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El presente documento fue elaborado con el apoyo del
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Dr. Jaime Parada vila
Presidente
Dr. Jos Francisco Albarrn Nez
Vicepresidente
Ing. Jos Antonio Esteva Maraboto
Secretario
Dr. Carlos Alfonso Garca Ibarra
Tesorero
Dr. Alberto Jaime Paredes
Prosecretario
Dra. Mnica Barrera Rivera
Protesorero
CONSEJO DIRECTIVO 2016 - 2018
Academia de Ingeniera Mxico Calle de Tacuba 7, Centro Histrico, C.P. 06000, Ciudad de Mxico, CDMX Impreso en Mxico Noviembre 2017 Derechos reservados
Fsica Patricia Ziga Cendejas
Directora Ejecutiva
Diseo de portada:
Tania A. Zaldvar Martnez
Cualquier mencin o reproduccin del material de esta publicacin puede ser realizada siempre y cuando se cite la fuente.
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Dr. Jaime Parada vila
Presidente
Dr. Jos Francisco Albarrn Nez
Vicepresidente
Ing. Jos Antonio Esteva Maraboto
Secretario
Dr. Carlos Alfonso Garca Ibarra
Tesorero
Dr. Alberto Jaime Paredes
Prosecretario
Dra. Mnica Barrera Rivera
Protesorero
Presidentes de la Comisin de
Especialidad de ingeniera
Coordinaciones de Programas
Multidisciplinarios
Dr. Oscar Monroy Hermosillo
Ambiental
Dr. Vctor Manuel Castao Meneses
Biomdica
M.I. Mario Ignacio Gmez Meja
Civil
Dr. Eduardo Alberto Castan Cruz
Comunicaciones y Electrnica
M. I. Julin Adolfo Adame Miranda
Elctrica
Dr. Gorgonio Garca Molina
Geofsica
Dr. Moiss Dvila Serrano
Geolgica
M. I. Alberto Lepe Ziga
Industrial
Dr. Guillermo Jos Aguirre Esponda
Mecnica y Mecatrnica
Dr. David Morilln Glvez
Municipal y Urbanstica
M.C. Antonio del Ro Soto
Naval
Dr. Edmundo Del Valle Gallegos
Nuclear
M.I. Miguel ngel Lozada Aguilar
Petrolera
Dr. Antonio Alonso Concheiro
Prospectiva y Planeacin
Dr. Felipe Rolando Menchaca Garca
Educacin e Investigacin en Ingeniera
Dr. Francisco Javier Trujillo Arriaga
Alimentos y Desarrollo Rural
Dr. Vctor Manuel Lpez Lpez
Recursos Naturales y Cambio Climtico
Dr. Gustavo Alonso Vargas
Energa y Sustentabilidad
Dr. Jos Salvador Echeverra Villagmez
Competitividad e Innovacin
M.C. Luis Gabriel Torreblanca Rivera
Manufactura y Servicios
Ing. Oscar Luis Valle Molina
Infraestructura, Transportes y Ciudades
Dr. Vctor Manuel Castao Meneses
Salud
CONSEJO ACADMICO 2016 - 2018
Ing. Arturo Ricardo Rosales Gonzlez
Qumica
M. I. Luis Enrique Maumejean Navarrete
Sistemas
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TEORA DE GRAFOS
Una Introduccin Histrico-Tcnica
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Alejandro Saracho Luna
Vctor Manuel Castao Meneses
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grafo, fa.
(Del gr. -, de la raz de , escribir).
1. elem. compos. Significa 'que escribe' o 'que describe'
Diccionario de la Real Academia Espaola de la Lengua
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A mis padres, por la maravillosa red de la vida
Vctor Manuel Castao Meneses
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NDICE
La Academia de Ingeniera de Mxico ......................................................................................................... 1
Prlogo .................................................................................................................................................................. 3
Origen del concepto de grafo ......................................................................................................................... 5
Definicin bsica de grafo. ............................................................................................................................. 6
Glosario bsico de la Teora de Grafos ........................................................................................................ 8
Clases de redes..................................................................................................................................................10
Topologas de redes ........................................................................................................................................20
Redes sociales ...................................................................................................................................................22
Anlisis de redes sociales ..............................................................................................................................25
Mtodos de medicin ......................................................................................................................................28
Concepto de afiliacin ....................................................................................................................................31
Redes de afiliacin: antecedentes y teora bsica .................................................................................33
Propiedades y aplicaciones de las redes de afiliacin .........................................................................36
Anlisis de correspondencia ........................................................................................................................51
Escalamiento de una matriz de proximidad ...........................................................................................56
Valores singulares ...........................................................................................................................................58
Modelos de bloque ...........................................................................................................................................61
Matrices y permutacin .................................................................................................................................62
Roles, posicin y equivalencia .....................................................................................................................63
Bibliografa .......................................................................................................................................................69
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La Academia de Ingeniera de Mxico La Academia de Ingeniera de Mxico (AIM) es una asociacin, sin fines de lucro, que agrupa y promueve la participacin y colaboracin de los ms distinguidos ingenieros y profesionales afines del pas y del extranjero, quienes se han destacado en la prctica, en la investigacin y en la enseanza de las diversas ramas de la ingeniera, y que coadyuvan al desarrollo equitativo, creciente y sustentable de Mxico. Es una institucin reconocida y respetada por su liderazgo y participacin activa en los sectores pblico, privado y social de Mxico, que tiene como propsito lograr una ingeniera mexicana innovadora, competitiva y protagnica en temas que impacten en el desarrollo sostenible del pas. La AIM es un centro de pensamiento y reflexin estratgico sobre la ingeniera, en especial, la nacional, dirigido a promover y difundir la vocacin, la educacin, el ejercicio profesional, la investigacin, y la innovacin en la ingeniera al ms alto nivel y con compromiso social. Mxico no se puede explicar sin la contribucin de los ingenieros, tanto en su infraestructura, como en la industria y servicios. En un entorno de cambios rpidos y profundos, de mayor competencia interna y externa, as como de la urgente necesidad de resolver rezagos aejos, el pas deber resolver los grandes desafos para que pueda desplegar todo su potencial de desarrollo. Es por ello que la AIM estableci, como prioridad estratgica, contribuir al debate pblico sobre el rumbo que tomar nuestro pas en los prximos aos en temas prioritarios para el desarrollo. Se busca, as, lograr la incidencia en las decisiones nacionales ms relevantes, convencidos de que la ingeniera mexicana tiene mucho que aportar en el anlisis y evaluacin de las polticas pblicas
relacionadas con infraestructura, energa, telecomunicaciones, clsteres industriales, medio ambiente y muchas otras reas. Para lograrlo, la AIM decidi identificar los Grandes Retos de la Ingeniera Mexicana (GRIM) para focalizar en ellos sus esfuerzos de reflexin y propuesta. Los nueve GRIM son: 1. Alimentos y Desarrollo Rural 2. Competitividad e Innovacin 3. Energa y Sustentabilidad 4. Educacin e Investigacin en Ingeniera 5. Infraestructura, Transporte y Ciudades 6. Manufactura y Servicios 7. Prospectiva y Planeacin 8. Recursos Naturales y Cambio Climtico 9. Salud La actividad editorial de la Academia de Ingeniera de Mxico representa el principal medio de expresin, en medios impresos y electrnicos, hacia el interior y el exterior, de su quehacer. Se ha diseado para contribuir eficazmente al logro de una ingeniera mexicana innovadora, competitiva y protagnica ya que aborda temas estratgicos que impacten en el desarrollo equitativo y sostenible del pas. La actividad editorial de la AIM est encaminada a la divulgacin de la ingeniera, especialmente a la difusin de su repositorio de conocimientos y de los resultados de reflexiones de los grupos colegiados de pensamiento estratgico. Las publicaciones se encuentran estructuradas en series, adems de sus publicaciones peridicas, las cuales le dan agilidad y pertinencia a la expresin del trabajo de la organizacin.
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Prlogo Teora de grafos. Una introduccin histrica-tcnica Un grafo es un elemento conformado por un conjunto de puntos llamados vrtices o nodos, unidos por un conjunto de aristas denominadas uniones o arcos, con relacin entre s. Este libro que tiene en sus manos, enmarca de la manera ms clara posible la visin histrica-tcnica de la teora de grafos. La teora iniciada por el matemtico y fsico suizo Leonhard Euler en el siglo XVIII, al resolver el problema de los siete puentes de Knigsberg es considerada la rama de la topologa y de las matemticas. Con la atinada y clara pluma que caracteriza a los autores Vctor Manuel Castao Meneses y Alejandro Sarancho Luna, este libro permite albergar la correcta explicacin de esta rama de las ciencias exactas en un lenguaje claro, conciso y sencillo. Las lneas plasmadas, adems, ofrecen a quien lo lee adentrarse en el mundo de los grafos y constatar su vigencia y aplicacin para la resolucin de problemticas actuales, al ofrecer un entendimiento amplio de ella a travs de diferentes tcnicas de lenguaje y elementos grficos. Con la virtud de que el entramado de relaciones e interacciones de un grafo sirven para dar explicacin a ecosistemas, propiedades topolgicas comunes, redes neuronales, metabolismo celular, telecomunicaciones y comunicaciones terrestres, entre otros temas especficos, la teora de grafos puede ser relacionado en diversas reas del conocimiento. Este fructuoso proyecto ha nacido de la necesidad del uso de esta teora de grafos y de su provechosa utilidad en las diferentes ramas
de las ciencias, puesto que aunque en sus inicios
la teora fue desarrollada y considerada para resolver temas completamente matemticos, actualmente es utilizada para la resolucin de problemticas administrativas y sociales, entre otros. La usanza de estos smbolos matemticos permite expresar visual, sencilla y efectivamente las relaciones que existen entre elementos de muy diversa ndole. Y de cmo a travs de claros ejemplos enunciados por los doctores Castao y Sarancho sobre las propiedades y aplicaciones de las diferentes redes de afiliacin y de los anlisis de correspondencia, los grafos sirven para estudiar la realidad. Esta teora permite conceptualizar ideas, y generar una claridad mental en los pensamientos, cualquiera que estos sean, estn o no relacionadas. Adems, en esta obra los autores tienen a bien emprender y explicar la relacin de la teora de redes basada en la teora de grafos como una herramienta matemtica importante, la cual se refiere al estudio de sistemas conectados entre s, que permite la resolucin de mltiples problemas. La difana escritura de la presente obra permite abonar a diversos escritos sobre la materia, generando condiciones para estudiar fenmenos sociales y de otras ndoles temticas a travs del uso de las ciencias exactas. Aplaudo esta unin de nodos, vrtices, nmeros, trminos y lenguaje para el disfrute de los interesados, mismo que posibilita el conocimiento de esta importante materia: la teora de grafos.
Dra. Carmen Enedina Rodrguez Armenta
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Origen del concepto de grafo
La historia de los grafos se remonta al ao de
1736, cuando el famossimo matemtico Euler
se interes en un acertijo llamado el problema
del puente Knigberg. Dicho acertijo fue
resuelto por Euler utilizando un grafo, que es
un objeto matemtico que consiste de puntos,
tambin llamados nodos o vrtices, y lneas,
tambin llamadas ejes o uniones. A la
resolucin de este problema se le llam el
primer teorema de la teora de grafos, la cual
ha sido considerada desde entonces como el
principal lenguaje matemtico para describir las
propiedades de cierto conjunto de elementos
discretos llamados vrtices y un conjunto de
conexiones llamados ejes que unen a los
elementos, donde las conexiones pueden ser
casi cualquier cosa, por ejemplo, gente y sus
amigos, computadoras y lneas de
comunicacin, qumicos y sus reacciones,
artculos cientficos y citas, etc.
Debe mencionarse una publicacin hecha de
1929, que describe, aunque como ciencia
ficcin, una de las verdades fundamentales
sobre la estructura de los grafos que ha sido
base de gran cantidad de investigaciones
cientficas en este campo, el concepto conocido
como efecto mundo pequeo o seis grados de
separacin. Karinthy, en ese trabajo pionero,
demostr que es posible conectar al ganador
de un premio Nobel consigo mismo mediante
una cadena de tan slo cinco personas
conocidas.
Por otro lado, Solomonoff y Rapoport
(1951), presentaron el primer estudio
sistemtico de lo que ahora conocemos como
grafo aleatorio y adems demuestra una de las
propiedades ms cruciales de este modelo
estableciendo que conforme la relacin del
nmero de ejes con el nmero de vrtices en
un grafo se incrementa, el grafo alcanza un
punto donde experimenta un cambio abrupto
desde una coleccin de vrtices desconectados
hasta un estado conectado en el cual, el grafo
contiene un componente gigante. Estos
autores definen una cantidad denominada
conectividad dbil que representa el nmero
esperado de vrtices alcanzable a travs del
grafo desde un vrtice elegido al azar. En la
actualidad, dicha conectividad dbil se
considera como el tamao promedio del
componente del grafo. Los resultados de estos
autores condujeron a la conclusin de que este
tamao promedio componente depende
crucialmente del grado medio a, el cual es
nuevamente el nmero de ejes conectados a
un vrtice y demostraron que para a < 1, el
grafo se descompone en muchas pequeas
islas todas separadas entre s y para a > 1 se
forma un componente gigante que contiene
una fraccin finita de todos los vrtices en el
grafo.
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Continuando con la evolucin histrica
de los grafos, debemos mencionar ahora los
trabajos de Erds y Rnyi. (1959, 1960, 1961),
aclaramos que aunque Rapoport y Solomonoff
(1951) dieron la mayora de los resultados de
los grafos al azar, Erds y Rnyi (1959)
redescubrieron estos resultados sin haber ledo
a Solomonoff y Rapoport (1951) y es as
como a Erds y Rnyi (1959) se les atribuye el
descubrimiento de los grafos aleatorios.
Definicin bsica de grafo.
Como se mencion, el trabajo de Euler
sobre los puentes de Knigsberg es
considerado como uno de los primeros
resultados de la teora de grafos, en 1736.
Tambin se considera uno de los primeros
resultados topolgicos en geometra (que no
depende de ninguna medida). Este ejemplo
ilustra la profunda relacin entre la teora de
grafos y la topologa.
Figura 1. Leonhard Euler, matemtico suizo del siglo dieciocho quien fue llamado el padre de la teora de grafos.
La teora de grafos tiene su origen
histrico con el problema de los siete puentes
de Knigsberg (Prusia oriental en el siglo XVIII
-ciudad natal de Kant- y actualmente,
Kaliningrado, provincia rusa) es un clebre
problema matemtico que fue resuelto por
Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la
Teora de los grafos, planteado de la manera
siguiente:
Dos islas en el ro Pregel que cruza
Knigsberg se unen entre ellas y con la tierra
firme mediante siete puentes. Es posible dar
un paseo empezando por una cualquiera de las
cuatro partes de tierra firme, cruzando cada
puente una sola vez y volviendo al punto de
partida?
Figura 2. Los siete puentes de Knigsberg.
Euler enfoc el problema representando
cada parte de tierra por un punto y cada
puente, por una lnea, uniendo los puntos que
se corresponden. Entonces, el problema
anterior se puede trasladar a la siguiente
pregunta: Se puede recorrer el dibujo
ISLA
A
B
C
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Leon_Euler&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberghttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Prusiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Inmanuel_Kanthttp://es.wikipedia.org/wiki/Kaliningradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rusiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/1736http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_los_grafos
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terminando en el punto de partida sin repetir
las lneas?
Figura 3 Grafo de los puentes de Knigsberg.
Euler demostr que no era posible ya
que el nmero de lneas que inciden en cada
punto no es par (condicin necesaria para
entrar y salir de cada punto, y para regresar al
punto de partida, por caminos distintos en todo
momento).
Figura 4. Mapa de Knigsberg de la poca de Euler. El cual muestra dnde se encontraban los siete puentes que inspiraron a Euler a introducir un grafo, creando con esto la teora de grafos.
Los grafos son modelos matemticos
que permiten expresar de forma visual, sencilla
y efectiva, las relaciones que existen entre
elementos de muy diversa ndole. Se dice que
un grafo simple est formado por dos
conjuntos: Un conjunto de puntos llamados
vrtices o nodos y un conjunto de pares de
vrtices que se llaman uniones o arcos y que
indican cules nodos estn relacionados entre
s. Entonces, podemos definir a los grafos
como un conjunto de nodos con enlaces entre
ellos, denominados uniones o arcos. Asimismo,
decimos que en un grafo simple entre dos
nodos, slo existe un arco y agregamos que en
caso de la existencia de ms de un arco, existe
un grafo mltiple o multi-grafo.
Adems, si los arcos se pueden recorrer
en una direccin concreta pero no en la
contraria, hablamos de un grafo dirigido o bi-
grafo, en cuyo caso los arcos sern uniones.
Tambin, si los arcos salen y llegan al mismo
punto formando un bucle o rizo, decimos que
se ha formado un pseudo-grafo.
La figura 5 muestra de izquierda a
derecha, un nodo simple, el mismo nodo unido
a cuatro enlaces, los que a su vez tienen en
cada uno, cuatro nodos enlazados a estos
ltimos y la figura de la extrema derecha
muestra un grafo complejo, la cual integra
como nodo central con caractersticas de alta
C
B
A
ISLA
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Konigsberg_bridges.png
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conectividad y en una posicin relevante con
respecto a los dems nodos.
Figura 5. Desarrollo de grafos mltiples a partir de un nodo sencillo. En este caso, el primer nodo de la izquierda se convierte en un hub. Stamps y Lipnack (2004-2005).
Glosario bsico de la Teora de Grafos
Una vez definido lo que entendemos
por un grafo, vamos a mencionar los trminos
principales de esta teora. Podemos afirmar
que los siguientes elementos son
fundamentales para entender la teora de
grafos:
i) Grafos. Un grafo G es un conjunto de
vrtices (nodos) v conectados por ejes
(enlaces) e. En consecuencia G = (v, e).
ii) Vrtice (nodo). Un nodo, v, es un punto
terminal o un punto de interseccin de un
grafo.
iii) Eje (enlace). Un eje o enlace, e, es la unin
entre dos nodos. El enlace (i, j) tiene
extremidad inicial i, y extremidad terminal j.
iv) Sub-grafo. Un sub-grafo es un
subconjunto de un grafo G donde p es el
nmero de sub-grafos. Por ejemplo, G =
(v, e) puede ser un sub-grafo de G.
v) Rizo. Un rizo es un enlace que hace que un
nodo tenga correspondencia consigo mismo.
vi) Grafo plano. Es aquel donde todas las
intersecciones de dos ejes son un vrtice.
Como este grafo se ubica sobre un plano, su
topologa es bidimensional.
vii) Grafo no plano. Es un grafo donde no
hay vrtices en la interseccin de al menos
dos ejes. Esto implica una tercera dimensin
en la topologa del grafo pues existe la
posibilidad de tener un movimiento pasando
a travs de otro movimiento. Un grafo no
plano tiene potencialmente muchos ms
enlaces que un grafo plano.
viii) Conexin. Un conjunto de dos nodos
donde cada nodo est unido al otro.
ix) Trayectoria. Una secuencia de uniones
dirigidas en la misma direccin. Para que
exista una trayectoria entre dos nodos, debe
ser posible recorrer una secuencia
ininterrumpida de uniones.
x) Cadena. Es una secuencia de uniones que
tienen una conexin en comn con otra, sin
importar la direccin.
xi) Ciclo. Se refiere a una cadena donde el
nodo inicial y el final es el mismo y que no
utiliza la misma unin ms de una vez en un
ciclo.
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xii) Longitud de una unin, conexin o
trayectoria. Se refiere a la etiqueta
asociada con una unin, conexin o
trayectoria. La longitud de una trayectoria
es el nmero de uniones (o conexiones) en
dicha trayectoria.
xiii) Circuito. Es una trayectoria donde el
nodo inicial y el nodo final corresponden.
Hay un ciclo donde todas las uniones estn
dirigidas en la misma direccin.
Adicionalmente, podemos definir las
propiedades estructurales bsicas de un
grafo.
i) Simetra y anti-simetra. Un grafo es
simtrico si cada par de nodos unidos en
una direccin, est tambin unidos en la
otra. Por convencin, una lnea sin una
cabeza de flecha representa una unin
donde es posible moverse en ambas
direcciones. Sin embargo, ambas
direcciones tendrn que ser definidas en el
grafo.
ii) Completitud. Un grafo es completo si dos
nodos estn ligados en al menos una
direccin.
iii) Conectividad. Un grafo completo es
conectado si para todos sus distintos pares
de nodos hay una cadena ligada. La
direccin no tiene importancia para un grafo
que es conectado, pero puede ser un factor
que afecte el nivel de conectividad. Si p> 0
el grafo es no conectado porque tiene ms
de un sub-grafo. Hay varios niveles de
conectividad, dependiendo del grado al cual
cada par de nodos est conectado.
iv) Complementacin. Dos sub-grafos son
complementarios si de su unin resulta un
grafo completo.
v) Raz. Un nodo r donde cada uno de los
otros nodos es el extremo de una
trayectoria que sale desde r, es una raz. La
direccin es importante. Una raz es
generalmente el punto inicial de un sistema
de distribucin.
vi) rboles. Un grafo conectado sin un ciclo es
un rbol. Un rbol tiene el mismo nmero
de uniones ms uno que los nodos.(e = v
1) Si una unin se remueve, el grafo deja de
ser conectado. Si se adiciona una nueva
conexin entre nodos, se crea un ciclo. Una
rama de raz r es un rbol donde ninguna
unin est algn nodo ms de una vez.
vii) Nodo de articulacin. En un grafo
conectado, un nodo es de articulacin si el
sub-grafo obtenida por remocin de este
nodo no esta muy conectado. sta contiene
entonces ms de un sub-grafo (p > 1).
viii) Istmos. En un grafo conectado, un
istmo es una unin que se crea cuando se
remueven dos sub-grafos que tienen al
menos una conexin.
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Clases de redes
Si realizamos alguna observacin del
mundo que nos rodea todo est referido a
sistemas, los cuales los entendemos como un
conjunto de elementos interrelacionados entre
si con un objetivo comn, estos sistemas
pueden ser grandes y complejos por su gran
cantidad de componentes, como la internet, el
cosmos, el cerebro humano, etc., o pequeos
como los integrantes de una organizacin, un
grupo de amigos, las universidades de una
localidad, las empresas de una regin, etc.,
estos sistemas por conveniencia de estudio
pueden ser representados por una red que
muestre la interrelacin que existe entre sus
componentes y sus caractersticas.
Si se aplica esta metodologa existe una
teora que sustente esta representacin:
La teora de redes se refiere al estudio
de los sistemas conectados, una herramienta
matemtica importante para el estudio de las
redes es la teora de grafos. Estos son una
coleccin de vrtices o nodos conectados por
ligaduras (arcos), dirigidos o no.
En trminos sencillos, un grafo es la
representacin de las relaciones entre los
elementos de un cierto conjunto. Por ejemplo,
un conjunto de computadoras conectadas
entre s puede ser representado por medio de
un grafo. Cuando la relacin entre cada dos
objetos lleva asociado un valor numrico (que
puede representar el costo de paso, la longitud
o la velocidad de flujo entre ambos, etc.) se
habla de redes en lugar de grafos.
Debido a esta generalidad del concepto
de red, muchos de los problemas en campos
como Diseo y Anlisis de Redes de
Comunicacin, Planificacin de la Produccin,
Gestin y Administracin, Ciencias de la
Computacin, Inteligencia Artificial,
Clasificacin y Anlisis de Datos, Fiabilidad de
Sistemas, Redes de Colas, Trfico, Localizacin
de Centros o Plantas, Criptografa,
Cristalografa, etc., se plantean y resuelven
gracias a los estudios realizados en general
para redes.
Podemos decir entonces que la teora
de redes se refiere al estudio de los sistemas
conectados. As, constituyen redes las palabras
en un idioma y los temas en una conversacin.
El trfico de una ciudad, las empresas de un
parque industrial el cerebro es una red de
neuronas y las organizaciones son redes de
personas. La economa global, es una red de
economas nacionales, compuesta de redes de
mercados, las transacciones en una empresa
manufacturera, las que a su vez construyen
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con las interacciones de los productores y los
consumidores.
Figura 6.Pintura de Idahila Stanley reproducida por Nature. Esta obra fue parte de un estudio de interrelacin, se considera un smbolo de nuestra conectividad social.
Las cadenas alimenticias, los
ecosistemas, la red de internet (World Wide
Web, `www`), y el metabolismo celular, el
genoma humano pueden ser tratados como
redes. La herramienta para estudiar estas
mallas es la teora de redes. Ahora bien, todas
las redes descritas con anterioridad,
constituyen sistemas sin aparente relacin
entre si, pero pueden ser estudiados en forma
general debido al sorprendente hecho de que
no existe gran diversidad en la estructura de
las redes que los representan.
Figura 7.Proyecto del Genoma Humano.
As, Barabsi (2002), seala que los
resultados tericos y experimentales sobre el
anlisis de redes, llevan a distinguir dos
grandes clases de redes basndose en la
distribucin de su conectividad. Dicho valor da
la probabilidad de que un nodo en una red
determinada est conectado a otro nmero,
(digamos k) de nodos existentes en la red.
La primera clase de redes se caracteriza
porque tiene un pico en cierto valor promedio y
decae exponencialmente a medida que el valor
de k aumenta. Son ejemplos tpicos de este
tipo de redes los establecidos por Erds y
Rnyi (1960), para grafos aleatorios.
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Figura 8. Modelo de Erds y Rnyi (1960)
Figura 9. Distribucin de probabilidad de un grafo aleatorio.
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Por otro lado, la segunda clase de
redes queda descrita por el modelo de Watts
y Strogat (1999), de mundos pequeos o el
mundo es un pauelo, siendo la principal
caracterstica de estas ltimas, su
homogeneidad ya que cada nodo tiene
aproximadamente el mismo nmero de
conexiones, es decir, cada nodo de la red se
relaciona con aproximadamente k nodos de la
misma.
Figura 10. Modelo de red de mundo pequeo.
Por su parte, Barabsi (2002), ha
trabajado con otros sistemas conocidos como
escala libre que son redes no homogneas
donde k decae en forma exponencial. Barabsi
(2002), ha encontrado que existen infinidad de
ejemplos que se comportan de acuerdo a este
tipo de redes, es decir, con el mismo patrn
topolgico.
Figura 11. Modelo de red de escala libre o invariante de Albert, Jeong y Barabsi (2000)
Ahora bien, se ha estudiado la inter-
conectividad de la red haciendo una
descripcin de la misma mediante su dimetro
d, siendo d la longitud promedio de los camino
ms cortos entre dos nodos cualesquiera de la
red, entonces, cuanto ms pequeo es d, se
espera que ms corto sea el camino entre dos
nodos, lo cual influye directamente en las
posibilidades de comunicacin entre los dos
nodos.
Por otra parte, existen redes con un
enorme nmero de nodos y dimetros muy
pequeos. Respecto a este fenmeno,
Lawrence y Giles (1998, 1999), estudiando la
red de internet encontraron que en ese
entonces, sta tena cerca de un billn de
documentos, pero su dimetro no era grande,
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y en consecuencia no era una red del tipo el
mundo es un pauelo, era una red de escala
invariante (Scale free), lo cual impacta sobre la
tolerancia que tiene la red y Barabsi (2002),
estudiando los cambios en el dimetro de las
redes cuando se considera un nmero pequeo
de nodos, digamos f, encontr que el mal
funcionamiento o ausencia de un nodo en una
red incrementa la distancia entre los dems
nodos porque pueden quedar eliminados
algunos caminos que contribuyen a la
conectividad de los componentes del sistema.
Figura 12. Representacin de la conectividad de la
Intenet. ISPs (Internet Service Provider) coloreado de forma separada por K. C. Claffy.
Encontr adems que en las redes
exponenciales el dimetro se incrementa
montonamente con f, lo que significa que
cuando f crece, es muy difcil para los nodos
restantes comunicarse entre ellos, lo cual es
producto de la homogeneidad de la red pues
como todos los nodos tienen aproximadamente
el mismo nmero de conexiones (links), su
contribucin al dimetro es la misma, por lo
tanto, al eliminar un nodo el dao que se
produce en la red es similar. Sin embargo, en
las redes de escala invariante (scale free), el
comportamiento es totalmente diferente.
Aunque el nmero de fallas aumente, el
dimetro permanece casi sin cambios debido a
la distribucin no homognea de la
conectividad.
La distribucin segn una ley
exponencial implica que la mayora de los
nodos tienen unos pocos links y como existen
muchos de ellos, la probabilidad de que se
vean afectados es mucho mayor que la
probabilidad de falla en los escasos nodos ms
conectados. Por lo tanto, la probabilidad de
falla en este tipo de redes es mucho menor. En
este tipo de redes, adems, los nodos
altamente conectados (hubs) son escasos, lo
cual tiene dos efectos: por un lado, estas redes
de escala invariante son altamente tolerantes a
las fallas aleatorias pero, por otro lado, son
altamente vulnerables a fallas planificadas con
el slo hecho de encontrar sus escasos hubs.
En la red aleatoria (figura 13) los cinco
nodos (hubs) con la mayora de enlaces (en
rojo) estn conectados nicamente al 27% de
todos los nodos (verde) mientras que en la red
invariante de escala(scale free) (figura 14) los
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cinco nodos (hubs) estn conectados al 60%
de todos los nodos. La conectividad impacta
directamente en la estabilidad de una red.
Figura 13. Representacin de una red aleatoria.
Figura 14. Red de escala invariante con hubs.
La figura 13 representa un grafo con 5
hubs aleatorios mientras que la figura 14 un
grafo con 5 hubs de escala invariante, en el
primer caso, se puede observar que los hubs
tienen una conectividad con un bajo
porcentaje de enlace (aproximadamente 27%)
mientras que en el segundo caso los hubs
tienen una conectividad alta (60 %
aproximadamente). Surge entonces la
pregunta. Cul modelo es el adecuado para el
estudio que aqu nos ocupa? Para responder
dicho cuestionamiento es conveniente discutir
brevemente ambos modelos. En consecuencia,
si tomamos como base el artculo de Barabsi,
Ravaz, Vicsek (2001, Jul.), vemos que la
probabilidad de que un nodo elegido en forma
aleatoria tenga exactamente k conexiones
disminuye de acuerdo a la ley de potencias
dada por la ecuacin 1.
Adicionalmente la figura 15 representa
una red de escala invariante con nodos de alta
conectividad representando de forma directa a
los hubs y la figura 16 representa una red
aleatoria donde la conectividad de los nodos es
homognea.
-
16
Figura 15. Representacin de una red aleatoria donde no se distinguen nodos que se destaque por su alta conectividad.
Figura 16. Red de escala invariante con nodos de alta concentracin de conectividad.
Figura 17. Red de escala invariante con nodos de alta conectividad (hubs).
P (k) = k- (1)
Donde es el grado del exponente. Al
parecer el exponente de los grafos invariantes
de escala libre vara entre 2 y 3 y con el fin de
entender la topologa de grafos complejos, se
han desarrollado varios modelos, todos ellos
basados principalmente en dos mecanismos:
crecimiento incremental y unin
preferencial. El primer mecanismo utiliza el
hecho de que los grafos se van construyendo
mediante la adicin de nuevos nodos al
sistema mientras que la unin preferencial
propone la hiptesis de que los nuevos nodos
se conectan con mayor probabilidad a los
nodos con mayora de conexiones o hubs. Sin
embargo, parece ser que ambos mecanismos
entran en accin en la mayora de los sistemas
-
17
que tienen topologa de grafo invariante libre
de escala. Adems, se sabe que los fenmenos
estocsticos, son un rasgo comn de todos los
modelos de grafos que generan topologa
invariante libre de escala, es decir, los nuevos
nodos se conectan a los nodos ya existentes,
mediante una regla probabilstica. Dicha regla,
aleatoria por si misma, impide una visualizacin
real de la forma en que se realiza dicha
invariancia en los grafos mencionados.
La complejidad del problema de los
grafos se puede apreciar tomando en cuenta la
gran cantidad de trabajos publicados al
respecto. As, probablemente, el modelo de
grafos aleatorios ms antiguo y ms estudiado
sea el de Erds y Rnyi (1959, 1960, 1961),
pero aunque ha sido ampliamente usado en
teora combinatoria de grafos, sus predicciones
rara vez se aplicaban en el mundo real, debido
principalmente a la ausencia de datos de
grafos grandes. Sin embargo, con el
advenimiento de las computadoras, este hecho
cambio rpidamente, y ahora se sabe que
muchos de los grafos aleatorios que existen en
la naturaleza y tienen estructuras internas
complejas, tambin tienen rasgos comunes.
Un gran avance en la comprensin de
los rasgos genricos en el desarrollo de grafos
fue el descubrimiento de un grado
sorprendente de organizacin propia,
caracterstica de las propiedades a escala
grande de los grafos complejos. El modelo, que
estudia los aspectos estadsticos de grafos
aleatorios con medidas probabilsticas,
comienza suponiendo N vrtices no enlazados
entre s. Ahora, si conectamos cada par de
vrtices con una lnea (enlace o eje) y le
damos una probabilidad pER, generaremos una
red aleatoria. El gran descubrimiento de Erds
y Rnyi (1960) fue que muchas de las
propiedades de estos grafos aparecen
repentinamente, en un valor umbral de
pER(N), (donde N es el nmero de vrtices)
siendo una propiedad de gran importancia para
la topologa de los grafos la aparicin de
rboles y ciclos. Erds y Rnyi (1960),
demostraron que si pER(N) era
aproximadamente igual a c/N, con c < 1, casi
todos los vrtices pertenecen a rboles aislados
(Smythe y Mahmound,1995; Szymanski 1987),
pero hay un cambio abrupto en pER(N)
aproximadamente igual a 1/N (es decir, c = 1)
cuando aparecen ciclos de todos los rdenes,
as el modelo tambin se conoce como
modelo de percolacin dimensional
infinita y puede estudiarse en Stauffer y
Aharony (1992, 1994). Desde este punto de
vista, pc aproximadamente igual a 1/N, es el
umbral de percolacin del sistema y para p
-
18
contiene todos los vrtices. Por otro lado, un
grafo invariante libre de escala se define como
un grafo conectado o red con la propiedad de
que el nmero de enlaces k originado a partir
de un nodo raz muestra una ley exponencial
de distribucin dada por la ecuacin (2):
P (k) aprox.= k- .. (2)
El modelo ER se compara con otros
modelos de grafos mediante las distribuciones
de conectividad, donde se considera que la
probabilidad de que un vrtice tenga k ejes,
sigue la distribucin de Poisson dada por la
ecuacin (3):
P (k) = e-k/k! . (3)
Donde:
= (N 1, k)pkER(1 pER)N 1 k.(4).
Siendo el valor esperado (N 1)pER.
Para una discusin detallada de estos tpicos
se puede recurrir a los trabajos de Albert
(1999, 2000, 2002) y de Barabsi (1999). Estos
mismos estudios, han demostrado que es ms
adecuado describir los grafos por leyes de
potencias o distribuciones de enlaces de escala
libre. En estas leyes, Limperth, Stahel, y Abbt
(2001); Mitzenmacher (2001); y Laherre
(1996), observan la probabilidad de que un
nodo tenga k uniones es aproximadamente
proporcional a 1/kT. As, el grafo de unin del
amplio mundo de la web (Adamic, 1999), la
Internet. Faloutsos et al. (1999), ciertas
trayectorias biolgicas. Barabsi et al. (2000) y
algunos grafos sociales. Aiello (2000);
Newman, Watts, y Strogatz (2002.); Liljeros et
al. (2000); Barabsi (1999), son ejemplos de
esta clase de grafos. Dentro de este contexto
vemos que todos estos fenmenos tienen en
comn el hecho de ser grafos, donde los
conceptos de interaccin de relacin entre
elementos son pilares bsicos para estructurar
una explicacin racional de nuestro entorno.
As, basndose en los descubrimientos de los
pioneros de la teora de grafos, {Euler y
Cauchy, Hamilton, Cayley, Kirchof, y Plya y
ms recientemente de los matemticos
hngaros, Erds y Rnyi (1950); Barabsi
(2002)} intentando responder la pregunta
Cmo son las formas de los grafos?
menciona que la respuesta se encuentra en la
teora aleatoria de los grafos y su construccin
y establece que la estructura de grafos es la
clave para entender el mundo complejo que
nos rodea, donde se ha encontrado que
pequeos cambios en la topologa de un grafo,
los cuales afectan solo pocos nodos o enlaces,
pueden abrir puertas escondidas que den lugar
a nuevos descubrimientos.
Barabsi (1999, 2002) realiza estudios
dando seguimiento a grafos auto-organizados
presentes en campos como la fsica cuntica, la
-
19
biologa molecular, la seguridad digital y la
economa mundial.
Adems, los experimentos con cartas
que incluan principalmente a, Newman, Watts,
y Strogatz (2002) y Barabsi (1999, 2002)
demostraron que el efecto Small World (El
mundo es un pauelo) poda encontrarse en
cualquier grafo de conectividad elevada, algo
que no se explicaba por la Teora de grafos
aleatorios (Newman 2001 a, 2001b, 2001c).
Los estudios demostraron que grafos
enormes no necesitan muchas conexiones
aleatorias para conectarse, basta con unos
pocos nodos de gran actividad entre
agrupaciones para tener efectos Small World,
Kuperman y Abramsor (2004), Zannete (2001).
En los grafos invariantes libres de escala
(Scale-free networks), Kim, Yoon, Han, y Jeong
(2002), estos nodos de gran actividad o
influencia se les denomina Hub.
Si bien estos hubs no han podido ser
explicados por los modelos ni de Erds y Rnyi
(1960) ni de Newman, Watts, y Strogatz
(2002), si estn presentes en todos los grafos
complejos, Diestel (2005), Bornhpldt (2003),
Jungnickel (2005), Xu (2003), y Barabsi
(2002).
El economista Vilfredo Pareto (1896-
1965) observ el principio comnmente
conocido como regla del 80/20, descrita
matemticamente como ley de potencias. A
diferencia de las distribuciones normales,
caractersticas de sucesos aleatorios una ley de
potencias (Abe y Rajagopal 2002), no tiene
pico y coexisten unos pocos sucesos de mucho
peso con otros muchos de poco peso, estas
leyes de potencia estn presentes en la teora
del caos, los fractales, Mandelbrot (1983);
Aharony y Feder (1989); Walter (1990); Batty
y Longley (1994); Mandelbrot (1997), cambios
de estado y grafos invariantes libre de escala.
Newman, Watts, y Strogatz (2002),
Kuperman y Abramson (2004), principalmente
desarrollan un modelo sencillo de grafo
denominado Small World, donde se plantea
que la naturaleza es un entramado de
relaciones e interacciones, un grafo de grafos;
ecosistemas, metabolismo celular, redes
neuronales, etc., exhiben propiedades
topolgicas comunes e inesperadas, donde
todos estos sistemas son grafos y los
conceptos de interaccin o de relacin entre
elementos son pilares bsicos para estructurar
una explicacin racional del mundo. A esta
forma de pensar acerca de la naturaleza se le
ha denominado conexionismo (Albert, Jeong y
Barabsi 2000).
-
20
Topologa
Topologa de cadena
Topologa de anillo
Topologa de estrella
Topologa de cadena
Durante las ltimas dcadas, con el
objeto de progresar en el estudio, se opt por
obviar los problemas asociados a la estructura
o topologa. Ver: Lorentz, Orda, Raz, y Shavit
(2001); Zegura, Calvet y Donahoo (1997);
Medina, Mata, Byers (2000); Waxman (1988);
Jin-Chen-Jamin (2000); Faloutsos (1999);
Tangmunarunakit, Govindam, Jamin,Shenker y
Willinger (2001), Krishnamurthy, Sun,
Faloutsos y Tauro (2003), sin embargo los
nuevos descubrimientos respecto a la fuerte
conectividad de algunos nodos en ciertas
estructuras han animado a los investigadores a
generar nuevos planteamientos y retomar el
estudio de la estructura de las grficas,
pasando el anlisis de grficas regulares a
grafos aleatorios y grafos invariantes libres de
escala y Valverde, Cancho, y Sole (2000),
estos ltimos con caractersticas de alta
conectividad de algunos nodos (hubs) y desde
el punto de vista de estructura cumpliendo una
ley de potencias (Mc.Uckstein 2002 y
Barbarsi, Albert y Jeong, 1999).
Topologas de redes
Recordando que un grafo es un
conjunto de nodos y enlaces, donde los nodos
estn conectados entre ellos a travs de los
enlaces (links), y reconociendo que los grafos
han sido ampliamente utilizados como
modelos de redes del mundo real (redes
epidemiolgicas, sociales, telefnicas, Internet,
etc.) entonces nos vemos obligados a pensar
en la topologa de dichos grafos y en la forma
en que esta topologa puede afectar a los
mismos. As, podemos decir que existen dos
grandes tipos de topologas: las topologas
fijas y las topologas aleatorias.
Dentro de las topologas de grafo fijas,
existen a su vez distintas clases, siendo las
ms utilizadas las siguientes: Topologa
cadena, topologa anillo, topologa
estrella y topologa rbol.
Figura 18. Diferentes topologas utilizadas en la
construccin de redes.
Las topologas fijas, si bien no
representan un grafo real, si son el primer paso
para desarrollar uno, porque utilizan trozos de
grafos reales. Un mtodo para desarrollar
diferentes topologas de grafos lo dio Waxman
(1988). El propone utilizar una probabilidad en
funcin de las distancias entre los nodos y
dicho mtodo ha sido ampliamente usado para
-
21
generar las topologas de grafos. El mtodo
comienza generando N nodos de un grafo y
distancias aleatorias entre cada par de nodos
de tal forma que la probabilidad de que exista
un enlace entre un par de nodos, digamos u,
v, viene dada por la expresin (5):
P(u,v) = {-d(u,v)/.L} (5)
Donde d(u,v) es la distancia entre los
nodos u y v, y L es la distancia mxima entre
dos nodos cualquiera. La metodologa es la
siguiente: para cada par de nodos (u,v) se
determina la probabilidad P(u,v) de que exista
un enlace entre ellos, de acuerdo a la ecuacin
(5), posteriormente, en base a un experimento
aleatorio (con distribucin probabilstica
uniforme) se determina en definitiva si el
enlace existe o no. Los parmetros y varan
en el intervalo (0, 1. Valores pequeos de
generan enlaces largos y valores grandes de
producen grafos que en promedio presentan
un alto grado (nivel de conectividad) en sus
nodos. En detalle, para un grafo de nodos,
Waxman (1988), genera todos los enlaces del
grafo.
Figura 19 Generacin de la totalidad de
enlaces para un grafo de nodos segn el modelo
de Waxman (1988).
Enseguida se aplica la funcin P(u,v) en
cada par de nodos, determinando si existe o no
el enlace (u,v) dando como resultado la figura
20.
Figura 20 . Resultado de aplicar la funcin P (u, v) a un grafo de nodos considerando la totalidad de enlaces tericos posibles.
-
22
Sin embargo, uno de los principales
problemas del modelo de Waxman (1988) es
que entre los grafos resultantes se generan
tambin grafos no conexos, los cuales no
sirven para la evaluacin de algn algoritmo
que genere un grafo (ver figura 21).
Figura 21. El modelo de Waxman (1988), genera grafos no conexos.
Entonces, para cumplir con la propiedad
de doble conexin que exige que todo nodo
en el grafo deba ser de al menos grado dos, se
debe generar un enlace desde un nodo
terminal al nodo ms cercano (en costo) que
no sea a travs del nodo directamente
conectado a l. Ahora bien, el grado promedio
de nodos en un grafo, es decir, el nmero de
enlaces incidentes en un nodo en promedio en
el grafo, afecta el desempeo del modelo que
se est desarrollando, es decir de su algoritmo,
por tanto, se deben proponer grafos con
grados promedio cercanos a la realidad.
Mediante este mtodo se pueden generar
grafos que cumplen con las condiciones dadas
en la tabla I.
Tabla 1. Relacin del nmero de nodos del grafo y parmetros y para lograr grado promedio de conectividad entre nodos en el modelo de Waxman (1988).
La limitacin del mtodo de Waxman
(1988), es que cuando el nmero de nodos es
muy grande, ocurre una distorsin en la
distribucin del grado entre los nodos. Esto no
es un impedimento para aplicarlo al problema
que nos ocupa de la pertinencia de la oferta de
la educacin superior en su entorno
econmico porque la muestra no es de tamao
muy grande ya que el modelo de Waxman
(1988) es vlido para grficas hasta con 1500
nodos. Para profundizar en los detalles de este
modelo, tambin se puede ver:
Tangmunarunkin, Govindam, Jamin, Shenker, y
Willinger (2001).
Redes sociales
Una red social es una estructura social
en forma de grafo en el cual los nodos
representan individuos (a veces denominados
actores) y las aristas relaciones entre ellos. Una
principal caracterstica de este tipo de redes es
que los nodos, denominados en este contexto
actores, representan integrantes de la
sociedad, tales como personas, empresas,
Nmero de
nodos
Grado
promedio
40 0.4 0.4 4.02
100 0.3 0.2 3.56
1000 0.1 0.2 3.45
http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_socialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttp://es.wikipedia.org/wiki/Nodohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arista_%28Teor%C3%ADa_de_grafos%29
-
23
grupos de trabajo, departamentos de una
empresa, pases, etc., y los arcos representan
la relacin existente entre ellos; tal como
intercambio financiero, amistad, trnsito de
personas, etc., el objetivo de estudio principal
de estas redes se encuentra en la relacin
entre los nodos y su consecuencia.
Figura 22. Red Social de la pgina FlickrLand la Internet.
De acuerdo a la caracterstica de las
relaciones, las redes pueden ser:
Didicas (de acuerdo a si existe o no relacin
entre nodos) o valoradas (en donde la
relacin tiene una ponderacin cuantitativa), o
bien transitivas (donde una relacin implica
que es en ambos sentidos) o dirigidas la
relacin va en un sentido o en ambos pero es
especificado (Wasserman y Faust, 1994).
El anlisis de redes sociales ha tenido
aplicacin exitosa en ciencias sociales y
administrativas en las ltimas dcadas como
una nueva herramienta de anlisis de realidad
social. Al centrarse en la relacin que hay entre
los actores (o grupos de actores) y no en las
caractersticas de los mismos. Los procesos de
empleo, trnsito de alumnos entre
universidades, intercambio de algn tipo de
informacin entre grupos de personas pueden
ser ejemplos de la aplicacin de estudio de
este tipo de redes.
Figura 23. Esquema de una red social de la Internet.
A finales de 1800 dentro de los
precursores de las redes sociales estn mile
Durkheim y Ferdinand Tnnies, este ltimo
asegur que los grupos sociales pueden existir
con vnculos entre las mismas personas o bien
vnculos que las personas comparten valores y
creencias, as actualmente una agrupacin de
amigos comparte ciertas caractersticas a
travs de correos electrnicos ver figura 24.
http://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/%25C3%2589mile_Durkheim&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/%25C3%2589mile_Durkheim&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_T%25C3%25B6nnies&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG
-
24
Figura 24. Red que representa un grupo de
personas que comparten correos electrnicos.
Durkheim dio una explicacin
individualista- social de los hechos,
argumentando que los fenmenos sociales
surgen cuando interactan individuos
constituyen una realidad que ya no puede ser
contabilizada en trminos de las propiedades
de cada uno de los actores. Distingui entre la
sociedad tradicional una solidaridad mecnica
que prevalece en caso que las diferencias
individuales se reduzcan al mnimo, y la
sociedad moderna denominada solidaridad
orgnica que se desarrolla fuera de la
cooperacin entre individuos diferenciados con
funciones independientes. Georg Simmel,
escritor en el umbral del siglo XX, fue el primer
estudioso pensando directamente en la red
social. Sus ensayos se refirieron a la naturaleza
del tamao de la red y en sus interacciones.
En las primeras dcadas del siglo XX,
tres grandes tradiciones en las redes sociales
aparecieron. En la dcada de 1930, J.L.
Moreno fue pionero en el registro y el anlisis
sistemtico de la interaccin social en
pequeos grupos, especialmente las aulas y
grupos de trabajo, mientras que en Harvard un
grupo dirigido por W. Lloyd Warner y Elton
Mayo exploran las relaciones interpersonales
en el trabajo. En 1940 Radcliffe-Brown
pronunci un discurso ante los antroplogos
britnicos e inst al estudio sistemtico de las
redes. Sin embargo, se tard 15 aos antes de
que esa convocatoria fuera seguida de forma
sistmica.
El anlisis de redes sociales
desarrollados en Inglaterra en 1950, respecto
al parentesco a cargo de Elizabeth Botty en
1950 y 1960 se realiz el estudio de la
urbanizacin a cargo de la Universidad de
Manchester con un grupo de antroplogos, el
objetivo fue investigar las redes comunitarias
en el sur de frica, la India y el Reino Unido. A
su vez el rea de ciencias sociales de la
Universidad de California Irvine realiz estudios
en aplicaciones matemticas centradas en
torno a anlisis cualitativos. Existen otras
universidades que han realizado estudios de
carcter cualitativo respecto a redes sociales
como la Universidad de Chicago la Universidad
estatal de Michigan y la Universidad de
Toronto.
http://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Simmel&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_L._Moreno&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Jacob_L._Moreno&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Harvard&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/W._Lloyd_Warner&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/W._Lloyd_Warner&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elton_Mayo&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Elton_Mayo&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DGhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Radcliffe-Brown&prev=/search%3Fq%3DSOCIAL%2BNETWORKS%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG
-
25
Anlisis de redes sociales
Red Social es una representacin de
nodos y arcos (unin de los nodos) que se
asocian a un sistema social. Los nodos
generalmente representan personas, grupos de
persona u organizaciones de cualquier
dimensin, y las uniones (lazos, arcos),
representan el factor o factores de vnculo
entre los nodos (denominados en redes
sociales como actores), el vnculo puede
referirse a situaciones de preferencia, amistad,
apoyo financiero, parentesco, visiones, ideas,
aversin, un ejemplo de ello ver la figura 25.
La red representativa resultante es una
estructura de nodos (actores) y arcos (lazos o
uniones) en la que puede variar su complejidad
de acuerdo al tamao de la red, que est
representada por la cantidad de actores y
uniones y al tipo o tipos de vnculo que existe
entre ellos (Freeman, 2006).
Figura 25. Red representativa de una comunidad Facebook en un espacio de internet.
El anlisis de redes sociales tiene su
fundamento en mtodos cuantitativos y
cualitativos que evalan la interaccin de
nodos y uniones entre ellos, en el entendido
que los nodos representan los actores y las
uniones los vnculos de un sistema social, y el
anlisis examina la relacin que existe entre
actores. Es importante mencionar que las redes
sociales trabajan en muchos niveles de
desagregacin, estos niveles pueden
observarse en la figura 26; as como puede
tomarse un actor como un individuo y los lazos
algn tipo de relacin con otros individuos, as
tambin los actores pueden representar
familias, grupos de trabajo, organizaciones,
estados naciones y sus uniones diferentes tipos
de vnculo o relacin. Los estudios de estas
redes sociales pueden tener diferentes
enfoques.
Figura 26. Red de la web representando usuario de Google.
-
26
La representacin ms simple de una
red social es un modelo grfico de nodos y
lazos a analizarse. El estudio que puede
realizarse va desde el anlisis particular de las
caractersticas de unin de cada actor, lo cual
de acuerdo a la representacin de la unin,
puede tener diferentes significados, hasta
caractersticas de grupos de actores con
respecto a toda la red. A menudo estos anlisis
se refieren al capital social de los actores.
El anlisis e redes sociales es un
instrumento que apoya reas como la
medicina, la biologa, la antropologa, la
psicologa, la sociologa, las comunicaciones,
ciencias de la informacin, economa y estudios
de la organizacin, teniendo aplicaciones
especiales en aspectos de planeacin, entre
otras.
La aplicacin de redes sociales se
remonta a principios del siglo XX utilizando la
herramienta en sistemas sociales complejos, en
todas las escalas desde las micro como
interpersonales, hasta las macro
organizaciones complejas o proyectos de
comunicacin internacional, un ejemplo es
FAS. research una institucin de la
investigacin localizada en Viena, Austria que
ha estado produciendo el gran trabajo en el
anlisis de la red para la ciencias y negocios,
donde algunos gerentes en Austria son
directivos de compaas diferentes. Una
persona que es un directivo en dos compaas
por lo que conecta estas compaas. La
informacin puede fluir de una junta directiva a
otro por los conectores. La figura 23 muestra
las empresas austriacas ms importantes. El
tamao de los crculos representa el nmero de
empleados en la compaa. Las lneas
representan a las directivos que unen entre
estas empresas. El grueso de la lnea muestra
los gerentes ms comunes que estas empresas
tienen. Las lneas rojas muestran el primer
paso con su entorno. Los crculos del azul
representan la los directivos importantes de la
compaa.
Figura 27. Red representativa de la influencia directiva en las empresas de Austria.
Los trminos utilizados para designar
los vnculos que relacionan conceptos utilizados
por la generalidad de las personas y los
cientficos del rea social, relacionadas a
grupos como tribus y familias y lo referente a
categoras sociales como gnero, origen
-
27
tnico, etc., al respecto existen estudios ya
utilizados desde mediados del siglo pasado, en
1954, JA Barnes comenz a utilizar
sistemticamente el trmino para designar las
modalidades de vnculos que abarcan los
conceptos tradicionalmente utilizados por el
pblico y los cientficos sociales, estudiosos
como Berkowitz SD, Stephen Borgatti, Ronald
Burt, Kathleen Carley, Katherine Faust, Linton
Freeman, Mark Granovetter, David Knoke,
Peter Marsden, Nicholas Mullins, Anatol
Rapoport, Stanley Wasserman, Barry Wellman,
Douglas R. White, y Harrison White
profundizaron las aplicaciones y ampliaron el
uso de redes sociales.
El anlisis de redes sociales ha
evolucionado desde ciertas propuestas y
conceptos para fortalecerse con mtodos
analticos y ha encontrado sus declaraciones
tericas y mtodos. El anlisis es realizado y
razonado a partir de la estructura de la red a la
participacin individual de sus integrantes. Los
estudios de redes enteras tambin conocidos
como redes completas, donde todos los lazos
que contienen las relaciones especificas en una
poblacin definida, o las redes personales,
(tambin conocido como las redes
egocntricas) donde los lazos que especificaron
a las personas tienen, como su comunidad
personal (Wellman, Barry y Berkowitz, 1988).
Varias tendencias analticas distinguen
el anlisis de redes, en lugar de tratar a los
individuos (las personas, las organizaciones, los
estados) como las unidades discretas de
anlisis, el enfoque es de cmo la estructura
de lazos afecta a los individuos y sus
relaciones.
En contraste con el anlisis que asumen
esa socializacin, las normas determinan el
comportamiento, el anlisis de la red parece
ver hasta que punto la estructura y
composicin de lazos afectan las normas
(Scott, 1991).
El modelo de una red social ayuda a
determinar la utilidad de una red y sus
individuos. Existe toda una teora denominada
de lazos dbiles donde las redes ms
pequeas, ms firmes pueden ser menos tiles
a sus miembros, que las redes con una gran
cantidad de conexiones sueltas (denominadas
lazos dbiles) a los individuos fuera de la red
principal. Las redes con caractersticas ms
abiertas con muchos lazos dbiles y conexiones
sociales tienen ms probabilidad de presentar
nuevas ideas y oportunidades a sus miembros
que las redes cerradas con muchos lazos
redundantes. Es bueno para el xito individual
tener las conexiones a una variedad de redes
en lugar de muchas conexiones dentro de una
sola red. De forma semejante, los individuos
pueden ejercer la influencia o pueden ser
http://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Ronald_Burt&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhgn1i_XOQ9PEAfVOJ3V-o5qrwqf7Ahttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Ronald_Burt&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhgn1i_XOQ9PEAfVOJ3V-o5qrwqf7Ahttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Kathleen_Carley&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhi8s1fT7jY5oSMTz-ka2XY2vZN4Wghttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Mark_Granovetter&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhhoDF4LfyGsBKDt1_2f_xxwz2lwNghttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Anatol_Rapoport&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhjtGJNEyojqYJP0D4DXtHpDSzcOEw#Social_network_analysishttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Anatol_Rapoport&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhjtGJNEyojqYJP0D4DXtHpDSzcOEw#Social_network_analysishttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Barry_Wellman&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhg3hkaGP93kDmTNQY7-u4t6_fgRqQhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Douglas_R._White&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhhyvx7HUXWqyJ-feCVQG0759IyULAhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Harrison_White&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhg3-UwlvoSWARBKx0evRWp9410VlQ
-
28
enlaces dentro de sus redes sociales siendo un
puente de dos redes que no se unen
directamente, denominando a esta unin como
agujeros estructurales (Scott, 1991).
Las redes sociales tambin han sido
usadas para examinar cmo las organizaciones
interactan entre ellas, destacando muchas
conexiones informales que mantienen sus
ejecutivos as como asociaciones y conexiones
entre empleados individuales en diferentes
organizaciones. As, se puede decir que el
Impulso de la organizacin a menudo viene
ms del grado en que un individuo dentro de
una red est en el centro de muchas relaciones
que el ttulo (puesto) del trabajo real. Las
redes sociales tambin juegan un papel
importante contratando, en el xito comercial,
y en la actuacin del trabajo. Las redes dan
formas para que compaas obtengan ms
informacin, disuadan la competencia y
generen estrategias para generar precios y
polticas (Wasserman y Faust, 1994).
Tambin se han usado las redes
sociales para examinar cmo las
organizaciones actan recprocamente entre s,
mientras caracterizando las muchas conexiones
informales que se unen a ejecutivos juntos, as
como las asociaciones y conexiones entre los
empleados individuales a las organizaciones
diferentes. Por ejemplo, el impulso a menudo
dentro de las organizaciones viene ms del
grado en que un individuo dentro de una red
est en el centro de muchas relaciones, que el
ttulo del trabajo real. Las redes sociales
tambin juegan un papel importante logrando
el xito comercial, y la actuacin del trabajo.
Las redes mantienen las maneras para recoger
la informacin en las compaas, detienen la
competicin, y conspiran poniendo precios o
polticas (Wasserman y Faust, 1994).
Mtodos de medicin
Para redes de modo-uno y redes de
modo-dos se han desarrollado formas de
medicin que dan informacin acerca de las
caractersticas de la red (Wasserman y
Faust,1994; Krebs y Valdis 2000).
Intermediacin:
Grado en que una persona se encuentra
entre otras personas en la red; el grado en que
un nodo est conectado directamente slo a
aquellos otros nodos que no estn
directamente conectadas entre s;
intermediario; enlaces; puentes. Por lo tanto,
es el nmero de gentes que una persona se
conecta indirectamente a travs de sus
vnculos directos.
-
29
Cercana:
El grado de una persona est cerca de
todas las dems personas en una red (directa o
indirectamente). En l se refleja la capacidad
de acceso a la informacin a travs de la "vid"
(agrupacin) de los miembros de la red. De
este modo, la cercana es la inversa de la suma
de las distancias ms cortas entre cada
individuo y cada otra persona en la red.
Centralidad (grado):
La cuenta del nmero de vnculos a
otros actores en la red. Vase tambin el
grado (teora de grafos).
Centralidad del flujo de intermediacin:
El grado en que un nodo contribuye a la
suma de flujo mximo entre todos los pares de
nodos.
Eigenvector (centralidad):
Una medida de la importancia de un
nodo en una red. Se asigna puntajes en
relacin a todos los nodos en la red basado en
el principio de que las conexiones a nodos
tengan una alta puntuacin contribuyendo
ms a la puntuacin del nodo en cuestin.
Centralizacin:
La diferencia entre el n de enlaces para
cada nodo dividido entre el mximo posible
suma de las diferencias.
Una red centralizado tendr muchos de sus
vnculos dispersos en torno a uno o varios
nodos, mientras que una red descentralizada
es aquella en la que hay poca variacin entre
los n vnculos que cada nodo posee.
Coeficiente de agrupamiento:
Una medida de la probabilidad de que
dos socios de un nodo estn asociados a s
mismos. A mayor coeficiente de agrupamiento
indica una mayor cliquishness.
Cohesin:
El grado en que los actores estn
conectados directamente el uno al otro por
cohesin. Los grupos son identificados como
"camarillas" si cada actor est directamente
ligado a cualquier otro actor, "crculos sociales"
si hay menos rigor de contacto directo, lo cual
es impreciso, o como un bloque de estructura
cohesiva si se requiere precisin.
Densidad (nivel individual):
El grado en que las uniones de
respuesta se conocen una a otra / proporcin
de vnculos entre una nominacin individual.
Nivel global de densidad es la proporcin de
uniones en una red, relativa al nmero total
posible (redes escazas contra redes densas).
Longitud del camino:
http://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Grapevine_(gossip)&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhizUPzfoaISyx9SVvMSsusGYC2GZghttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(graph_theory)&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhie6a6LUOWOnpupz90RSKJ3hIGTTAhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_(graph_theory)&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhiUq4SzFMw9z6SWV1sHaMMC_rXwnghttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Network_(mathematics)&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhiCzG2t8_Fo0lI7LLE8biYbNo3lkAhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Centralization&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhj8ybMKwGiKxFTPTJqIoAJbXVV51Ahttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Clique&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhh_2qQMgkLotEnSKFx8z2ofhkF0JQhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Social_circle&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhgKOEZ6wD6GMAdJenGImm1n4soy7A
-
30
Las distancias entre los pares de nodos
en la red. Promedio de la longitud del camino
es la media de estas distancias entre todos los
pares de nodos.
Radialidad:
Grado que una persona de la red se
extiende en la red y proporciona informacin
novedosa e influencia.
Alcance:
El grado de cualquier miembro de una
red puede llegar a otros miembros de la red.
Cohesin estructural:
El nmero mnimo de miembros que, si
se retiran de un grupo, podra desconectar al
grupo. (Moody y Douglas, 2003).
-
31
Equivalencia estructural:
Se refiere a la medida en que los
actores tienen un conjunto comn de vnculos
con otros actores del sistema. Los actores no
necesitan tener ninguna relacin el uno al otro
ser estructuralmente equivalentes.
Agujero estructural:
Agujeros estticos que pueden ser
estratgicamente ocupados por un nodo y
conectar uno o ms enlaces, enlazando juntos
otros puntos. Se relaciona con las ideas de
capital social: si se enlaza a dos personas que
no estn vinculados se puede controlar su
comunicacin.
Concepto de afiliacin
Los miembros de una organizacin o la
participacin de ellos en un evento es una
fuente de uniones sociales. En organizaciones y
eventos la gente se junta porque tienen tareas
y o intereses y les gusta interactuar. Los
integrantes de clubs deportivos (organizacin)
comparten una preferencia por un deporte
particular y juegan con o en contra de otras
personas.
Los directores y comisionistas respecto
a los embarques de una empresa son
colectivamente corresponsables por el xito
financiero y regularmente se encuentran
discutiendo los asuntos acerca del negocio.
Inspirados por la sociologa de Simmel (1950)
(Berln, 1 de marzo de 1858 Estrasburgo, 28
de septiembre de 1918, filsofo, socilogo y
ensayista alemn.), los grupos de gente que se
renen alrededor de una o ms organizaciones
y eventos son llamados grupos sociales.
Las uniones entre gente, que son
dirigidas, tal como la seleccin de un amigo, o
entre otras entidades sociales tales como
grupos, empresas, o el intercambio de
relaciones entre universidades o pases. Cabe
hacer notar que no se trata exclusivamente de
relaciones entre gente con gente u
organizaciones con otras, si no entre gente y
organizaciones. Afiliacin se refiere a un
segundo tipo. Los datos sobre afiliacin pueden
ser obtenidos relativamente fcil, ya que al
tratarse de organizaciones y aquellas personas,
o grupos de personas que se relacionan con
ellas, ordinariamente se encuentra las fuentes
primarias de datos. Afiliaciones son a menudo
conceptos de lo que es institucional o
estructural que es forzado por circunstancias.
http://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhiVWjptEkHb6zYXfw881ReBCdMNTwhttp://64.233.179.104/translate_c?hl=es&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Social_capital&prev=/search%3Fq%3DSocial%2BNetworks%26hl%3Des%26lr%3D%26sa%3DG&usg=ALkJrhinubeow4xm6IU9bHhr6pCas6xWPAhttp://es.wikipedia.org/wiki/Berl%C3%ADnhttp://es.wikipedia.org/wiki/1_de_marzohttp://es.wikipedia.org/wiki/1858http://es.wikipedia.org/wiki/Estrasburgohttp://es.wikipedia.org/wiki/28_de_septiembrehttp://es.wikipedia.org/wiki/28_de_septiembrehttp://es.wikipedia.org/wiki/1918http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ensayohttp://es.wikipedia.org/wiki/Alemania
-
32
Eso es menos personal y resulta de una
eleccin privada a un menor grado que
sentimientos y/o amistad. De hecho los
miembros en un equipo de deportes dependen
mucho ms sobre preferencias personales,
pero en ocasiones la composicin de los
equipos deportivos depende de las
circunstancias y sobre las decisiones hechas
por los entrenadores y autoridades de un club
deportivo. Afiliacin expresa arreglos
institucionales porque las instituciones moldean
la estructura de la sociedad, las redes de
afiliacin nos dicen mucho acerca de la
sociedad.
As es el caso de las empresas que
contratan grupos de profesionistas, esto
obedeciendo a una necesidad especfica
interna, y por ello muchas ocasiones hay
tendencias por ciertas profesiones, o desde el
punto de vista de un cierto sector empresarial
tiene preferencias por un perfil especfico.
En otro orden de ideas puede ser que
ciertos grupos de profesionistas tengan
preferencias por cierto tipo de empresas y sea
ah donde apliquen sus solicitudes a efecto de
poder ser empleados.
La gente muchas ocasiones se
encuentra afiliada en organizaciones y eventos
a la vez y eso les permite pertenecer a varios
crculos sociales, en otras palabras, ellos son la
interseccin de los crculos sociales. La
sociedad puede ser vista como una fbrica de
intersecciones de crculos sociales.
Figura 28. Red de afiliacin representando agrupacin de acuerdo a intereses comunes.
As, una lista de miembros no nos dice
exactamente cul gente interacta, se
comunica y prefiere a la otra, o podamos
asumir que hay un atractivo que ellos tengan.
Adems los miembros que se juntan en una
organizacin en ocasiones juntan intereses en
otras reas sociales.
-
33
A B
C D
F
G
H
I
J K E
1 2 3 4
A B C D E F G H I J K
M=11
N=4
Por ejemplo, la gente de una
determinada profesin puede juntarse para
compartir experiencias en asociaciones de
profesionistas o los profesionistas de una
organizacin egresados de la misma
universidad pueden agruparse para crear
asociacin de intercambio deportivo o cultural,
etc., si tenemos que seleccionar gente que
pertenece a (o est siendo admitido a) un
grupo particular, ellos pueden tener
profesiones, intereses y estatus similares.
Los diferentes tipos de afiliacin no se
traslapan de manera aleatoria: Los crculos
sociales usualmente tienen gente quien son
clsteres a ms de un tipo de organizacin. Del
nmero o intensidad de compartir eventos
podemos inferir el grado de parecido de la
gente. As este argumento puede ser reservado
para organizaciones o eventos que comparten
ms miembros que son tambin ms cercanos
socialmente.
Redes de afiliacin: antecedentes y teora bsica
Por definicin las redes de afiliacin
consisten de, al menos, dos tipos de conjuntos
de vrtices tal que las afiliaciones conectan
solo vrtices de diferentes conjuntos.
Usualmente hay dos conjuntos los cuales son
llamados actores y eventos, por ejemplo:
Directores (actores) y embarques de empresas
(eventos) o profesionistas (actores) empleo
eventos. Las afiliaciones conectan a los
directores con los embarques o profesionistas
con empleo, no directores a directores,
embarque a embarques, profesionistas con
profesionistas ni empleo con empleo, al menos
no directamente.
La figura 29 muestra las uniones de una
red. Un conjunto de vrtices (designados con
nmeros) y otro grupo de vrtices (designados
con letras). Hay que notar que las lneas
siempre conectan un vrtice de nmeros con
uno de letras. Cuando una red las lneas
(arcos) conectan invariablemente en cada uno
de sus extremos vrtices de grupos diferentes.
Este tipo de red es llamada red modo dos
o red bipartita la cual es totalmente diferente
de la red modo uno donde los vrtices
pueden ser relacionados en un solo grupo
(grfica inferior de la figura 29).
Figura 29. Red bipartita modo dos convertida a red modo uno.
-
34
En una red modo uno cada vrtice
puede ser relacionado con cualquier
otro.
En una red modo dos, los vrtices son
divididos en dos conjuntos y solo se
relacionan con vrtices del otro
conjunto.
En la descripcin de red modo dos,
debemos distinguir entre actores y eventos,
porque las medidas simples para actores y
eventos tienen diferente significado. Existen
otras consideraciones: Algunas estructuras
indican que deben ser calculadas de diferente
manera para redes modo dos.
Las tcnicas usadas para analizar redes
modo uno no pueden ser las mismas para
redes modo dos sin alguna modificacin previa.
Las tcnicas especiales para redes modo - dos
tienen complicacin en su aplicacin por lo que
se plantea una prctica que es comn: La
solucin que se acostumbra es cambiar las
redes modo dos a redes modo uno, las
cuales pueden ser analizadas con las tcnicas
estndar. Podemos crear redes modo uno de
redes modo dos: Una red de eventos
interconectados y una red de actores que son
miembros de una misma organizacin o
atienden eventos comunes.
Definimos en forma breve una red
social de afiliacin en la forma siguiente. Sea N
el nmero de actores, esto es N = {n1, n2, ....
, ng} y sea M el nmero de eventos, esto es M
= {m1, m2, .... , mh}. Sea adems L un
conjunto de lneas dado. Entonces, si N y M
son dos conjuntos de nodos, decimos que un
grafo social de afiliacin est definida como:
G = N + M + L ----------- (6)
Donde el ni - simo nodo en N estar
afiliado al mk - simo nodo en M si ambos
estn conectados por la lnea L, es decir, si
ambos nodos son adyacentes. Se dice adems
que todas las conexiones entre nodos (1) y las
no conexiones (0) forman la matriz A o matriz
de afiliacin. Por otro lado a la matriz cuadrada
que contiene tanto conexiones (afiliaciones)
como no conexiones (no afiliaciones) se le
conoce como socio-matriz, de acuerdo con la
figura 29 donde se presenta una red de
afiliacin de dos tipos de nodos en la tabla dos
se muestra la matriz de afiliacin asociada a
esta red.
Consideremos,
aij = 1 si el actor i est afiliado con el evento j
aij = 0 de otra forma
Donde cada hilera de A describe la
afiliacin o no afiliacin de cada actor con cada
evento y cada columna describe a los
miembros de un evento y la matriz de afiliacin
queda representada por la Tabla 2.
-
35
E v e n t o s
Actores 1 2 3 4
A 1 0 0 0
B 1 1 0 0
C 1 0 0 0
D 1 1 0 0
E 1 0 0 0
F 0 1 1 0
G 0 1 0 1
H 0 0 1 0
I 0 0 1 1
J 0 0 0 1
K 0 0 0 1
Actores y
Eventos 1 2 3 4 A B C D E F
A 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0B 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
C 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0D 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
E 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0F 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
G 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0H 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
I 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0J 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
K 0 0 0 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0
2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tabla 2. Matriz hipottica de afiliacin para una red social.
Ahora bien, una red de afiliacin
tambin puede ser representada por un grafo
bipartito, el cual es un grafo donde los nodos
pueden ser particionados en dos subconjuntos
y todas las lneas estn entre pares de nodos
perteneciendo a diferentes subconjuntos. A su
vez, este grafo bipartito puede ser
representada como una socio-matriz, que es
una matriz que tiene g + h hileras y g + h
columnas, es decir, por una matriz cuadrada.
Dicha socio-matriz se forma tomando en
consideracin la tabla 2, donde los nodos
representados tanto en columnas como en
renglones se integran en uno solo formando
con esto una matriz cuadrada llamada socio-
matriz (ver tabla 3).
La matriz primaria utilizada en anlisis
de grafos sociales se denomina matriz de
adyacencia, socio-matriz o matriz social, (tabla
3).
Tabla 3. Socio-matriz correspondiente a la matriz de afiliacin de la tabla 2.
Esta matrices son de orden g x g para redes
uni-modales. Hay una hilera y una columna por
cada nodo y si los nodos ni y nj son
adyacentes, entonces el elemento xij es igual a
1 y cero de lo contrario. Adems, si una lnea
de unin est presente, sta se dirige desde el
nodo ni hasta el nodo nj y viceversa.
La segunda matriz utilizada para
presentar la informacin de un grafo se llama
matriz de incidencia, I. Esta matriz registra la
incidencia entre uniones y nodos. La matriz de
incidencia tiene como hileras a los nodos y
como uniones las columnas, por lo tanto si
existen n nodos y L lneas, la matriz es de
orden g x L. Hay una hilera por cada nodo y
una columna por cada lnea y si un nodo se
conecta a una lnea se representa con un
nmero 1 y con el nmero cero de otra forma.
Si la unin lk = (ni, nj) es incidente con los dos
nodos ni y nj entonces cada columna tiene
exactamente dos unos en cada columna.
-
36
La socio-matriz de un dgrafo tiene unos
si existe un arco desde el nodo ni al nodo nj y
ceros de otra forma.
La distancia geodsica desde ni hasta nj
puede visualizarse encontrando potencias de
matrices. La distancia de un nodo a otro es la
longitud de la trayectoria ms corta entre ellos.
En un grafo la distancia de un nodo a otro es la
misma en amba