el modelo estándar y posibles simetrías superiores · 1 capÍtulo 8 el modelo estándar y...
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-
1
CAPÍTULO 8
El Modelo Estándar y posibles simetrías superiores
8.1 Introducción (recordatorio): Quarks y Leptones
8.2 Estructura de los hadrones: Quarks de valencia y quarks del mar (*)
8.3 Ruptura de simetría
8.4 Confinamiento en cromodinámica cuántica
8.5 El mecanismo de GIM y la matriz de CKM
8.6 Modelos de Gran Unificación
8.7 Supersimetrías
8.8 Gravedad, Supergravedad y Supercuerdas
(*) Referencias y nomenclatura: Quarks & Lepton. F. Halzen and A.D. Martin
-
2
- Espectro de hadrones y el Modelo Quark
(M. Gell-Mann y G. Zweig, 1960)
- Experimentos de scattering inelástico de electrones en SLAC
(J. Friedman, H. Kendall y R. Taylor, 1968)
…AUSENCIA de estados ligados del quark t
-
3
� Criterio seguido con la simetría de isospin fuerte: el miembro superior del
multiplete es el de carga eléctrica mas alta.
� Números cuánticos: B = 1/3 para todos los quarks. S(s) = -1 (igual para c, b y t)
Familias (o sabores) de quarks y leptones
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ebQsQdQ
etQcQuQ
3
13
2
−===
+===
−−−
b
t
s
c
d
u
e
e
τ
ν
µ
νν τµ
(2)en lfundamenta
ción Representa
1
0
0
1
SU
-
4
Contenido en quarks de mesones y bariones
� Mesones = bosones (spin entero) ⇒Estados ligados de un número par de quarks (fermiones de spin ½)
( )dduududu −=== −+2
1 0πππ
sdKsdKsuKsuK ==== −+ 00
scDscD
ucDucDdcDdcD
ccJ
ss ==
====
⇒=
−+
−+
1964) Richter, B.y Ting (S. /
00
ψ
bsBbsB
bdBbdBbuBbuB
bbΥ
ss
dd
==
====
⇒=−+
00
00
1977) Lederman, (L.
(1ª)
(2ª)
(3ª)
Conservación de
todos los #
cuánticos:
S(s) = -1
Charm(c) = 1
Bottom (b) = -1
← Similar al sistema de kaones: violación CP
-
5
Contenido en quarks de mesones y bariones
� Bariones = fermiones (spin semi-entero) ⇒Estados ligados de un número impar de quarks
uddnuudp ==
s)quark (1 Hyperones 00 ddsudsuusuds =Σ=Σ=Σ=Λ→ −+
(1ª)
(2ª)
dssuss =Ξ=Ξ→ − s) quarks (2 Cascada 0
� Bariones (S=3/2) ⇒Existencia del color = Antisemitría de las funciones de onda de fermiones
sssuuu =Ω=∆ −++
-
6
� Verificación experimental de la existencia de color:
→
a
a
a
a
a
a
b
t
s
c
d
u
b
t
s
c
d
u
( )( )+−+−
+−
→→
=µµσ
σee
hadroneseeR
a = rojo, azul, verde
Bariones = uud ; Mesones = uu
-
7
( )+−+− → µµσ ee
( )hadronesee →+−σ
-
8
j(1) j(2)
propagador2/ qigµν−
0=⋅∇+∂∂
jt
rρ
( ) ( )( )
( ) 0
, ;0
0 ;
0
0
222
=−∂
≡
−=
=
+=⇔+⋅=
ψγ
αββγβσ
σα
ψψψβαψ
µµ
µ
mi
I
I
mPHmPH
r
rrrEcuación de Dirac
φφφ 222
2
222
;
mt
ipt
iEmpE
=∇+∂∂
−
∇−→∂∂
→+= hr
hr
Ecuación de Klein-Gordon
Ecuación de Schrödinger relativista para una
partícula libre de masa m:
Partículas en movimiento:
Forma covariante (partículas y antipartículas con
spin)
Densidad de flujo de un haz de partículas:
Ecuación de continuidad
(Teorema de Gauss)
(la disminución del numero de partículas
en un volumen dado es igual al flujo total
de partículas fuera del volumen)
0=∂ µµ j
ψγψ µµ ej −=
con la densidad de corriente:
-
9
( ) ( ) ( )
uq
ue
uq
euu
q
euu
q
euJ
q
qqq
quarks
2
2
2
2
2
2
2
2
1 3 ~
1
0
0
100
0
1
0
010
0
0
1
001~
µ
µµµ
γ
γγγ
+
+
Corriente de quarks (para un sabor de quarks):
( ) ( )+−+−+− →=→ µµσσ eeeqqee q23Suma a todos los sabores:
( ) ( ) ( )+−+−+−+− →=→=→ ∑∑ µµσσσ eeeqqeehadroneseeq
q
q
23
( )( ) ∑=→
→=
+−+−
+−
q
qeee
hadroneseeR 23
µµσσ
-
10
bcsduq
csduq
sduqR
,,,, 3
11
3
1
3
2
3
1
3
1
3
23
,,, 3
10
3
2
3
1
3
1
3
23
,, 23
1
3
1
3
23
22222
2222
222
==
+
+
+
+
==
+
+
+
==
+
+
=
-
11
Quarks de valencia y quarks del mar en los hadrones
La estructura de los hadrones ⇔ Experimentos de dispersión profundamente inelástica de electrones
(confirmación experimental de QCD)
⇒Encontrar “funciones de onda” que describan a los hadrones en términos de sus constituyentes (y viceversa)
-
12
Factores de forma. (Procedimiento general)
� Determinar una distribución de carga a partir de la distribución angular de los
electrones dispersados.
� Comparamos con la sección eficaz (conocida) de dispersión de electrones por
una carga puntual.
“blanco”
2)(qF
d
d
d
d
puntual
Ω=
Ωσσ
F(q) = Factor de forma (= forma del blanco)
q = ki – kf = momento transferido
)2/(cos)2/(4
2
42
2
θθ
ασsenEd
d
puntual
=
Ω
-
13
Dispersión elástica electrón-protón
1) Consideramos el protón como una carga puntual que obedece la ec. de Dirac.
dispersión e – µ ↔ dispersión e – p
+
−′
=Ω′ pp m
qsen
m
q
q
E
dEd
d
2)2/(
2)2/(cos
)2( 222
22
4
2
νδθθασ
)2/(4)cos1(222 22 θθ senEEEEppkkq ′−=−′−=′⋅−=′⋅−=(Despreciando las masas del e y p)
pm
qEE
2
2
−=′−=ν
−′
=Ω
)2/(2
)2/(cos)2/(4
2
2
22
42
2
θθθ
ασsen
m
q
E
E
senEd
d
pLab
Retroceso del protón Momento magnético del protón
Sin integrar en E´ (energía del electrón saliente):
-
14
Dispersión elástica electrón-protón
p
( )22 ḱkq −=
Si el protón tiene estructura:
( )
+−
−
=Ω
)2/(2
)2/(cos4
´
2sin4
22
212
222
22
222
142
2
θκθκ
θασ
senFFm
qF
m
qF
E
E
Ed
d
ppLab
)()()()( pupuJpupuJ protónprotónµµγ Γ′∝→′∝
νµνµµ σ
κγ qiqF
mqF
p
)(2
)( 222
1 +=Γ
κ = momento magnético anómalo del protón F1 , F2 = factores de forma independientes
( )µννµµν γγγγσ −=2
i
(formula de Rosenbluth)
… si el protón fuera una partícula puntual como el muon: k = 0 y F1 =1
-
15
magnético) momento deción (Distribu )(
carga) deción (Distribu 4
)(
21
2
22
2
1
2
FFqG
Fm
qFqG
M
p
E
κ
κ
+=
+=
( )( ) 213
0
2
22
22
2
1081.06r
71.01
2
cmdq
qdG
qqG
q
E
E
−
=
−
×≅
=⇒
−≈⇒
En la practica:
Empírico; la escala 0.71 GeV
refleja el inverso del tamaño del protón
-
16
Luego para las diferentes situaciones la sección eficaz evoluciona como:
222
;4
;con qQm
q
m
qp
pp
−=−
=⋅
= τν
{ }
{ }
{ } ( ) ( )
+=
+
+
+
+=
+
−=
→
→
→
2sin,2
2cos,...
22sin2
2cos
1...
22sin
22cos...
22
1
22
2
2222
22
22
2
22
θν
θν
νδθ
τθ
ττ
νδθθ
µµ
qWqW
m
qG
GG
m
q
m
q
eXep
MME
epep
ee
-
17
Dispersión inelástica electrón-protón
Si aumenta la energía transferida.. el protón empieza a comportarse como una partícula de Dirac libre (un quark):
m
Q
m
QW
m
QW
puntual
puntual
−=
−=
222
2
22
1
2
2
νδ
νδ
-
18
Dispersión inelástica electrón-protón
)( 2
1),(
)(22
12
),(2
2
22
2
1
222
1
wFm
QQW
wFm
Q
m
QQmW
puntual
puntual
→
−=
→
−=
νδνν
νδ
νν
qp
Q
m
qpm
Q
m
Q
wx
⋅=
⋅===
22
2
1con
222
ν
Independiente de Q2
para un valor dado de w
⇒Interacción puntualScaling de Bjorken
[similar al scattering
de Rutherford: sin-4(φ/2)]
(w caracteriza al fotón virtual)
-
19
Protón = Σ partones (quarks y gluones)
Función de distribución del momento del partón:
Probabilidad de que un parton i (que interacciona con el foton virtual) lleve una
fracción x del momento p del protón
1)( )( =→= ∑∫′
′i
ii
i xxfdxdx
dPxf
quarks) solo (no partones los todos´ =i
-
20
)( 2
1),(
)(22
12
),(2
2
22
2
1
222
1
2
2
wFm
QQW
wFm
Q
m
QQmW
altoQ
puntual
altoQ
puntual
→
−=
→
−=
νδνν
νδ
νν
2
2con
Q
mw
ν=
Redefinimos (por convención): )()( 2,12,1 xFwF →
)()(),(
)(2
1)(),(
2
2
2
2
21
2
1
2
2
xxfexFQW
xFx
xFQmW
i
iialtoQ
puntual
altoQ
puntual
∑= →
= →
νν
ν
La fracción de momento de los partones es idéntica a la variable cinemática
(adimensional) del fotón virtual
(Caracteriza al fotón virtual)
-
21
Interacción electrón-protón:
(Agrupamos por tipos de quarks, igual carga, y despreciamos la contribución de quarks c, b y t)
[ ] [ ]
[ ])()(3
1
)()(3
1)()(
3
2)(
1
2
22
2
xsxs
xdxdxuxuxFx
pp
ppppep
+
++
++
=
up(x) etc.. Son las distribuciones de probabilidad de los quarks u , etc..
⇒ 6 funciones de estructura desconocidas fi(x)
Interacción electrón-neutrón:
[ ] [ ] [ ]nnnnnnen ssdduuxFx
+
++
++
=222
23
1
3
1
3
2)(
1
-
22
Como p y n son miembros de un doblete de isospin su contenido en quarks esta relacionado:
)()()(
)()()(
)()()(
xsxsxs
xdxuxd
xuxdxu
np
np
np
==
==
==
Además se pueden imponer otras restricciones sobre las funciones de estructura: Ya
que los números cuánticos del protón y del neutrón están definidos por los quarks
constituyentes (o de valencia) , podemos suponer que los quarks del mar (u, d, y s)
ocurrirán con aproximadamente la misma frecuencia y distribución de momento:
)()()()()()()( xsxsxsxdxdxuxu seaseaseaseaseasea ======
[ ]
[ ] sduFx
sduFx
vv
en
vv
ep
3
44
9
11
3
44
9
11
2
2
++=
++=[ ] [ ]vvenep duFF
x−=−
3
1122
-
23
[ ] [ ]vvenep duFFx
−=−3
1122
enep FF 22 −
x
Datos de SLAC
-
24
Como los gluones que crean los pares quark – antiquark son de tipo bremstrahlung esperamos
que el espectro de s(x) sea de tipo brems a pequeño x ⇒ el número que quarks del mar crece logaritmicamente cuando x → 0.
vv
vv
xep
en
xep
en
du
du
xF
xF
xF
xF
++
→ →→→ 4
4
)(
)(y 1
)(
)(1
2
2
0
2
2
ep
en
F
F
2
2
x
Datos de SLAC
-
25
-
26
Parametrizando los datos F2ep,en(x) en términos de las distribuciones de quarks de valencia y
mar (usando las reglas de suma como ligaduras) extraemos las funciones de estructura de
quarks:
-
27
Gluones:
Si sumamos sobre el momento de todos los partones deberíamos reconstruir el momento
total p del protón; sin embargo, experimentalmente:
18.09
1
9
4)(2 =+=∫ du
ep xFdx εε
12.09
4
9
1)(2 =+=∫ du
en xFdx εε
( )p
puuxdx uu =+= ∫
1
0
con ε
46.054.0118.0 ; 36.0 =−=⇒== gdu εεε
-
28
fi(x1)
fj(x2)
)(ˆ sij ασ
p1
p2x2p2
x1p1
QCD perturbativa
⇔
( ) ),,,(ˆ)()(, 21212,
121 Qppxfxfdxdxpp sijjiji
ασσ ∑∫=Funciones
de estructuraQCD perturbativa
-
29
QED QCD
Momento transferidoDistancia
e efectiva
Distancia
gefectiva
Momento transferido
“ apantallamiento” “ anti-apantallamiento”
Comportamiento de αs: confinamiento y libertad asintótica
Recombinación
-
30
-
31
hadrons
e+ e-q
q
hadrons
hadrons
g
Evidencia experimental de los gluones
-
32
Ruptura de simetría
1+⋅−= ∑ ii
i ssHrr
κ
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ .... ↑Spines alineados en el estado fundamental de un material ferromagnético
Ejemplo: magnetismo = interacción de spines en un lattice. El H para un material ferromagnético
próximos spines entre acoplo del Intensidad 0>κ
La configuración del estado fundamental rompe la simetría rotacional del Halmiltoniano.
Cuando la solución de un conjunto de ecuaciones dinámicas viola una simetría inherente de
esas ecuaciones se dice que hay una ruptura espontánea de simetría.
Este fenómeno es un aspecto general de todos los sistemas con ruptura espontánea de
simetría. (Aparecen correlaciones de largo rango que pueden ser asociadas a partículas de
masa 0).
(Invariante bajo rotaciones)
-
33
( )
( ) ( ) 0 , 42
1
2
1
222222
22
>+++−
+=+=
λλ
ϖ yxyxm
ppm
VTH yx
Cuantitativamente: consideramos un Hamiltoniano clásico en 2 dimensiones (similar a un
oscilador armónico, salvo por el signo de λ) :
H es invariante bajo rotaciones alrededor del eje z (simetría global del sistema). La solución de
mínima energía será la de energía cinética 0, Por tanto, el mínimo de energía total será aquel
que coincida con el mínimo de potencial:
( )( )
( )( ) 0
0
222
222
=++−=∂∂
=++−=∂∂
yxmyy
V
yxmxx
V
λϖ
λϖDos soluciones:
x, y = 0 ; (…) = 0
-
34
λϖ 22
min
2
minminmin ó 0m
yxyx =+==
λϖ 2
minmin , 0m
xy ==
Las coordenadas en el extremo de potencial verifican:
Si por simplicidad elegimos:
Se rompe la simetría rotacional del sistema.
λϖ 22
min
2
min
myx =+
0minmin == yxSolución inestable
(máximo local)
(ejes x, y: φ1,φ2)
-
35
( ) ( ) ( )222min22min2minmin )(4
)(2
1, yxxyxxmyyxxV +++++−=++
λϖ
( ) superiores ordenes4
, 2242
min ++−=+ xmm
yxxV ϖλϖ
Pequeñas oscilaciones a lo largo del eje x o del eje y darán lugar a frecuencias ωx y ωy :
y
x
y
x
eje 0
eje2
→=
→=
ϖ
ϖϖ
Para cualquier solución, podemos definir modos normales de oscilación tal que pequeñas
oscilaciones a lo largo del valle de potencial no suponen cambio en energía (y corresponden a
frecuencias de oscilación 0), mientras que los modos ortogonales supondrán cambios en E y
tendrán una frecuencia no nula.
Pequeñas oscilaciones respecto a este mínimo determinan la estabilidad del sistema.
Expandiendo el potencial en torno a estas coordenadas:
Sin cambio de E
Con cambio de E
-
36
En mecánica cuántica los modos de frecuencia 0 se asocian a las partículas sin masa. Los
modos de frecuencia no nula a las partículas masivas. (Bosones de Goldstone)
Este procedimiento aplicado a las interacciones débiles permite explicar la masa de las
partículas gauge (W± ψ Ζ0) ⇔ Mecanismo de Higgs donde el bosón de Goldstone masivo es el bosón escalar de Higgs.
GeV 2.91y GeV 4.80
0~
0 ≅≅± ZW mm
mγ
(El isospin débil no será un “ buen” número cuántico.)
Como en el caso del ferromagnetismo, al elevar la temperatura del sistema se restaura la
simetría y los bosones volverán a ser de masa 0 ⇒ Las intensidades de las fuerzas electromagnéticas y débiles son comparables ⇒ Unificación de las fuerzas.
-
37
-
38
-
39
Sensibilidad al boson de Higgs
-
40
-
41
El mecanismo de GIM y la matriz CKM
Los bosones W y Z pueden producir transiciones entre miembros del mismo doblete de isospin
Para explicar las transiciones con |∆S|=1 (como las observadas en las desintegraciones débiles), y en analogía con el análisis del sistema de kaones neutros:
cc sensddd
u
d
uθθ cos donde +=′
′→
N. Cabibbo
(antes del descubrimiento del quark c)
-
42
Otras razones de transición (en particular aquellas relacionadas con las desintegraciones
leptonicas de los kaones neutros) no podían acomodarse en la estructura de análisis del ángulo
de Cabibbo, se postulo la existencia del quark c (y un nuevo doblete de quarks).
sdZuuZduWsuW
→→→→
+
+
0
0 23.01 ,0 =⇒=∆=∆ csenSS θ
µνµπ ++→++ 0K ννπ ++→ ++K
S. Glashow, J. Illiopoulos y L. Maiani
(Mecanismo de GIM)cc ssends
s
cθθ cos con +−=′
′
-
43
Los dos dobletes:
Son los auto-estados de la interacción débil.
Están relacionados con los auto-estados de la interacción fuerte, mediante la matriz de mezcla
de Cabibbo:
′
′ s
c
d
uy
−=
′
′
s
d
sen
sen
s
d
cc
cc
θθ
θθ
cos
cos
Con el descubrimiento de la nueva familia de quarks b y t, los tres dobletes de quarks son:
′
′
′ b
t
s
c
d
uy
-
44
=
′
′
′
b
s
d
VVV
VVV
VVV
b
s
d
tbtstd
cbcscd
ubusud
Acomoda la violación de CP observada
en el sistema de kaones neutros, por
medio de una fase en los elementos de
la matriz unitaria.
Matriz de
Cabibbo- Kobayashi-Maskawa
(CKM)
-
45
Comprobación experimental del
Modelo Estándar: SU C(3) ⊗ SU L(2) ⊗ U Y(1)
-
46
Otros aspectos (problemas?) del Modelo Estándar :
=
′
′
′
′′′
′′′
′′′
τ
µ
ττµττ
τµµµµ
τµ
τ
µ
ν
ν
ν
ν
ν
ν e
e
e
eeeee
UUU
UUU
UUU
Describe muy bien el mundo de “baja energía”, pero...
El boson de Higgs todavía no se ha observado
No se conoce el origen de 3 familias de leptones / quarks
Hay “demasiados” parámetros libres en la teoría
Ya que adecuar la existencia de la masa de los neutrinos
No incorpora la gravedad
Naturaleza de los neutrinos?
Dirac (con neutrino y antineutrino distinguibles)
Mayorana (con neutrino y antineutrino indistinguibles)
-
47
Problema de jerarquía: En teoría de campos, la masa de cualquier partícula se determina a partir de la suma de todas sus interacciones.
Para el boson de Higgs, en particular, sus interacciones en el vacío dando lugar a
correcciones radiativas a su masa.
Estas correcciones pueden escribirse como:
Donde Λ corresponde al cutoff de energía, a partir del cual los efectos de nuevas fuerzas (p.e. la fuerza de la gravedad) se hace importante. Y mEW es la masa de cualquier objeto que
contribuya (loop virtuales relevantes) a la escala electrodébil ≤ TeV, g representa el acoplamiento de cualquier objeto al boson de Higgs.
Como la escala de la gravedad cuántica (la unica otra fuerza conocida hasta el momento)
se espera que sea del orden de Λ ~ 1019 GeV, las correcciones deberían ser del mismo orden...
O bien hay cancelaciones fortuitas de 16 ordenes de magnitud o bien existen nuevas
interacciones (a la escala de TeV) que permite la estabilidad de la masa del Higgs a los valores
“intuidos” experimentalmente.
Otros aspectos (problemas?) del Modelo Estándar :
( )2222 EMH mgm +Λ≈δ
-
48
Extensiones del Modelo Estándar ⇒ Simetrías superiores
-
49
Modelos de Gran Unificación
↔
↔
↔
−−− a
a
a
a
a
ae
b
t
s
c
d
u
e τ
ν
µ
νν τµ
L
greengreen
bluebluered
redredbluegreen
Re
green
blue
red
e
du
duu
duuu
e
d
d
d
++
0
0
0
0
0
,
ν
→
estadosdesmultipletel
q
Grupos de simetría no Abelianos (no conmutativos) dan lugar a cuantizacion de las cantidades
conservadas. P.e. el grupo de rotaciones ⇔ momento angular cuantizado en unidades de: En el ME la carga eléctrica esta cuantizada en unidades de 1/3 e y proviene de una simetría
UQ(1) que es una transformación de fase descrita por un grupo de simetría conmutativo….
Podría explicarse si G ⊃ SU C(3) ⊗ SU L(2) ⊗ U Y(1) ⇒ G = SU (5)
h21
(similar al isospin�rotaciones en un espacio interno de 5 dimensiones)
-
50
Limites experimentales:
Experimentos geoquimicos:
Experimentos de partículas (dedicados):
Xduu
e+
uup
π0
++→ ep 0π
modo) del ente(independi años 106.1 25×>pτ
Nuevos campos gauge (X, Y hasta 24).
La escala de unificación MX ~1015 GeV .. Con un gran “desierto” desde MW a MX
La violación de B y L seria posible �
Predicciones experimentales: vida media del protón (p.e.)
s)especifico (modo años 1010 3431 −>pτ
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51
Supersimetría (SUSY)
Interrelaciona Fermiones y Bosones. Resuelve el problema de “jerarquía”, introduce escalares
que pueden tener masa en el vacío diferente de 0 sin romper la invarianza Lorentz de la teoría.
Operador de las transformaciones:
Invarianza gauge global ⇒ Nuevo número cuántico conservado (multiplicativo) :
R-parity (R = +1 para partículas y R= -1 antipartículas)
, FBQBFQ ==
Los estados son multipletes que contienen igual numero de bosones y fermiones:
− 21,2
1
1,1
0,0
2
1,2
1
gaugino
gaugeboson
fermions
fermión
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~Gluino Gluón Higgs~~
Higgsino
~,~
Wino/Zino,Bosones ~,~
Slepton ,Lepton
~Fotino Fotón~,~Squark ,Quark
g g, ,
ZW Z Wllll
qq q q
RLRL
RLRL
φφφφ
γγ
′′
2
1 1 0
2
1 SpinSpinSpinSpin
El nuevo espectro de partículas debe tener masas ≤ 1 TeV
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53
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54
Supersimetría (SUSY) → Supergravedad
En analogía con QED: Si exigimos simetría gauge local al grupo de transformaciones
de supersimetría
⇒ tensor energía-momento Τµν
Campo gauge = gravitón: partícula de spin 3/2. La constante de acoplamiento tiene dimensiones de (masa)-1
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Teoría de Supercuerdas http://superstringtheory.com/
( )r
mGrV Ngrav
2
=Apreciable a distancias (o energías) en la
escala de Planck:
)10( 10 1933 GeVEcmr ≈≈ −
p.e. 2 partículas relativistas con E=pc
( )2
2
2
2
;
××≈⇒=≈
=c
EE
c
GV
E
c
pr
r
c
E
GrV NgravNgravh
hh
( )22392
2/10
7.6
6cGeV
G
c
c
EEV
N
grav ×≈≈
→≈h
usando el principio de incertidumbre
escala a la cual la fuerza gravitatoria no puede despreciarse
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Teoría Cuantica de partículas puntuales Gravedad
Interacción de partículas puntuales
Interacción de partículas
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Dimensiones extras
A Calabi-Yau shape: a two dimensional
of the six additional spatial
dimensions required by string theory.
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Para este verano…Brian Green: The Elegant Universe