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EL LOCO DE LAS MATEMÁTICAS

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Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen sean congruentes con los del otro triángulo.

Postulados de congruencia

Triángulo Postulados de congruencia

Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que los dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.

Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo.

Teoremas de congruencia

Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado):

Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y

longitud, respectivamente.

Congruencias de triángulos rectángulos

1. Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los

triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

2. Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la

misma medida que los catetos correspondientes del otro.

3. Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de

uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

4. Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el adyacente o el

opuesto) de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro.

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Postulado_LAL.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Postulado_ALA.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Postulado_LLL.svg



1. Construir un triángulo equilátero conociendo el lado

Datos: BC=lado Pasos: Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C Con centro en C y radio BC se traza arco que corta al arco anterior en A y D Se une los puntos BA con un segmento Se une los puntos CA con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio L-L-L (lado-lado-lado) 2. Construir un triángulo equilátero conociendo el perímetro



Datos: EF=Perímetro Pasos: Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto E Con centro en E y radio EF se traza arco que corta a la recta l en F Con centro en E ,lado EF y ángulo de 30˚ trazo la semirecta s (construcción básica de ángulo ) por ser el ▲EBA isósceles y ∠

BEA =60˚ / 2=30˚ Con centro en F ,lado FE y ángulo de 30˚ trazo la semirecta p que corta a la recta s en A (construcción básica de ángulo )

por ser el ▲FCA isósceles y ∠ CFA =60˚ / 2=30˚

Con centro en A ,lado AE y ángulo de 30˚ trazo la semirecta m que corta a la recta l en B (construcción básica de ángulo ) por ser el ▲EBA isósceles y ∠ BAE =60˚ / 2=30˚

Con centro en A ,lado AF y ángulo de 30˚ trazo la semirecta n que corta a la recta l en C (construcción básica de ángulo ) por ser el ▲FCA isósceles y

∠ FAC =60˚ / 2=30˚ Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios:

1. los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 2. Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

3. Construir un triángulo equilátero conociendo la altura

Datos: AD=Altura Pasos

Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto D Por el punto D se levanta un recta h perpendicular a la recta l (h⊥ l ), por construcción básica de h ⊥ l Con centro en D y radio DA se traza arco que corta a la recta h en A Con centro en A ,altura AD y ángulo de 30˚ trazo la semirecta s y p que corta a la recta l en B y C (construcción

básica de ángulo ) Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios:

1. la altura, la mediana, la mediatriz y la bisectriz de un triángulo equilátero coinciden 2. A-L-A (Ángulo - lado - Ángulo)



4. Construir un triángulo isósceles conociendo la base y la altura

Datos: BC=Base DA=Altura Pasos: Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C Se halla el punto medio de BC llamado D (por construcción básica de punto medio de un segmento) Por el punto D se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en D y radio DA se traza arco que corta a la recta h en A Se une los puntos BA con un segmento Se une los puntos CA con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios:

1. la altura, la mediana, la mediatriz y la bisectriz de un triángulo isósceles con respeto a la base coinciden 2. L-A-L (Lado - Ángulo - lado)

5. Construir un triángulo isósceles conociendo la base y un ángulo adyacente



Datos: BC=Base ∠ CBA= ángulo adyacente Pasos: Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C Con centro en B ,lado BC y ángulo adyacente dado (∠ CBA ) trazo la semirecta s (construcción básica de ángulo dado)

Con centro en C ,lado BC y ángulo adyacente dado (∠ CBA ) trazo la semirecta p (construcción básica de ángulo dado) que corta a la semirecta s en A

Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios 1. los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 2. A-L-A (Ángulo - lado - Ángulo)

6. Construir un triángulo isósceles conociendo la base y un lado

Datos: BC=Base BA=Lado Pasos: Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C Con centro en B y radio BA se traza arco Con centro en C y radio BA se traza arco que corta al arco anterior en A y D Se une los puntos BA con un segmento Se une los puntos CA con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios:

1. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales 2. L-L-L (lado-lado-lado)



7. Construir un triángulo isósceles conociendo la base y un ángulo opuesto

Datos: BC=Base

∠ BAC= α (ángulo opuesto) Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C Con centro en B ,lado BC y ∠ CBA = (180- α) / 2 trazo la semirecta s (construcción básica de ángulo dado, resta de ángulo y

bisectriz de un ángulo) Con centro en C ,lado BC y ∠ BCA = (180- α) / 2 trazo la semirecta p

(Construcción básica de ángulo dado, resta de ángulo y bisectriz de un ángulo) que corta a la semirecta s en A Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios

1. los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 2. A-L-A (Ángulo - lado - Ángulo)

8. Construir un triángulo isósceles conociendo la base y el perímetro



Datos: BC=Base BF= Perímetro Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C Con centro en B y radio BF se traza arco que corta a la recta l en F Hallo el punto medio del segmento CF llamado D (construcción básica de punto medio) Con centro en B y radio CD se traza arco Con centro en C y radio CD se traza arco que corta al arco anterior en A y M Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios

1. m (BF)= m (BC) + m (CD) +m (DF) 2. m (CD) = m (DF) por ser triángulo isósceles 3. L-L-L (lado-lado-lado)

9. Construir un triángulo isósceles conociendo el perímetro y la altura

Datos: EF=Perímetro DA=Altura Pasos: Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto E Con centro en E y radio EF se traza arco que corta a la recta l en F Hallo el punto medio del segmento EF llamado D (construcción básica de punto medio) Por el punto D se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en D y radio DA se traza arco que corta a la recta h en A Se une los puntos EA con un segmento Se une los puntos FA con un segmento Construyo la mediatriz llamada s del segmento EA que corta al segmento EA en N y a la recta l en B por ser (m (AB) = m (BE))

por ser triángulo isósceles Construyo la mediatriz llamada p del segmento FA que corta al segmento FA en M y a la recta l en C por ser ( m (AC) = m (CF))

por ser triángulo isósceles Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios:

1. la altura, la mediana, la mediatriz y la bisectriz de un triángulo isósceles con respeto a la base coincide.



10. Construir un triángulo isósceles conociendo la altura y un ángulo opuesto a la base

Datos: DA=Altura ∠ BAC= α (ángulo opuesto) Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto D Por el punto D se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en D y radio DA se traza arco que corta a la recta h en A Hallo β= α / 2 (construcción básica de bisecar un ángulo), β=∠ DAB=∠ DAC Con centro en A, lado DA y β trazo la semirecta p y la semirecta s

(Construcción básica de ángulo dado) que corta a la semirecta l en B y C Y el ▲ABC es el triángulo pedido por los criterios:

1. la altura, la mediana, la mediatriz y la bisectriz de un triángulo isósceles con respeto a la base coinciden 2. A-L-A (Ángulo - lado - Ángulo)

11. Construir un triángulo isósceles conociendo la altura y un ángulo adyacente a la base



Datos: DA=Altura ∠ DCA= α (ángulo adyacente) Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto D Por el punto D se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en D y radio DA se traza arco que corta a la recta h en A Hallo β=∠ DAB=∠ DAC= 90˚ - α (Construcción básica de ángulos complementarios) Con centro en A ,lado DA y β trazo la semirecta p y la semirecta s

(Construcción básica de ángulo dado) que corta a la semirecta l en B y C Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio:

1. A-L-A (Ángulo - lado - Ángulo) 12. Construir un triángulo isósceles conociendo la altura y uno de los lados iguales

Datos: DA=Altura AC= Lado Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto D Por el punto D se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en D y radio DA se traza arco que corta a la recta h en A Con centro en A y radio AC se traza arco que corta a la recta l en B Y C Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio: H- C (hipotenusa-cateto)



13. Construir un triángulo isósceles conociendo uno de los lados iguales y la altura correspondiente a este lado igual

Datos: EC=Altura AC= Lado Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto E Por el punto E se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en E y radio EC se traza arco que corta a la recta h en C Con centro en C y radio AC se traza arco que corta a la recta l en A Con centro en A radio AC se traza arco que corta a la recta l en B Se une los puntos BC con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. m (AB) = m (AC) por ser triángulo isósceles 2. H- C (hipotenusa-cateto)

14. Construir un triángulo isósceles conociendo uno de los lados iguales y un ángulo opuesto al lado de la base



Datos: AC=Lado ∠ BAC= α (ángulo opuesto) Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto A Con centro en A y radio AC se traza arco que corta a la recta l en C Con centro en A ,lado AC y ángulo α trazo la semirecta s (construcción básica de ángulo ) Con centro en A y radio AC se traza arco que corta a la recta s en B Se une los puntos BC con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. L-A-L (lado – Ángulo – lado)

15. Construir un triángulo isósceles conociendo uno de los lados iguales y un ángulo adyacente al lado de la base

Datos: AC=Lado ∠ ACB= α (ángulo adyacente) Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto A Con centro en A y radio AC se traza arco que corta a la recta l en C Con centro en C ,lado AC y ángulo α trazo la semirecta s (construcción básica de ángulo Hallo β=∠ CAB= 180˚ - 2α (Construcción básica de ángulos)

Con centro en A ,lado AC y ángulo β trazo la semirecta m (construcción básica de ángulo) que corta a la semirecta s en B

Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio 1. A-L-A (Ángulo - lado - Ángulo)



16. Construir un triángulo isósceles conociendo la altura y el lado de la base

Datos: BC=Lado DA=Altura Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C Se halla el punto medio del segmento BC (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado D Por el punto D se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en D y radio DA se traza arco que corta a la recta h en A Se une los puntos A con C con un segmento AC Se une los puntos A con B con un segmento AB Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. L-A-L (lado -Ángulo - lado) 17. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y la altura correspondiente



Datos: AB=hipotenusa BC=Altura Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto A Con centro en A y radio AB se traza arco que corta a la recta l en B Se halla el punto medio del segmento AB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado O Con centro en O y radio OB trazo semicircunferencia que corta a la recta l en A y B Con centro en B y radio BC se traza arco que corta al arco anterior en C Uno los puntos B y C con un segmento Uno los puntos A y C con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. m ( AO)=m(OB) por ser O punto medio del segmento AB 2. un triángulo inscrito en una semicircunferencia teniendo la base como diámetro es rectángulo

18. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un cateto

Datos: AB=hipotenusa BC=Cateto Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto A Con centro en A y radio AB se traza arco que corta a la recta l en B Se halla el punto medio del segmento AB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado O Con centro en O y radio OB trazo semicircunferencia que corta a la recta l en A y B Con centro en B y radio BC trazo arco que corta a la semicircunferencia anterior en C que es le vértice del triángulo pedido Uno los puntos B y C con un segmento Uno los puntos A y C con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. m ( AO)=m(OB) por ser O punto medio del segmento AB 2. un triángulo inscrito en una semicircunferencia teniendo la base como diámetro es rectángulo



19. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y un ángulo agudo

Datos AB=hipotenusa ∠ BAC= α (ángulo agudo) Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto A Con centro en A y radio AB se traza arco que corta a la recta l en B Se halla el punto medio del segmento AB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado O Con centro en O y radio OB trazo semicircunferencia que corta a la recta l en A y B Con centro en A , lado BC y ángulo agudo α trazo semirecta m que corta a la semicircunferencia anterior en C Uno los puntos B y C con un segmento Uno los puntos A y C con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. m (AO)=m(OB) por ser O punto medio del segmento AB 2. un triángulo inscrito en una semicircunferencia teniendo la base como diámetro es rectángulo 3. H-A (hipotenusa –ángulo)



20. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y la diferencia de los ángulos agudos

Datos AB=hipotenusa ∠ HCI= α (diferencia de los ángulos agudos) Pasos Se construye una recta l Sobre la recta l se ubica un punto G y C Con centro en C ,lado GC y ángulo α (diferencia de los ángulos agudos) trazo la semirecta m Con centro en C y radio AB / 2 trazo arco que corta a la recta l en H ( construcción básica de medio segmento de AB) Por la recta m y punto exterior H trazo recta una perpendicular a la recta m llamada recta h denotada h ⊥ m (por construcción

básica de h ⊥ m ) Con centro en H y radio AB / 2 trazo arco que corta a la recta l en A y B Uno los puntos B y C con un segmento Uno los puntos A y C con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio 1. En todo triángulo rectángulo el ángulo formado por la altura y la mediana que parte del vértice del ángulo recto es igual a la

diferencia de los ángulos agudos



21. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa y el punto de intersección de las medianas (Baricentro)

Datos AB=hipotenusa G= Baricentro Pasos Se halla el punto medio del segmento AB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado F Por el punto F y G (baricentro) se traza una semirecta l Con centro en G y radio FG se traza arco que corta a la recta l en H Con centro en H y radio FC se traza arco que corta a la recta l en C Uno los puntos B y C con un segmento Uno los puntos A y C con un segmento Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. Las medianas se cortan en un triángulo a 1 / 3 del lado y a 2 / 3 del vértice de su longitud

22. Construir un triángulo rectángulo isósceles conociendo la hipotenusa



Datos

AB=hipotenusa

Pasos

Se construye una recta l

Sobre la recta l se ubica un punto A

Con centro en A y radio AB se traza arco que corta a la recta l en B

Se halla el punto medio del segmento AB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado O

Por el punto O se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) Con centro en O y radio AO se traza arco que corta a la recta h en C

Se une los puntos A con C con un segmento AC

Se une los puntos A con B con un segmento AB

Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. L-A-L (lado -Ángulo - lado)

2. m( AO)=m(OB) por ser O punto medio del segmento AB

3. la medida de la altura en un triángulo rectángulo que parte de la hipotenusa es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa

23. Construir un triángulo rectángulo isósceles conociendo un cateto

Datos AC=Cateto

Pasos



Con centro en A y radio AC se traza arco que corta a la recta l en C

Por el punto A se levanta un recta h perpendicular a la recta l denotada

h ⊥ l (por construcción básica de h ⊥ l ) que corta a la recta h en B Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. C-C (cateto-cateto)

2. m( AC)=m(AB) por ser triangulo isósceles



24. Construir un triángulo rectángulo isósceles conociendo el perímetro

Datos

DE=Perímetro

Pasos


Sobre la recta l se ubica un punto D

Con centro en D y radio DE se traza arco que corta a la recta l en E

Con centro en D , lado DE y ángulo agudo 45 ˚ trazo semirecta m

Con centro en E , lado ED y ángulo agudo 22.5 ˚ trazo semirecta s que corta a la semirecta anterior en C

Levanto un recta perpendicular h a la recta l y que pase por el punto exterior C ( por construcción básica de h ⊥ l ) que corta a

la recta l en A

Con centro en A y radio DA se traza arco que corta a la recta l en B

Se une los puntos B con C con un segmento BC


1. Resta de ángulos congruentes de ángulos con congruentes 2. m (DA) = m (AC) por ser triángulos isósceles (catetos) 3. m (AB) = m (AC) por ser triángulos isósceles (catetos) 4. m (BE) = m (BC) por ser triángulos isósceles (hipotenusa) 5. los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes 6. resta de ángulos congruentes son congruentes



25. Construir un triángulo rectángulo isósceles conociendo la altura

Datos

AC=altura

Pasos




Por el punto A levanto un recta perpendicular h a la recta l ( por construcción básica de h ⊥ l )

Con centro en C , lado AC y ángulo agudo 45 ˚ trazo semirecta m que corta a la recta h en B

(Construcción básica de ángulo de 45 ˚) Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio

1. A-L-A (ángulo-lado - ángulo)



26. Construir un triángulo cualesquiera conociendo la base y la altura que cae a los 2 / 3 de dicha base

Datos

CD=altura

AB= base

D= punto de 2 / 3 de la base

Pasos




Se triseca el segmento AB en los puntos E Y D (construcción básica de trisección de segmentos)

Por el punto D levanto un recta perpendicular h a la recta l ( por construcción básica de h ⊥ l )

Con centro en D y radio CD se traza arco que corta a la recta h en C


Se une los puntos B con C con un segmento BC


1. L-A-L (Lado –ángulo –Lado)



27. Construir un triángulo cualesquiera conociendo la base, la mediana y la altura que parten desde el mismo vértice

Datos

AD= Altura con respecto al lado BC

AE= Mediana con respecto al lado BC

BC=lado

Pasos




Con centro en D y radio AD se traza arco que corta a la recta h en A

Con centro en D y radio AE se traza arco que corta a la recta l en E

Con centro en E y radio 1 / 2 BC se traza arco que corta a la recta l en B y C




1. m(CE) = m(EB) por ser E punto medio de BC

2. el ▲DAE es rectángulo AE=hipotenusa y AD=Cateto



28. Construir un triángulo cualesquiera conociendo las mitades de los tres lados

Datos

DE= 1 / 2 m (AB)

DF= 1 / 2 m (AC)

EF= 1 / 2 m (BC)

Pasos




Con centro en D y radio DF se traza arco

Con centro en E y radio EF se traza arco que corta al arco anterior en F

Construyo una recta llamada m que sea paralela al lado DF y pase por el punto E (Construcción básica de recta paralela)

Construyo una recta llamada s que sea paralela al lado DE y pase por el punto F (Construcción básica de recta paralela) que

corta a la recta m en B

Construyo una recta llamada p que sea paralela al lado EF y pase por el punto D (Construcción básica de recta paralela) que

corta a la recta m y la recta s en A y en C respectivamente


1. Teorema de paralela media

2. F punto medio del segmento AB

3. D punto medio del segmento AC

4. E punto medio del segmento BC

5. m (AF)=m(FB) , m (AD)=m(CD) , m (BE)=m(BC) ,definición de punto medio



29. Construir un triángulo cualesquiera conociendo dos lados y la altura relativa a una de ellos

Datos


AB=Lado

BC=Lado

Pasos






Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta l en C

Se une los puntos A y C con un segmento AC


1. C – H (cateto-hipotenusa)

2. L-A-L (Lado-Ángulo –Lado)



30. Construir un triángulo cualesquiera conociendo dos lados y la altura relativa al tercer lado

Datos


AB=Lado

AC=Lado

Pasos








3. C – H (cateto-hipotenusa)



31. Construir un triángulo cualesquiera conociendo el perímetro y los ángulos

Datos:

DE=Perímetro

∠ ABC= β

∠ ACB= φ

∠ BAC= α

Pasos




Con centro en D ,lado DE y β / 2 trazo la semirecta m (Construcción básica de ángulo dado)

Con centro en E ,lado DE y φ / 2 trazo la semirecta s (Construcción básica de ángulo dado) que corta a la semirecta m en A

Se halla el punto medio del segmento AD (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado F

Por el punto F levanto un recta perpendicular p a la recta m ( por construcción básica de p ⊥ m

Se halla el punto medio del segmento AE (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado G

Por el punto G levanto un recta perpendicular h a la recta s ( por construcción básica de h ⊥ s )

Y el ▲ABC es el triángulo pedido por el criterio:

1. m(BD)=m(AB) y m(AC)=m(CE) por ser triángulos isósceles

2. los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes

3. La mediana, La altura, La mediatriz y la bisectriz de un triángulo isósceles con respecto a la base son congruentes



32. Construir un triángulo cualesquiera conociendo un lado, un ángulo adyacente y la suma de los otros dos lados

Datos:

AB=Lado

∠ BAD= α (ángulo adyacente)

AD=m (AC) + m (BC) (suma de los otros dos lados)

Pasos




Con centro en A ,lado AB y α trazo la semirecta m (Construcción básica de ángulo dado)

Con centro en A y radio AD se traza arco que corta a la recta m en D

Se une los puntos D y B con un segmento BD

Se halla el punto medio del segmento DB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado E

Por el punto E levanto un recta perpendicular p al lado DB ( construcción básica de p ⊥ DB) que corta a la recta m en C


1. m(BC)=m(CD) y m(AC) por ser triángulos isósceles


3. L-A-L (lado-ángulo-Lado)



33. Construir un triángulo cualesquiera conociendo un lado, un ángulo adyacente y la resta de los otros dos lados

Datos:

AB=Lado

∠ BAD= α (ángulo adyacente)

AD=m (AC) - m (BC) (suma de los otros dos lados)

Pasos




Con centro en A ,lado AB y α trazo la semirecta m (Construcción básica de ángulo dado)

Con centro en A y radio AD se traza arco que corta a la recta m en D

Se une los puntos D y B con un segmento BD

Se halla el punto medio del segmento DB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado E

Por el punto E levanto un recta perpendicular p al lado DB ( construcción básica de p ⊥ DB) que corta a la recta m en C


1. m (BC)=m (CD) y m (AC) por ser triángulos isósceles


3. L-A-L (lado-ángulo-Lado)



34. Construir un triángulo cualesquiera conociendo dos medianas y el lado comprendido

Datos

BC=base

BE= mediana con respecto al lado AC

CF= mediana con respecto al lado BA

Pasos


Sobre la recta l se ubica un punto B


Con centro en B y radio 2 / 3 BE se traza arco ( construcción básica de segmento)

Con centro en C y radio 2 / 3 CF se traza arco que corta al arco anterior en O (construcción básica de segmento)

Se halla el punto medio del segmento BC (construcción básica de punto medio) llamado D

Por los puntos DO se traza un semirecta m

Con centro en O y radio DO se traza arco que corta a la recta m en H

Con centro en H y radio DO se traza arco que corta a la recta m en A




1. La longitud de la mediana con respecto al baricentro de un triángulo se encuentra a 1/ 3 de la base y a 2 / 3 del vértice



35. Construir un triángulo cualesquiera conociendo dos medianas y el lado adyacente

Datos

BC=Lado adyacente


AD= mediana con respecto al lado BC

Pasos




Se halla el punto medio del segmento BC (construcción básica de punto medio) llamado D

Con centro en B y radio 2 / 3 BE se traza arco ( construcción básica de segmento)

Con centro en D y radio 1 / 3 AD se traza arco que corta al arco anterior en O (construcción básica de segmento)

Por los puntos DO se traza un semirecta m

Con centro en O y radio DO se traza arco que corta a la recta m en H

Con centro en H y radio DO se traza arco que corta a la recta m en A







36. Construir un triángulo cualesquiera conociendo una mediana y dos lados (un mediana con respecto a uno de estos lados)

Datos

AB=lado 1

BC= Lado 2


Pasos




Con centro en B y radio 1 / 2 BC se traza arco ( construcción básica de segmento)

Con centro en A y radio AD se traza arco ( construcción básica de segmento) que corta el arco anterior en D

Por los puntos BD se traza un semirecta m

Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta m en C



1. L- L –L (Lado-Lado-Lado) 2. L –A –L (Lado –Ángulo –Lado)



37. Construir un triángulo cualesquiera conociendo una mediana y dos lados

Datos

AB=lado 1

AC= Lado 2


Pasos



Con centro en A y radio AD se traza arco que corta a la recta l en D

Con centro en D y radio AD se traza arco que corta a la recta l en P

Con centro en A y radio AB se traza arco

Con centro en P y radio AC se traza arco que corta al arco anterior en B


Con centro en B y radio BC se traza arco que corta a la recta m en C



1. L-L-L (lado- lado-lado)

2. m (BP) = m ( AC) y m ( AP) = 2 m ( AD)



38. Construir un triángulo cualesquiera conociendo las tres medianas

Datos

CF= mediana con respecto al lado AB



Pasos


Sobre la recta l se ubica un punto O

Con centro en O y radio 2 / 3 AD se traza arco que corta a la recta l en P ( construcción básica de segmento)

Se halla el punto medio del segmento OP (construcción básica de punto medio) llamado D

Con centro en P y radio 2 / 3 CF se traza arco

Con centro en O y radio 2 / 3 BE se traza arco que corta al arco anterior en B ( construcción básica de segmento)


Con centro en D y radio BD se traza arco que corta a la recta m en C





2. L-L-L (lado-lado-lado)

3. Con la longitud de los 2 / 3 CF , 2 / 3 BE y los 2 / 3 AD se forma el ▲OPB



39. Construir un triángulo cualesquiera conociendo un lado y el punto de intersección de las medianas (baricentro)

Datos

AB=Lado

G= Baricentro

Pasos

Se halla el punto medio del segmento AB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado F

Por el punto F y G (baricentro) se traza una semirecta l

Con centro en G y radio FG se traza arco que corta a la recta l en H

Con centro en H y radio FC se traza arco que corta a la recta l en C

Uno los puntos B y C con un segmento

Uno los puntos A y C con un segmento


1. Las medianas de un triángulo se cortan en 1 / 3 del lado y a 2 / 3 del vértice de donde parten



40. Construir un triángulo cualesquiera conociendo un lado, el ángulo opuesto y una altura que no caiga sobre este lado (altura no respecto a este lado)

Datos:

AB=Lado

BD=Altura respecto al lado AC

∠ ACB= α (ángulo adyacente)

Pasos




Se halla el punto medio del segmento AB (construcción básica de punto medio de un segmento) llamado O

Con centro en O y radio OB trazo semicircunferencia que corta a la recta l en A y B

Con centro en B y radio BD trazo arco que corte la semicircunferencia anterior D

Por los puntos A y D trazo semirecta llamada m

Hallo el ángulo complementario de ∠ ACB llamado β=∠ ABC= 90˚ - α (Construcción básica de ángulo complementario)

Con centro en B, lado AB y ángulo β trazo la semirecta s (construcción básica de ángulo) que corta a la semirecta m en C


1. m (AO)=m (OB) por ser O punto medio del segmento AB 2. un triángulo inscrito en una semicircunferencia teniendo la base como diámetro es rectángulo 3. A-L-A (ángulo –lado –ángulo)



41. Construir un triángulo cualesquiera conociendo un lado, un ángulo adyacente y la mediana que parte desde el extremo de la base en que no está el ángulo

Datos

BC = lado

∠ ABC = α (ángulo adyacente)

CF = mediana con respecto al lado AB

Pasos




Con centro en B, lado BC y ángulo α trazo la semirecta m

Con centro en C y radio CF se traza arco que corta a la recta m en F

Con centro en F y radio FB se traza arco que corta a la recta m en A

Se une los puntos A y C con un segmento AC


L- A –L (lado – Ángulo – Lado)

1. NOTA: si CF es menor que BC el arco descrito desde C corta a la recta m en dos puntos F y D y el problema tiene dos

soluciones que serían el ▲ABC y el ▲EBC con m (BF)=m (FA) por ser F punto medio del segmento AB y con m (BD)=m

(DE) por ser D punto medio del segmento BE

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