símbolos, será el correcto?

• ¿Habría que hacer algún trabajo para que

el alumno aprenda a tomar apuntes?

• Podemos entender al alumno que no

entiende cuando lee de sus apuntes,

mientras que en la clase creyó haber

comprendido…

• Se pueden entender las dificultades de los

estudiantes en la comprensión de los

textos matemáticos

Se requiere intencionalidad para que el

alumno aprenda los usos de los lenguajes

Se requiere cuidar y organizar la

enseñanza…

Muchas gracias…[email protected]