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EL LÍMITE DE UNA

FUNCIÓN

ETSITGC

Madrid

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NotaciónNotación

Límites lateralesLímites laterales

DefiniciónDefinición

ExplicaciónExplicación

Regla de L’HôpitalRegla de L’Hôpital

TeoremaTeorema

Límites infinitosLímites infinitos

Límite finito en el infinitoLímite finito en el infinito

Límite infinito en el infinitoLímite infinito en el infinito

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Unidad Docente de Matemáticas Inicio

NotaciónNotación

Límite de f(x) cuando x se aproxima al punto a:

Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno reducido del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Si existe un número L, tal que a medida que x se aproxima al número a, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe:

x alím f (x) L

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La función f(x) = x.sen(1/x), verifica:

x 0lím f (x) 0

Al aproximarnos a cero (a=0) por puntos x distintos de cero, f(x) se aproxima a 0 (L=0)

Véase con la definición de límite.

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x 0

1 1lím xsen 0 0, >0 / si 0< x-0 xsen 0

x x

Se tiene que verificar que:

0 >0 / si 0< x-a f (x) L

x alím f (x) L

Por la definición:

En nuestro caso:

DEMOSTRACIÓN

1

1 1 1 1xsen 0 xsen x sen x sen x

x x x x

Como se cumple que : , basta tomar para que se cumplax x

Por muy pequeño que sea ε siempre se puede considerar un δ menor de tal forma que si x se aproxima a 0, entonces xsen(1/x) se aproxima al límite.

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Límites lateralesLímites laterales

Límite por la derecha de f(x) cuando x se aproxima al punto a:

Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que el dominio de f contiene un intervalo abierto (a, b). Si a medida que x se aproxima al número a por la derecha, es decir con a<x, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe:

x ax a a x

lím f (x) lím f (x) L

Límite por la izquierda de f(x) cuando x se aproxima al punto a:

Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que el dominio de f contiene un intervalo abierto (c, a). Si a medida que x se aproxima al número a por la izquierda, es decir con x<a, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe:

x ax a x a

lím f (x) lím f (x) L

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x 1x 1 1 x

lím f (x) lím f (x) 3

La función f(x) = , verifica:2 si x<1

3 si 1<x

x

x 1x 1 x 1


En este caso los límites laterales no coinciden, y por lo tanto, no existe el límite de esta función cuando x tiende a 1.

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TeoremaTeorema

Sea f una función y a un punto interior al dominio de f, entonces, existe el límite de f(x) cuando x tiende a “a” si y sólo si existen los límites laterales y son coincidentes:

x alím f (x) L

x a x alím f (x) lím f (x) L

Si

entonces

PROPIEDADSi existe el límite de f(x) cuando x tiende a “a”, entonces es ÚNICO

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1x 1 x 1lím f (x) lím f (x) 2

La función f(x) = , verifica:2 si x<1

2 si 1<x

x

x 1x 1 x 1


En este caso los límites laterales coinciden, y por lo tanto, existe el límite de esta función cuando x tiende a 1 y vale 2.

x 1x 1 1 x


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DefiniciónDefinición

Límite de f(x) cuando x se aproxima al punto a:

Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a “a” si:

x alím f (x) L

0 >0 / si 0< x-a f (x) L

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Explicación:Explicación:

Límite de f(x) cuando x se aproxima al punto a: x alím f (x) L

Para cada número positivo ε existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) cae dentro de un entorno de L de radio ε.

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Límite infinito de f(x) cuando x se aproxima al punto a:

Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno (tal vez perforado) del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ).

x alím f (x)

M R >0 / si 0< x-a M f (x)

• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es infinito si:

x alím f (x)

M R >0 / si 0< x-a f (x) M

• El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es menos infinito si:

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x alím f (x)

M R >0 / si 0< x-a M f (x)

Para cada número positivo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M

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Para cada número positivo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M

Demostrar que: 2x 1

1lím

x 1

2

1M R >0 / si 0< x-1 M

x 1

2

2

1 1 1M x 1 x 1

M Mx 1

DEMOSTRACIÓN

Como se cumple que : , basta tomar para que se cumplax-1 1

M

Cualquiera que sea M

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Para cada número negativo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por debajo de M

Demostrar que: 2x 1

1lím

x 1

2

1M R >0 / si 0< x-1 M

x 1

DEMOSTRACIÓN

Como se cumple que : , basta tomar para que se cumpla.x-1 1

M

Cualquiera que sea M Obsérvese que M es negativo

2

2

1 1M 1 x 1 M x 1

Mx 1

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Límite finito en el infinitoLímite finito en el infinito

Límite de f(x) cuando x tiende a infinito:

Sea f una función cuyo dominio contiene un intervalo de la forma (a, +∞). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a “∞” si:

xlím f (x) L

0 k R / si k x f (x) L

LL-ε

L+ε

k

Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε.

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Demostrar que:x

1lím 1 1

x

10 k R / si k x 1 1

x

1

x

DEMOSTRACIÓN

Como se cumple que: , basta tomar para que se cumplak<x1

k

Existe k

1 1 11 1 x

x x

Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε. 1-ε

1+ε

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Límite infinito en el infinitoLímite infinito en el infinito

Límite infinito de f(x) cuando x tiende a infinito:

Sea f una función definida para todo número mayor que algún número b. El límite de f(x) cuando x tiende a ∞ es ∞, si:

xlím f (x)

M R k R / si k x M f (x)

k

M

Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x).

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Demostrar que: xlím 2x cos x

M R k R / si k x M 2x cos x

M 2x cos x

DEMOSTRACIÓN

Como se cumple que: , basta tomar para que se cumplak<xM 1

k2

M

Existe k

1

M 2x cos x

M 2x cos x 2x 1

M 1x

2

Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x).

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Regla de L’HôpitalRegla de L’Hôpital

El resultado también es válido si

x a

f (x)lím

g(x)

x a x a

f (x) f (́x)lím lím

g(x) g (́x)

La regla se puede aplicar a distintas indeterminaciones: 0.∞; ∞-∞; 00; 1∞, mediante las transformaciones pertinentes pasamos a las indeterminaciones de la forma 0/0 ó bien ∞/∞

Sean f, g funciones derivables en un entorno de un punto ó

Si x a x alímf (x) límg(x) 0

y existe x a

f (́x)lím

g (́x), entonces existe

y se cumple que:

a R a

Cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital:

x a x alímf (x) límg(x)

Si en la expresión se vuelve a presentar una

indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞ se puede volver a aplicar la regla (siempre y cuando se cumplan las hipótesis).

x a

f (́x)lím

g (́x)

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x a x 0límf (x) límsenx 0

x 0 x 0 L'Hópital x 0 x 0

senx f (x) f (́x) cos x 1lím lím lím lím 1

x g(x) g (́x) 1 1

Calcular x 0

senxlím

x

Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital:

SOLUCIÓN

Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital

x a x 0límg(x) lím x 0

x 0 x 0

f (́x) cos x 1lím lím 1

g (́x) 1 1

Entonces existe el límite de la función senx/x cuando x tiende a cero:

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Calcular

x

x

1lím 1

x

Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital:

SOLUCIÓN

Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital

x

x

1 11 1 1

x

INDETERMINACIÓN

Aplicando logaritmos

x

x x x

1ln 1

1 1 xln z lím ln 1 lím x ln 1 lím

1x xx

x x x

x x x

1 1 1lím 1 z ln lím 1 lím ln 1 ln z

x x x

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x1

x x L'Hópital x

1 f (x) f (́x)ln z lím ln 1 lím lím 1 z e e

x g(x) g (́x)

Entonces existe el límite:

2

x x x

2

1

x1

1f (́x) 1x

lím lím lím 11 1g (́x)

1x x

x a x

1límg(x) lím 0

x

x a x

1límf (x) lím ln 1 ln1 0

x

x

x

1lím 1 e

x

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