el plano cartesiano
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Plano cartesiano
Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan . Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).
Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondiente del punto se escriben, entre paréntesis y separados por una coma, las coordenadas de éste, primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5). Existen dos casos: Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto paralelas a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes.Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano.
Nota: el origen, coordenado, del plano está representado por O(0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el ejey; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el eje x.
Ejercicios resueltos
1. Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:(-2, 3), (2, -3), (2, 3), (-2, -3), (0, 5), (5, 0), (4, 4), (-4, -4)Solución:Para facilitar su referencia, nombramos los puntos:A(-2, 3), B(2, -3), C(2, 3), D(-2, -3), E(0, 5), F(5, 0), G(4, 4), H(-4, -4)
EL PLANO CARTESIANO
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/distancia.html
Plano Cartesiano (Geometría Analítica)
El Plano Cartesiano es una herramienta muy útil en muchas actividades diarias. Sirve como referencia en un plano cualquiera; por ejemplo, el plano (o el suelo) de nuestra cuidad.
Se llama Plano Cartesiano porque lo inventó el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650).
El Plano Cartesiano se construye dibujando dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se atraviesan una a la otra en sus respectivos ceros; este cruce en el cero se le llama origen y a cada una de las rectas se les llama ejes cartesianos o ejes coordenados.
En la recta horizontal los números positivos están a la derecha del origen y los negativos a la izquierda del origen. En la recta vertical los números positivos están arriba del origen y lo negativos abajo del origen. Además, también se pueden trazar rectas paralelas a los ejes y formar así una cuadrícula.
La utilidad y versatilidad del Plano Cartesiano consiste en que se puede ubicar un punto sin confusiones con sólo dos números. Estos dos números se llaman coordenadas o par ordenado y el orden es (x,y).
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E T I QUE T AS: DE FI NI C I ONE S , GE OM E T R Í A ANAL Í T I C A , ÁL GE B R A
Coordenadas cartesianas
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Las coordenadas cartesianas son tambien conocidas como "Plano Cartesiano". Son un sistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio), perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.
Contenido[ocultar]
1 Historia 2 Sistema de coordenadas lineal 3 Sistema de coordenadas plano 4 Sistema de coordenadas espacial 5 Cambio del sistema de coordenadas
o 5.1 Traslación del origen o 5.2 Rotación alrededor del origen
6 Calculo matricial 7 Véase también 8 Enlaces externos
Historia [editar]
Se denominan plano cartesiano en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un punto de partida sobre el que edificar todo el conocimiento. Como creador de la geometría analítica, también comienza tomando un punto de partida: el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana con referencia a dos rectas perpendiculares que se cortan en origen, ideando las denominadas coordenadas cartesianas.
Sistema de coordenadas lineal [editar]
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si está situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en
el sentido positivo de las x: .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real.
Un punto:
también puede representarse:
La distancia entre dos punto A y B es:
que en este caso es lo mismo que:
Sistema de coordenadas plano [editar]
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede nombrarse mediante dos números: (x, y) las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejes cartesianos.
Sistema de coordenadas cartesianas
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.
La posición del punto A será:
Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dada por la expresión:
Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:
Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.
Sistema de coordenadas espacial [editar]
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente.
coordenadas cartesianas espaciales
Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho octantes en los que como en el caso anterior los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.
Las coordenadas del punto A serán:
La distancia entre los puntos A y B será:
El segmento AB será:
Cambio del sistema de coordenadas [editar]
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje).
Traslación del origen [editar]
Traslación del origen en coordenadas cartesianas
Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y
y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:
dado un segundo sistema de referencia S2
Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; e y, y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:
Se dice traslación del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores. Que llamaremos:
Dados los puntos O, O´ y A, tenemos la suma de vectores:
despejando
Lo que es lo mismo que:
Separando los vectores por coordenadas:
y ampliándolo a tres dimensiones:
Rotación alrededor del origen [editar]
Rotación alrededor del origen en coordenadas cartesianas
Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:
y una base ortonormal de este sistema:
Un punto A del plano, se representara en este sistema según sus coordenadas:
Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ángulo , respecto al primero:
y con una basa ortonormal:
Al calculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, lo llamaremos rotación alrededor del origen, siendo su representación:
Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; empleamos una denominación u otra para indicar el sistema de referencia empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema si que son diferentes, y es lo que se pretende calcular.
La representación de B1 en B2 es:
Dado que el punto A en B1 es:
con la transformación anterior tenemos:
deshaciendo los paréntesis:
reordenando:
Como:
;
Tenemos que:
Como sabíamos:
Por identificación de términos:
Que son las coordenadas de A en B2, en función de las coordenadas de A en B1 y de .
Calculo matricial [editar]
Siendo [T] la matriz de transformación y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.