el misterio de la simplificación de funciones, los límites, las ecuaciones... y sus gazapos

El misterio de la simplificación de las funciones, los límites,

las ecuaciones… y sus gazapos.

XIV JAEM Girona 2009

El misterio de la simplificación de las funciones, los límites, las ecuaciones… y sus gazapos

Abel Martín 1, Marta Martín Sierra 2 1IES Pérez de Ayala de Oviedo, Asturias, [email protected]

2 Facultad de Matemáticas, Universidad de Oviedo, [email protected]

Resumen

La falta de interiorización de conceptos básicos hace que, en la mayoría de las ocasiones, el alumnado resuelva inconscientemente ejercicios sin pararse a reflexionar acerca de los mecanismos y resultados obtenidos, desconociendo cuándo una expresión se puede simplificar y cuándo no, sorteando los fundamentos y la reflexión encaminada a entender y analizar cuál es el valor numérico de una función en un punto, el cálculo de un límite, la solución de una ecuación sin pasar por una reflexión de la misma, la redefinición de una discontinuidad evitable, etc.

PALABRAS CLAVE: límites, funciones, simplificación, ecuaciones.

1. Introducción

¿Se comportarán igual, en todo su dominio, dos funciones a priori tan distintas como

A(x) = x + 3 y B(x) = 3

92

−−

x

x?

2. Nivel

Cuarto de ESO (opción B), Primero de Bachillerato.

3. Ejercicio inicial

Cuando se planteó esta cuestión en el aula, había unanimidad en que la primera era una recta pero la segunda la veían como una curva, con su asíntota vertical para x = 3, más o menos complicada, y a la que habría que hacerle un estudio para determinar cómo se comportaba.

Aunque no parezca tener relación, para llegar a entenderlo, partimos de un ejercicio que nos permitiera comprender y utilizar el concepto de continuidad de una función en un punto y en un intervalo y así profundizar después en la idea intuitiva que nos hemos planteado en la introducción.

(a) Comprueba si la función B(x) = 3

92

−−

x

x es continua.

(b) En caso de ser discontinua, comenta qué tipo de discontinuidad se trata.




(c) Define de nuevo la función, si es posible, para que sea continua.

4. Resolución habitual en el aula

Apartado (a). De forma generalizada, el alumnado lo resuelve correctamente y aprecia, por sus características teóricas, que para x > 3 y x < 3 la función es continua.

Al pasar a estudiarla en x = 3, aceptado por todos como el valor de "x" que es "conflictivo", comprobaremos si se verifican las 3 condiciones de continuidad:

(I) ¿Existe 3

92

3 −−

→ x

xLímx

?

3

92

3 −−

→ x

xLímx

= 0/0 indeterminación

La resolución de este tipo de indeterminación se hace sin dificultad, factorizando mentalmente y simplificando la expresión resultante:

3

)3)·(3(3 −

−+→ x

xxLímx

= )3(3

+→

xLímx

= 6

(II) Al intentar comprobar si existe B(3) gran parte del alumnado afirma que SÍ EXISTE , pues también realizan la simplificación de la expresión:

3

)3)·(3(

−−+

x

xx = x + 3 → B(3) = 6

en contra de la realidad, ya que no existe B(3), pues no pertenece al dominio de la función y, por lo tanto, no tiene imagen:

B(3) = 3

)3)·(3(

−−+

x

xx = 0/0 → No existe B(3)

Ya no haría falta comprobar la condición (III): 3

)3)·(3(3 −

−+→ x

xxLímx

= B(3)

Apartado (b). La función no es continua y presenta una discontinuidad evitable.

Apartado (c). Redefinimos la función para que sea continua, según el procedimiento descrito habitualmente:

f(x) =

=

≠−−

36

33

92

xsi

xsix

x




De esta forma, el objetivo inicial se ha cumplido con herramientas algebraicas, pero hay unas preguntas que se plantean en el aula:

(a) ¿Por qué se puede simplificar la expresión cuando estamos realizando límites y no cuando estamos calculando el valor numérico de la función para x = 3?

(b) ¿Se comportarán igual, en todo su dominio, dos funciones a priori tan distintas como

A(x) = x + 3 y B(x) = 3

92

−−

x

x? ¿A(x) y B(x) son la misma función?

Iniciamos el análisis con una serie de consideraciones previas sobre fracciones algebraicas, funciones y límites, apoyándonos, como complemento, en el estudio y la comprobación gráfica, utilizando como herramienta auxiliar una "calculadora gráfica". Utilizaremos la gama ClassPad 300, que también tiene las prestaciones de "Álgebra simbólica" tratando de explicar cuándo la expresión polinómica se puede simplificar.

5. Función

Consideremos las funciones anteriores A(x) = x + 3 y B(x) =3

92

−−

x

x

Para ver el comportamiento de ambas funciones en x∈ℜ , admitiendo que ambas sean funciones Reales de variable Real, utilizaremos como herramienta auxiliar la mencionada ClassPad.

El dominio de definición es distinto: Dom (A) = ∀x∈ℜ Dom (B) = ∀x∈ℜ - {3}

En A(x), se puede apreciar cómo para x = 3 la función (Figura 1) toma el valor 6 y en B(x), vemos cómo para x = 3 la función (Figura 2) no tiene imagen (en la gráfica se ve un hueco y además, en la parte de abajo de la pantalla, el valor de "y" se nos presenta como "Undefined"). En el resto del dominio, para cada valor de "x" los valores de la función correspondientes son exactamente los mismos.

Figura 1. y = A(x) Figura 2. y = B(x)




De esta manera vemos que las dos funciones se comportan igual pero, claro está, en su dominio de definición. Por lo que la clave estará siempre en observarlas, pero a partir del conocimiento de su dominio, ya que para que dos funciones sean iguales han de tener el mismo dominio y el mismo recorrido. Por lo tanto, no son la misma función.

6. Límites

Sin embargo, cuando calculamos el valor del límite de ambas, cuando "x" tiende a 3, permanece invariable.

)3(3

+→

xLímx

= 6

3

92

3 −−

→ x

xLímx

= 3

)3)·(3(3 −

−+→ x

xxLímx

= 0/0 Indeterminación

Resolvemos la indeterminación

3

)3)·(3(3 −

−+→ x

xxLímx

= )3(3

+→

xLímx

= 6

Si hacemos un zoom para observar cómo se comporta la función B(x) en un entorno muy pequeño de x = 3 (Figura 5), tanto por la izquierda (Figura 4) como por la derecha (Figura 6), veremos que dicho valor se aproxima a 6, tanto cuanto más pequeño sea el entorno tomado. Con la calculadora gráfica, hacemos unos "zoom" sucesivos y comprobamos:

Figuras 4, 5 y 6.

En un intento de explicar por qué en un caso se puede simplificar y no en el otro, diríamos que cuando estoy buscando el valor numérico de la función para x = 3, si divido numerador y denominador por (x – 3), estoy dividiendo por cero, cosa totalmente "no permitida" , pero cuando estamos trabajando con límites, en puntos muy próximos a x = 3, estamos trabajando en entornos muy próximos a 3, pero no en x = 3, por lo que NO estamos dividiendo por cero, y la simplificación es admisible.




7. Conclusiones

(1) Una de las condiciones para que dos funciones sean iguales es que han de tener el mismo dominio, así pues, no se puede simplificar y alterar el numerador y denominador, porque de esta forma estamos modificando su dominio de definición.

(2) Los límites sí los podemos simplificar, pues el valor de la función estudiada en el límite, no varía.

(3) Sorprendentemente, y aunque a primera vista las funciones del enunciado parecen muy distintas, dentro del dominio de cada una de ellas, se comportan de igual forma.

(4) Cuando calculamos el límite de una de las funciones para un valor en el que existe una discontinuidad evitable, éste coincide con el valor de la función simplificada en ese punto. De esta forma, se podría redefinir la función para convertirla en continua, simplemente colocando dicha función simplificada. La propuesta que hacemos, para redefinir la función y que sea continua, es dar la función simplificada, en su dominio, obteniendo una función más sencilla.

f1(x) = x + 3 ; ∀x∈ℜ en lugar de f2(x) =

=

≠−−

36

33

92

xsi

xsix

x

Ambas tienen el mismo dominio y el mismo recorrido.

8. Ecuaciones

¿Y qué pasa con las ecuaciones cuando simplificamos?

Ejercicio propuesto 1: Resuelve la siguiente ecuación: x

3 -

3

11= 1 -

x

3

Multiplicamos los dos miembros por 3x para reducir las expresiones

9 - 11x = 3x – 9 → - 11x - 3x = - 9 – 9 → - 14x = - 18 → x = 18/14 → x = 9/7

Ejercicio propuesto 2: Resuelve la siguiente ecuación:

1

32

−−

x

x =

1

54

−−

x

x

Si multiplicamos los dos miembros por (x – 1) para reducir las expresiones, al final obtendremos de solución x = 1. Vamos a hacerlo más didáctico y utilizaremos los mecanismos habituales de resolución algebraica, con métodos alternativos, basados en los que nos han explicado tradicionalmente (Figura 7).

También utilizaremos la opción SOLVE de la calculadora con álgebra simbólica (Figura 8).




Figuras 7 y 8.

Pero… ¿qué ocurre? Las soluciones obtenidas son distintas. ¿Qué falla?

Si multiplico ambos miembros por (x – 1), cabe la posibilidad de que, si la solución fuese x = 1, lo que estamos haciendo es multiplicando y dividiendo por cero, por lo que, según ya hemos dicho, es incorrecta e inadmisible.

Por si existen dudas, la calculadora gráfica es un método ideal para comprobar nuestras conjeturas y fomentar la investigación matemática. Si consideramos el primer miembro (trazo continuo) y el segundo miembro (trazo a puntos) como dos funciones (Figura 9), y buscamos el punto común (Figura 10):

Figuras 9 y 10.

Se observa claramente que dentro del dominio de cada función, no hay ningún punto común.

Cuando, algebraicamente, hemos multiplicado ambos miembros por (x – 1) y simplificado, hemos cambiado el dominio de definición (Figura 11), por lo que podríamos estar introduciendo soluciones NO VÁLIDAS (Figura 12).




Figuras 11 y 12.

Ya que x = 1 no pertenece al dominio inicial de ambas funciones.

En el ejercicio propuesto 1, si bien se ha modificado el dominio, al ser la solución (x = 9/7) perteneciente al dominio de las funciones , es una solución VÁLIDA.

9. Actividad de consolidación

Resuelve la siguiente ecuación:

2

55

−−

x

x =

2

3

−+

x

x

Seguimos los procedimientos del caso anterior. Resolución algebraica (Figura 13), utilizando SOLVE (Figura 14) y visualizándolo gráficamente (Figura 15)

Figuras 13, 14 y 15.




10.- Conclusiones

(1) Las aulas de Nuevas Tecnologías están cada día más saturadas y no siempre se pueden utilizar cuando se necesitan. Un aula con ordenadores, la disposición de las mesas, etc. suponen unas barreras difíciles de salvar a la hora de agrupar a los alumnos, de fomentar el trabajo en conjunto y la ayuda entre iguales. Con las máquinas calculadoras se sortean con éxito estas murallas.

(2) La nueva visión que aporta el uso de calculadoras gráficas o programas de ordenador, ayudan a comprender el significado de expresiones, ecuaciones, inecuaciones, etc. y con el uso de la utilidad del álgebra simbólica, esto se hace mucho más didáctico y pedagógico que con "lápiz y papel".

(3) Este tipo de actividades, complementadas con herramientas TIC, nos alertan para que cuando resolvamos por métodos algebraicos una ecuación, comprobemos siempre si la solución pertenece al dominio de las funciones que determinan ambos miembros de dicha ecuación.

(4) Hay que inculcar al alumnado la idea de que muchos mecanismos matemáticos utilizados habitualmente en el aula dan lugar a soluciones NO VÁLIDAS.

(5) La introducción de métodos de resolución alternativos a los tradicionales es esencial para perfeccionar nuestra capacidad de "comprensión" y refuerzo de conceptos. Son un complemento ideal para la adquisición de las competencias básicas.

(6) Permite validar nuestras respuestas y consolidar conceptos aprendidos.

(7) Son un elemento de investigación matemática importantísimo. En multitud de casos, con una calculadora gráfica se pueden contrastar conjeturas, verificar hipótesis…

(8) El objetivo fundamental de las Matemáticas es abrir la mente, y las operaciones, en si mismas, no deben ser el fin de las matemáticas, sino uno de los caminos que nos lleven al objetivo final: el análisis crítico de los resultados y, sobre todo,…

Ilustración: Rosa Hernando Sanz

A partir del 15 de julio de 2009, seguiremos haciendo crecer esta semilla que hemos depositado en estas XIV JAEM de Girona. Para ampliar, descargar actividades electrónicas, seguir trabajando en el tema, intercambiar propuestas, siempre nos encontrarás en www.aulamatematica.com, en la sección CLASSPADTECA.

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